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26.1 二次函数的概念
课标要点
1.理解二次函数定义：形如𝒚= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎, 𝑏, 𝑐是常数，𝑎≠0)的函数叫做二次函数，
其中x 是自变量；
2.分清各项名称：𝑎为二次项系数，𝑏为一次项系数，𝑐为常数项；重点牢记二次项系数𝑎≠
0, 𝑏, 𝑐可以为0；
3.会判断一个函数是否为二次函数：先化为整式一般形式，看最高次数为2，且二次项系数
不为0。
4.能根据实际问题列二次函数解析式，注意实际问题中自变量x 的取值范围。
学习重难点
重点：
1.牢记二次函数一般形式𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)，抓住核心条件𝑎≠0。
2.识别二次项、一次项、常数项，准确读出对应系数。
3.辨析二次函数，区分二次函数、一次函数、正比例函数。
难点：
1.忽略𝑎≠0这个前提，当题目含参数时，既要保证最高次数是2，同时二次项系数不能等
于0。
2.函数没有整理化简就直接判断是不是二次函数，要先化成整式一般形式再判断。
3.实际应用问题，容易漏掉自变量的实际取值范围。
第二十六章
二次函数
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知识点
二次函数的概念
1.二次函数定义
一般地，形如𝒚= 𝑎𝒙2 + 𝑏𝒙+ 𝑐(𝑎, 𝑏)(a、b、c 是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，x 是自变量。
2.各项名称
①a：二次项系数，a≠0 是二次函数必不可少的条件
②b：一次项系数
③c：常数项
注：b、c 可以等于0，只有a 绝对不能为0。
随学随练
1．（25-26 九年级下·四川绵阳·开学考试）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y 与变量x 之间是
二次函数关系的是（ ）
A．铅笔的单价不变，总价y 与支数x
B．路程一定，列车运行的平均速度y 与时间x
C．正方体的表面积y 与它的棱长x
D．速度一定，列车的行驶路程y 与行驶时间x
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【答案】C
【分析】根据各选项的实际数量关系列出y 与x 的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义
为形如𝑦= 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥+ 𝑐(a，b，c 为常数，且𝑎≠0)的函数是二次函数．
【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值𝑘(𝑘≠0)，可得𝑦= 𝑘𝑥，∴y 是x 的正比例函数(一次函数)，不
是二次函数，故A 不符合题意；
对选项B，∵设路程为定值𝑠(𝑠≠0)，可得𝑥𝑦= 𝑠，即𝑦=
𝑠
𝑥，∴y 是x 的反比例函数，不是二次函数，故B
不符合题意；
对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6 个大小相等的正方形面，每个面面积为𝑥2，∴𝑦= 6𝑥2，
符合二次函数定义，故C 符合题意；
对选项D，∵设速度为定值𝑣(𝑣≠0)，可得𝑦= 𝑣𝑥，∴y 是x 的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D
不符合题意．
2．（25-26 九年级上·安徽安庆·期末）若函数𝑦= (𝑎+ 2)𝑥𝑎2+3𝑎+2 −2是关于x 的二次函数，则a 的值为
_____．
【答案】0 或−3
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知
𝑎2 + 3𝑎+ 2 = 2且𝑎+ 2 ≠0，从而解得a 的值即可．
【详解】解：∵函数𝑦= (𝑎+ 2)𝑥𝑎2+3𝑎+2 −2是关于x 的二次函数，
∴𝑎2 + 3𝑎+ 2 = 2且𝑎+ 2 ≠0，
∴𝑎2 + 3𝑎= 0且𝑎≠−2，
即𝑎(𝑎+ 3) = 0且𝑎≠−2，
∴𝑎= 0或𝑎= −3．
故答案为：0 或−3．
3．（25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）某楼盘8 月份以每平方米20000 元的均价对外销售，受市场
经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10 月份楼盘出售均价y 元与平均
每月降价的百分率x 之间的函数关系式__________．
【答案】𝑦= 20000(1 −𝑥)2
【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9 月份的楼盘出售均价为
20000(1 −𝑥)元，则10 月份的楼盘出售均价为20000(1 −𝑥)2元，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，𝑦= 20000(1 −𝑥)2，
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故答案为：𝑦= 20000(1 −𝑥)2．
4．（25-26 九年级下·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为𝑥m，𝑦m．
(1)若绳长为10m，则𝑦与𝑥的关系式为，𝑦是𝑥的函数；
(2)若矩形的面积是10m2，则𝑦与𝑥的关系式为，𝑦是𝑥的函数；
(3)若矩形的周长为20m，矩形的面积为𝑆m2，则𝑆与𝑥的关系式为，𝑆是𝑥的函数．
【答案】(1)𝑦= −𝑥+ 5；一次
(2)𝑦=
10
𝑥；反比例
(3)𝑆= −𝑥2 + 10𝑥；二次
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可得2𝑥+ 2𝑦= 10，化简即可得出答案；
（2）根据题意可得𝑥𝑦= 10，化简即可得出答案；
（3）根据题意可得2𝑥+ 2𝑦= 20，𝑥𝑦= 𝑆，即可得出𝑦= 10 −𝑥，𝑆= −𝑥2 + 10𝑥，即可得出答案；
【详解】（1）解：∵绳长为10m，矩形相邻的两边长为𝑥m，𝑦m，
∴2𝑥+ 2𝑦= 10，
即𝑦= −𝑥+ 5，
∴𝑦是𝑥的一次函数，
故答案为：𝑦= −𝑥+ 5，一次．
（2）解：∵矩形的面积是10m2，矩形相邻的两边长为𝑥m，𝑦m，
∴𝑥𝑦= 10，
即𝑦=
10
𝑥，
∴𝑦是𝑥的反比例函数，
故答案为：𝑦=
10
𝑥，反比例．
（3）解：∵矩形的周长为20m，矩形的面积为𝑆m2，
∴2𝑥+ 2𝑦= 20，𝑥𝑦= 𝑆，
∴𝑦= 10 −𝑥，
∴𝑆= 𝑥(10 −𝑥) = −𝑥2 + 10𝑥，
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∴𝑆是𝑥的二次函数，
故答案为：𝑆= −𝑥2 + 10𝑥，二次．
拓展
根据几何变化写二次函数关系式（常考）
题型特征：几何图形边长增加/减少，求周长、面积关于变化量c 的函数，判断是一次还是二次函数。
1.写出新的边长
原边长±变化量，把新的长、宽用含x 代数式表示。
2.套用几何公式
·周长：𝐶= 2(长+ 宽)，周长展开后不会出现x²项，一般是一次函数。
·面积：S=长×宽，两个含x 式子相乘会出现x²,一般是二次函数。
3.整理化成标准形式
𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏：一次函数；𝑏= 0才是正比例函数；
𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)：二次函数。
活学活用
1．（25-26 九年级下·北京·阶段检测）如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为10 cm2，点𝐸在𝐴𝐵边上，点𝐹在𝐶𝐷边上，
四边形𝐴𝐸𝐹𝐷是正方形，记线段𝐴𝐷的长为𝑥 cm，𝐴𝐵的长为𝑦1 cm，正方形𝐴𝐸𝐹𝐷的面积为𝑦2 cm2．当𝑥在一定
范围内变化时，𝑦1，𝑦2随𝑥的变化而变化，则𝑦1，𝑦2与𝑥满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，一次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系
D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，分
别根据题意得𝑦1 =
10
𝑥、𝑦2 = 𝑥2，即可得𝑦
1、𝑦2与𝑥满足的函数关系．
【详解】解：∵矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为10cm2，线段𝐴𝐷的长为𝑥cm，𝐴𝐵的长为𝑦1cm，
∴𝑥· 𝑦1 = 10，
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∴𝑦1 =
10
𝑥，
∵正方形𝐴𝐸𝐹𝐷的面积为𝑦2cm2，
∴𝑦2 = 𝑥2，
∴𝑦1、𝑦2与𝑥满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系，
故选：D．
2．（25-26 九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为30𝑚,20𝑚,现将矩形绿地的长、
宽各增加𝑥𝑚.设新绿地的周长为𝑦𝑚,面积为𝑆𝑚2，当x 在一定范围内变化时，𝑦和𝑆都随𝑥的变化而变化，则𝑦与
𝑥,𝑆与𝑥满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系
D．正比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】从图形中提取边长信息，用含𝑥的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型．
【详解】解：由图可知：周长：𝑦= 2(30 + 𝑥+ 20 + 𝑥) = 4𝑥+ 100，符合一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的形
式，故𝑦与𝑥是一次函数关系；
大矩形的长为30 + 𝑥，宽为20 + 𝑥，因此面积：𝑆= (30 + 𝑥)(20 + 𝑥) = 𝑥2 + 50𝑥+ 600符合二次函数𝑆=
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的形式，故𝑆与𝑥是二次函数关系．
综上，𝑦与𝑥是一次函数关系，𝑆与𝑥是二次函数关系．
3．（25-26 九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点𝐴的坐标是(0,−1)，点𝑀是𝑥轴上
一动点，连接𝐴𝑀，作线段𝐴𝑀的垂直平分线𝑙1，过点𝑀作𝑥轴的垂线𝑙2，记𝑙1，𝑙2的交点为𝑃，改变点𝑀的位
置，可以得到相应的点𝑃，设点𝑃的坐标是(𝑥, 𝑦)，则𝑦关于𝑥的函数解析式为_______________．
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【答案】𝑦= −
1
2 𝑥2 −
1
2
【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接𝐴𝑃，过𝐴点作𝐴𝑁⊥𝑃𝑀交于点𝑁，
可知𝑃𝐴= 𝑃𝑀= −𝑦，𝑃𝑁= −1 −𝑦，𝐴𝑁= 𝑥，在Rt △𝐴𝑁𝑃中由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接𝐴𝑃，过𝐴点作𝐴𝑁⊥𝑃𝑀交于点𝑁，
∵线段𝐴𝑀的垂直平分线为𝑙1，
∴𝐴𝑃= 𝑃𝑀，
∵点𝑃的坐标是(𝑥, 𝑦)，
∴𝑃𝐴= 𝑃𝑀= −𝑦，𝑃𝑁= −1 −𝑦，𝐴𝑁= 𝑥，
在Rt △𝐴𝑃𝑁中，根据勾股定理得：𝐴𝑃2 = 𝐴𝑁2 + 𝑃𝑁2，
∴𝑦2 = 𝑥2 + (−1 −𝑦)2，
∴𝑦= −
1
2 𝑥2 −
1
2，
故答案为：𝑦= −
1
2 𝑥2 −
1
2．
题型一 二次函数的识别-关系式
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▌例1（25-26 九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．𝑦=
2
𝑥
B．𝑦= −𝑥+ 1
C．𝑦= 𝑥2 + 1
D．𝑦= 𝑥2 +
1
𝑥
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x 的整式，且自变量x 的最高次数为
2，二次项系数不为0．
【详解】解：∵二次函数的定义为：形如𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐为常数，且𝑎≠0）的函数，等式右边
是关于x 的整式，
A：𝑦=
2
𝑥是反比例函数，右边是分式，不符合定义，
B：𝑦= −𝑥+ 1是一次函数，x 最高次数为1，不符合定义，
C：𝑦= 𝑥2 + 1，符合二次函数形式，𝑎= 1 ≠0，右边是整式，x 最高次数为2，符合定义，
D：𝑦= 𝑥2 +
1
𝑥含分式项
1
𝑥，右边不是整式，不符合定义．
▌对点练1-1．（25-26 九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，𝑦一定是关于𝑥的二次函数的是（ ）
A．𝑦= 𝑎𝑥2 −1
B．𝑦= 2𝑥2 + 2
C．𝑦= √2𝑥
D．𝑦=
1
𝑥
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎, 𝑏, 𝑐为常数且𝑎≠0）
的函数，逐一分析各选项判断．
【详解】解：A．当𝑎= 0时，𝑦= −1，是常数函数，不是二次函数；
B．𝑦= 2𝑥2 + 2满足𝑎= 2 ≠0，符合二次函数的定义，是二次函数；
C．𝑦= √2𝑥中𝑥的次数为1，是一次函数，不是二次函数；
解题贴士
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
关键点：
①自变量最高次数是2 次；
②二次项系数𝑎≠0;
③等式右边是整式(分母、根号里面不能含有x);
④b、c 可以等于0。
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D．𝑦=
1
𝑥是反比例函数，不是二次函数；
故选：B．
▌对点练1-2．（25-26 九年级上·江苏盐城·期末）下列函数，一定属于二次函数的是（ ）
A．𝑦= (𝑥−1)2 + 2
B．𝑦= 𝑎𝑥2 + 2𝑥+ 3
C．𝑦= 2𝑥+ 3
D．𝑦= 𝑥2 +
1
𝑥
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎、𝑏、𝑐为常数，𝑎≠0）的整式函数为
二次函数是解题的关键．
根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．将𝑦= (𝑥−1)2 + 2展开得𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 3，符合二次函数定义，是二次函数；
B．当𝑎= 0时，𝑦= 2𝑥+ 3是一次函数，故该函数不一定是二次函数；
C．𝑦= 2𝑥+ 3是一次函数，不符合二次函数定义
D．𝑦= 𝑥2 +
1
𝑥中含有分式
1
𝑥，不是整式函数，不符合二次函数定义．
故选A．
题型二 二次函数的识别-文字叙述
▌例2（25-26 九年级下·甘肃兰州·开学考试）下面问题中，y 与𝑥满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为10cm2的矩形中，矩形的长𝑦(cm)与宽𝑥(cm)的关系；
②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积𝑦(cm2)与圆柱的高𝑥(cm)的关系；
③某商品每件进价为80 元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(200 −𝑥)件．利润y（元）与每件售价𝑥
（元）的关系．
A．①
B．②
C．③
D．①③
【答案】C
【分析】根据各问题中的数量关系列出y 与x 的函数解析式，再判断函数类型即可．
【详解】解：①由矩形面积公式可得𝑥𝑦= 10，即𝑦=
10
𝑥，y 是x 的反比例函数，不符合二次函数定义，故此
选项不符合题意；
②由圆柱侧面积公式可得𝑦= 2𝜋× 5 ⋅𝑥= 10𝜋𝑥，y 是x 的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不
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符合题意；
③∵利润=（售价−进价）×销售量，
∴𝑦= (𝑥−80)(200 −𝑥) = −𝑥2 + 280𝑥−16000，
符合二次函数定义，y 是x 的二次函数，故此选项符合题意；
综上，y 与𝑥满足的函数关系是二次函数的是③．
▌对点练2-1．（25-26 九年级下·四川绵阳·开学考试）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y 与变
量x 之间是二次函数关系的是（ ）
A．铅笔的单价不变，总价y 与支数x
B．路程一定，列车运行的平均速度y 与时间x
C．正方体的表面积y 与它的棱长x
D．速度一定，列车的行驶路程y 与行驶时间x
【答案】C
【分析】根据各选项的实际数量关系列出y 与x 的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义
为形如𝑦= 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥+ 𝑐(a，b，c 为常数，且𝑎≠0)的函数是二次函数．
【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值𝑘(𝑘≠0)，可得𝑦= 𝑘𝑥，∴y 是x 的正比例函数(一次函数)，不
是二次函数，故A 不符合题意；
对选项B，∵设路程为定值𝑠(𝑠≠0)，可得𝑥𝑦= 𝑠，即𝑦=
𝑠
𝑥，∴y 是x 的反比例函数，不是二次函数，故B
不符合题意；
对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6 个大小相等的正方形面，每个面面积为𝑥2，∴𝑦= 6𝑥2，
符合二次函数定义，故C 符合题意；
对选项D，∵设速度为定值𝑣(𝑣≠0)，可得𝑦= 𝑣𝑥，∴y 是x 的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D
不符合题意．
▌对点练2-2．（25-26 九年级上·浙江·单元复习）下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系
C．等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系
D．圆的面积S 与半径R 之间的关系
【答案】D
【分析】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据二次函数的定义，
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分别列出关系式，进行选择即可．
【详解】解：A．关系式为：𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，故A 错误；
B．关系式为：𝑡=
𝑠
𝑣，故B 错误；
C．关系式为：𝐶= 3𝑎，故C 错误；
D．关系式为：𝑆= 𝜋𝑅2，故D 正确．
故选：D．
题型三 根据二次函数的定义求参数的值
▌例3（25-26 八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数𝑦= (𝑘−3)𝑥𝑘2−7 + 4𝑥+ 1是关于x 的二次函数，则
𝑘=_______．
【答案】−3
【详解】解：由题意，可得{𝑘2 −7 = 2
𝑘−3 ≠0 ，
解方程𝑘2 −7 = 2，得𝑘2 = 9，
解得𝑘= 3或𝑘= −3；
由𝑘−3 ≠0，得𝑘≠3，
故𝑘= −3.
▌对点练3-1．（25-26 九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数𝑦= (𝑚+ 2)𝑥2 + 3𝑥+ 𝑚2 −4的常数项为
零，则𝑚的值为_____．
【答案】2
解题贴士
标准解题思路(固定两步法)
步骤1：根据“最高次数=2”列方程，解出参数所有候选解
看x 右上角的指数，令指数=2，解方程，得到参数的可能取值。
步骤2：根据“二次项系数≠0”进行取舍
把上面算出来的每一个解，代入二次项系数；
如果代入后系数等于0，这个解要舍去；系数不等于0 才保留。
口诀：先定次数，再卡系数；算完一定要检验系数!
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【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式．
根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解．
【详解】解：∵二次函数𝑦= (𝑚+ 2)𝑥2 + 3𝑥+ 𝑚2 −4的常数项为零，
∴𝑚2 −4 = 0，即(𝑚−2)(𝑚+ 2) = 0，
∴𝑚= 2或𝑚= −2．
又∵函数为二次函数，
∴二次项系数𝑚+ 2 ≠0，
∴𝑚≠−2，
∴𝑚= 2．
故答案为：2．
▌对点练3-2．
（25-26 九年级上·福建龙岩·期末）若𝑦= (𝑎+ 2)𝑥|𝑎| + 3𝑥−1是二次函数，则𝑎的值为______．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据二次函数的定义，最高次项的次数为2 且系数不为0，即可解答．
【详解】解：由题意，函数是二次函数，则
𝑥的最高次项𝑥|𝑎|的次数为2，即|𝑎| = 2，
解得𝑎= 2或𝑎= −2．
又因为二次项系数𝑎+ 2 ≠0，即𝑎≠−2，
∴𝑎= 2．
故答案为：2．
题型四 列二次函数解析式-销售利润问题
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▌例4 （25-26 九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21 元的价格购进一批商品，该商品
在不超过进价20%的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x 元，可卖出(350 −10𝑥)件商品，则商店所
得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x 的取值范围为______．
【答案】𝑦= −10𝑥2 + 560𝑥−735021 ≤𝑥≤25.2
【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的
关键．由题意分析出每件商品的盈利为：(𝑥−21)元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，
再化简，进一步求解𝑥的范围即可．
解题贴士
第1 步：设未知数
两种常见设元方式：
方式①：设每件涨价(或降价)x 元(中考最常用)
方式②：设每件售价为x 元
优先选①：涨价/降价为x,列式简单，不容易出错。
第2 步：翻译题目，写出两个代数式
①单件利润：原来每件利润±变化的钱
涨价x 元：单件利润=原单件利润+x
降价x 元：单件利润=原单件利润—x
②销售量：涨价卖得少，降价卖得多
涨价x 元，每涨1 元，少卖多少件：销售量=原销售量一每涨1 元减少销量·x
降价x 元，每降1 元，多卖多少件：销售量=原销售量+每降1 元增加销量·x
关键点：涨价→销量减；降价→销量加。不要搞反加减!
第3 步：总利润=单件利润×销售量，列出关系式
W=(单件利润)(销售量)
展开、合并同类项，得到W=ax²+bx+c,就是二次函数解析式。
第4 步：写出自变量x 实际取值范围(大题必写)
要满足现实：
1.单件利润不能是负数；
2.销售量不能是负数；解不等式，得到x 的取值。
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【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：(𝑥−21)元，
所以：𝑦= (𝑥−21)(350 −10𝑥)
= −10𝑥2 + 210𝑥+ 350𝑥−7350
= −10𝑥2 + 560𝑥−7350，
∵𝑥≤21 × (1 + 20%) = 25.2且𝑥≥21，
∴21 ≤𝑥≤25.2．
故答案为：𝑦= −10𝑥2 + 560𝑥−7350，21 ≤𝑥≤25.2
▌对点练4-1．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2 元，据市场调查，销售单价是
13 元时，平均每天的销售量是50 件，而销售单价每降低1 元，平均每天就可以多售出10 件．若设降价后
售价为𝑥元，每天利润为𝑦元，则𝑦与𝑥之间的函数关系为________．
【答案】𝑦= −10𝑥2 + 200𝑥−360
【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为(𝑥−2)元，销售量为
[50 + 10(13 −𝑥)]件，据此列出对应的函数关系式即可．
【详解】解：由题意得，𝑦= (𝑥−2)[50 + 10(13 −𝑥)]
= (𝑥−2)(180 −10𝑥)
= −10𝑥2 + 200𝑥−360，
故答案为：𝑦= −10𝑥2 + 200𝑥−360．
▌对点练4-2．（25-26 九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，
据市场分析，若每千克按50 元销售，一个月能售出500 千克，如果销售单价每千克涨1 元，则月销售量就
减少10 千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55 元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元．
(2)设销售单价为每千克𝑥元(𝑥> 50)，月销售利润为𝑦元，用含𝑥的式子表示𝑦．
(3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000 元，销售单价应为多少元？
【答案】(1)450；6750
(2)𝑦= −10𝑥2 + 1400𝑥−40000(𝑥> 50)
(3)销售单价应为60元
【分析】（1）根据题意进行计算即可；
（2）根据题意列出关系式即可；
（3）将𝑦= 8000代入（2）中的关系式，解方程求出𝑥的值，并根据题意进行取舍．
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【详解】（1）解：根据题意，当销售单价定为每千克55 元，月销售量为500 −10 × (55 −50) = 450（千
克），
月利润为(55 −40) × 450 = 6750（元）；
（2）解：根据题意可得，𝑦= (𝑥−40)[500 −10(𝑥−50)] = −10𝑥2 + 1400𝑥−40000(𝑥> 50)；
（3）解：将𝑦= 8000代入𝑦= −10𝑥2 + 1400𝑥−40000，得，
−10𝑥2 + 1400𝑥−40000 = 8000，
整理，得𝑥2 −140𝑥+ 4800 = 0，
解得𝑥1 = 60，𝑥2 = 80，
当𝑥= 60时，月销售量为500 −10 × (60 −50) = 400（千克）；
当𝑥= 80时，月销售量为500 −10 × (80 −50) = 200（千克）；
∵400 > 200，
又∵需要尽快减少库存，
∴𝑥= 60．
答：销售单价应为60元．
题型五 列二次函数解析式-增长率问题
解题贴士
①连续两次增长
设初始基数为𝑎,平均增长率为𝑥,两次之后的总量为𝑦。
第一次增长后：𝑎(1 + 𝑥)
连续增长两次后：𝑦= 𝑎(1 + 𝑥)2
展开整理：𝑦= 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥+ 𝑎，属于二次函数。
②连续两次下降
基数为𝑎,平均下降率为𝑥,两次之后总量为𝑦。
𝑦= 𝑎(1 −𝑥)2
展开整理：𝑦= 𝑎𝑥2 −2𝑎𝑥+ 𝑎∘
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▌例5（25-26 九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规
定．经销商统计某品牌头盔，7 月份售出1500 个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率𝑥，请问9
月份的销售量𝑦关于每月增加的百分率𝑥的函数解析式是（ ）
A．𝑦= 1500(1 + 𝑥)2
B．𝑦= 1500 + (1 −𝑥)2
C．𝑦= (1 + 𝑥)2 + 1500
D．𝑦= 𝑥2 + 1500
【答案】A
【分析】本题考查根据题意列函数关系式．
根据每月的增长百分率，依次推导8 月、9 月的销售量，从而得到9 月销售量𝑦关于x 的函数解析式．
【详解】解：∵7 月份销售量为1500 个，每月销售量的增长百分率为x，
∴8 月份的销售量为1500(1 + 𝑥)个，
∴9 月份的销售量𝑦= 1500(1 + 𝑥) × (1 + 𝑥) = 1500(1 + 𝑥)2．
故选：A．
▌对点练5-1．（25-26 九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）一部售价为5000 元的手机，一年内连续两次
降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x 之间的函数关系
式是______．
【答案】𝑦= 5000(1 −𝑥)2
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(1 −每次降价的百分
率)
2，列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x 之间的函数
关系式是𝑦= 5000(1 −𝑥)2．
故答案为：𝑦= 5000(1 −𝑥)2．
▌对点练5-2．（2025 九年级·全国·专题练习）报告显示，2023 年全球金属增材制造市场的总收入达到
28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________．
【答案】𝑦= 28.5(1 + 𝑥)2
【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数的关系式，掌握年均增长率下的增长公式，通过逐年推
导得出函数关系式是解题的关键．
根据增长率模型，从初始值经过两年增长，利用年均增长率公式求解．
【详解】解：2023年收入为28.5亿美元，年均增长率为𝑥，
2024年收入为28.5 × (1 + 𝑥)亿美元，
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2025年收入为28.5 × (1 + 𝑥) × (1 + 𝑥) = 28.5(1 + 𝑥)2亿美元，
因此𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦= 28.5(1 + 𝑥)2．
故答案为：𝑦= 28.5(1 + 𝑥)2．
题型六 列二次函数解析式-几何问题
▌例6（25-26 九年级上·安徽淮南·期末）长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上分别剪去边长为𝑥cm的
小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为𝑦cm2的无盖的长方体盒子，则𝑦与𝑥之间的函数关系式为（）
A．𝑦= (10 −𝑥)(20 −𝑥)(0 < 𝑥< 5)
B．𝑦= 200 −4𝑥2(0 < 𝑥< 5)
C．𝑦= (10 −2𝑥)(20 −2𝑥)(0 < 𝑥< 5)
D．𝑦= 200 + 4𝑥2(0 < 𝑥< 5)
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面
长和宽各减少2𝑥cm，因此底面积𝑦等于减少后的长与宽的乘积，再结合𝑥的取值范围即可确定函数关系式，
理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵矩形原长20cm，宽10cm，四个角剪去边长为𝑥cm的小正方形，
∴折起后，长方体底面的长为(20 −2𝑥)cm，宽为(10 −2𝑥)cm，
∴𝑦= (10 −2𝑥)(20 −2𝑥)，
又∵𝑥> 0，且20 −2𝑥> 0，10 −2𝑥> 0，
∴0 < 𝑥< 5，
∴函数关系式为𝑦= (10 −2𝑥)(20 −2𝑥)(0 < 𝑥< 5)，
故选：C．
▌对点练6-1．（25-26 九年级上·河北沧州·期中）用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设𝐴𝐵为
𝑥（单位：米），则窗框的透光面积𝑦（单位：m2），关于𝑥（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽
略不计）（ ）
A．𝑦= −𝑥2 + 4𝑥
B．𝑦= −3𝑥2 + 8𝑥
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C．𝑦= −
3
2 𝑥2 + 4𝑥
D．𝑦= −𝑥2 +
8
3 𝑥
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得𝐴𝐷= 𝐵𝐶=
8−3𝑥
2 米，进而根据矩形的面积公式解答即可求
解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由题意得，𝐴𝐷= 𝐵𝐶=
8−3𝑥
2 米，
∴𝑦= 𝐴𝐵· 𝐴𝐷= 𝑥·
8−3𝑥
2
= −
3
2 𝑥2 + 4𝑥，
故选：C．
▌对点练6-2．（25-26 九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81 米长的铁栅栏围成三
个相连的长方形仓库，仓库总面积为𝑦平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1 米宽的缺口作通道，
在平行于墙的一边留下一个1 米宽的缺口作为小门，若设𝐴𝐵= 𝑥米，则𝑦关于𝑥的函数关系式为
________________________．
【答案】𝑦= 𝑥(84 −4𝑥)
【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为(84 −4𝑥)米，再根据长方形
面积计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为(84 −4𝑥)米，
∴𝑦= 𝑥(84 −4𝑥)，
故答案为：𝑦= 𝑥(84 −4𝑥)．
▌对点练6-3．（2025 九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形𝐴𝐵𝐶的边长为1，𝐷是𝐴𝐶边上的一
点，过𝐷作𝐵𝐶边的垂线，交𝐵𝐶于𝐺，用𝑥表示线段𝐵𝐺的长度，显然线段Rt △𝐶𝐺𝐷的面积𝑦是线段长度𝑥的函
数，这个函数的表达式是________．
【答案】𝑦= √3
2 (1 −𝑥)2
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【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性
质，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出∠𝐶𝐷𝐺= 30°，
根据直角三角形的性质得𝐷𝐶= 2𝐺𝐶，再由勾股定理可得𝐷𝐺= √3𝐺𝐶，然后等边△𝐴𝐵𝐶的边长为1，𝐵𝐺= 𝑥
得𝐺𝐶= 1 −𝑥，𝐷𝐺= √3(1 −𝑥)，据此可得出函数的表达式．
【详解】解：如图，连接𝐵𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴∠𝐶= 60°，
∵𝐷𝐺⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐷𝐺= 30°，
在Rt △𝐷𝐶𝐺中，∠𝐶𝐷𝐺= 30°，
∴𝐷𝐶= 2𝐺𝐶，
由勾股定理得：𝐷𝐺= √𝐷𝐶2 −𝐺𝐶2 = √3𝐺𝐶，
∵等边△𝐴𝐵𝐶的边长为1，𝐵𝐺= 𝑥，
∴𝐺𝐶= 𝐵𝐶−𝐵𝐺= 1 −𝑥，
∴𝐷𝐺= √3(1 −𝑥)，
∴𝑦=
1
2 𝐶𝐺⋅𝐷𝐺=
1
2 × √3(1 −𝑥)2 = √3
2 (1 −𝑥)2，
故答案为：𝑦= √3
2 (1 −𝑥)2．
题型七二次函数的识别解答题综合
▌例7（2026·河南周口·二模）某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨2000元，物价部门规定销售单价
不低于进价，且不高于每吨2800元．经市场调研：当售价定为每吨2400元时，每日可售出40吨；售价每提
高100元，每日销量减少5吨．设每吨售价提高100𝑥元．
(1)写出每日销售量𝑦与𝑥之间的函数关系式，并写出𝑥的取值范围；
(2)当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大?最大利润是多少?
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【答案】(1)𝑦= 40 −5𝑥（0 ≤𝑥≤4且𝑥为整数）
(2)当每吨售价定为2600元时，每日销售利润最大，最大利润是18000元
【分析】（1）先根据“每提高100元，销量减少5吨”，写出销量𝑦关于𝑥的表达式为𝑦= 40 −5𝑥；再根据
“售价不低于进价不高于2800元”结合“𝑥表示售价提高的次数”确定𝑥的取值范围即可；
（2）设每日销售利润为𝑊元，根据“总利润=单吨利润×销量”得到利润的二次函数表达式；再利用二次
函数的对称轴公式找到顶点横坐标𝑥= 2，验证其在𝑥的取值范围内后，代入求得最大利润和对应售价即可．
【详解】（1）解：∵当每吨售价提高100𝑥元时，每日销量减少5𝑥吨，原销量为40吨，
∴每日销售量𝑦与𝑥之间的函数关系式为：𝑦= 40 −5𝑥；
∵物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨2800元，
∴2000 ≤2400 + 100𝑥≤2800，解得−4 ≤𝑥≤4，
∵𝑥表示售价提高的次数，
∴𝑥≥0且𝑥为整数，
∴𝑥的取值范围为：0 ≤𝑥≤4且𝑥为整数；
综上，函数关系式为：𝑦= 40 −5𝑥（0 ≤𝑥≤4且𝑥为整数）；
（2）解：设每日销售利润为𝑊元，
𝑊= (2400 + 100𝑥−2000)(40 −5𝑥) = −500𝑥2 + 2000𝑥+ 16000，
∵−500 < 0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∵对称轴为𝑥= −
2000
2×(−500) = 2，满足0 ≤𝑥≤4且𝑥为整数，
∴当𝑥= 2时，𝑊最大= −500 × 22 + 2000 × 2 + 16000 = 18000，
2400 + 100 × 2 = 2600元．
答：当每吨售价定为2600元时，每日销售利润最大，最大利润是18000元．
▌对点练7-1．（25-26 九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进
价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克
时，平均每天能多售出10千克．设降价𝑥元．
(1)设销售利润为𝑦元，请写出𝑦关于𝑥的函数关系式；
(2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到480元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？
【答案】(1)𝑦= −10𝑥2 + 60𝑥+ 400
(2)应将价格定为24元/千克
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【分析】（1）利用利润＝（售价-成本）×销售量可得出𝑦关于𝑥的函数关系式；
（2）令𝑦= 480，求出𝑥的值，再根据题意对𝑥的值进行取舍即可．
【详解】（1）解：根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝(40 + 10𝑥)千克，
∴𝑦= (40 + 10𝑥)(28 −18 −𝑥)，
整理得𝑦= −10𝑥2 + 60𝑥+ 400；
（2）解：令𝑦= 480，代入函数表达式得：−10𝑥2 + 60𝑥+ 400 = 480，
解得：𝑥1 = 4，𝑥2 = 2，
∵要让顾客得到实惠，售价应尽可能低，
∴𝑥= 4，
∴此时荔枝定价为28 −4 = 24（元/千克）．
答：应将价格定为24元/千克．
▌对点练7-2．（25-26 九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空
地上修建一个矩形绿化带𝐴𝐵𝐶𝐷，绿化带一边𝐴𝐷靠墙（𝐴𝐷的长不超过墙长），另三边用总长为40m的栅栏
围住，设𝐵𝐶边长为𝑥 m，绿化带的面积为𝑦 m2．如图，若墙长为20m．
(1)求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；
(2)当绿化带的面积为192m2时，求x 的值；
(3)求绿化带的面积最大时𝐵𝐶边长．
【答案】(1)𝑦= 𝑥⋅
40−𝑥
2
= −
1
2 𝑥2 + 20𝑥(0 < 𝑥≤20)
(2)𝑥= 16
(3)绿化带的面积最大时，𝐵𝐶边长为20m
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，掌握根据题意列出函数解析式是解题的关键．
（1）根据意义可知𝐵𝐶= 𝑥，𝐴𝐵=
40−𝑥
2 ，根据矩形面积公式，即可列出函数解析式，根据𝐴𝐷的长不超过墙
长，即可得到自变量x 的取值范围；
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22/
（2）将𝑦= 192代入（1）中的解析式，解方程，即可求解；
（3）把（1）中的函数解析式用配方法化简，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：根据意义可知𝐵𝐶= 𝑥，𝐴𝐵=
40−𝑥
2 ，
则𝑦= 𝑥⋅
40−𝑥
2
= −
1
2 𝑥2 + 20𝑥(0 < 𝑥≤20)．
（2）解：令𝑦= 192，得−
1
2 𝑥2 + 20𝑥= 192，
化简得𝑥2 −40𝑥+ 384 = 0，
解得𝑥1 = 16，𝑥2 = 24（不合题意舍去），
∴当绿化带的面积为192m2时，𝐵𝐶边长为16m．
（3）解：𝑦= −
1
2 𝑥2 + 20𝑥= −
1
2 (𝑥−20)2 + 200，
∵−
1
2 < 0，
∴函数开口向下，
又∵0 < 𝑥≤20，
∴当𝑥= 20时，面积y 有最大值．
答：绿化带的面积最大时，𝐵𝐶边长为20m．
基础通关
1．（26-27 九年级上·全国·单元复习）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．𝑦= −6𝑥+ 1
B．𝑦= 2𝑥2 −
1
𝑥
C．𝑦= −𝑥(2 −𝑥)
D．𝑦= 22 −2𝑥
【答案】C
【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件．
【详解】解：A、𝑦= −6𝑥+ 1，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意；
B、𝑦= 2𝑥2 −
1
𝑥含分式，不是二次函数，不符合题意；
C、𝑦= −𝑥(2 −𝑥) = 𝑥2 −2𝑥，是二次函数，符合题意；
D、𝑦= 22 −2𝑥= 4 −2𝑥，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意．
2．（26-27 九年级上·全国·课后作业）已知二次函数𝑦= 2 −3𝑥+ 𝑥2，则其二次项系数a、一次项系数b、
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常数项c 分别为（ ）
A．𝑎= 2，𝑏= −3，𝑐= 1
B．𝑎= 2，𝑏= 3，𝑐= 1
C．𝑎= 1，𝑏= 3，𝑐= 2
D．𝑎= 1，𝑏= −3，𝑐= 2
【答案】D
【详解】将二次函数𝑦= 2 −3𝑥+ 𝑥2按𝑥的降幂排列，得𝑦= 𝑥2 −3𝑥+ 2，
∴二次项系数𝑎= 1，一次项系数𝑏= −3，常数项𝑐= 2．
3．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数𝑦= 𝑘𝑥2 −2𝑥−1的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）
A．𝑘> −1
B．𝑘< 1
C．𝑘≥−1且𝑘≠0
D．𝑘≤1且𝑘≠0
【答案】C
【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x 轴有交点时对应一元二次方程的判别式𝛥≥
0，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次函数𝑦= 𝑘𝑥2 −2𝑥−1，
∴二次项系数𝑘≠0，
又∵该函数图象和𝑥轴有交点，即方程𝑘𝑥2 −2𝑥−1 = 0有实根，
∴𝛥= 𝑏2 −4𝑎𝑐= (−2)2 −4 ⋅𝑘⋅(−1) ≥0，
化简得4 + 4𝑘≥0，解得𝑘≥−1，
综上𝑘的取值范围是𝑘≥−1且𝑘≠0．
4．（25-26 九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程𝑠（米）与所经过的时间𝑡（秒）
之间的关系为𝑠= 𝑎𝑡2．则表格中𝑚的值为（ ）
𝑡（秒）
0
1
2
3
4
…
𝑠（米）
0
20
𝑚
…
A．40
B．50
C．80
D．160
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
根据给定关系式𝑠= 𝑎𝑡2，利用表中𝑡= 2时𝑠= 20的条件求出常数𝑎，再代入𝑡= 4计算𝑠的值．
【详解】∵𝑠= 𝑎𝑡2，且当𝑡= 2时，𝑠= 20，
∴20 = 𝑎× 22 = 4𝑎，
∴𝑎= 20 ÷ 4 = 5，
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∴𝑠= 5𝑡2，
当𝑡= 4时，𝑠= 5 × 42 = 5 × 16 = 80，
∴𝑚= 80．
故选：C．
5．（25-26 九年级上·甘肃临夏·期中）物理学中对一定值电阻R 通电后，在限定时间t 内产生的热量计算
公式为𝑄= 𝐼2𝑅𝑡，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q 与I 的函数图象大致
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】题目主要考查二次函数的应用，根据题意得出R 和t 为常数，且均大于0，即可求解．
【详解】解：∵定值电阻R，限定时间t，
∴R 和t 为常数，且均大于0，
∴𝑄= 𝐼2𝑅𝑡为二次函数，开口向上，𝐼≥0，
故选：B．
6．（25-26 九年级上·陕西榆林·期末）若函数𝑦= (𝑚+ 2)𝑥𝑚2+𝑚−4 + 𝑚𝑥−3是关于x 的二次函数，则m
的值为_______．
【答案】−3或2
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（其中a、b、c 都是常数，且𝑎≠0）
的函数叫做二次函数，据此可得{
𝑚+ 2 ≠0
𝑚2 + 𝑚−4 = 2，解之即可得到答案．
【详解】解：∵函数𝑦= (𝑚+ 2)𝑥𝑚2+𝑚−4 + 𝑚𝑥−3是关于x 的二次函数，
∴{
𝑚+ 2 ≠0
𝑚2 + 𝑚−4 = 2，
解得𝑚= −3或𝑚= 2，
故答案为：−3或2．
7．（25-26 九年级上·陕西榆林·阶段检测）一个边长为2cm的正方形，若边长增加𝑥cm，面积增加𝑦cm2，
则𝑦与𝑥之间的函数关系式为______．
【答案】𝑦= 𝑥2 + 4𝑥
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【分析】本题考查二次函数，正方形的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据面积增加的定义，𝑦等于新正方形面积减去原正方形面积
【详解】解：原正方形边长为2cm，面积为22 = 4cm2．
边长增加𝑥cm后，新边长为(2 + 𝑥)cm，新面积为(2 + 𝑥)2cm2．
因此，面积增加𝑦= (2 + 𝑥)2 −4，即𝑦= 𝑥2 + 4𝑥．
∴𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦= 𝑥2 + 4𝑥．
故答案为：𝑦= 𝑥2 + 4𝑥．
8．（25-26 九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1 人会传染x 个人，若
最初1 个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y 人感染，则y 与x 的函数关系式为______．
【答案】𝑦= (𝑥+ 1)2
【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x 人，最初1 人感染，
经过两轮传染，总感染人数y 等于(𝑥+ 1)2.
【详解】解：最初有1 人感染，第一轮传染中，1 人传染x 人，新感染人数为𝑥人，
第一轮后总感染人数为(1 + 𝑥)人，
第二轮传染开始有(1 + 𝑥)人感染，每人传染x 人，新感染人数为𝑥(1 + 𝑥)人，
第二轮后总感染人数为(1 + 𝑥) + (1 + 𝑥)𝑥= (1 + 𝑥)(1 + 𝑥) = (1 + 𝑥)2（人），
故y 与x 的函数关系式为𝑦= (1 + 𝑥)2.
故答案为：𝑦= (1 + 𝑥)2
9．（25-26 八年级下·江苏苏州·开学考试）若𝑦= 𝑦1 + 𝑦2，且𝑦1与𝑥+ 1成正比例，𝑦2与𝑥2成正比例，当
𝑥= 1时，𝑦= 0；当𝑥= 2时，𝑦= 5；
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)𝑥= −2时，函数的值为多少？
【答案】(1)𝑦= 2𝑥2 −𝑥−1
(2)9
【分析】（1）根据正比例的定义设𝑦1 = 𝑘1(𝑥+ 1)(𝑘1 ≠0)，𝑦2 = 𝑘2𝑥2(𝑘2 ≠0)，得到𝑦关于𝑥的含参数的解
析式，再利用已知的两组𝑥,𝑦的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式；
（2）代入𝑥= −2计算得到对应的函数值．
【详解】（1）解：∵𝑦1与𝑥+ 1成正比例，𝑦2与𝑥2成正比例，
∴设𝑦1 = 𝑘1(𝑥+ 1)(𝑘1 ≠0)，𝑦2 = 𝑘2𝑥2(𝑘2 ≠0)，
∵𝑦= 𝑦1 + 𝑦2，
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∴𝑦= 𝑘1(𝑥+ 1) + 𝑘2𝑥2，
将𝑥= 1, 𝑦= 0和𝑥= 2, 𝑦= 5分别代入上式，
得{ 2𝑘1 + 𝑘2 = 0
3𝑘1 + 4𝑘2 = 5
，
解得{𝑘1 = −1
𝑘2 = 2
，
∴𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦= 2𝑥2 −𝑥−1；
（2）将𝑥= −2代入𝑦= 2𝑥2 −𝑥−1，得𝑦= 2 × (−2)2 −(−2) −1 = 9．
10．（2026·辽宁沈阳·三模）某商场销售一种进价为每件15 元的商品，售价为每件25 元时，每天可售
出50 件；售价每上涨1 元，每天的销售量就减少2 件.设每件商品的售价为𝑥元（𝑥≥25且𝑥为整数），每天
的销售量为𝑦件.
(1)求𝑦与𝑥的函数关系式；
(2)设每天的销售利润为𝑤元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)𝑦= −2𝑥+ 100（25 ≤𝑥≤50且𝑥为整数）
(2)当每件商品的售价定为32 元或33 元时，每天的销售利润最大，最大利润是612 元
【分析】（1）根据“现有销售量=原销售量−涨价减少的销售量”列出𝑦与𝑥的函数关系式，并结合实际意
义确定自变量𝑥的取值范围；
（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”得到𝑤关于𝑥的二次函数,再利用二次函数的性质结合𝑥为整
数的条件,求出最大利润和对应售价．
【详解】（1）解：𝑦= 50 −(𝑥−25) × 2 = −2𝑥+ 100（25 ≤𝑥≤50且𝑥为整数）；
（2）解：𝑤= (𝑥−15)[50 −(𝑥−25) × 2] = −2𝑥2 + 130𝑥−1500，
对称轴为直线𝑥= −
130
2×(−2) = 32.5，
因为x 为整数，且32.5两侧的整数为32 和33，−2 < 0，
∴当𝑥= 32时，
𝑤= −2 × 322 + 130 × 32 −1500 = 612（元）．
当𝑥= 33时：
𝑤= −2 × 332 + 130 × 33 −1500 = 612（元）．
答：当售价定为32 元或33 元时，每天利润最大，最大利润为612 元．
11．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，一块直角三角形铁皮𝐴𝐵𝐶，∠𝐶= 90°, ∠𝐴= 30°, 𝐵𝐶= 4,
现要从这块铁皮上剪出一个矩形𝐶𝐷𝐸𝐹，且满足点D，E，F 分别在𝐵𝐶, 𝐴𝐵, 𝐴𝐶上．
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(1)设𝐸𝐹= 𝑥，请用含x 的代数式表示矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积S．
(2)当剪出的矩形𝐶𝐷𝐸𝐹面积最大时，求𝐸𝐹的长以及矩形面积．
【答案】(1)−√3𝑥2 + 4√3𝑥；
(2)当𝐸𝐹= 2，矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积最大，矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的最大面积是4√3．
【分析】熟练掌握二次函数的最值，勾股定理，含30 度直角三角形的性质，以及矩形的性质是解题的关键．
（1）根据矩形性质，直角三角形性质，以及勾股定理求出𝐴𝐹, 𝐴𝐶，进而求出𝐶𝐹，再结合矩形的面积公式求
解，即可解题；
（2）根据二次函数的最值情况求解，即可解题．
【详解】（1）解：∵四边形𝐶𝐷𝐸𝐹是矩形，
∴∠𝐶𝐹𝐸= 90°，𝐷𝐸= 𝐶𝐹，
则∠𝐴𝐹𝐸= 90°，
∵∠𝐴= 30°，𝐸𝐹= 𝑥，
∴𝐴𝐸= 2𝑥，𝐴𝐹= √(2𝑥)2 −𝑥2 = √3𝑥，
∵∠𝐴= 30°，∠𝐶= 90°，𝐵𝐶= 4，
∴𝐴𝐵= 2𝐵𝐶= 8，𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 −𝐵𝐶2 = 4√3，
∴𝐶𝐹= 𝐷𝐸= 4√3 −√3𝑥．
∴矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积𝑆= 𝐸𝐹⋅𝐶𝐹= 𝑥(4√3 −√3𝑥) = −√3𝑥2 + 4√3𝑥；
（2）解：∵矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积𝑆= 𝐸𝐹⋅𝐶𝐹= −√3𝑥2 + 4√3𝑥= −√3(𝑥−2)2 + 4√3；
∴当𝐸𝐹= 𝑥= 2时，矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积最大，矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的最大面积是4√3．
素养提升
1．（2025·辽宁·一模）在高中的有机化学中，存在一种C𝑛H𝑦的有机物，其中𝑦和𝑛满足某种函数关系，
如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知𝑦与𝑛满足函数关系式（ ）
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A．𝑦= 2𝑛
B．𝑦= 2𝑛+ 2
C．𝑦= 2𝑛2
D．𝑦= 3𝑛
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，由图ⅰ可知𝑛= 1时，𝑦= 4，将𝑛= 1代入各项函数解析式
中求解并判断，即可解题．
【详解】解：由图ⅰ可知𝑛= 1时，𝑦= 4，
∵𝑛= 1时，𝑦= 2𝑛= 2 × 1 = 2 ≠4，𝑦= 2𝑛2 = 2 × 12 = 2 ≠4，𝑦= 3𝑛= 3 × 1 = 3 ≠4，
∴选项A、C、D 不是𝑦与𝑛的函数关系式，不符合题意；
∵𝑛= 1时，𝑦= 2 × 1 + 2 = 4，
∴选项B 是𝑦与𝑛的函数关系式，
故选：B．
2．（25-26 九年级上·北京朝阳·期末）用一个圆心角为𝑛°（𝑛为常数，0 < 𝑛< 180）的扇形作圆锥的侧
面，记扇形的半径为𝑅，所作的圆锥的底面圆的周长为𝑙，侧面积为𝑆，当𝑅在一定范围内变化时，𝑙与𝑆都随𝑅
的变化而变化，则𝑙与𝑅, 𝑆与𝑅满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
【答案】C
【分析】本题考查一次函数、二次函数的定义以及弧长、扇形面积的计算，根据弧长公式，扇形面积的计
算公式得出𝑙与𝑅，𝑆与𝑅的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：圆锥的底面圆的周长为𝑙，即扇形的弧长𝑙=
𝑛𝜋𝑅
180 =
𝑛𝜋
180 𝑅；
圆锥的侧面积𝑆，即扇形的面积𝑆=
𝑛𝜋𝑅2
360 =
𝑛𝜋
360 𝑅2，
所以𝑙是𝑅的一次函数，𝑆是𝑅的二次函数，
故选：C．
3．（2025 九年级·全国·专题练习）若函数𝑦= (𝑚−2)𝑥𝑚2−5𝑚+8是𝑦关于𝑥的二次函数，则以𝑚和4 为两
边长的等腰三角形的周长为______．
【答案】10 或11
【分析】本题考查了二次函数的概念和三角形三边关系，根据二次函数的特点，得到𝑚2 −5𝑚+ 8 = 2，且
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𝑚−2 ≠0，求得𝑚后，再根据三角形三边关系确定三角形周长．
【详解】解：由题意，得𝑚2 −5𝑚+ 8 = 2，且𝑚−2 ≠0，
由𝑚2 −5𝑚+ 8 = 2得𝑚2 −5𝑚+ 6 = 0，
解得𝑚1 = 2，𝑚2 = 3，
∵𝑚−2 ≠0，
∴𝑚≠2，
∴𝑚= 3．
①若以3为腰长，则三边长分别为3，3，4，3 + 3 = 6 > 4，能构成三角形，符合题意，
周长为3 + 3 + 4 = 10；
②若以4为腰长，则三边长分别为3，4，4，3 + 4 > 4 > 4 −3，能构成三角形，符合题意，
周长为4 + 4 + 3 = 11．
故答案为：10 或11．
4．（25-26 九年级上·辽宁大连·期中）已知有n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场
次数为m，则m 关于n 的函数解析式为________．
【答案】𝑚=
1
2 𝑛2 −
1
2 𝑛
【分析】根据n 个球队都要与除自己之外的(𝑛−1)球队个打一场，因此要打𝑛(𝑛−1)场，然而有重复一半的
场次，即可求出函数关系式．
【详解】解：根据题意，得𝑚=
𝑛(𝑛−1)
2
=
1
2 𝑛2 −
1
2 𝑛，
故答案为：𝑚=
1
2 𝑛2 −
1
2 𝑛．
【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．
5．（2026·云南楚雄·二模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 30°，∠𝐵=60°．点D 在边𝐴𝐵上，线段𝐷𝐸⊥𝐴𝐶交
𝐴𝐶于M，连接𝐴𝐸，𝐶𝐸．
(1)若𝐷𝐸= 𝐶𝐵，求证：四边形𝐸𝐷𝐵𝐶是平行四边形．
(2)若D 为𝐴𝐵的中点，四边形𝐴𝐸𝐶𝐷是平行四边形，𝐴𝐸= 𝑥，试求出四边形𝐴𝐸𝐶𝐷的面积𝑦与𝑥的函数关系式．
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【答案】(1)见解析
(2)𝑦= √3
2 𝑥2
【分析】
（1）根据三角形内角和得到∠𝐴𝐶𝐵= 90°，根据垂线的定义得到∠𝐴𝑀𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，可知𝐸𝐷∥𝐶𝐵，
根据𝐷𝐸= 𝐶𝐵可知四边形𝐸𝐷𝐵𝐶是平行四边形；
（2）先证明△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知𝐴𝐷= 𝐶𝐷，进而可知
平行四边形𝐴𝐸𝐶𝐷是菱形，得到𝐴𝐷= 𝐴𝐸，根据三角函数得到𝑀𝐷=
1
2 𝑥, 𝐴𝑀= cos30° ⋅𝑥= √3
2 𝑥，根据菱形面
积公式即可求出𝑦与𝑥的函数关系式．
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 30°，∠𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝑀𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐸𝐷∥𝐶𝐵，
又∵𝐷𝐸= 𝐶𝐵，
∴四边形𝐸𝐷𝐵𝐶是平行四边形
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 30°，∠𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
∵𝐷为𝐴𝐵的中点，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
又∵四边形𝐴𝐸𝐶𝐷是平行四边形，
∴平行四边形𝐴𝐸𝐶𝐷是菱形
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸
又∵𝐴𝐸= 𝑥, ∠𝐶𝐴𝐵= 30°，
∴Rt △𝐴𝐷𝑀中，𝑀𝐷=
1
2 𝑥, 𝐴𝑀= 𝑥⋅cos30° = √3
2 𝑥，
∴𝑦= 4 ×
𝐴𝑀⋅𝑀𝐷
2
= 4 ×
√3
2 𝑥⋅1
2𝑥
2
= √3
2 𝑥2，
∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐷的面积y 与x 的函数关系式为𝑦= √3
2 𝑥2．
6．（25-26 九年级上·安徽宿州·期末）春节时，家家户户挂红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯
笼已成为我国的一种传统文化．某超市在春节前购进一批成本为30 元/对的灯笼，经市场调查发现，若灯笼
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31/
每对售价40 元时，每天可售出120 对，售价每提高1 元，则每天少售出2 对．物价部门规定其销售单价不
高于每对72 元，设灯笼每对涨价𝑥元，超市一天售出灯笼获得利润𝑤元．
(1)求𝑤与𝑥之间的函数表达式，并直接写出自变量𝑥的取值范围；
(2)当𝑥取何值时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)𝑤= −2𝑥2 + 100𝑥+ 1200(0 ≤𝑥≤32)
(2)当𝑥= 25时，一天获得利润最大，最大利润是2450 元
【分析】本题主要考查二次函数的应用，找准关系，列出关系式是解题的关键．
（1）根据题意，每对涨价x 元，则售价为(40 + 𝑥)元，每天可售出(120 −2𝑥)，再由利润=每对的利润×销
售量即可求解；
（2）由二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：若灯笼每对售价40 元时，每天可售出120 对，售价每提高1 元，则每天少售出2 对．
设灯笼每对涨价𝑥元(0 ≤𝑥≤32)，则售价为(40 + 𝑥)元，每天可售出(120－2𝑥)对，
所以利润𝑤= (40 + 𝑥−30)(120 −2𝑥) = −2𝑥2 + 100𝑥+ 1200(0 ≤𝑥≤32)；
（2）解：由（1）知𝑤= −2𝑥2 + 100𝑥+ 1200(0 ≤𝑥≤32)，
∴𝑤= −2(𝑥−25)2 + 2450，
∴𝑤为关于𝑥的二次函数，图象开口向下，对称轴为𝑥= 25，
∴𝑥= 25时，𝑤取得最大值，最大值𝑤= 2450，
答：当𝑥= 25时，一天获得利润最大，最大利润是2450 元．
7．（2025 九年级上·浙江·专题练习）如图1 所示风筝的筝面可以抽象成图2 的筝形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐶𝐵=
𝐶𝐷，风筝的骨架由3 条竹棒𝐴𝐶、𝐵𝐷、𝐸𝐹组成，其中E，F 分别是𝐶𝐵和𝐶𝐷的中点．现有一根总长为90cm的
竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面𝐴𝐵𝐶𝐷的材料，作了如下探究：
(1)设筝面𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为s（cm2），骨架𝐵𝐷的长度为x（cm），求s 关于x 的函数关系式；
(2)在图3 中画出（1）中s 关于x 的函数图象；
(3)利用图象分析，当骨架𝐴𝐶长度大于𝐵𝐷长度且筝面的面积超过432cm2时，骨架𝐵𝐷的长度范围．
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【答案】(1)𝑠= −
3
4 𝑥2 + 45𝑥(0 < 𝑥< 60)
(2)
函数的图象，如图即为所求；
(3)12 < 𝐵𝐷< 36
【分析】（1）根据题意可知𝐴𝐶是𝐵𝐷的垂直平分线，根据面积公式列函数解析式；
（2）根据（1）中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可；
（3）根据筝面的面积为432cm2，即𝑠= 432，求出x 的值，结合骨架𝐴𝐶长度必须大于𝐵𝐷长度且筝面的面积
超过432cm2确定x 的值可得．
【详解】（1）解：（1）∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐶是𝐵𝐷的垂直平分线，
∵E，F 分别是𝐶𝐵和𝐶𝐷的中点，
∴𝐸𝐹=
1
2 𝐵𝐷，
设筝面𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为s（cm2），骨架𝐵𝐷的长度为x（cm），
∴𝐸𝐹=
1
2 𝐵𝐷=
1
2 𝑥，𝐴𝐶= 90 −𝑥−
1
2 𝑥= 90 −
3
2 𝑥，
∵90 −
3
2 𝑥> 0，
∴𝑥< 60，
∴𝑠=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐷=
1
2 (90 −
3
2 𝑥)𝑥= −
3
4 𝑥2 + 45𝑥(0 < 𝑥< 60)；
（2）𝑠= −
3
4 𝑥2 + 45𝑥= −
3
4 (𝑥−30)2 + 675（0 < 𝑥< 60），
∴当𝑥= 30时，s 取最大值675；
当𝑦= 0时，得：−
3
4 (𝑥−30)2 + 675 = 0，
解得：𝑥1 = 0，𝑥2 = 60
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（3）当𝑠= 432时，−
3
4 𝑥2 + 45𝑥= 432，
解得𝑥= 12或48，
由𝐴𝐶> 𝐵𝐷得，90 −
3
2 𝑥> 𝑥，
解得𝑥< 36，
∴当12 < 𝐵𝐷< 36时，筝面的面积超过432cm2．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的几何应用，垂直平分线的性质，画二次函数图
象，求二次函数的值，结合题意列出方程根据长度间关系取舍是解答本题的关键．
迁移创新
1．（25-26 九年级上·山东潍坊·期末）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，经统计，
近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收入
（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.5
若记2017 年度为第1 年度，2018 年度为第2 年度，……，在直角坐标系中用点
(1,1.5),(2,2.5), (3,4.5),(4,7.5), (5,11.5)表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列三个
函数模拟甲农户从2017 年度开始的年度纯收入变化趋势：𝑦=
𝑚
𝑥(𝑚> 0)，𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘> 0)，𝑦= 𝑎𝑥2 −
0.5𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)，以便估算甲农户2022 年度的纯收入．
(1)能否选用函数𝑦=
𝑚
𝑥(𝑚> 0)进行模拟？请说明理由；
(2)你认为选用哪个函数模拟最合理？请说明理由；
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(3)甲农户准备在2022 年底购买一台价值16 万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数解析式，预测甲农
户2022 年度的纯收入能否满足购买该农机设备的资金需求．
【答案】(1)
不能选用函数𝑦=
𝑚
𝑥(𝑚> 0)进行模拟，理由如下：
∵1 × 1.5＝1.5，2 × 2.5＝5，
∴1.5 ≠5，
即𝑥𝑦的乘积不确定，
∴不能选用函数𝑦=
𝑚
𝑥(𝑚> 0)进行模拟；
(2)
选用𝑦= 𝑎𝑥2 −0.5𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)，理由如下，
由（1）可知不能选用函数𝑦=
𝑚
𝑥(𝑚> 0)，
由(1,1.5), (2,2.5),(3,4.5), (4,7.5),(5,11.5)可知，
x 每增大1 个单位，y 的变化不均匀，
∴不能选用函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘> 0)，
故只能选用函数𝑦= 𝑎𝑥2 −0.5𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)模拟；
(3)能满足
【分析】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的
函数值问题．本题解题的关键是熟练判断出图象符合的函数种类，要求学生牢记各类函数图象的特征并能
与实际题目结合应用．
（1）计算𝑥𝑦后判断即可；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2022 年即第6 年度的纯收入y 万元，然后比
较可得结论．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：把(1,1.5),(2,2.5)代入𝑦= 𝑎𝑥2 −0.5𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)，
得：{𝑎−0.5 + 𝑐= 1.5
4𝑎−1 + 𝑐= 2.5
，
解得：{𝑎= 0.5
𝑐= 1.5
，
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∴𝑦= 0.5𝑥2 −0.5𝑥+ 1.5，
当年度为2022 即𝑥= 6时，𝑦= 0.5 × 36 −0.5 × 6 + 1.5 = 16.5，
∵16.5 > 16，
∴甲农户2022 年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
2．（25-26 九年级上·吉林·期末）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快
慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分
析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1 所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静
止释放．从弹珠运动到𝐴点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间𝑡(s)、运
动快慢𝑣(cm s
⁄ )、运动路程𝑦(cm)的数据．
【收集整理数据】
运动时间𝑡(s)
0
4
8
12
16
20
…
运动快慢𝑣(cm s
⁄ )
12
10
8
6
4
2
…
运动路程𝑦(cm)
0
44
80
108
128
140
…
【数学建模探究】
(1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3 的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：
函数图象要画在答题卡上）
①𝑣与𝑡之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”）
②𝑦与𝑡之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”）
(2)【检验】直接写出𝑣与𝑡，𝑦与𝑡之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
(3)【应用】当弹珠到达水平轨道上𝐴点时，前方𝐵点处有一辆电动小车以3cm/s的速度向前匀速直线运动．当
𝑡= 10时，弹珠刚好追上小车，则𝐴，𝐵两点间的距离为________cm．
【答案】(1)
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图象如图所示，
①一次；②二次
(2)𝑣= −
1
2 𝑡+ 12，当𝑡= 8时，𝑣= −
1
2 × 8 + 12 = 8；𝑦= −
1
4 𝑡2 + 12𝑡，当𝑡= 12时，𝑦= −
1
4 × 122 + 12 × 12 =
108
(3)65
【分析】（1）描出图象后，根据图象判断函数关系即可；
（2）使用待定系数法求出解析式，并代入一组数据进行验证；
（3）用（2）中的二次函数模型计算出小球运动的路程，减去同时间电动小车的运动路程即得结果．
【详解】（1）解：①由图2 可知，𝑣与𝑡近似一次函数；
②𝑦与𝑡近似二次函数．
故答案为：一次；二次．
（2）解：设𝑣= 𝑘𝑡+ 𝑚，
将𝑡= 0，𝑣= 12；𝑡= 4，𝑣= 10代入𝑣= 𝑘𝑡+ 𝑚，得，
{
12 = 𝑚
10 = 4𝑘+ 𝑚
，
解得{𝑘= −
1
2
𝑚= 12
，
∴𝑣= −
1
2 𝑡+ 12，
验证：当𝑡= 8时，𝑣= −
1
2 × 8 + 12 = 8，与表格中的数据一致；
设𝑦= 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡+ 𝑐，
将𝑡= 0，𝑦= 0；𝑡= 4，𝑦= 44；𝑡= 8，𝑦= 80代入𝑦= 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡+ 𝑐，得，
{
0 = 𝑐
44 = 16𝑎+ 4𝑏+ 𝑐
80 = 64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐
，
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解得，{
𝑎= −
1
4
𝑏= 12
𝑐= 0
，
∴𝑦= −
1
4 𝑡2 + 12𝑡，
验证：当𝑡= 12时，𝑦= −
1
4 × 122 + 12 × 12 = 108，与表格中的数据一致．
（3）解：由（2）可知，𝑦= −
1
4 𝑡2 + 12𝑡，
当𝑡= 10时，𝑦= −
1
4 × 102 + 12 × 10 = 95，即小球运动了95cm，
同一时间，电动小车运动的路程为3 × 10 = 30cm，
∴𝐴，𝐵两点间的距离为95 −30 = 65(cm)．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，二次函
数的实际应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键．
