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1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 26.3 二次函数与一元二次方程 知识点一 二次函数与一元二次方程的联系 首先，我们在同一个坐标系下，画出𝑦= 𝑥2 + 𝑥−2、𝑦= 𝑥2 −8𝑥+ 16、𝑦= 𝑥2 −𝑥+ 1的图象，并观察这三个图象是否与𝑥轴产生交点？如果有交点，请找出横坐标和对应 的函数值。 再求以下各个方程的根： （1）𝑥2 + 𝑥−2 = 0 （2）𝑥2 −8𝑥+ 16 = 0 （3）𝑥2 −𝑥+ 1 = 0 通过以上两个表格的对比，不难发现函数的交点情况，与对应方程的根的情况，几乎 是一样的。所以我们可以认为，函数在一定程度上可以转化为方程，只需要对𝑦赋值 函数 有无交点 交点个数 交点横坐标 函数值 𝑦= 𝑥2 + 𝑥−2 有 2 𝑥1 = −2; 𝑥2 = 1 0 𝑦= 𝑥2 −8𝑥+ 16 有 1 𝑥= 4 0 𝑦= 𝑥2 −𝑥+ 1 无 0 − − 方程 有无根 ∆的情况 根的个数 方程的根 𝑥2 + 𝑥−2 = 0 有 ∆> 0 2 𝑥1 = −2; 𝑥2 = 1 𝑥2 −8𝑥+ 16 = 0 有 ∆= 0 2 𝑥1 = 𝑥2 = 4 𝑥2 −𝑥+ 1 = 0 无 ∆< 0 0 − 第二十六章 二次函数 2 / 56 学科网（北京）股份有限公司 即可。反之，我们也可以通过方程根的情况，确定相应二次函数的图象与𝑥轴的交点 情况。 特别提醒 在解一元二次方程根的时候，我们会通过“∆”的值，进一步判断方程根的情况；而 当我们想判断相应二次函数图象与𝑥轴的交点情况的时候，并不能直接从二次函数中 算出“∆”，而是必须先将二次函数转变为方程，才能引出二次函数图象与𝑥轴的交点 情况，函数中不存在“∆”的概念。 归纳总结 一般地，从二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象，可得如下结论： （1）如果抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴有公共点，公共点的横坐标是𝑥0，则当𝑥= 𝑥0时，函数值等于 0，因此𝑥= 𝑥0是一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的一个根。 （2）二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴的公共点的情况有三种： 令𝑦= 0，对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0而言： ∆> 0 ⇔二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴有两个交点； ∆= 0 ⇔二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴有一个交点； ∆< 0 ⇔二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴 无交点； ∆≥0 ⇔二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象与𝑥轴 有交点。 知识点二 二次函数与不等式的关系 前述知识点中，我们已经知道了函数与方程的关系，类似的，我们也可以得出函数与 不等式的关系。解一元二次不等式，并不能像解一元一次不等式一样那么简单，因为 它含有二次项，但我们可以通过观察与之对应的函数与直线的关系，得到对应的解。 例：解一元二次不等式𝑥2 −4𝑥+ 3 < 0 3 / 56 学科网（北京）股份有限公司 在该不等式中，不难观察出不等号左侧是一个一元二次三项式，右侧是一个常数，我 们可以令左侧为一个二次函数𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3，右侧的常数令它为直线𝑦= 0，然后在 坐标系中画出抛物线和这条直线，如图所示： 所以对于不等式 𝑥2 −4𝑥+ 3 < 0 而 言，我们只需要在坐标系上，找到二次函数𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3在直线𝑦= 0之下的那部分 图象即可，即红色虚线那部分图象，该虚线部分图象所对应的自变量取值范围，正是 二次函数与𝑥轴的交点横坐标之间的范围，即1 < 𝑥< 3。我们将这种解一元二次不等 式的方法称为图象法。 特别提醒 ①用图象法解不等式的时候，必须先判断开口向上还是向下，这将直接决定不等式解 集是取“两根之间”还是“两根之外”； ②一般情况下，如果不等号一侧为非零常数，我们会先把常数移项，使得不等号一侧 为零之后，再用图象法解一元二次不等式。 拓展延伸 面对解双函数不等式的问题，例如𝑥2 −4𝑥+ 3 > −𝑥2 + 𝑥+ 2，我们有两种方法可以 解决： ①将其视为比较两个函数的图象高低，在同一坐标系内，先画出各自的图象，再利用 交点横坐标分区间判断； ②将不等号一侧的多项式全部移项至另一侧，合并同类项后，按照图象法解这个新的 一元二次不等式即可。 归纳总结 图象法解一元二次不等式： ⚫ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐> 0 ⇒图象在𝑥轴上方的部分； ⚫ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐< 0 ⇒图象在𝑥轴下方的部分； ⚫ 出现等号(≥或≤) ⇒图象与𝑥轴的交点处要取实心点（取值范围要包含端点）。 自变量的取值范围，受到开口方向的直接影响： 4 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ⚫ 𝑎> 0：大于0取两边（𝑥< 𝑥1或𝑥> 𝑥2），小于0取中间（𝑥1 < 𝑥< 𝑥2）; ⚫ 𝑎< 0：大于0取中间，小于0取两边。 知识点三 求近似根 一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的根，就是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象与 𝑥轴交点的横坐标，因此，通过观察图象与𝑥轴的交点位置，可以估算根的近似值。 求近似根的方法： ①画出二次函数图像的草图（或利用表格列出若干点）； ②观察图象与𝑥轴的交点夹在哪两个相邻整数（或相邻小数）之间； ③利用“零点存在性定理”——若图象在𝑥= 𝑚和𝑥= 𝑛处的点，位于𝑥轴上下两侧 （即𝑦值一正一负），则根必在𝑚, 𝑛之间； ④逐步缩小范围（取中点或更小的单位长度），直到达到所需精度。 特别提醒 ①近似根得到的只是方程的根的近似值，不能取代公式法求精确根，两者还是有着本 质区别的； ②求近似根时，先确定整数区间，以1为单位，当确定大致的整数区间后，再加强精 确度，以0.1为单位确定更精确的范围； ③求近似根只是对图象交点的一种估读法，这和用待定系数法求两点式不能混为一 谈。两点式的两个交点必须要知道准确的数值才可以，而估读出来的数值不能直接代 入到假设好的两点式中求参数。 归纳总结 通过图象确定近似值的办法可以称为“二分法”，当我们确定好整数范围后，可以取 其中点位置，进一步判断函数值的正负情况，如此循环往复，可以进一步增加近似 值精度，简单概括一下步骤：①列表描点看图象；②定位符号找区间；③缩半单位 求近似。 易错点 1 函数与方程的概念混淆 • 错例：判断二次函数𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 1与𝑥轴的交点个数时，直接算Δ = (−2)2 − 4 × 1 × 1 = 0，并说“函数的Δ = 0”； • 错因：没有区分“函数”与“方程”是两个不同的数学对象，直接把“判别式” 这一方程的专有名词套用到函数上； 5 / 56 学科网（北京）股份有限公司 • 规避方法：判断交点个数时，先令𝑦= 0，转化为方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，再算方 程的Δ。在书写时先写“对于方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，Δ = ⋯”，不能省略“对于方 程”四个字。 易错点 2 解不等式时忽略二次项系数符号 • 错例：解−𝑥2 + 2𝑥+ 3 > 0时，直接套用“大于取两边”的口诀，得𝑥< −1或𝑥> 3（正确答案应为−1 < 𝑥< 3）； • 错因：对结论死记硬背而忽略了前提条件（即开口方向），没有画图验证的意识； • 规避方法：解不等式前先确定二次项系数符号，若𝑎< 0，则需要在不等式两边同 时乘以−1，将二次项系数化为正数（注意不等号方向改变）后，再画开口向上的草图 求解集。 易错点 3 解“双函数不等式”时，移项忽略符号变化 • 错例：解不等式𝑥2 −4𝑥+ 3 > −𝑥2 + 𝑥+ 2时，移项写成𝑥2 −4𝑥+ 3 + 𝑥2 −𝑥+ 2 > 0后，合并为2𝑥2 −5𝑥+ 5 > 0； • 错因：移项时只关注“把右边的东西移到左边”，却忘了每一项都要变号，导致 常数项符号错误； • 规避方法：移项时，将右侧多项式整体用括号括起来，再整体变号：𝑥2 −4𝑥+ 3 −(−𝑥2 + 𝑥+ 2) > 0，再去括号，可避免漏变符号。 易错点 4 求近似根时，把估读值直接代入交点式求解析式 • 错例：从图象估得抛物线与𝑥轴交于𝑥≈1.4和𝑥≈3.6，直接设解析式为𝑦= 𝑎(𝑥−1.4)(𝑥−3.6)代入求𝑎； • 错因：混淆“近似根”与“待定系数法求交点式”的用途——前者是估算根的数 值，后者是已知精确交点求解析式； • 规避方法：两点式中的𝑥1、𝑥2必须是精确的已知值（如整数或题目明确给出的数 值）。近似根只能用于估计根的数值，不能作为待定系数法的已知条件。 易错点 5 近似根只定整数范围，未缩半单位长度就下结论 • 错例：发现根在2和3之间，直接答“方程的根约为2或3”，忽略了“近似根”还 需要更精确的值（如保留一位小数）； • 错因：缺乏“逐步逼近”的意识，认为确定好整数范围就完成了任务； • 规避方法：①单位长度为1时，定位整数区间；②在该区间内取中点或单位长为 0.1的多个点，确定小数范围；③若需保留两位小数，继续缩至单位长0.01。明确精度 要求后再取点验证。 6 / 56 学科网（北京）股份有限公司 易错点 6 ∆≥𝟎与“有交点”的对应关系记忆混乱 • 错例：问“抛物线与𝑥轴有交点时𝑘的取值范围”，只写出Δ > 0，漏掉了Δ = 0的 情况； • 错因：把“有交点”等同于“有两个交点”，忘记了抛物线与𝑥轴只有一个公共点 时，也属于有交点的情况； • 规避方法：有交点用≥0，两交点用> 0，一交点用= 0。 • 题型一：抛物线与𝒙轴的交点 方法技巧 比较常见的题型大概有以下两种：①已知交点个数求参数范围；②已知交点的横坐标 （即方程的根）求代数式的值。第②种题型不再过多赘述，对于第①种题型： 主要方法：抛物线与𝑥轴的交点个数，等价于令𝑦= 0后对应一元二次方程实数根的个 数。设抛物线为𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐，令𝑦= 0得方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，利用判别式Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐判断交点情况。 关键结论： Δ > 0 ⇔ 与𝑥轴有两个交点； Δ = 0 ⇔ 与𝑥轴有一个交点（顶点在x 轴上）； Δ < 0 ⇔ 与𝑥轴无交点； 其中：“有交点”指Δ ≥0（包含一个或两个）。 注意： 二次函数要求𝑎≠0，含参时需优先讨论二次项系数是否为0，再列Δ的不等式或 方程。 1.（25-26 八年级下·全国·课后作业）若抛物线 与 轴的交点坐标为 ， 则代数式 的值为（ ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出 的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 7 / 56 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：∵点 是抛物线 与 轴的交点， ∴将 代入 ，可得 ， ∴整理得 ， 将 代入 得原式 ． 2．（2026·江苏南京·二模）函数 （m 为常数）的图象与x 轴公共点 的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．1 或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x 轴公共点的个数，等价于 时对应一元二次方程的实数根个 数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x 轴相交时， ，可得一元二次方程 ， ， ， ， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当 时， ，方程有1 个相等的实数根，图象与x 轴有1 个公共点； 当 时， ，方程有2 个不相等的实数根，图象与x 轴有2 个公共点； 因此函数图象与x 轴公共点的个数是1 或2， 故选：D． 3．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数 ，下列说法错误的是（ ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x 轴有2 个交点 D．当 时，y 随x 的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x 轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵ ， 8 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∴顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，故A、B 选项说法正确，不符合题意； 令 ，则 ， 解得 ， ∴函数图像与x 轴只有1 个交点，故C 选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ， ∴当 时， 随 的增大而减小，故D 选项说法正确，不符合题意． 4．（2026·吉林长春·模拟预测）二次函数 的图像上有两点 和 ， 则 的值等于（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】A，B 两点纵坐标均为0，说明 ， 是方程 的两个根，解方程得到两 个根后，即可计算 的值． 【详解】解：∵点 和 在二次函数 的图像上， ∴ ， 是方程 的两个根， 对方程变形得 ， 解得 ， ， ∴ ． 5．（24-25 九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线 ，与x 轴的一个交点为 ，则代数式 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把点 代入抛物线的解析式可得 ，再整体代入代数式求值即 可． 【详解】解∶ 抛物线 与 轴的一个交点为 ， ∴ ， ∴ ， 9 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ． 6．（2026·黑龙江佳木斯·二模）二次函数 的图象与x 轴的交点个数为 （ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】C 【分析】令 ，求出 的值即可． 【详解】解：令 ，得 ， 解得 ， ， ∴与x 轴有2 个交点． 7．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线 与 轴没有交点，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x 轴没有交点等价于对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式 列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线 与 轴没有交点， ∴一元二次方程 没有实数根， 根据一元二次方程根的判别式性质，得 ， 即 ， 解得 ． 8．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数 的图象和x 轴有交点，则k 的取 值范围是（ ） A． B． C． 且 D． 且 【答案】C 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x 轴有交点时对应一元二 次方程的判别式 ，据此列不等式求解即可． 10 / 56 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：∵二次函数 ， ∴二次项系数 ， 又∵该函数图象和 轴有交点，即方程 有实根， ∴ ， 化简得 ，解得 ， 综上 的取值范围是 且 ． 9．（24-25 九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，若二次函数 的图象与x 轴只有1 个交点，则m 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数图象与x 轴只有一个交点时，对应的一元二次方程根的判别式等于0， 利用判别式列方程求解即可得到m 的值． 【详解】解：∵二次函数 的图象与x 轴只有1 个交点， ∴一元二次方程 有两个相等的实数根，根的判别式 ， 将 ， ， 代入得： ， 化简得 ，解得 ． 10．（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数 与x 轴无交点，则m 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数等知识 点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次函数 与x 轴无交点，得出方程 无实数根，再列出不 等式求解． 【详解】解：∵二次函数 与x 轴无交点， ∴方程 无实数根， 11 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， 解得： ， 故选：C． 11．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数 的图象如图所 示，则下列判断正确的是（ ） A． ＞0， B． ＜0， C． ＞0， D． ＜0， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断 的符号，根据抛物线与 轴的交点个数判断判别式的符号． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线 ，且对称轴在 轴右侧，即 ， ∴ ； ∵二次函数的图象与 轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ ； 综上， ， ，故选：D． 题型二：抛物线与𝒚轴的交点 方法技巧 常见题型与对应方法： ①若要求抛物线与𝑦轴的交点，则令𝑥= 0代入解析式即可求得交点坐标为(0, 𝑐)。𝑐的符 号决定交点位于𝑦轴正半轴还是负半轴，𝑐= 0时抛物线经过原点。 12 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ②若要根据函数图象所经过的象限，确定参数的取值范围，可以优先确定函数图象的开 口方向、对称轴位置、与𝑥轴交点情况，综合判断抛物线经过的象限，再将函数图象放 在合适的位置，确定与𝑦轴交点坐标的正负性，列出不等式，即可求得范围。 1.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知二次函数 （ 为常数）的图象只 经过第二、三、四象限，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，根据开口方向和图象只经过二、三、四象限的 要求，得到两个不等关系：顶点纵坐标大于0 保证存在 的点，经过第二象限，函数与 y 轴交点纵坐标小于等于0 保证 时，y 恒小于等于0，不经过第一象限，解不等式组即 可得到a 的取值范围. 【详解】解：∵ ， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， 当 时， ， ∴二次函数与 轴的交点为 ， ∵图象只经过第二、三、四象限， ∴ ，解得 . 2．（2026·安徽芜湖·二模）已知抛物线 经过第一、第二、第三、第四象 限，则b 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】开口向上的抛物线要经过四个象限，需与 轴有两个不同交点且交点分别位于原 点两侧，据此列不等式求解即可． 【详解】解：抛物线 的二次项系数为， ，开口向上， ∵抛物线 经过第一、第二、第三、第四象限， ∴抛物线与 轴有两个不同交点，且交点分别在原点两侧，且当 时，抛物线与 轴交 13 / 56 学科网（北京）股份有限公司 点的纵坐标小于 ， ∵当 时， ， ∴ ， 解得 ， ∵两根之积为 ，说明两根异号，一定存在两个不相等的实数根，满足条件， ∴ 的取值范围是 ． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）当 时，二次函数 的图象 一定经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、三、四象限 【答案】B 【分析】利用二次函数的基本性质，依次判断开口方向，与y 轴交点位置，对称轴位置， 与x 轴交点情况，进而确定图象经过的象限． 【详解】∵ 二次函数为 ， ∴ 二次项系数 ， 抛物线开口向上， 当 时， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即抛物线与y 轴交于正半轴， 抛物线对称轴为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即对称轴在y 轴右侧， 计算判别式得 ， 14 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 说明抛物线与x 轴有两个不同交点， 根据抛物线开口向上，与y 轴交于正半轴，对称轴在y 轴右侧，与x 轴有两个不同交点， 画出大致图形如下： ∴二次函数图象一定经过第一，第二，第四象限，不经过第三象限． 4．（25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数 图象上部分点的坐标 满足如表： x … 0 1 2 … y … m 0 3 … 则该函数图象与y 轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据表格中的数据和二次函数的性质， 可以得到该函数的对称轴为直线 ，再根据表格中的数据可以得到点 与点 关于直线 对称，从而可以得到 ，本题得以解决． 【详解】解：由表格可知， 当 时和 时对应的函数值相等， ∴二次函数 的对称轴是直线 ， ∴点 与点 关于直线 对称， 15 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴该函数图象与y 轴的交点坐标为 ， 故选：A． 题型三：抛物线图象性质的综合应用 方法技巧 此类题型综合考查开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、判别式、特殊点函数值 等性质。一些主要的解题思路为： ①看图读出𝑎、𝑏、𝑐的符号（开口、对称轴左同右异、与𝑦轴交点）； ②将图象特征转化为代数表达式（如对称轴𝑥= − 𝑏 2𝑎，判别式，特殊点𝑥= ±1时的 函数值）； ③逐项验证：逐一判断各结论是否正确。 关键技巧： ①对称轴“左同右异”； ②利用对称性找另一交点的坐标； ③由𝑥= 1、𝑥= −1、𝑥= 2等特殊点代入，得𝑎+ 𝑏+ 𝑐、𝑎−𝑏+ 𝑐、4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐等 代数式的符号。 1.（2022·湖南常德·模拟预测）二次函数 （ ， ，是常数， ）的 图象与 轴交于点 ， ．则下列说法：①一元二次方程 的根为 ， ．② ；③对于 的每一个确定的值，若一元二次方程 （ 为常数， ）的根为整数，则 的值只有两个；④若点 ， 在该二次函数的图象上，则 ；正确的是（ ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】结合二次函数的性质对各项逐一判断． 16 / 56 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：∵二次函数 的图象与 轴交于 ， ， ∴一元二次方程 的根为 ， ，故①错误； ∵抛物线与 轴有两个不同交点， ∴ ，即 ，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线 ， ， ∴抛物线开口向上，当 时， ； ∵方程 （ ）的根为整数， ∴根的取值范围为 ，其中整数 为 ，， ， 结合对称性， 与 对应函数值相等，对应一个 值； 对应顶点函数值，对应另一个 值，故 的值只有两个，③正确； ∵点 关于对称轴 的对称点为 ， 时， 时 随 增大而增大， 又 ， ∴ ，即 ，故④正确． 2．（2026·四川达州·模拟预测）如图是二次函数 图象的一部分，对 称轴为 ，且经过点 ，下列结论：① ，② ，③ ，④ 当 时， ，正确的有（ ）个． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点， ∴ ， ∵对称轴是直线 ， 17 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∴ ．故①正确； ②∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴ ，故②正确； ③∵对称轴为 ，且经过点 ， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为 ， ∴ ，故③正确； ④观察图象得：当 时， ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④，共4 个． 3．（22-23 九年级下·浙江杭州·开学考试）函数 与 的图象如图所 示，有以下结论：① ；② ；③ ；④当 时， ．其中正确的结论有（ ） A．个 B． 个 C．个 D． 个 【答案】C 【分析】由抛物线与x 轴无交点，可得 ，即可判断①；将 代入抛物线 可判断②；求出抛物线对称轴为直线 ，得到抛物线过点 ，代入抛物线可判断 ③；当 时，抛物线在直线 的下方，得到 ，整理后可判断④． 【详解】解：①由图象可知：抛物线与x 轴无交点， ∴ ，故此选项错误； ②由图象可知：抛物线过点 ， ∴ ， ∴ ，故此选项正确； 18 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ③∵抛物线过点 ， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线过点 ， ∴抛物线过点 ， ∴ ， ∴ ，故此选项正确； ④由图象可知，当 时，抛物线在直线 的下方， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故此选项正确． 综上所述，正确的结论有3 个． 4．（21-22 九年级下·全国·期末）如图，若二次函数 的图象的对称 轴为直线 ，与y 轴交于点C，与x 轴交于点A、点 ，则：①二次函数的最大值 为 ；② ；③ ；④当 时， ；其中正确的个数是 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线 可判断 ①；根据点B 的坐标可判断②；根据二次函数与x 轴有两个交点可判断③；根据对称性求 出点A 的坐标，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， 19 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∵对称轴为直线 ， ∴把 代入 得 ， ∴函数的最大值为 ，故①正确； ∵二次函数与 交于点 ， ∴当 时， ，故②错误； ∵二次函数与x 轴交于点A、点 ， ∴关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ ，故③正确； 由对称性可知，点A 的坐标为 ， ∴由函数图象可知，当 时， ，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3 个． 5．（2023·内蒙古兴安·模拟预测）二次函数 的图象过点 ，对 称轴为直线 ，下列结论： ； ； ； 当 时， 的值随 值的增大而减小．其中正确的结论有（ ） A． 个 B．个 C． 个 D．个 【答案】B 【分析】①根据对称轴得出 ； ②当 时，结合图象进行判断； ③得出点 的对称点为 ，当 时，可得结论； ④根据图象可得增减性． 【详解】解：①∵对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 20 / 56 学科网（北京）股份有限公司 即 ， 故①正确； ②当 时，函数值大于零，即 ， 故②错误； ③∵二次函数 的图象过点 ，对称轴为直线 ， ∴点 的对称点为 ， 当 时， 即 ， 故③正确； ④由图象可知，当 时， 的值随 值的增大而减小， 故④正确； 综上，正确的选项为①③④，共3 个． 6．（22-23 九年级下·山东日照·开学考试）如图，抛物线 与x 轴交 于点 ，其对称轴为直线 ，在以下结论中： ① ； ②当 时，y 随x 的增大而减小； ③ ； ④ ； ⑤若m，n（ ）为方程 的两个根，则 ， ． 其中正确的结论有（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【答案】A 【分析】由开口方向，对称轴和与y 轴的交点得到 ， ， ，可判断①；由 21 / 56 学科网（北京）股份有限公司 图象可判断②；由图象与x 轴的交点可判断③；求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标为 ，然后得到当 时， ，可判断④；将方程转化为 ，设 ，得到当 或 时， ，即可判 断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴ ， ∵抛物线对称轴为直线 ， ∴ ， ∵抛物线与y 轴交点在x 轴上方， ∴ ， ∴ ，故①正确； 由图象可得当 时，y 随x 增大而减小，故②正确； 由图象可得，抛物线与x 轴有两个交点， ∴ ，故③正确； ∵抛物线 与x 轴交于点 ，其对称轴为直线 ， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为 ， ∴当 时， ，即 ，故④正确； ∵ ， ∴ ， 设 ， ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∵m，n（ ）为方程 的两个根， ∴当 或 时， ， ∵当 或 时， ， ∴ ， ，故⑤正确． 22 / 56 学科网（北京）股份有限公司 综上所述，正确的结论有5 个． 7．（2026·内蒙古通辽·三模）二次函数 的图象如图所示．下列结 论： ① ② ③ ④ ⑤若 ， ， ，则 ． 其中正确结论的个数有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴的交点可判断a，b，c 的符号，即可判 断①；根据抛物线与x 轴交点的位置即可判断②，根据抛物线的对称轴即可判断③，根据 ①②的结论结合平方差公式即可判断④，根据抛物线的增减性即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线 的开口向下，对称轴为 ，与y 轴交于正半 轴， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ，故①正确． ∵抛物线与x 轴的一个交点的横坐标小于3，又对称轴为直线 ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标大于 ， ∵当 时，y 随x 的增大而增大， ∴当 时， ，即 ，故②正确． 23 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ，故③正确； ∵当 时， ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故④错误． ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越大， ∵ ， ， ， ∴ ，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③⑤，共4 个． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线 （ 、 、为常数，且 ）经过点 、 ，其对称轴在 轴右侧，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有（ ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】先将已知点代入抛物线解析式，得到的值和 与 的关系，再结合对称轴在 轴 右侧的条件，逐一判定每个结论的正确性即可. 【详解】解：将点 代入 ，得 ， ， 将点 代入抛物线解析式，得 ，整理得 ，即 ，故结论③错 误； ∵抛物线对称轴在 轴右侧， ∴对称轴 ， ∴ 与 异号， ∴ ， 24 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ，故结论①正确. 将 代入 ，得 ，解得 ，故结论②正确； ∵抛物线与 轴已经有一个交点 在 轴的左侧，且对称轴在 轴右侧， ∴顶点不可能在 轴上， ∴抛物线与 轴有两个不同的交点， ∴ ，即 ，故结论④正确； 综上，正确结论为①②④. 题型四：已知二次函数的函数值求自变量的值 方法技巧 常见题型：已知𝑦= 𝑘求𝑥的值，本质是解一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑘，即𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ (𝑐−𝑘) = 0。也可以看作二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐与直线𝑦= 𝑘的交点横坐 标。 常见解法： ①代入求解：将已知函数值代入解析式，解一元二次方程； ②利用对称性：若已知一个点(𝑥1, 𝑘)，根据对称性可得另一个点(𝑥2, 𝑘)，其中对称轴 为𝑥= ℎ，且𝑥1 + 𝑥2 = 2ℎ，无需解方程即可得另一根； ③利用表格：从列表数据直接读出对应自变量取值。 注意：当方程有两个解时，不要漏根；当解为近似根时，需结合表格或图象判断根 的取值范围。 1.（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数 的图象经过点 ，则 方程 的解为（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性．先根据二次 函数的对称性求出二次函数图象与直线 的另一个交点坐标，进而求出方程 的解． 【详解】解：∵方程 的解是二次函数 与直线 交点的横坐 25 / 56 学科网（北京）股份有限公司 标， 已知其中一个交点为 ， 二次函数 的对称轴为 ， 设另一个交点横坐标为 ， 由二次函数的对称性得 ， 解得 ， ∴方程的解为 或 ， 故选：D． 2．（25-26 九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线 与直线 交于 点 和点 ，则关于 的方程 的解是（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将 变形为 ，则该方程的解即为抛物线 与直线 交点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线 与直线 交于点 和点 ， ∴当 或 时， 成立， 即方程 的解为 或 ， 故选：D 3．（22-23 九年级上·甘肃庆阳·期中）下表是二次函数 的几组对应值： 根据表中数据判断，方程 的一个解 的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格信息可知， 在 范围内，由此确定 的范围． 26 / 56 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：当 时，二次函数的函数值的范围为 ， ∴方程 的一个解 的范围是 ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查二次函数取值问题，掌握二次函数图像中自变量的取值与函数值的 关系是解题的关键． 4．（23-24 九年级上·山东东营·期中）根据下表中二次函数y=ax2+bx+c 的自变量x 与函 数值y 的对应值，判断方程 （ ，a，b，c 为常数）的一个解x 的范围是 （ ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点，抛物线与一元二次方程的根，根据 的一个根对应的函数值为 ，根据 ，可判断 ，选择即可．熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：依题意，因为 的一个根对应的函数值为 ， 观察图中的数值，当 在 ， 所以 ， 故选：C． 5．（21-22 九年级上·辽宁鞍山·期末）二次函数 图象经过点 ，且图象对称轴为直线 ，则方程 的解为（ ） A． B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的对称性结合题意，可知该二次函数的图象必经过点(3，-1)， 即可直接得出 的解为 ， ． 【详解】∵二次函数 的图象经过点(1，-1)，且图象对称轴为直线 27 / 56 学科网（北京）股份有限公司 x=2， ∴该二次函数的图象必经过点(3，-1)． ∴ 的解为 ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象的对称性，一元二次方程和二次函数的关系．根据二次函 数图象的对称性求出该二次函数必经过的另一个点的坐标是解答本题的关键． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基 地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼 帘．如图2 是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度 是6 米，最 高点C 距地面 的距离为2 米．以水平地面 为x 轴， 的中点O 为原点建立平面直 角坐标系．一位身高 米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O 沿 向左最 多能走（ ） A． 米 B． 米 C．3 米 D．6 米 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式以及求二次函数的自变量，根据题意可知抛 物线最高点为 ，对称轴为 ，设二次函数的解析式为： ，用待定系数 法求出抛物线解析式，把 代入 ，求出x，根据题意选择合适得值即 可． 【详解】解：根据题意可知抛物线最高点为 ，对称轴为 ， 设二次函数的解析式为： ， 由∵ ， 的中点O 为原点建立平面直角坐标系， 28 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， 把 代入 可得出： ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为： ． 当 时， 即 解得： ， （舍去）， 则此瓜农从点O 沿 向左最多能走 ． 故选：A． 7．（25-26 九年级上·山东青岛·期中）某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程（单位： ）与时间（单位：）之间的关系为 ，那么这辆汽车行驶 需要的时间 是_______s． 【答案】10 【分析】本题考查已知函数值求自变量的值，解一元二次方程．把 代入关系式，得 到关于的一元二次方程，解方程并取正值解即可． 【详解】解：当 时， ， 解得 ， （不合题意，舍去）． 故这辆汽车行驶 需要的时间是 ． 故答案为：10． 8．（25-26 九年级上·全国·阶段检测）已知二次函数 图象上部分点的 坐标 对应值列表如下： … 0 2 … … 15 0 0 … 则关于x 的方程 的解为_______． 【答案】 ， 29 / 56 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了二次函数的对称轴求法，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方 程的关系等， 将关于x 的方程 的解等价于当 时， 的值是解题的关键； 根据表格数据，得出二次函数经过的点，进一步求得抛物线的对称轴，再利用关于x 的方 程 的解 等价转化为当 时， 的值，找出 时， 的值即可． 【详解】由题知，二次函数经过点 ， ， ， 点 与 的纵坐标相等， 抛物线的对称轴为 ， 点 关于抛物线对称轴的对称点为 ， 当 时， 的值为 或5， 即关于x 的方程 的解为 ， ． 故答案为： ， ． 9．（25-26 九年级上·浙江·阶段检测）已知二次函数 图象上部分点 的坐标 对应值列表如下：则关于x 的方程 的解是_______． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 【答案】 或5 【分析】本题主要考查求二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识点，从列表中 获取信息是解题的关键． 根据列表可知抛物线经过 和对称轴，进而求得c，则 ， 即 ，当 时对应的x 值，然后根据列表即可解答． 【详解】解：根据列表可知：当 时， ；当 时， ；当 时， ， 30 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∴二次函数的解析式为 ，对称轴为 ， ∵ ， ∴ ， 由列表可得：当 时， ． ∵抛物线的对称轴为 ， ∴当 时， ． ∴关于x 的方程 的解是 或5． 故答案为： 或5． 题型五：根据二次函数的图像确定方程根的情况 方法技巧 一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑚的根，就是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐与直线𝑦= 𝑚 交点的横坐标。根的个数取决于直线与抛物线的位置关系。 具体判断方法： ①若直线与抛物线相交于两点 → 方程有两个不相等的实数根； ②若直线与抛物线有一个交点 → 方程有两个相等的实数根； ③若直线与抛物线无交点 → 方程无实数根； ④若直线与𝑥轴重合（𝑚= 0）→ 方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，即抛物线与𝑥轴的交点。 另外，关于根的正负判断：根据交点横坐标在𝑦轴的左侧还是右侧，可以判断根的符 号（同号/异号、正/负）。 1.（2022 九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数 的图象如图，那么关于 x 的方程 的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 31 / 56 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据 的图象与 有两个交点，且交点的横坐标都在y 轴右侧可 得出答案． 【详解】解：由函数图象可得： 的图象与 有两个交点，且交点的横坐 标都在y 轴右侧， ∴关于x 的方程 即 有两个同号不等实数根， 2．（2026 九年级下·全国·专题练习）已知函数 的图象如图，那么关于x 的方程 的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：∵ 的图象与 只有一个交点，且方程 即 的根就是抛物线 的图象与 的交点的横坐标， ∴关于x 的方程 有两个相等实数根． 故选：B． 3．（25-26 九年级上·湖北恩施·期末）已知抛物线 的图象如图所示，则方 程 的实数根的情况是（ ） 32 / 56 学科网（北京）股份有限公司 A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一正一负两个实数根 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与 轴的交点，由图象可知，抛物线 与 轴有两个 交点，即可得方程 有两个不相等的实数根，且一正一负． 【详解】解：由图可得：抛物线 与 轴有两个交点，一个在负半轴，一个在 正半轴， ∴方程 有一正一负两个实数根． 故选：D． 4．（25-26 九年级上·河南周口·期末）二次函数 的图象如图所示，若一元二 次方程 有两个不相等的实数根， 的值可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数，数形结合是解题的关键． 一元二次方程 有两个不相等的实数根，即 有两个不相等的实数 根，则函数 与函数 有两个不同的交点，结合图象求解即可． 【详解】解：一元二次方程 有两个不相等的实数根， 即 有两个不相等的实数根，则函数 与函数 有两个不同的交 点， ， 33 / 56 学科网（北京）股份有限公司 选项中只有2 符合要求． 故选：A． 5．（25-26 九年级上·云南文山·阶段检测）如图，已知二次函数 的图象经 过点 ，对称轴为直线 ，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．方程 的解为 ， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系， 根据开口方向和对称轴可判断A、C；根据二次函数与x 轴有两个不同的交点可判断B；求 出二次函数的图象与x 轴的另一个交点坐标即可判断D． 【详解】解：A、∵函数图象开口向下， ∴ ， ∵对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ，故原说法正确，符合题意； B、∵二次函数与x 轴有两个不同的交点， ∴ ， ∴ ，故原说法错误，不符合题意； C、由A 选项可知 ，故原说法错误，不符合题意； D、∵二次函数 的图象经过点 ，对称轴为直线 ∴二次函数 的图象经过点 ， ∴方程 的解为 ， ，故原说法错误，不符合题意； 34 / 56 学科网（北京）股份有限公司 故选：A． 6．（25-26 九年级上·云南怒江·阶段检测）如图是二次函数 的图象，与x 轴交于点 和点 ，与y 轴交于点 ，顶点坐标为 ，则关于x 的方程 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程,掌握知识点是解题的关键。 根据抛物线与 轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数 的部分图象与x 轴的交点坐标为 和点 ， ∴关于x 的方程 的解为 ； 故选B． 7．（2022·陕西西安·模拟预测）抛物线 ，顶点纵坐标为 ．若 有且只有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A． B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】先根据题意画出 的图象，即可得出 有两个不相等 的实数根时，m 的取值范围． 【详解】解：由题意得，将此抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴往上翻折，得到一个新的函 数图象的顶点的纵坐标为5， ∴ 的图象是x 轴上方部分（包含与x 轴的两个交点）， 35 / 56 学科网（北京）股份有限公司 由图象可知，当 时， 有两个不相等的实数根，在x 轴上方时，只有 时， 有两个不相等的实数根， ∴ 或 ． 8．（22-23 九年级下·浙江温州·开学考试）二次函数 的部分图象如图所 示，则方程 根是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点 ，即 或 得到 ，所以一 元二次方程 的两个根为 ， ，把方程 看作 关于 的一元二次方程，则 或 ，然后解一次方程得到方程 的根． 【详解】解： 抛物线的对称轴为直线 ，抛物线经过点 ， 抛物线经过点 ， 一元二次方程 的两个根为 ， ， 36 / 56 学科网（北京）股份有限公司 把方程 看作关于 的一元二次方程， 或 ， 解得 ， 方程 的根是 ． 题型六：图象法或列表法确定近似根 方法技巧 一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的根，就是二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐与𝑥轴交点的 横坐标。通过观察图象与𝑥轴的交点位置，或利用函数值表格，估算根的近似值。 方法步骤（二分法）： ①确定根的整数范围：计算相邻整数处的函数值，若一正一负，则根在此区间内； ②逐步缩小区间：取中点或步长0.1、0.01，计算对应函数值，根据符号变化进一步 缩小根的范围； ③达到所需精度后，取区间内最接近零的点作为近似根。 从表中找函数值最接近0 的自变量，并结合正负变化判断根的更精确位置。近似根 不能取代精确根，更不能作为待定系数法求解析式的已知条件。 1.（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数 的自变量 与函数 的一些对应值，可以判断一元二次方程 的一个近似根是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程 的根对应二次函数 与 轴交点的横坐 标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间 ，再结合区 间内函数值与 的接近程度，判断近似根更靠近 ． 37 / 56 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：一元二次方程 的根，就是二次函数 中函数值 时对应的自变量 ， 观察表格： 当 时， ，最接近 ； 当 时， ，距离 比 更远； 又∵ 在 到 之间由负变正，说明 的根在 和 之间， ∴ 对应的函数值更接近 ， ∴一元二次方程的一个近似根是 ． 2．（25-26 九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数 自变量 与函数值 的对 应关系如下表，一元二次方程 的根中较大的根的范围是（ ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y 的值接近0 时对应 的x 的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当 时， ； 当 时， ，当 时， ， 二次函数 图像的对称轴为直线 ， 当 时， ， 设一元二次方程 的根为 ， ，且 ， ∴ ， ， 即一元二次方程 的根中较大的根的范围是 ， 故选：D． 3．（25-26 九年级上·广东潮州·期末）如图，点 ， 在二次函 38 / 56 学科网（北京）股份有限公司 数 的图象上，则方程 的一个根的近似值可能是（ ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数 值是 和 ，可得当函数值为 时， 的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点 ， 在二次函数 的图象 上， ∴当 时， ，当 时， ， ∴当 时， ， ∴选项C 符合， 故选：C． 4．（25-26 九年级上·云南大理·期末）二次函数 的图象如图所示， ， 为图象上的两点，则方程 的一个解可能 是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式 上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与 轴的交点， 跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 39 / 56 学科网（北京）股份有限公司 根据自变量两个取值所对应的函数值是 和 ，可得当函数值为0 时， 的取值应在 所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵图象上有两点分别为 ， ， 当 时， ；当 时， ， 当 时， ，只有选项C 符合， 故选：C． 5．（25-26 九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数 的自变量x 与 函数值y 的部分对应值如下表所示，方程 的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线 与x 轴的一个交点在 和点 之间，更靠近点 ，然后根据抛 物线与x 轴的交点问题可得到方程 一个根的近似值． 【详解】解：∵ 时， ； 时， ； ∴抛物线 与x 轴的一个交点在 和点 之间，更靠近点 ， ∴方程 有一个根约为 ． 故选：C． 题型七：图象法解一元二次不等式 方法技巧 将不等式转化为函数图象与𝑥轴的位置关系： • 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐> 0 ⇔ 图象在𝑥轴上方的部分； • 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐< 0 ⇔ 图象在𝑥轴下方的部分。 步骤： 40 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ①化正：若𝑎< 0，先在不等式两边乘以−1，将二次项系数化为正数（不等号方向 改变）； ②求根：令𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，求出两根； ③画图：画开口向上的草图，看图象与𝑥轴的位置关系； ④定解：> 0取“两根之外”，< 0取“两根之间”。 如果遇到双函数不等式，可以将不等号两边的函数分别记作𝑦1、𝑦2 ，当𝑦1 > 𝑦2时， 可转化为𝑦1 −𝑦2 > 0，也可以直接看两图象的高低关系，但是需要画出两个函数图 象。 1.（2025 九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数 的部分图象如 图，若 ，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是 解决问题的关键．求 时， 的取值范围，就是二次函数的图象在 轴下方时对应的 的范围． 【详解】解：∵二次函数 的部分图象交 轴于点 ， ∴ 时， 的取值范围是 ， 故选：B． 2．（25-26 九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图是二次函数 的图 象，下列说法错误的是（ ） 41 / 56 学科网（北京）股份有限公司 A． 的最大值是4 B．当 时，函数值 C．当 时， 随 的增大而增大 D．函数的图象关于直线 对称 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的 性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象 以及二次函数的性质找出最值、增减性区间、对称轴等是关键． 根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出 、二次函数对称轴为 、与x 轴的一个交点坐标为 以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察二次函数图象，发现： 开口向下，则 ，抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，与x 轴的一个交 点为 ． A、∵开口向下，抛物线的顶点坐标为 ， ∴二次函数y 的最大值为顶点的纵坐标，即函数y 的最大值是4，故此选项正确，不合题 意； B、∵二次函数的图象关于直线 对称，且函数图象与x 轴有一个交点 ， ∴二次函数与x 轴的另一个交点为 ． ∴当 时，函数值 ，故此选项错误，符合题意． C、当 时，y 随x 的增大而增大，故此选项正确，不合题意； D、∵二次函数的对称轴为直线 ， 42 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∴函数的图象关于直线 对称，故此选项正确，不合题意； 故选：B． 3．（25-26 九年级上·北京·期中）如图，抛物线 的部分图象如图所示，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是 解题的关键． 由函数图象得对称轴为 ，然后可得点 关于 的对称点的坐标，进而可得答 案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为直线 ， ∴点 关于直线 的对称点的坐标为 ， ∴关于x 的不等式 的解集是 故选：C． 4．（24-25 九年级上·山东德州·阶段检测）如图是二次函数 的图象，使 成立的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 43 / 56 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当 时对应的x 的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当 时， ， ， 结合函数图像可知，当 成立的 的取值范围是 或 ， 故选：D． 5．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数 和一次函数 的图象，观察图象，当 时，x 的取值范围是（ ） A． B． 或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数 和 一次函数 相交于两点的横坐标分别为 ，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数 和一次函数 相交于两点，两 点的横坐标分别为 ，1， 则当 时，x 的取值范围为 或 ． 故选：B． 6．（2023·四川绵阳·一模）二次函数 与一次函数 的图像如图所 示，则满足 的 的取值范围为（ ） 44 / 56 学科网（北京）股份有限公司 A． B． 或 C． 或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得 中x 的取值范围 就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x 的取值范围即可． 【详解】解：若 ，则 ， 有图像可知，当 或 时，二次函数的图像 在一次函数图像 的下方，即 ， ∴当 或 时， ， 则当 或 时， ， 故选：B． 7．（23-24 九年级上·河南新乡·期中）如图，一次函数 与二次函数 的图象交于 和 两点，当 时，x 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，由图象中抛物线在直线上方时x 的取值范围求解．解 题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 【详解】解：由图象可得在点D，B 之间时，二次函数 图象在一次函数 的上方， 45 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴当 时，则 ， 故选：C 8．（22-23 九年级上·甘肃金昌·期中）如图所示：已知二次函数 与 一次函数 的图象相交于点 和 ，则不等式 的取值范围是（ ） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【分析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可求解． 【详解】解： ∵二次函数 与一次函数 的图象相交 于点 和 ，， ∴能使 成立的x 的取值范围是 或 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图象法解不等式，数形结合是解题的关键． 题型八：利用不等式求自变量、函数值或参变量的范围 方法技巧 该题型需要结合二次函数的开口方向、对称轴和增减性，将函数值的大小比较转化 为自变量到对称轴距离的比较。 基本原理： • 对于开口向上的抛物线（𝑎> 0）：点到对称轴距离越远，函数值越大； • 对于开口向下的抛物线（𝑎< 0）：点到对称轴距离越远，函数值越小。 46 / 56 学科网（北京）股份有限公司 方法步骤： ①确定对称轴𝑥= ℎ； ②将函数值大小关系转化为“点到对称轴的距离”的大小关系： （Ⅰ）𝑎> 0时，𝑦1 > 𝑦2 ⇔ ∣𝑥1 −ℎ∣>∣𝑥2 −ℎ∣； （Ⅱ）𝑎< 0时，𝑦1 > 𝑦2 ⇔ ∣𝑥1 −ℎ∣<∣𝑥2 −ℎ∣； ③解绝对值不等式，确定参数的取值范围。 注意： 含参时需要考虑分类讨论，如两点在对称轴同侧或异侧。 1.（25-26 九年级上·天津武清·阶段检测）点 都在抛物线 上．若 ，则m 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m 的 不等式． 根据 列出关于m 的不等式即可解得答案． 【详解】∵点 在抛物线 上， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， 解得 ． 故m 的取值范围为 ． 故选：B． 2．（25-26 九年级上·全国·课后作业）已知二次函数 ，当 时，自变量x 的 47 / 56 学科网（北京）股份有限公司 取值范围是（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当 时，函数值 的取值范围． 【详解】 ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线 ，当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大 ∴当 时， ；当 时， ∴当 时，自变量 的取值范围是 或 故答案选C 3．（2023·江苏镇江·一模）在二次函数 图像上的两点 、 ，若 ，则t 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将 、 代入二次函数 求解即可． 【详解】将 、 代入二次函数 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）二次函数 ，当 时， 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 48 / 56 学科网（北京）股份有限公司 【答案】D 【分析】先对二次函数配方，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定 的取值 范围，计算端点和顶点的函数值，即可得到 的取值范围． 【详解】解： ∵二次项系数 ， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线 ． ∵ 在 内， ∴当 时， 取得最大值，即 ． 当 时， ； 当 时， ； ∴ ． 综上，当 时， 的取值范围是 ． 5．（25-26 九年级下·浙江杭州·期中）已知抛物线 （ 为常数），点 ， ， 在抛物线上，且满足 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质，得到对称轴 ，再利用抛物线开口向上，离对称轴越 远，函数值越大列不等式求解即可． 【详解】解：点 ， ， 在抛物线上， 抛物线对称轴为 ， 到对称轴的距离为1， 时， ，且 ，抛物线开口向上， 当 时， ，即 ， 或 ，解得 或 ， 当 时， ，即 ， 平方得， ，整理得， 49 / 56 学科网（北京）股份有限公司 解得 ， 综上， 时， ． 6．（2026·山东德州·一模）已知点 ， 在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将A，B 两点坐标代入抛物线解析式，得到 关于 的表达式，再根据 确定 的范围并比较大小即可． 【详解】解：∵ 点 ， 在抛物线 上， ∴ 将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， ∴ 对 ，不等式同乘 得 ，三边加 得 ；对 ，三边加 得 ， ∴ ，即 ． 7．（25-26 九年级上·河北邯郸·期末）已知抛物线 经过点 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题关键．先求出抛物线 的对称轴，结合开口方向判断增减性，转化为不等式并求解即可． 【详解】解：抛物线 的开口向上，对称轴为直线 ， ∴离直线 越近，函数值越小， ∵ ， 50 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ，即 ， 两边平方，得 ， 解得 ． 故选：D． 题型九：根据交点确定不等式的解集 方法技巧 常见题型有：由二次函数与一次函数图象交点确定解集；由已知解集反推参数的值 或范围。 核心思路：通过两函数图象的交点横坐标，确定不等式成立的自变量范围。 基本步骤： ①联立两函数解析式求交点横坐标； ②在坐标系中观察两图象的相对位置； ③根据“谁在上方”确定不等式方向：设两个函数分别为𝑦1、𝑦2 （Ⅰ）𝑦1 > 𝑦2 ⇔ 𝑦1图象在𝑦2图象上方； （Ⅱ）𝑦1 < 𝑦2 ⇔ 𝑦1图象在𝑦2图象下方。 特殊技巧： • 若不等式右侧不为0，先移项转化为𝑦1 −𝑦2 > 0，构造新函数； • 交点横坐标将𝑥轴分成若干区间，各区间内分别判断符号； • 注意不等号是否含等号（是否包含端点）。 1．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数 与一次函数 的图象交于 ， 两点，已知点 ，点 在 轴上，则不等式 的解集是（ ） A． 或 B． 或 51 / 56 学科网（北京）股份有限公司 C． D． 【答案】C 【详解】解： 对于二次函数 ，令 ，则 ， ∴二次函数 的图象与y 轴的交点为 ， ∵对于一次函数 ，令 ，则 ， ∴一次函数 的图象与y 轴的交点为 ， ∵两个图象交于 ， 两点，已知点 ，点 在 轴上， ． 则不等式 可变形为 ， 即 ， ∴有图象可得，它的解集是 ． 2．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知函数 与函数 的图象如图 所示．若 ，则自变量x 的取值范围是（ ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出 的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令 ，则 ， 解得 或 ， ∴由函数图象可知当 时，自变量x 的取值范围是 ． 3．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）二次函数 的部分图象如图所示，则 52 / 56 学科网（北京）股份有限公司 关于 的不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为 ，然后可得点 关于 的对称点的坐标， 即可求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为 ， ∴点 关于 的对称点的坐标为 ， ∴关于 的不等式 的解集是 ． 4．（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数 与二次函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 【分析】观察图象得，当 或 时，二次函数 的图象在一次 函数 图象的上方，由此即可得出结果． 53 / 56 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：观察图象得，当 或 时，二次函数 的图象在 一次函数 图象的上方， 即当 或 时， ， 不等式 的解集为 或 ． 5．（2026·安徽淮南·三模）如图，二次函数 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，对称轴为直线 ，一次函数 的图象也经过 ， 两点，则下 列结论错误的是( ) A． B．当 时， C．方程 有两个不相等的实数根 D．二次函数 的图象的最低点的坐标为 【答案】D 【分析】由抛物线开口向上，与y 轴交于正半轴，得到 ， ，由抛物线的对称轴为 直线 得到 ，即可判断A 选项；求出A，B 的坐标，结合图象即可判断B 选 项；根据抛物线 与直线 有两个交点即可判断C 选项；由 得到二次函数 ，进而求出图象的最低点的坐标，即 可判断D 选项． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y 轴交于正半轴， ∴ ， ， ∵抛物线的对称轴为直线 ， 54 / 56 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∴ ．故A 选项正确． ∵ 与y 轴交于点A，与x 轴交于点B ∴令 ，则 ， 令 ，则 ，解得 ， ∴ ， ， ∴由图象可得，当 时， ．故B 选项正确． ∵抛物线 与直线 有两个交点， ∴方程 ，即 有两个不相等的实数根．故C 选项正确． ∵ ， ∴ ， ∴二次函数 ， 当 时， ， ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线 ， ∴二次函数 的图象的最低点的坐标为 ．故D 选项错误． 6．（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线 与直线 交于B，C 两 点，与 轴交于点 ，已知点C 的坐标为 ，点B 的横坐标为3， 轴．下列结论 错误的是（ ） 55 / 56 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D．当 时， 【答案】D 【分析】求出 点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵点 在直线 上，且B 的横坐标为3， ∴点 的纵坐标为3， ∴ ， ∵ 轴， ∴ ， 把 ， ， 代入 ，得 ，解得 ， ∴ ， ∴ ， ； 由图象可知，当 时，抛物线在直线的下方，故 ； 即 ； 综上：只有选项D 错误. 7．（2026·广东汕头·一模）已知二次函数 ，若关于 的方程 的实数根为 ，且 ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定二次函数的开口方向与零点，再根据方程的几何意义判断交点横坐标的范 围，即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数 ，二次项系数为 ， ∴抛物线开口向上， 56 / 56 学科网（北京）股份有限公司 令 ，则有 ，解得 ， ， ∴抛物线与 轴交点为 和 ， 根据开口向上的抛物线的性质，可得当 时， ， 方程 的实数根 是抛物线 与直线 交点的横坐标， ∵ ，即 ， ∴两个交点都落在 区间内， 又 ， ∴ ．
