文档内容
第二十三章 旋转1. 熟练掌握旋转章节全章知识点；
教学目标
2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；
1. 重点
（1）旋转的性质及其作图；
（2）中心对称的性质及其作图；
教学重难点 （3）关于原点对称的点的坐标特点 。
2. 难点
（1）与旋转有关的证明与计算；
（2）旋转的三大模型的问题解决。
知识点01 旋转
1. 旋转的概念：
在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的 旋转 。点
O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角，顺时针或逆时针叫做旋转方向。它们是旋转的三要素。
2. 旋转的相关概念：
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段AB经过旋转变
为点A′B′，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这
两个角叫做对应角。
3. 旋转的性质：
①旋转前后的两个图形全等。所以对应边相等，对应角相等。
②对应点到旋转中心的距离相等。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。
③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都相等。等于旋转角。
4. 旋转作图的步骤：
①确定旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。
②在原图中找到关键点，做出图形关键点旋转后的对应点。
③按照原图形连接各对应点。
5. 平面直角坐标系中的旋转：
若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为
对应点的纵坐标的绝对值，原纵坐标的绝对值变成对应点的横坐标的绝对值。坐标符号看坐标所在象限。
简称横变纵，纵变横，符号看象限。
当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。
6. 旋转对称图形：若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形完全重合，这样的图形叫做旋转对称图形。
知识点02 中心对称
1. 中心对称的定义：
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个
点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。
注：中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。
2. 中心对称的性质：
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；即全等。
②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
③中心对称的两个图形对应边平行或共线。
3. 对称中心的确定：
连接任意两组对称点得到两条线段，这两条线段的交点就是对称中心。
4. 中心对称作图的基本步骤：
步骤：①确定图形的关键点与对称中心。
②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离相等。得到对称点。
③按照原图形连接各对称点。
知识点03 中心对称图形
1. 中心对称图形的定义：
一个图形绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与旋转前完全重合，那么这个图形就叫做中心
对称图形，这个点叫做中心对称图形的对称中心。中心对称图形是一个图形的形状特点。
2. 中心对称图形的性质：
性质1：对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分 。
性质2：对应线段的数量关系是相等的，位置关系为平行或共线。
性质3：对应角相等。
性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个全的图形。
特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是
指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。
知识点03 关于原点对称的点的坐标
1. 关于原点对称的点的坐标：
关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数。
x +x =0 y + y =0
即若点 与点 关于原点对称，则有 1 2 ， 1 2 。
2. 关于点对称的点坐标：关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。
题型01 生活中的旋转现象
【典例1】下列说法中，正确的是（ ）
A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象
B．“火箭冲向空中”属于旋转现象
C．“小明在荡秋千”属于旋转现象
D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象
【答案】C
【解答】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项说法错误，不符合题意；
B、“火箭冲向空中”属于平移、旋转现象，故B选项说法错误，不符合题意；
C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项说法正确，符合题意；
D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D说法错误，不符合题意．
故选：C．
【变式1】下列生活现象中，可以看作是图形旋转的是（ ）
A．钟表上的时针运动
B．升国旗的上升过程
C．月亮在水中形成的影子
D．电梯的升降
【答案】A
【解答】解：A．钟表上的时针运动，可以看作图形的旋转现象，故本选项符合题意；
B．升国旗的上升过程，可以看作图形的平移现象，故本选项不符合题意；
C．月亮在水中形成的影子，可以看作轴对称现象，故本选项不符合题意；
D．电梯的升降，可以看作图形的平移现象，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式2】联欢会上，数学李老师表演了一个魔术．她先把4张扑克牌按如图①方式放在桌子上，然后蒙
住自己的眼睛，请一位同学上台，把其中一张扑克牌旋转180°．解除蒙具后，看到4张牌如图②所示．
可以判断出被旋转过的牌是（ ）A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7
【答案】A
【解答】解：因为牌中只有方块4是中心对称图形，所以旋转180度后，还是原来的样子．
故选：A．
【变式3】在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏
机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行
中的小方格都自动消失，你可以将图形 进行以下的操作（ ）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
【答案】A
【解答】解：屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可
以先逆时针旋转90°，再向左平移．
故选：A．
【变式4】如图，下列选项为一组传统竹编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：
近似看作由 旋转一周得到的是 ．故选：B．
题型02 旋转的性质
【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应
点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C．AD=❑√2AC D．AE＝AB+CD
【答案】D
【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
故A选项正确，不符合题意；
由旋转可得，CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，AB＝DE，
∴∠ADC＝∠DAC．
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝∠DAC＝45°，
故B选项正确，不符合题意；
∵∠ADC＝∠DAC＝45°，
∴∠ACD＝90°，
∴AD=❑√2AC，
故C选项正确，不符合题意；
AE＝AD+DE=❑√2CD+AB，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【变式1】如图，把△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△DEC，DE交AC于点G，若∠DGC＝90°，则∠A
的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C
【解答】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△DEC，
∴∠GCD＝∠BCE＝40°，∠A＝∠D，
∵∠DGC＝90°，
∴∠D＝∠A＝50°，
故选：C．
【变式2】如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，BC与地面的夹角∠BCA＝55°，∠ ＝26°，小明
同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，AB的对应线段为A′B′，在这一过程当中，簸箕
α
柄AB绕点C旋转了（ ）
A．79° B．89° C．98° D．99°
【答案】D
【解答】解：如图所示，根据题意，∠BCD＝∠B′CD′＝ ＝26°，
α
∴旋转角为∠DCD′，
∴∠DCD′＝∠DCB′+∠B′CD′＝180°﹣∠BCA﹣∠BCD＝180°﹣55°﹣26°＝99°，
故选：D．
【变式3】如图，等边三角形ABC的边长为6cm，D、E分别为AC、AB边上的点，AD＝AE＝4cm，连接
DE，将△ADE绕点D逆时针旋转，得到△EDP，连接CP，则CP的长是（ ）
A．❑√3cm B．2❑√3cm C．4cm D．❑√2cm
【答案】B
【解答】解：设DP交BC于F，如图所示：∵∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝6，
∵AD＝AE＝4，
∴CD＝6﹣4＝2，
∴∠ADE＝60°，DE＝AD＝4，
∵将△ADE绕点D逆时针旋转，得到△EDP，
∴∠EDP＝60°，DP＝DE＝4，
∴∠PDC＝60°，
∴∠3＝60°，DF＝CF＝DC＝2，
∴PF＝DP﹣DF＝4﹣2＝2，
∴FC＝FP，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠1+∠2，
∴∠1＝30°，
∴∠PCD＝60°+30°＝90°，
∴PC=❑√DP2−DC2=❑√42−22=2❑√3，
故选：B
【变式4】如图，矩形ABCD中，AB＝6，∠CDB＝30°，E为CD边上一动点，△BEF为等边三角形，连
接AF，则AF的最小值为（ ）
A．1 B．❑√3 C．❑√2 D．❑√3−1
【答案】B
【解答】解：取BD的中点G，连接FG，∵∠CDB＝30°，
∴∠C＝90°，
1
∴BC= BD，∠DBC＝60°，
2
1
∵BG= DB，
2
∴BG＝BC，
∵∠EBF＝60°＝∠CBD，BE＝BF，
∴∠CBE＝∠GBF，
∴△CBE≌△GBF（SAS），
∴∠C＝∠FGB＝90°，
∴当AF⊥GF时，AF有最小值，
如图所示，过点A作AH⊥BD于点H，
∵∠CDB＝30°，DC∥B，
∴∠ABD＝∠CDB＝30°，
1
∴AH= AB=3，
2
∴BH=❑√AB2−AH2=3❑√3，
∵BD＝2AD，AD2+AB2＝BD2，
∴AD2+62＝（2AD）2，
∴AD=2❑√3，
∴BD=2AD=4❑√3，
1
∴BG= BD=2❑√3，
2∴HG=HB−BG=❑√3，
∵AH⊥BD，AF⊥GF，∠FGB＝90°，
∴AF=HG=❑√3．
故选：B．
【变式5】如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过点E作
EF⊥AB 于点 F，连接 EC，EA，则下列结论中：①△EBC 可由△ABD 绕点 B 旋转得到；
②∠BCE+∠BCD＝180°；③△AEC是等腰三角形；④BA+BC＝2BF，正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【答案】C
【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
{
BD=BC
)
∠ABD=∠EBC ，
AB=EB
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴△EBC可由△ABD绕点B旋转得到，
故①正确；
②∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∵BD＝BC，∠BDC＝∠ADE，
∴∠BDC＝∠BCD＝∠ADE，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，
故②正确；
③∵BD＝BC，BE＝BA，
1 1
∴∠BEA=∠BAE= (180°−∠ABE)，∠BCD=∠BDC= (180°−∠CBE)，
2 2
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠BEA＝∠BAE＝∠BCD＝∠BDC，
∵∠ADE＝∠BDC，∴∠AED＝∠ADE＝∠BCD＝∠BDC，
∴∠CBD＝∠DAE，
∵∠BCE+∠BCD＝2∠BCD+∠ACE＝180°，
∴180°﹣∠CBD+∠ACE＝180°，
∴∠CBD＝∠ACE，
∴∠DAE＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∴△AEC是等腰三角形，
故③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，
∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，
∴EF＝EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
{EG=EF)
，
BE=BE
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
在Rt△AEF和Rt△CEG中，
{AE=CE)
，
EF=EG
∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），
∴AF＝CG，
∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF，
故④正确，
综上所述，正确的结论是①②③④，
故选：C．
【变式6】如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针
旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
{
BC=AC
)
∠BCD=∠ACE ，
CD=CE
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD．
（2）连接DE，
由（1）的结论知AE＝BD，
∵BD＝5，
∴AE＝5，
由旋转可知∠DCE＝60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∵∠ADC＝30°
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
在Rt△ADE中，DE=❑√AE2−AD2=❑√52−32=4，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝DE＝4
【变式7】△ABC是等边三角形，点D在边AC上，连接BD．（1）如图1，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接CE，求证：△ABD≌△CBE；
（2）如图2，延长AB至点F，连接FC，延长CA至点M，使DM＝DB，连接BM，若∠BDC＝2∠F，
CD＝5，BF＝4，求AB的长．（提示：过点D作DN⊥BC）
【答案】（1）证明见解答；
（2）AB的长为8．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°，
由旋转得BD＝BE，∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°﹣∠CBD，
在△ABD和△CBE中，
{
AB=CB
)
∠ABD=∠CBE ，
BD=BE
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）解：如图2，作DN⊥BC于点N，则∠BND＝∠CND＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝∠CBF＝180°﹣60°＝120°，
∵DM＝DB，∠BDC＝2∠F，
∴∠DBM＝∠M，
∴∠BDC＝∠DBM+∠M＝2∠M，
∴2∠M＝2∠F，
∴∠M＝∠F，
在△ABM和△BCF中，
{
∠M=∠F
)
∠BAM=∠CBF ，
AB=BC
∴△ABM≌△BCF（AAS），∴AM＝BF＝4，
∵CD＝5，
∴DB＝DM＝AM+（AC﹣CD）＝4+（AB﹣5）＝AB﹣1，
∵∠CND＝90°，∠DCN＝60°，
∴∠CDN＝90°﹣∠DCN＝30°，
1 5
∴CN= CD= ，
2 2
5 √ 5 5❑√3
∴BN＝BC﹣CN＝AB− ，DN=❑√CD2−CN2=❑52−( ) 2= ，
2 2 2
∵BN2+DN2＝DB2，
5 5❑√3
∴（AB− ）2+( ) 2=（AB﹣1）2，
2 2
解得AB＝8，
∴AB的长为8．
题型03 旋转对称图形
【典例1】如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（
）
A．36° B．45° C．60° D．72°
【答案】D
360°
【解答】解： = 72°，
5因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转72°能与自身重合．
故选：D．
【变式1】浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资
源——风能的利用，其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点，如图
是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n可以取（ ）
A．60 B．90 C．120 D．180
【答案】C
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴n＝120，
故选：C．
【典例2】如图是贵州苗族刺绣纹样，若将它绕其中心旋转一定角度后能够与自身重合，则至少应将它旋
转的度数是（ ）
A．45° B．90° C．120° D．180°
【答案】B
【解答】解：根据正方形是中心对称图形，
∴至少将正方形绕中心旋转360÷4＝90°，才能旋转后与自身重合．
故选：B．
题型04 中心对称
【典例1】如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结
论不一定正确的是（ ）A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF
【答案】A
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称，
∴AO＝DO，BO＝EO，△ABC与△DEF关于点O成中心对称．
故B，D选项正确，不符合题意；
∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（SAS），
∴∠BAO＝∠EDO，
∴AB∥DE，
故C选项正确，不符合题意；
根据已知条件不能得出AD⊥BE，
故A选项不正确，符合题意．
故选：A．
【变式1】如图，△A B C 与△ABC关于点O成中心对称，已知AA ＝8cm，BO＝6cm，A B ＝5cm，则
1 1 1 1 1 1
△OAB的周长为（ ）
A．12cm B．15cm C．16cm D．19cm
【答案】B
【解答】解：由条件可知AO＝4cm，AB＝A B ＝5cm，
1 1
∴△OAB的周长＝AO+AB+BO＝4+5+6＝15cm，
故选：B．
【变式2】某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如
图所示的结构，其中△ABC与△DEC关于点C成中心对称，点M、N分别是AC、BC的中点，横梁MN
用于支撑桥梁．通过测量得到MN的长度为40cm，DE是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型
中DE的长是（ ）cm．A．20 B．40 C．80 D．90
【答案】C
【解答】解：∵点M、N分别是AC、BC的中点，MN的长度为40cm，
∴MN是△ABC的中位线，
∴AB＝2MN＝80cm，
又∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴DE＝AB＝80cm，
故选：C．
【变式3】如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB=❑√5，AE＝3，∠D＝90°，AC＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB=❑√5，
∴DE=AB=❑√5，AC＝CD，
∵AE＝3，∠D＝90°，
根据勾股定理可得：AD=❑√AE2−DE2=2，
1
∴AC=CD= AD=1．
2
故选：A．
【变式4】如图，经过正方形ABCD对称中心O的直线分别交BA的延长线、AD、BC于点E、F、G．已
知DC＝4，DF＝3，则AE的长为（ ）
8
A．2 B． C．3 D．4
3
【答案】A
【解答】解：过点O作OH⊥AD于点H，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠EAF＝90°，AD＝CD＝4，
∵点O是正方形ABCD的中心，
1
∴AH＝DH= AD＝2，∠ODH＝45°，
2
∵∠OHD＝90°，
∴∠ODH＝∠HOD＝45°，
∴OH＝HD＝2，
∵DF＝3，
∴FH＝AF＝1，
∵∠EAF＝∠OHF＝90°，∠AFE＝∠OFH，
∴△EAF≌△OHF（ASA），
∴AE＝OH＝2，
故选：A．
【变式5】如图所示，直线a⊥b，垂足为O，曲线C，关于点O成中心对称，点A对称点是A′，AB⊥a于点
B，A′D⊥b于点D，若OB＝6，OD＝4，则阴影部分面积之和为 2 4 ．
【答案】24．
【解答】解：如图，
∵曲线C关于点O成中心对称，点A对称点是A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D，
若OB＝6，OD＝4，∴AB＝4，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝6×4＝24．
故答案为：24．
【变式6】在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线 l将该直角铁皮分
成面积相等的两部分，则符合条件的直线l有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
【答案】B
【解答】解：如图所示，
符合条件的之间l有3条．
故选：B．
【变式7】如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC
4 2 S 18
上的点，且EF= AB，GH= BC，若S ，S 分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则 1= ．
7 9 1 2 S 7
2
18
【答案】 ．
7
【解答】解：如图，连接AC，OB，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，1
∴点O是线段AC的中点，且S
△AOB
＝S
△BOC
=
4
S平行四边形ABCD ，
令S ＝S ＝S，
△AOB △BOC
4 2
∵EF= AB，GH= BC，
7 9
4 2
∴S = S，S = S，
△EOF 7 △GOH 9
4
S 7 18
∴ 1= = ．
S 2 7
2
9
18
故答案为： ．
7
题型05 中心对称图形
【典例1】下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、即是轴对称图形又是中心对称图形，所以A正确；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，所以B错误；
C、是轴对称图形但不是中心对称图形，所以C错误；
D、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，所以D错误；
故选：A．
【变式1】中国航天事业取得了举世瞩目的成就，2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成
功，在“东方红一号”发射55载之际开启第20次神州问天之旅．下列航天图标中，是中心对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解答】本题考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某点旋转180°后，能与原来的图形完全重合，
这个图形就是中心对称图形，解决本题的关键就是根据中心对称图形的定义进行判断．解：A选项：把
图形绕任何一点旋转180°都不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：把图形绕任何一点旋转180°都不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形，故B选项不符
合题意；
C选项：把图形绕任何一点旋转180°都不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形，故C选项不符
合题意；
D选项：如下图所示，把图形绕点O旋转180°能与原图形重合，∴该图形是中心对称图形，故D选项
符合题意．
故选：D．
【变式2】下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式3】窗，聪也；于内窥外，为聪明也．在窗棂的装饰中，图案大多是几何纹样，现从中选取以下四
种窗棂图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
题型06 关于原点对称的点的坐标
【典例1】点P（4，﹣3）关于原点的对称点是（ ）
A．（4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4）
【答案】C
【解答】解：点P（4，﹣3）关于原点的对称点是（﹣4，3），
故选：C．
【变式1】若点M（a﹣2，﹣3）与点N（3，1﹣b）关于原点成中心对称，则a+b的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．7
【答案】B
【解答】解：∵点M（a﹣2，﹣3）与点N（3，1﹣b）关于原点成中心对称，
∴a﹣2＝﹣3，1﹣b＝3，
解得a＝﹣1，b＝﹣2，
∴a+b＝﹣1﹣2＝﹣3，
故选：B．
【变式2】已知，❑√(a−2) 2+|b+1|=0，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）
【答案】C
【解答】解：∵❑√(a−2) 2+|b+1|=0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴点P（2，﹣1），
则点P（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，1）．
故选：C．
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：∵a2+1＞0，
∴点P（﹣2，a2+1）在第二象限，∴点P（﹣2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是第四象限．
故选：D．
【变式4】点P（2a+1，4）与P′（1，3b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
【答案】A
【解答】解：∵点P（2a+1，4）与P′（1，3b﹣1）关于原点对称，
∴2a+1＝﹣1，3b﹣1＝﹣4，
∴a＝﹣1，b＝﹣1，
∴2a+b＝2×（﹣1）+（﹣1）＝﹣3．
故选：A．
题型07 旋转中的坐标变换
【典例1】直角坐标平面内，若点M绕原点逆时针旋转90°到点P（x，y）．若点M绕原点顺时针旋转90°
到点Q，则点Q坐标为（ ）
A．（﹣y，﹣x） B．（﹣x，y） C．（﹣y，x） D．（﹣x，﹣y）
【答案】D
【解答】解：由点M绕原点逆时针旋转90°到点P（x，y）．点M绕原点顺时针旋转90°到点Q，
则点Q与点P（x，y）关于原点中心对称，
故点Q为（﹣x，﹣y），
故选：D．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A（3，0），C（0，2），将矩形
OABC绕点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，0） C．（0，3） D．（2，3）
【答案】A
【解答】解：如图，∵四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB，BC＝OA，
∵C（0，2），A（3，0），
∴AB＝OC＝2，OA＝BC＝3，
由旋转变换的性质可知B′（﹣2，3），
故选：A．
【变式2】如图，等边△ABC的顶点A在y轴正半轴上，边BC在x轴上，点B（﹣1，0），C（1，0），
将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，则点E的坐标是（ ）
A．（3，1） B．(❑√3，1) C．(❑√3+1，1) D．(❑√3−1，1)
【答案】C
【解答】解：过点E作EF⊥x轴于点F，
∴∠AOC＝∠CFE＝90°，
∴∠ECF+∠CEF＝90°．
由旋转得，CE＝AC，∠ACE＝90°，
∴∠ACO+∠ECF＝90°，
∴∠ACO＝∠CEF．
∴△CEF≌△ACO（AAS），
∴EF＝OC，CF＝OA．
∵△ABC为等边三角形，B（﹣1，0），C（1，0），
∴OC＝1，OA=❑√3OC=❑√3，
∴EF＝1，CF=❑√3，
∴OF＝OC+CF=❑√3+1，
∴点E的坐标为（❑√3+1，1）．
故选：C．【变式3】如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB=❑√3，AB＝1，将△ABO绕O点旋转90°后得到△A
1
B
1
O，则
点A 的坐标是（ ）
1
A．(−1，❑√3) B．(−1，❑√3)或(1，−❑√3)
C．(−1，−❑√3) D．(−1，❑√3)或(−1，−❑√3)
【答案】B
【解答】解：在△ABO中，AB⊥OB，OB=❑√3，AB＝1，
∴当△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到△A B O，如图，
1 1
∴OB =OB=❑√3，A B =AB=1，
1 1 1
∴A (1，−❑√3)；
1
当△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△A B O，
1 1
∴OB =OB=❑√3，A B =AB=1，
1 1 1
∴A (−1，❑√3)，
1
故选：B．
题型08 旋转作图变换
【典例1】按要求在如图所示的网格中完成作图（网格图中每个小正方形的边长均为1个单位长度）．（1）将△ABC绕点A顺时针旋转180°，得到△AB C ，作出△AB C ；
1 1 1 1
（2）将△ABC沿某直线翻折，点B的对应点是点B ，作出翻折后的△A B C ．
2 2 2 2
【答案】（1）如图1即为所求；
（2）如图2即为所求．
【解答】解：（1）将△ABC绕点A顺时针旋转180°，得到△AB C ，如图1即为所求；
1 1
（2）将△ABC沿某直线翻折后的△A B C ，如图2即为所求．
2 2 2
【变式1】如图，已知△ABC的顶点A，B，C在格点上，在网格中按下列要求作图：
（1）将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A B C ；
1 1 1
（2）作出与△ABC关于点O成中心对称的△A B C ；
2 2 2
（3）△ABC的面积为 2 ．【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）2．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求．
2 2 2
1 1 1 9 1
（3）△ABC的面积为 ×(1+2)×3− ×1×1− ×2×2= − −2=2．
2 2 2 2 2
故答案为：2．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，
2）．
（1）作出△ABC以点C为对称中心的图形△A B C ；
1 1 1
（2）平移△ABC，若点A对应点A 的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A B C ；
2 2 2 2
（3）若将△A B C 绕某一点旋转可以得到△A B C ，请直接写出旋转中心的坐标．
1 1 1 2 2 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示△A B C 即为所求；
1 1 1（2）如图所示，△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）如图所示，点P即为对称中心，
3+0 3 2−4
∵A （3，2），A （0，﹣4）， = ， =−1，
1 2 2 2 2
3
∴p的坐标为（( ，−1)，
2
3
故答案为：( ，−1)．
2
