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25.2.4 根与系数的关系—解一元二次方程
知识点一 根与系数的关系
定义：一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个根分别为𝑥1、𝑥2，这两个根与方程的系
数𝑎、𝑏、𝑐有如下关系：𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎。
推导过程：由一元二次方程的公式法可得，当∆≥0时，方程有两个实数根，分别为
𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
， 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
不难发现：
𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏+ √𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
+ −𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
= −2𝑏
2𝑎= −𝑏
𝑎
𝑥1𝑥2 = −𝑏+ √𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
∙−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
= (−𝑏)2 −(𝑏2 −4𝑎𝑐)
4𝑎2
= 𝑐
𝑎
拓展延伸
对于根与系数的关系的推导，我们还有更具一般性的做法：
若一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的左侧可以分解因式为𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)，那么方
程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个根为𝑥1、𝑥2。反过来，若一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的
两个根为𝑥1、𝑥2，则
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)
即
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎𝑥2 −𝑎(𝑥1 + 𝑥2)𝑥+ 𝑎𝑥1𝑥2
由此可得
−𝑎(𝑥1 + 𝑥2) = 𝑏 , 𝑎𝑥1𝑥2 = 𝑐
因此
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎
特别提醒
①应用根与系数的关系之前，必须且只需满足三个条件，缺一不可：
•
（1）是一元二次方程（𝑎≠0）；
•
（2）是标准形式（𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0，𝑎, 𝑏, 𝑐必须是最简合并后的系数）；
第二十五章
一元二次方程
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•
（3）有实数根（Δ ≥0）。
②两根之和𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎中有一个致命的负号；两根之积𝑥1 ⋅𝑥2 =
𝑐
𝑎 则没有负号。
③当方程缺一次项（𝑏= 0）或缺常数项（𝑐= 0）时，必须明确写出 𝑏= 0 或 𝑐= 0 代入，
不能空着。尤其当 𝑐= 0 时，两根之积为 0，意味着至少有一根为 0，这个意义要理解。
归纳总结
一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个根分别为𝑥1、𝑥2，这两个根与方程的系数
𝑎、𝑏、𝑐有如下关系：𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎。有时，我们会将该关系式称为“韦达
定理”。
知识点二 根与系数的关系基础对称式
⚫
二次变形：
𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2
(𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2
𝑥1𝑥22 + 𝑥2𝑥12 = 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)
⚫
三次变形：
𝑥1𝑥23 + 𝑥2𝑥13 = 𝑥1𝑥2(𝑥12 + 𝑥22) = 𝑥1𝑥2[(𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2]
𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥12 −𝑥1𝑥2 + 𝑥22) = (𝑥1 + 𝑥2) [(𝑥1 + 𝑥2)2 −3𝑥1𝑥2]
⚫
分式变形：
1
𝑥1
+ 1
𝑥2
= 𝑥1 + 𝑥2
𝑥1𝑥2
𝑥2
𝑥1
+ 𝑥1
𝑥2
= 𝑥1
2 + 𝑥2
2
𝑥1𝑥2
= (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2
𝑥1𝑥2
1
𝑥12 + 1
𝑥22 = 𝑥1
2 + 𝑥2
2
(𝑥1𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2
(𝑥1𝑥2)2
⚫
绝对值变形：
|𝑥1 −𝑥2| = √(𝑥1 −𝑥2)2 = √(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2
拓展延伸
层级一：“降次代换”处理非对称式（重点！）
当所求代数式不对称时（如𝑥1
2 + 2𝑥2），不能直接套用公式，因为根与系数的关系只保证
对称式的值唯一。
•
策略：利用根的定义降次。
因为𝑥1是根，所以𝑥1
2 = −𝑏𝑥1 −𝑐（假设𝑎= 1便于理解），将𝑥1
2降为一次，再结合
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两根和（或积）求解。这种方法无缝衔接高中“整体代换”思想。
层级二：根与系数的关系与判别式的“双剑合璧”（压轴题方向）
对于含参方程，题目给出两根的特殊关系（如𝑥1 = 2𝑥2，或𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 5），需要联立：
•
根与系数的关系给出等式关系；
•
判别式Δ ≥0给出参数的取值范围，用来验根。切记，算出参数值后必须带回Δ验
证！
归纳总结
先观察要求的代数式是否为对称式：
①若是，则需要将根与系数的关系的二次变形、三次变形、分式变形和绝对值变形的式
子灵活代入，求值即可；
②若不是，即要求的代数式为非对称式，则需要对式子中的最高次项进行降次处理。
易错点 1 不验证方程是否有解，直接用根与系数的关系求值
•
错例：对于方程𝑥2 + 𝑥+ 4 = 0，认为其存在两个根为𝑥1、𝑥2，且𝑥1 + 𝑥2 = −1，
𝑥1𝑥2 = 4
•
错因：思维惰性，只关注“求和求积”的公式，完全忘了根与系数的关系的“适
用范围”
•
规避方法：“入境检查”三步法，强行规定做题第一步不写任何关系式，先单独
写一行：① 𝑎=? , 𝑏=? , 𝑐=?；② Δ =. ..；③ Δ ≥0。三行写完，才允许动笔写“由韦
达定理得”。
易错点 2 符号惯性出错
•
错例：对于方程𝑥2 + 5𝑥+ 6 = 0，𝑥1 + 𝑥2忘带负号，得到𝑥1 + 𝑥2 = 5
•
错因：受小学加法影响，潜意识认为“和一定是正数”，忽视了公式本身的负号
•
规避方法：代入根与系数的关系式时，不要直接出结果，而是先把𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎写
出来，再代数计算。
易错点 3 忽略系数𝒂
•
错例：对于方程2𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0，得出𝑥1𝑥2 = 1，却忘了除以2
•
错因：死记公式𝑥1𝑥2 = 𝑐，漏掉了分母的𝑎
•
规避方法：“公式完整性”的仪式感，每写一次根与系数的关系式时，强制要求
先写下完整的𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎，再代入数字，禁止跳写为𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏
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易错点 4 “降次”时思维混乱
•
错例：对于方程2𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0，其存在两个不同的根𝑥1、𝑥2，需要求2𝑥1
2 + 𝑥2，
得到的是2𝑥1
2 + 𝑥2 = −3𝑥1 + 1 + 𝑥2
•
错因：没有理解“根的定义”是用来替换高次的，机械记忆步骤，导致𝑥2替换时
正负号颠倒
•
规避方法：先写根义，再降次，比如𝑥1满足 2𝑥1
2 −3𝑥1 + 1 = 0 ⇒2𝑥1
2 = 3𝑥1 −
1，必须原封不动移项，并要求在草稿纸上画箭头标明“降次替换处”，不可心算跳步
易错点 5 由两根关系求参数时不验证∆
•
错例：已知关于𝑥的方程𝑥2 −(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚2 + 1 = 0的两个实数根为𝑥1、𝑥2，且
满足(𝑥1 −1)(𝑥2 −1) = 4，求𝑚的值。最后得出𝑚= 3或−1
•
错因：缺乏“取值范围”的全局观念，认为代数方程解出来就结束了
•
规避方法：验根是最后一颗扣子，我们可以规定所有含参方程题，解出参数后，
必须将每个值重新代入原方程的Δ中计算。若Δ < 0，坚决舍去
•
题型一：不解方程求两根之和或之积
方法技巧
熟记根与系数的关系，主要注意以下几点：
①符号不要代错；
②系数需要找准；
③公式需要记清楚，不要出现分子分母倒置的情况；
④计算不要出错。
1.若
1x ，
2x 是一元二次方程
2
5
6
0
x
x
−
+
=
的两个根，则
1
2
1
2
x
x
x x
+
−
的值是（ ）
A．11
−
B．11
C．1
D．1
−
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到
1
2
5
x
x
+
= ，
1
2
6
x x =
，整体代入代数式进
行计算即可．
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【详解】解：∵
1x ，
2x 是一元二次方程
2
5
6
0
x
x
−
+
=
的两个根，
1
a = ，
5
b = −，
6
c =
，
∴
1
2
5
x
x
+
= ，
1
2
6
x x =
，
∴
1
2
1 2
5 6
1
x
x
x x
+
−
= −
= −．
2.已知
1x ，
2x 是一元二次方程
2
2
9
0
x
x
+
−
=
的两个根，则
1
2
1
2
2
x
x
x x
+
−
的值为（ ）
A．16
B．16
−
C．20
D．20
−
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值
【分析】对于一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
，若两根为
1
2
,
x x ，则
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1 2
c
x x
a
=
，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵
1x ，
2x 是一元二次方程
2
2
9
0
x
x
+
−
=
的两个根，且
1
a = ，
2
b = ，
9
c = −
∴
1
2
2
2
1
+
= −
= −
x
x
，
1 2
9
9
1
x x
−
=
= −
∴
(
)
1
2
1
2
2
2
2
9
16
x
x
x x
+
−
= −−−
=
．
3.已知
1x ，
2x 是一元二次方程
2
5
8
0
x
x
−
−
=
的两个根，则
1
2
1
2
x
x
x x
+
−
的值为（ ）
A．13
B．13
−
C．3
D．3
−
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值
【分析】若一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的两根为
1x ，
2x ，则有
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1 2
c
x x
a
=
，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵
1x ，
2x 是一元二次方程
2
5
8
0
x
x
−
−
=
的两个根，
∴
1
2
5
5
1
x
x
−
+
= −
= ，
1 2
8
8
1
x x
−
=
= −，
∴
(
)
1
2
1
2
5
8
13
x
x
x x
+
−
=
−−
=
．
4.一元二次方程
2
3
4
0
x
x−
−
=
的两根为
1x ，
2x ，则
1
2
1 2
x
x
x x
+
+
= ______．
【答案】1
−
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
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【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子
计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
3
4
0
x
x−
−
=
的两根为
1x ，
2x ，
∴
1
2
3
3
1
b
x
x
a
−
+
= −
= −
= ，
1 2
4
4
1
c
x x
a
−
−
=
=
=
，
∴
(
)
1
2
1
2
3
4
1
x
x
x x
−
+
+
=
+ −
=
．
题型二：利用根与系数的关系求代数式的值
方法技巧
需要对以下公式熟练掌握，并灵活变形代入：
⚫
二次变形：
𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2
(𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2
𝑥1𝑥22 + 𝑥2𝑥12 = 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)
⚫
三次变形：
𝑥1𝑥23 + 𝑥2𝑥13 = 𝑥1𝑥2(𝑥12 + 𝑥22) = 𝑥1𝑥2[(𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2]
𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥12 −𝑥1𝑥2 + 𝑥22) = (𝑥1 + 𝑥2) [(𝑥1 + 𝑥2)2 −3𝑥1𝑥2]
⚫
分式变形：
1
𝑥1
+ 1
𝑥2
= 𝑥1 + 𝑥2
𝑥1𝑥2
𝑥2
𝑥1
+ 𝑥1
𝑥2
= 𝑥1
2 + 𝑥2
2
𝑥1𝑥2
= (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2
𝑥1𝑥2
1
𝑥12 + 1
𝑥22 = 𝑥1
2 + 𝑥2
2
(𝑥1𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2
(𝑥1𝑥2)2
⚫
绝对值变形：
|𝑥1 −𝑥2| = √(𝑥1 −𝑥2)2 = √(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2
若要求的代数式为非对称式，则需要对其中的高次项进行降次处理，可将其中一个
解代回原方程，将最高次项单独保留在等号一侧，其他低于该项的，移至等号另一
侧，最后代入到要求的代数式中化简即可。
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1.已知
1x 、
2x 是一元二次方程
2
3
2
6
0
x
x
+
−
=
的两根，则(
)(
)
1
2
1
1
x
x
+
+
的值是（ ）
A．
8
3
−
B．
5
3
−
C．
4
3
−
D．4
3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值
【分析】一元二次方程根与系数的关系：若
1x 、
2x 是一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
，则
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1 2
c
x x
a
=
．
先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变
形，整体代入计算即可得到结果．
【详解】解：
1x
、
2x 是一元二次方程
2
3
2
6
0
x
x
+
−
=
的两根，
∴
1
2
2
3
x
x
+
= −
，
1 2
6
2
3
x x
−
=
= −．
∴
1
2
(
1)(
1)
x
x
+
+
1
2
1
2
1
x x
x
x
=
+
+
+
2
2
1
3
= −+ −
+
5
3
= −
．
2.若，是一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
−
−=
的两个根，则1
1
+
的值为（ ）．
A．3
B．3
−
C．1
3
D．
1
3
−
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、分式的求值
【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入
计算即可求解．
【详解】∵，是一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
−
−=
的两个根，
∴由根与系数的关系可得：
3
3
2
2
b
a
−
+
= −
= −
=
，
1
2
c
a
=
= −
，
∴
3
1
1
2
3
1
2
+
+
=
=
= −
−
．
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3.若
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
2026
0
x
x
−
−
=
的两个实数根，则
2
1
1
2
x
x
x
−
+
的值是（ ）
A．2024
B．2026
C．2028
D．4052
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数、已知式子的
值，求代数式的值、一元二次方程的定义
【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之
和，整体代入算出结果．
【详解】解：∵
1x 是一元二次方程
2
2
2026
0
x
x
−
−
=
的实数根，
∴
2
1
1
2
2026
0
x
x
−
−
=
，
∴
2
1
1
2
2026
x
x
=
+
，
∴
(
)
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2026
2026
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
=
+
−
+
=
+
+
，
∵
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
2026
0
x
x
−
−
=
的两个实数根，
∴
1
2
2
x
x
+
=
，
∴
2
1
1
2
2
2026
2028
x
x
x
−
+
=
+
=
．
4.设
1x ，
2x 是一元二次方程
2
4
4
0
x
x
−
−
=
的两个根，则
2
2
1
2
x
x
+
=（ ）
A．4
B．8
C．24
D．26
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方
公式将所求式子变形，代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵
1x ，
2x 是一元二次方程
2
4
4
0
x
x
−
−
=
的两个根，
∴
1
2
4
x
x
+
=
，
1
2
4
x x
−
=
，
又∵
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
，
∴ 代入得
(
)
2
2
2
1
2
4
2
4
16
8
24
x
x
+
=
−−
=
+
=
．
5.已知m ，n 是方程
2
2025
7
0
x
x
+
+
=
的两个根，则(
)(
)
2
2
2024
6
2026
8
m
m
n
n
+
+
+
+
=
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（ ）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数、已知式子的
值，求代数式的值
【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计
算最终结果．
【详解】解：∵m ，n 是方程
2
2025
7
0
x
x
+
+
=
的两个根，
∴由根的定义得
2
2025
7
0
m
m
+
+
=
，
2
2025
7
0
n
n
+
+
=
，
由根与系数的关系得
2025
m
n
+
= −
，
7
mn =
，
化简第一个因式：
(
)
2
2
2024
6
2025
7
1
1
m
m
m
m
m
m
+
+
=
+
+
−
−= −
−，
化简第二个因式：
(
)
2
2
2026
8
2025
7
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
=
+
+
+
+ =
+ ，
∴原式(
)(
)
(
)
1
1
1
1
m
n
mn
m
n
mn
m
n
= −
−
+
= −
−
−
−= −
−
+
−，
代入
2025
m
n
+
= −
，
7
mn =
得：原式
(
)
7
2025
1
2017
= −−−
−=
．
6.已知实数a、b 是方程
2
2
1
0
x
x
−
−=
的两个根，则
3
6
a
a
b
+
+
的值是（ ）
A．14
B．14
−
C．17 2
D．10
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【详解】解：∵a 是方程
2
2
1
0
x
x
−
−=
的根，
∴
2
2
1
0
a
a
−
−=
，
∴
2
2
1
a
a
=
+ ，
∴
(
)
2
2
1
a
a
a
a
=
+
，
∴
3
2
2
=
+
a
a
a，
∴
(
)
3
2 2
1
5
2
a
a
a
a
=
+
+
=
+
，
∴
(
)
3
6
5
2
6
6
2
a
a
b
a
a
b
a
b
+
+
=
+
+
+
=
+
+
．
∵a ，b 是方程
2
2
1
0
x
x
−
−=
的两根，
∴由根与系数的关系得
2
a
b
+
=
，
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∴原式
6 2
2
14
= +
=
．
7.如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足
2
3
m
m
−
=
，
2
3
n
n
−
=
，那么代数式
2
2
2
14
n
mn
m
−
+
+
的值是（ ）
A．23
B．24
C．25
D．26
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、判断是否是一元二次方程的解、已知式子的
值，求代数式的值
【分析】由题意可知，两个不相等的实数m ，n 都满足同一个二次关系式，因此m ，n 是
一元二次方程
2
3
0
x
x
−
−
=
的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再
对所求代数式降次变形，整体代入计算即可．
【详解】解：
m
，n 是两个不相等的实数，且满足
2
3
m
m
−
=
，
2
3
n
n
−
=
，
m
，n 是一元二次方程
2
3
0
x
x
−
−
=
的两个不相等实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得：
1
m
n
+
= ，
3
mn = −，
又
2
3
n
n
−
=
，
2
3
n
n
=
+
，
将
2
3
n
n
=
+ 代入所求代数式得：
2
2
2
14
n
mn
m
−
+
+
(
)
2
3
2
14
n
mn
m
=
+
−
+
+
2
2
20
m
n
mn
=
+
−
+
(
)
2
20
m
n
mn
=
+
−
+
(
)
2 1
3
20
=
−−
+
25
=
．
8.已知a，b 是一元二次方程
2
3
1
0
x
x
+
+ = 的两个实数根，则
b
a
a
b
+
的值为（ ）
A．3
−
B．3
C．1
3
D．3
±
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减
运算
【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b 的
符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可．
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【详解】解：∵a ，b 是一元二次方程
2
3
1
0
x
x
+
+ = 的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得
3
a
b
+
= −，
1
ab = ，
∵
3
0
a
b
+
= −
，
1
0
ab =
，
∴
0
a
，
0
b
，
∴
(
)
(
)
1
3
1
1
3
1
ab a
b
b
a
ab
ab
ab
a
b
a
b
a
b
ab
−
+
−
−
+
=
+
= −
+
=
=
=
−
−
．
9.已知a ，b 是一元二次方程
2
3
5
0
x
x
+
−
=
的两个根，则
2
3
5
a
b
ab
−
−+
的值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．15
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数、已知式子的
值，求代数式的值
【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入
计算即可．
【详解】解：∵a 是一元二次方程
2
3
5
0
x
x
+
−
=
的根，
∴
2
3
5
0
a
a
+
−
=
，即
2
3
5
a
a
= −
+ ，
∵a ，b 是方程
2
3
5
0
x
x
+
−
=
的两个根，
∴由根与系数的关系可得
3
a
b
+
= −，
5
ab = −，
∴
2
3
5
a
b
ab
−
−+
(
)
3
5
3
5
a
b
ab
= −
+
−
−+
3
3
a
b
ab
= −
−
+
(
)
3 a
b
ab
= −
+
+
(
) (
)
3
3
5
= −−
+ −
4
=
．
10.已知关于x 的方程(
)
2
1
2
1
0
m
x
mx
m
+
−
+
−=
．
(1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解；
(2)当该方程是一元二次方程时，
①求证：该方程有两个不相等的实数根；
②已知
1x 和
2x 是该方程的两个根，求出
1
2
2
x
x
−
的值．（用含m 的代数式表示）
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【答案】(1)
1
x =
(2)①证明：由题可得，
1
m
−
，
1
a
m
=
+ ，
2
b
m
= −
，
1
c
m
=
−，
∴
(
)(
)
2
2
2
2
4
( 2 )
4
1
1
4
4
4
4
0
b
ac
m
m
m
m
m
−
= −
−
+
−
=
−
+
=
，
∴该方程有两个不相等的实数根；
②
1
1
m +
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、解
一元一次方程（一）——合并同类项与移项、通过对完全平方公式变形求值、判断是否是
一元一次方程
【分析】（1）根据一元一次方程可知
1
0
m+ =
，求出m 的值，代入
2
(
1)
2
1
0
m
x
mx
m
+
−
+
−=
求解即可；
（2）①根据根的判别式证明即可；
②根据根与系数的关系得到
1
2
2
2
1
1
m
m
x
x
m
m
−
+
= −
=
+
+ ，
1
2
1
1
m
x x
m
−
=
+ ，根据完全平方公式得到
(
)
(
)
2
1
2
2
4
1
x
x
m
−
=
+
，可知
1
2
2
x
x
−
的值．
【详解】（1）解：当
1
0
m+ =
，即
1
m = −时，该方程是一元一次方程，
把
1
m = −代入
2
(
1)
2
1
0
m
x
mx
m
+
−
+
−=
，得2
2
0
x−
=
，
解得
1
x = ，
∴该方程的解为
1
x = ；
（2）①略；
②解：∵
1x 和
2x 是该方程的两个解，
∴
1
2
2
2
1
1
m
m
x
x
m
m
−
+
= −
=
+
+ ，
1
2
1
1
m
x x
m
−
=
+ ，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
4
4
4
1
1
1
m
m
x
x
x
x
x x
m
m
m
−
−
=
+
−
=
−
=
+
+
+
，
所以
1
2
1
2
1
2
2
1
x
x
x
x
m
−
−
=
=
+
．
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题型三：利用根与系数的关系求参数的值
方法技巧
①列等式：根据题意（如两根倍数、倒数、平方和等），写出𝑥1 + 𝑥2、𝑥1𝑥2（含
参），代入条件构建关于参数的方程；
②解方程求参数：解出参数的可能取值；
③验根定范围：若题干中已强调方程的根的情况，则必须将每个解代回判别式Δ ≥0
（或Δ > 0）验证，必要时需要舍去使方程无实根的值；同时注意隐含约束（如分式
分母不为0、几何边长为正等）。
1.若关于x 的一元二次方程
2
27
0
x
mx
−
+
=
两根为
1x 、
2x ，且
1
2
3
x
x
=
，则m 的值为
（ ）
A．12
B．9
C．12
D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出m 的值．
【详解】解：对于一元二次方程
2
27
0
x
mx
−
+
=
，由根与系数的关系可得
1
2
27
x x =
，
1
2
x
x
m
+
=
∵
1
2
3
x
x
=
∴代入得
2
2
3
27
x =
，即
2
2
9
x =
解得
2
3
x =
或
2
3
x = −
当
2
3
x =
时，
1
9
x =
，
1
2
3 9
12
m
x
x
=
+
= +
=
当
2
3
x = −时，
1
9
x = −，
(
)
1
2
3
9
12
m
x
x
=
+
= −+ −
= −
∴
12
m =
．
2.若关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
0
4
k
x
k
x
+
−
+
=
的两根互为倒数，则k 的值为（ ）
A．2
−
B．2
C．2 或2
−
D．1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
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【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k 的可能值，再利用判别式验证方
程存在实根，舍去不符合的解得到结果．
【详解】解：设方程的两根为
1
2
,
x x ．
∵ 方程两根互为倒数，
∴
1
2
1
x x = ．
又∵由根与系数的关系得
2
1
2
4
k
x x =
．
∴
2
1
4
k
= ，解得
2
k =
或
2
k
−
=
．
∵ 一元二次方程有两个实数根，
∴
2
2
Δ
(
2)
4 1
4
4
0
4
k
k
k
=
−
−
= −
+
．
∴
1
k ．
∵
2
1
=
k
，不符合要求舍去，
∴
2
k
−
=
．
3.如果方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的两根是
1x ，
2x ，那么
1
2
b
x
x
a
−
+
=
，
1
2
c
x
x
a
=
，若关于x
的方程
(
)
2
2
1
1
0
x
k
x
k
−
−
+
+ =
的两个实数根满足关系式
1
2
1
x
x
−
= ，则k 的值为（ ）
A．11
B．1
−
C．11或1
−
D．11或1
−或1
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判
断一元二次方程根的情况、通过对完全平方公式变形求值
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式变形求解k，再验证方程
有两个实数根，即可得到结果．
【详解】解：∵方程
(
)
2
2
1
1
0
x
k
x
k
−
−
+
+ =
的两根为
1
2
,
x x
∴根据根与系数的关系得
1
2
1
2
k
x
x
−
+
=
，
1
2
1
2
k
x x
+
=
∵
1
2
1
x
x
−
=
∴两边平方得
2
1
2
(
)
1
x
x
−
=
由完全平方公式变形得
2
1
2
1
2
(
)
4
1
x
x
x x
+
−
=
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代入得
2
1
1
4
1
2
2
k
k
−
+
−
=
整理得
2
10
11
0
k
k
−
−
=
解得
1
2
11,
1
k
k
=
= −
∵方程有两个实数根，
∴判别式
(
)
2
2
(
1)
4 2
1
10
7
k
k
k
k
=
−
−
+
=
−
−
当
11
k =
时，
2
11
10 11 7
4
0
=
−
−
=
，符合要求
当
1
k = −时，
(
)
2
( 1)
10
1
7
4
0
= −
−
−
−
=
，符合要求
∴k 的值为11或1
−．
4.若关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
2
0
x
k
x
k
−
+
+
+
=
有两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
(2)已知方程的两个实数根分别为，，且(
)(
)
1
1
13
+
+
=
，求k 的值．
【答案】(1)
1
2
k
(2)
2
k =
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式
0
，代入系数解不等式得到
k 的范围；
（2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开(
1)(
1)
+
+
进行代换，
得到关于k 的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解．
【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根，
(
)
(
)
2
2
Δ
2
1
4
2
0
k
k
= −
+
−
+
，
解得
1
2
k
；
（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得
(
)
2
1
k
+
=
+
，
2
2
k
=
+
．
(
)(
)
(
)
1
1
1
13
+
+
=
+
+
+ =
，
(
)
(
)
2
2
2
1
1 13
k
k
+
+
+
+ =
，
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整理，得
2
2
8
0
k
k
+
−
=
，
解得
4
k = −或
2
k =
．
又
1
2
k
，
2
k
=
．
5.已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
3
0
x
m
x
m
+
−
+
=
的两个不相等的实数根，满足
1
1
1
+
= ，求m 的值．
【答案】3
−
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】首先根据根的判别式求出m 的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根
的和与积，将1
1
1
+
= ，转化为关于m 的方程，求出m 的值并检验．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
3
0
x
m
x
m
+
−
+
=
的两个不相等的实数根，
，
∴
(
)
2
3
3
2
m
m
+
= −
−
=
−
，
2
m
=
，
∵1
1
1
+
= ，
∴
1
+
= ，即
2
3
2
1
m
m
−
= ，
解得：
1
m = 或
3
m
−
=
，
由判别式大于零，得(
)
2
2
2
3
4
0
m
m
−
−
，
解得
3
4
m
，
∴
3
m
−
=
．
6.已知关于x 的一元二次方程(
)(
)
2
4
x
x
k
+
−
=
．
(1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设(
)(
)
2
4
x
x
k
+
−
=
的两个实数根分别为
1x 、
2x ，若
2
2
1
2
34
x
x
+
=
，求k 的值．
【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得
2
2
8
0
x
x
k
−
−−
=
，
∴根的判别式
(
)
2
( 2)
4 1
8
36
4
k
k
= −
−−−
=
+
，
∵
0
k
，
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∴36
4
0
k
+
，
即Δ
0
，
∴对于任何实数k ，方程总有两个不相等的实数根；
(2)
7
k =
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非
负性证明判别式恒大于0；
（2）利用根与系数的关系，将
2
2
1
2
x
x
+
变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解
k ，进而得到k 的值．
【详解】（1）略；
（2）解：由（1）得方程的一般形式为
2
2
8
0
x
x
k
−
−−
=
，
∵
1x ，
2x 是方程的两个实数根，
∴
1
2
2
x
x
+
=
，
1
2
8
x x
k
= −−
，
∵
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
，且
2
2
1
2
34
x
x
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
8
34
k
−
−−
=
，
解得
7
k =
，
∴
7
k = ．
7.关于x 的一元二次方程
2
3
1
0
x
x
m
+
+
−=
的两个实数根分别为
1x ，
2x ．
(1)求m 的取值范围；
(2)若
1
2
1
2
2
0
x
x
x x
+
−
=
，求m 的值．
【答案】(1)
13
4
m
(2)
1
2
m = −
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
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【分析】 （1）已知方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，列不
等式求解即可得到m 的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解m ，验证m 符合
第一问的取值范围即可得到结果.
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程
2
3
1
0
x
x
m
+
+
−=
有两个实数根，
∴
2
Δ
4
0
b
ac
=
−
，其中
1
a = ，
3
b =
，
1
c
m
=
−， 代入得
2
Δ
3
4 1 (
1)
13
4
0
m
m
=
−
−
=
−
，
解得
13
4
m
；
（2）解：由根与系数的关系可得：
1
2
3
b
x
x
a
+
= −
= −，
1 2
1
c
x x
m
a
=
=
−，
∵
1
2
1 2
2
0
x
x
x x
+
−
=
，
∴3
2(
1)
0
m
−−
−
=
，解得
1
2
m = −
.
∵
1
13
2
4
−
，符合m 的取值范围，
∴m 的值为
1
2
−
.
8.已知关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
x
m
−
−
=
有两个不相等的实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)若该方程的一个根是另一个根的3 倍，求m 的值．
【答案】(1)
4
m −
(2)
3
m
−
=
【分析】（1）利用
0
构造不等式，并求解即可；
（2）设方程的两根为
1x 、
2x ，且
1
2
3
x
x
=
，由根与系数的关系可得
1
2
4
x
x
+
=
，解得
2
1
x = ，
1
3
x = ，代入求出m 的值即可．
【详解】（1）解：∵
2
4
0
x
x
m
−
−
=
有两个不相等的实数根，
∴
(
)
(
)
2
Δ
4
4 1
0
m
= −
−−
，
化简，得16
4
0
m
+
，
解得
4
m −；
（2）解：设方程的两根为
1x 、
2x ，且
1
2
3
x
x
=
，
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2
4
0
x
x
m
−
−
=
，
由根与系数的关系可得，
1
2
4
x
x
+
=
，
1
2
x x
m
= −，
∵
1
2
3
x
x
=
，
∴
2
2
3
4
x
x
+
=
，
解得
2
1
x = ，
∴
1
2
3
3
x
x
=
= ，
∴
1
2
3
m
x x
−
=
=
，即
3
m
−
=
，符合
4
m −．
题型四：已知方程的一个根求另一个根
方法技巧
常见的方法有两种：
①直接代入已知的根，先将方程中未知的系数求出来，再解方程求另一个根；
②先观察方程中已知的系数，根据根与系数的关系，把能求出来的两根关系的式子
表达出来，再代入已知的那个根，即可求出另一个根。
1.若关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
mx−
+
=
的一个实数根为1，则另一实数根为（ ）
A．4
−
B．3
−
C．2
D．3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】设原方程的另一个实数根为t ，由根与系数的关系可得
3
1
1
t
−
=
，据此可得答案．
【详解】解：设原方程的另一个实数根为t ，
由一元二次方程根与系数的关系可得
3
1
1
t
−
=
，
∴
3
t = −，
∴原方程的另一个实数根为3
−．
2.已知
1
x = 是关于x 的一元二次方程
2
3
7
2
0
x
mx
−
−
=
的一个根，则方程的另一个根为
（ ）
A．2
B．3
2
C．1
D．
2
3
−
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【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【详解】解：设方程的另一个根为
2x ，
∵
1
x = 是关于x 的一元二次方程
2
3
7
2
0
x
mx
−
−
=
的一个根，
∴
2
2
1
3
x
−
=
，
解得：
2
2
3
x = −
．
3.已知关于x 的一元二次方程
2
2
3
1
0
x
ax
a
−
−
+ =
有两个不相等的实数根．
(1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根；
(2)若，是该方程的两个根，且
2
2
26
+
=
，求a 的值．
【答案】(1)另一个实数根为
1
5
−
(2)2 或
7
2
−
【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到
1
2
1
3
1
m
a
m
a
+ =
= −
+
，解方
程组即可得到答案；
（2）由根与系数的关系得到
2 ,
3
1
a
a
，根据完全平方公式的变形得到
(
)
2
2
26
+
−
=
，即(
)
(
)
2
2
2
3
1
26
a
a
−
−
+
=
，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m，
由根与系数的关系得
1
2
1
3
1
m
a
m
a
+ =
= −
+
，
解得
1
5
2
5
m
a
= −
=
，
∴另一个实数根为
1
5
−
；
（2）解：∵，是该方程的两个根，
∴
2 ,
3
1
a
a
，
∵
2
2
26
+
=
，
∴(
)
2
2
26
+
−
=
，
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∴(
)
(
)
2
2
2
3
1
26
a
a
−
−
+
=
，
∴
2
2
3
14
0
a
a
+
−
=
，
∴(
)(
)
2
7
2
0
a
a
+
−
=
，
解得
2
a =
或
7
2
a = −
；
当
2
a =
时，
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
Δ
2
4
3
1
4
4
6 1
36
0
a
a
= −
−
−
+
= −
−−+
=
，满足题意；
当
7
2
a = −
时，
(
)
(
)
2
2
7
7
Δ
2
4
3
1
2
4
3
1
3
0
2
2
a
a
= −
−
−
+
= −−
−−−
+
=
，满足题
意；
综上所述，a 的值为2 或
7
2
−
．
4.已知关于x 的一元二次方程²
1
0
x
kx
+
−=
．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是2，求k 的值和方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)
3
2
k = −
，方程的另一个根是
1
2
−
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的根与
2
4
b
ac
=
−
有如下关系：当
0
＞时，方程有两个不相等的实数根；当
0
=
时，方程有两个相等的实
数根；当
0
＜时，方程无实数根．
（1）先计算根的判别式的值得到
2
4
0
k
=
+
，则
0
，然后根据根的判别式的意义得
到结论；
（2）先把
2
x =
代入一元二次方程得到4
2
1
0
k
+
−=
，解一次方程得到
3
2
k = −
，所以原方程
为
2
3
1
0
2
x
x
−
−=
，然后用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）证明：∵
1
a = ，b
k
=
，
1
c
−
=
，
∴
(
)
2
2
2
4
4 1
1
4
b
ac
k
k
=
−
=
−−
=
+
，
∵
2
0
k
，
∴
2
4
0
k
=
+
，
∴方程总有两个不相等的实数根；
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（2）解：将
2
x =
代入一元二次方程²
1
0
x
kx
+
−=
得到4
2
1
0
k
+
−=
，
解得
3
2
k = −
，
∴原方程为
2
3
1
0
2
x
x
−
−=
，
设方程的另一个根为
2x ，则
2
2
1
x
= −，
解得
2
1
2
x = −
，
所以方程的另一个根是
1
2
−
．
5.已知关于x 的方程：
(
)
2
2
2
0
x
m
x
m
+
+
+
=
．
(1)求证：不论m 取何实数，该方程总有实数根；
(2)若该方程的一个根为
1
x = ，求 m 的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)
1
m = −，方程的另一个根为2
−．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，熟练运
用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．
（1）证明
2
4
0
b
ac
=
−
，即可得到结论；
（2）先把
1
x = 代入原方程求解m，再利用根与系数的关系
1
2
c
x
x
a
=
，求解另一个根即
可．
【详解】（1）证明：关于x 的方程：
(
)
2
2
2
0
x
m
x
m
+
+
+
=
，
1
a = ，
2
b
m
=
+ ，
2
c
m
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
Δ
4
2
4 1 2
4
4
8
4
4
2
0
b
ac
m
m
m
m
m
m
m
m
=
−
=
+
−
=
+
+
−
=
−
+
=
−
，
∴不论m 为何值，该方程总有实数根；
（2）解：将
1
x = 代入原方程得：
(
)
1
2
2
0
m
m
+
+
+
=
，
∴
1
m = −，
∴原方程为
2
2
0
x
x
+
−
=
，
∴
1
2
2
c
x x
a
=
= −，
∵
(
)
1
2
2
−
= −，
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∴方程的另一个根为2
−．
6.已知关于x 的方程
2
4
0
x
x
c
−
+
=
(1)当方程的一个根为2 时，求c 的值．
(2)若方程的两根之积为3，求方程的根．
【答案】(1)
4
c =
(2)
1
1
x = ，
2
3
x =
【分析】（1）将方程的根
2
x =
代入原方程即可求解；
（2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：将方程的根
2
x =
代入原方程：4 8
0
c
−+ =
，解得
4
c =
；
（2）设方程的两根为
1x ，
2x ，若方程的两根之积为3，
则
1
2
3
1
c
x x =
=
，解得
3
c = ，
即：
(
)(
)
2
4
3
1
3
0
x
x
x
x
−
+
=
−
−
=
，
解得
1
1
x = ，
2
3
x =
．
7.已知关于x 的一元二次方程
2
2
1
x
mx
−
= ，其中m 为实数．
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为1
−，求另一个根；
(3)若该方程的一个根大于2 ，另一个根小于2 ，求m 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
1
2
x =
(3)
7
2
m
【分析】（1）由根的判别式计算即可证明；
（2）将已知的方程根代入方程后可求得m 的值，再根据根与系数的关系得到
1
2
x
x
+
的值，
进而可得另一个根；
（3）方程
2
2
1
x
mx
−
= 的两个实数根为a ，b ，由根与系数的关系得到a
b
+
，ab ，再根据
两个根的取值范围得到(
)(
)
2
2
0
a
b
−
−
，然后解不等式即可．
【详解】（1）证明：一元二次方程
2
2
1
x
mx
−
= 化为一般形式为
2
2
1
0
x
mx
−
−=
，
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(
)
(
)
2
2
4 2
1
8
0
m
m
= −
−−
=
+
，
该方程有两个不相等的实数根；
（2）解：将
1
x = −代入方程
2
2
1
x
mx
−
= 得，
(
)
(
)
2
2
1
1
1
m
−
−
−
= ，解得
1
m = −，
此方程为
2
2
1
0
x
x−
+
=
，
1
2
1
2
x
x
+
= −
，
另一根为
(
)
1
1
1
2
2
x = −
−−
=
；
（3）解：设方程
2
2
1
x
mx
−
= 的两个实数根为a ，b ，
2
2
m
m
a
b
−
+
= −
=
，
1
2
ab = −
，
方程
2
2
1
x
mx
−
= 的一个根大于2 ，另一个根小于2 ，
(
)(
)
2
2
0
a
b
−
−
，
(
)
2
4
0
ab
a
b
−
+
+
，
1
2
4
0
2
2
m
−
−
+
，解得
7
2
m
．
题型五：根与系数的关系与几何的综合问题
方法技巧
（Ⅰ）解题框架：
①建立等式：利用根与系数的关系写出两根和、积（含参数），作为几何量的代数表
达式；
②代入几何条件：如面积（𝑆=
1
2 𝑎𝑏）、周长（2(𝑎+ 𝑏)）、勾股定理（𝑎2 + 𝑏2 =
𝑐2），转化为含参数的方程；
③验证限制：必须同时满足——判别式Δ ≥0确保根存在、两根为正（边长）、三角
形三边关系（两边之和大于第三边）、等腰分类讨论。
（Ⅱ）关键警示：
•
求参数后必须回代判别式验根，舍去使Δ < 0或边长为负的值；
•
遇到等腰三角形，需分类讨论哪两边为腰，验证是否满足三边关系。
（Ⅲ）总结：列根与系数的关系式→代几何→验三关（判别式、正根、几何约束）。
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1. Rt
ABC
△
的面积是S，一直角边AC 长是x，根据题意可列方程
(
)
1
2 x x
m
S
+
= ．若该方
程的两根为
1
2
,
,
x
a x
b
=
=
其中
0
a
，
0
b
，则另一直角边BC 长是（ ）
A．a
b
+
B．a
b
−
C．ab
−
D．b
−
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】先整理原方程，根据直角边长度为正确定AC 的取值，再利用根与系数的关系得
到m 与两根a、b 的关系，最后代入另一直角边的表达式即可求出结果．
【详解】解：
(
)
1
2 x x
m
S
+
=
，
整理得：
2
2
0
x
mx
S
+
−
=
，
∵直角边长度为正数，方程两根为
(
)
(
)
1
2
0 ,
0
x
a a
x
b b
=
=
，
∴AC
x
a
=
=
，
2
2
0
a
ma
S
+
−
=
，a
b
m
+
= −
，
∴
2
2S
a
ma
=
+
，m
a
b
= −−，
根据三角形面积公式得：
(
)
2
2S
a
ma
BC
a
m
a
a
b
b
AC
a
+
=
=
=
+
=
+ −−
= −，
2. 已知矩形的两条邻边长是方程
2
10
24
0
x
x
−
+
=
的两个根，则矩形的周长是（ ）
A．10
B．12
C．20
D．24
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】设矩形两条邻边长分别为
1x ，
2x ，由根与系数的关系可知
1
2
10
x
x
+
=
，即可求
解．
【详解】解：设矩形两条邻边长分别为
1x ，
2x ，
1x
，
2x 是方程
2
10
24
0
x
x
−
+
=
的两个根，
由根与系数的关系得
1
2
10
x
x
+
=
．
矩形的周长为(
)
1
2
2
2 10
20
x
x
+
=
=
．
3. 如果关于x 的方程(
)(
)
2
3
6
0
x
x
x
n
−
−
+
=
有三个根，且这三个根可以作为一个三角形的
三边之长，则n 的取值范围为（ ）
26 / 46
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A．0
9
n
B．
27
4
n
C．27
9
4
n
D．27
9
4
n
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、运用完全平方公式进行运算、根据一元二次
方程根的情况求参数、求不等式组的解集、三角形三边关系的应用
【分析】原方程已有一个根
3
x = ，方程有三个根要求二次式
2
6
x
x
n
−
+
对应的一元二次方
程有两个实根，则
0
，再结合三角形三边关系列出不等式求解n 的范围即可．
【详解】解：由方程(
)(
)
2
3
6
0
x
x
x
n
−
−
+
=
，可得一个根
1
3
x = ，
∵方程有三个根，
∴
2
6
0
x
x
n
−
+
=
有两个实根，
∴
2
Δ
( 6)
4
0
n
= −
−
，
解得
9
n
，
设一元二次方程
2
6
0
x
x
n
−
+
=
的两个根为
2
3
,
x x ，
∴
2
3
6
x
x
+
=
，
2
3
x x
n
=
，
∵三角形边长为正数，
2
3
6
0
x
x
+
=
，
∴
2
3
0
x x
n
=
，
∵三个根可作为三角形三边，
2
3
6
3
x
x
+
=
，已满足两边之和大于第三边，
∴
2
3
3
x
x
−
，
∴
2
2
3
(
)
9
x
x
−
，
∴
2
2
3
2
3
(
)
4
9
x
x
x x
+
−
，
代入
2
3
6
x
x
+
=
，
2
3
x x
n
=
得，36 4
9
n
−
，
解得
27
4
n
，
综上所述，n 的取值范围为27
9
4
n
．
4.已知ABC
的两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
2
0
x
n
x
n
n
−
−
+
−
=
的两
个根，第三边BC 的长是10．
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(1)求证：无论n 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当n 为何值时，ABC
是以BC 为斜边的直角三角形？
【答案】(1)证明：∵对于一元二次方程
(
)
2
2
2
1
2
0
x
n
x
n
n
−
−
+
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
Δ
2
1
4 1
2
n
n
n
= −
−
−
−
(
)
2
2
4
2
1
4
8
n
n
n
n
=
−
+
−
+
2
2
4
8
4
4
8
n
n
n
n
=
−
+
−
+
4
0
=
．
∴无论n 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当
8
n = 时，ABC
是以BC 为斜边的直角三角形．
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判
断一元二次方程根的情况、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得
(
)
2
1
AB
AC
n
+
=
−
，
2
2
AB AC
n
n
=
−
，从而
得到
2
2
2
2
4
4
AB
AC
n
n
+
=
−
+
，再根据勾股定理可得关于n 的方程，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
2
0
x
n
x
n
n
−
−
+
−
=
的两个根，
∴
(
)
2
1
AB
AC
n
+
=
−
，
2
2
AB AC
n
n
=
−
，
∴(
)
(
)
2
2
4
1
AB
AC
n
+
=
−
，即
(
)
2
2
2
2
4
1
AB
AC
AB AC
n
+
+
=
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
4
1
2
2
AB
AC
n
n
n
+
=
−
−
−
(
)
2
2
4
2
1
2
4
n
n
n
n
=
−
+
−
+
2
2
4
8
4
2
4
n
n
n
n
=
−
+
−
+
2
2
4
4
n
n
=
−
+
，
∵ABC
是以BC 为斜边的直角三角形，
∴
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
∵第三边BC 的长是10，
∴
2
2
2
4
4
10
n
n
−
+
=
，
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整理得
2
2
48
0
n
n
−
−
=
，即(
)(
)
8
6
0
n
n
−
+
=
，
解得
1
8
n = ，
2
6
n = −，
当
8
n = 时，
(
)
2 8 1
14
10
AB
AC
+
=
−
=
，符合题意；
当
6
n
−
=
时，
(
)
2
6 1
14
0
AB
AC
+
=
−−
= −
，不符合题意；
∴当
8
n = 时，ABC
是以BC 为斜边的直角三角形．
5.关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
kx
k
−
+
−=
①求证：无论k 取何值，方程总有两个不相等实数根．
②若ABC
两边AB 、AC (
)
AB
AC
的长是这个方程的两根，且斜边
10
BC =
．问k 为何
值时，ABC
是直角三角形．
【答案】①证明：对于关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
kx
k
−
+
−=
，
∵这个方程根的判别式为
(
)
(
)
2
2
2
2
Δ
2
4
1
4
4
4
4
0
k
k
k
k
= −
−
−
=
−
+
=
，
∴无论k 取何值，方程总有两个不相等实数根．
②当
7
k =
时，ABC
是直角三角形
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定
理的逆定理等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
①利用一元二次方程根的判别式即可得证；
②先一元二次方程的根与系数的关系可得
2
2 ,
1
AB
AC
k AB AC
k
+
=
=
−，从而可得
2
2
2
2
2
AB
AC
k
+
=
+
，再根据勾股定理的逆定理可得要使ABC
是以BC 为斜边的直角三角
形，则
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，解方程可得k 的值，然后结合
2
0
AB
AC
k
+
=
即可得出答案．
【详解】①略
②∵ABC
两边AB 、AC (
)
AB
AC
的长是这个方程的两根，
∴
2
2 ,
1
AB
AC
k AB AC
k
+
=
=
−，
∴
(
)
2
2
2
2
AB
AC
AB
AC
AB AC
+
=
+
−
(
)
(
)
2
2
2
2
1
k
k
=
−
−
2
2
2
k
=
+ ，
要使ABC
是以BC 为斜边的直角三角形，则
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
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∴
2
2
2
2
10
k +
=
，
解得
7
k =
或
7
k = −，
当
7
k = −时，
(
)
2
2
7
14
0
AB
AC
k
−
+
=
=
−
=
，不符合题意，舍去，
∴当
7
k =
时，ABC
是直角三角形．
6. 已知四边形ABCD相邻两边AB ，AD的长度分别是关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
1
0
x
a
x
a
+
−
+
=
的两个实数根
1x ，
2x ．
(1)若四边形ABCD为菱形，求a 的值；
(2)若四边形ABCD为矩形，且该矩形对角线AC 的长度为7 ，求a 的值．
【答案】(1) 1
4
(2) 1
−
【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有
(
)
2
2
2
1
4
0
a
a
=
−
−
=
，解方程即可求出a 的值；
（2）四边形ABCD为矩形，所以方程
(
)
2
2
2
1
0
x
a
x
a
+
−
+
=
一定有两个实数根，所以有
(
)
2
2
2
1
4
0
a
a
=
−
−
，解不等式求出a 的取值范围，因为矩形对角线AC 的长度为7 ，所
以
(
)
2
2
2
1
2
7
x
x
+
=
，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
2
2
3
0
a
a
−
−
=
，解方程即可
求出a 的值．
【详解】（1）解：四边形ABCD为菱形，
方程
(
)
2
2
2
1
0
x
a
x
a
+
−
+
=
有两个相等的实数根，
(
)
2
2
2
1
4
0
a
a
=
−
−
=
，
整理可得：1 4
0
a
−
=
，
解得：
1
4
a =
；
（2）解：四边形ABCD为矩形，
(
)
2
2
2
1
0
x
a
x
a
+
−
+
=
一定有两个实数根，
(
)
2
2
2
1
4
0
a
a
=
−
−
，
1 4
0
a
−
，
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1
4
a
，
1
2
1 2
x
x
a
+
= −
，
2
1
2
x x
a
=
，
矩形对角线AC 的长度为7 ，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1 2
2
7
AC
x
x
x
x
x x
a
a
=
+
=
+
−
=
−
−
=
，
整理可得：
2
2
3
0
a
a
−
−
=
，
解得：
1
3
a = （不符合题意，舍去），
2
1
a = −，
1
a
= −．
7.已知关于x 的方程
(
)
2
2
2
1
0
x
k
x
k
k
−
+
+
+
=
．
(1)求证：无论k 取何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若等腰ABC
的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求ABC
的周长．
【答案】(1)见解析
(2) ABC
的周长为16 或14
【分析】（1）一元二次方程实根情况由判别式决定，当有两个不相等的实数根时，判别式
大于0；
（2 ）计算方程的两个根，讨论两根分别为腰的情况．
【详解】（1）证明：对于方程
(
)
2
2
2
1
0
x
k
x
k
k
−
+
+
+
=
，
(
)
(
) (
) (
)
2
2
2
2
2
1
4 1
4
4
1
4
4
1
0,
k
k
k
k
k
k
k
= −
+
−
+
=
+
+
−
+
=
无论k 取何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
0,
1
0
x
k
x
k
k
x
k
x
k
−
+
+
+
=
−
−
+
=
，解得
1
2
,
1
x
k x
k
=
=
+ ，
该等腰三角形的两条边长分别为k 和
1
k + ，
已知等腰ABC
的一边长为5，分两种情况讨论：
①当
5
k =
时，此时三边长分别为5，5，6，可以构成三角形，此时周长为5 5 6
16
+ +
=
；
②当
1
5
k + =
时，
4
k =
，此时三边长分别为4，5，5，可以构成三角形，此时周长为
4 5 5
14
+ + =
；
综上，ABC
的周长为16 或14．
【点睛】本题主要考查一元二次方程实根情况与系数的关系，解含参数一元二次方程，等
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腰三角形在没告诉腰具体是哪条边的情况下，要进行分类讨论．
题型六：根与系数的关系与最值问题
方法技巧
（Ⅰ）若代数式是用方程的两个根表示的：
①先对代数式拆括号、通分（如果有需要的话）、合并、化简；
②从原方程中，将两根之和、两根之积表示出来；
③代回要求的代数式，利用平方式的性质求最值即可。
（Ⅱ）若代数式是用方程中的系数表示的：
①根据题干中描述的两根之间的等量关系，表达出对应的等量关系式；
②将根与系数的关系代入到等量关系式后，用其中一个系数表示另一个系数，并将
该关系式记为“式𝑎”；
③把“式𝑎”代入要求的代数式中，可以通过配方，或直接根据平方式的性质，求代数
式的最值。
1.已知关于x 的一元二次方程
2
1
0
ax
bx
+
+ =
的两根之差为2，则代数式
2
12a
b
−
的最大值为
（ ）
A．8
−
B．2
−
C．4
D．10
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质、解一元二次方程——配方法
【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立,a b 的等量关系，代入所求式后配方
求最值即可．
【详解】解：设方程
2
1
0
ax
bx
+
+ =
的两根分别为
1x ，
2x ．
由根与系数的关系得
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1
2
1
x x
a
=
．
∵ 两根之差为2，
∴
2
1
2
(
)
4
x
x
−
=
．
又∵
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x x
−
=
+
−
，
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∴
2
1
4
4
b
a
a
−
−
=
．
整理，得
2
2
4
4
b
a
a
−
=
，即
2
2
4
4
b
a
a
=
+
．
将
2
2
4
4
b
a
a
=
+
代入
2
12a
b
−
，得
(
)
2
2
12
4
4
4
8
a
a
a
a
a
−
+
= −
+
，
配方得
2
2
4
8
4(
1)
4
a
a
a
−
+
= −
−
+
．
∵
2
(
1)
0
a −
，
∴
2
4(
1)
0
a
−
−
，
∴
2
4(
1)
4
4
a
−
−
+
．
∴代数式
2
12a
b
−
的最大值为4．
2.已知m ，n 是一元二次方程
2
1
0
x
kx
+
+ =
的两个实数根，p ，q 是一元二次方程
2
0
x
x
k
+
+
=
的两个实数根，则
2
2
2
m
n
p
q
k
n
m
+
+
+
−
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、运用完全平方公式进行运算、根据一元二次
方程根的情况求参数、根据一次函数增减性求参数
【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k 的取值范围，再利用一元二次方程
根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值．
【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程
2
1
0
x
kx
+
+ =
的两个实数根，
∴m
n
k
+
= −，
1
mn = ，
2
1
4
0
k
=
−
，即
2
4
k
，
∵p ，q 是一元二次方程
2
0
x
x
k
+
+
=
的两个实数根，
∴
1
p
q
+
= −，pq
k
=
，
2
1 4
0
k
= −
，即
1
4
k
，
∴k 的取值范围为
2
k −，
∴
2
2
2
m
n
p
q
k
n
m
+
+
+
−
2
2
2
2
2
2
2 q
m
n
p
q
k
mn
n
p
m
pq
=
−
+
+
+
+
−
(
)
2
2
2
2
2p
m
n
p
q
k
mn
q
+
=
−
+
+
−
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(
)
(
)
2
2
2
2
2
p
m
n
mn
p
q
k
mn
q
+
−
=
−
+
+
−
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
1
k
k
k
−
−
=
−
+ −
−
2
2
2 1 2
k
k
k
=
−
−
+
−
2
1
k
= −
−
∵2
0
−
，
∴原式随k 的增大而减小，且
2
k −，
∴当k 取最大值2
−时，原式取得最小值，即
(
)
2
2
1
3
−−
−=
．
3.已知关于x 的方程(
)(
)
2
1
2
x
x
m
−
−
=
．
(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
1x ，
2x 是方程的两根．
①当
1
1
x = −时，求m 的值；
②直接写出代数式(
)(
)
1
2
1 1
x
x
−
−
的最小值．
【答案】(1)将(
)(
)
2
1
2
x
x
m
−
−
=
，整理得
2
2
3
2
0
x
x
m
−
+
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
Δ
3
4 2
9
8
4
4
1
0
m
m
m
= −
−
−
=
−+
=
+
，
无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根
(2)①
6
m =
；②0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由
一元二次方程的解求参数
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可；
（2）①把
1
1
x = −代入方程(
)(
)
2
1
2
x
x
m
−
−
=
，即可求解；②利用一元二次方程根与系数
的关系可得
1
2
3
x
x
+
=
，
2
1
2
2
x
x
m
=
−
，再代入(
)(
)
1
2
1 1
x
x
−
−
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：①把
1
1
x = −代入方程(
)(
)
2
1
2
x
x
m
−
−
=
，得
2
6
m =
，
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6
m
=
．
②将(
)(
)
2
1
2
x
x
m
−
−
=
，整理得
2
2
3
2
0
x
x
m
−
+
−
=
∵
1x ，
2x 是方程的两根，
1
2
3
x
x
+
= ，
2
1
2
2
x
x
m
=
−
，
∴(
)(
)
2
1
2
1
2
1
2
1 1
1
0
x
x
x
x
x
x
m
−
−
=
+
−
−=
，
所以代数式(
)(
)
1
2
1 1
x
x
−
−
的最小值为0．
4.请认真阅读材料
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
（
0
a
，
2
4
0
b
ac
−
）的两根
1x ，
2x 有如下的关系：
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1
2
c
x
x
a
=
；
材料2：如果实数m 、n 满足
2
1
0
m
m
−
−=
、
2
1
0
n
n
−
−=
，且m
n
，则可利用根的定义构
造一元二次方程
2
1
0
x
x
−
−=
，将m 、n 看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料3：如果实数m 、n 满足m
n
p
+
= −
、mn
q
=
，则可利用韦达定理构造一元二次方程
2
0
x
px
q
+
+
=
，则此方程一定有m 、n 两个实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知一元二次方程
2
1013
0
x
x
−
−
=
的两根分别为a 、b ，求
2
2
a
b
+
的值．
(2)已知不相等的两个实数p 、q 满足
2
2
4
6
4
6
0
p
p
q
q
+
−
+
+
−
=
，求
2
5
p
pq
p
q
−
+
+
的
值．
(3)已知实数a 、b 、c 满足
2
0
a
b
c
+ +
=
、
2
2
0
ab
c
c
−
−+
=
，求c 的最大值．
【答案】(1)
2
2
2027
a
b
+
=
(2)
2
5
8
p
pq
p
q
−
+
+
=
(3)c 的最大值为2
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系与完全平方公式的变形求解；
（2）利用二次根式的被开方数的非负性得到
2
2
4
6
0
4
6
0
p
p
q
q
+
−
=
+
−
=
，根据两个一元二次方程的二
次项系数，一次项系数以及常数项都相等判断出,p q是一元二次方程
2
4
6
0
x
x
+
−
=
的两个
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不相等的实数根，再根据根与系数的关系求解；
（3）根据材料3 构造一元二次方程，再根据判别式求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程
2
1013
0
x
x
−
−
=
的两根分别为a 、b ，
∴由根与系数的关系可知：
1
1013
a
b
ab
+
=
= −
，
(
)
2
2
2
2
2
1
2 1013
2027
a
b
a
b
ab
+
=
+
−
=
+
=
；
（2）解：
2
2
4
6
4
6
0
p
p
q
q
+
−
+
+
−
=
，
2
4
6
0
p
p
+
−
，
2
4
6
0
q
q
+
−
，
2
2
4
6
0
4
6
0
p
p
q
q
+
−
=
+
−
=
，
∵p
q
，
∴实数p 、q 可看作是方程
2
4
6
0
x
x
+
−
=
的两个不相等的实数根
由根与系数的关系可知：
4
6
p
q
pq
+
= −
= −
，
(
)
(
)
(
)
2
2
5
4
6
6
4
8
p
pq
p
q
p
p
pq
p
q
−
+
+
=
+
−
+
+
=
−−
−
=
．
（3）解：∵实数a 、b 、c 满足
2
0
a
b
c
+ +
=
、
2
2
0
ab
c
c
−
−+
=
，
2
2
2
a
b
c
ab
c
c
+
= −
=
+ −
，
∴实数a 、b 可看作是方程
2
2
2
2
0
x
cx
c
c
+
+
+
−
=
的两个实数根 ，
(
)
2
2
Δ
(2 )
4
2
0
c
c
c
=
−
+ −
，
解得：
2
c
，
c
的最大值为2．
5.设
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
2
3
2
0
x
x
m
−
+
−
=
的两根．
(1)当
1
1
x = −时，求
2x 及m 的值；
(2)求证：无论m 取何值，方程总有2 个实数根．
(3)求证：(
)(
)
1
2
1
1
0
x
x
−
−
．
【答案】(1)
2
4
x =
，
6
m =
(2)
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证明：∵
(
)
(
)
2
2
2
2
Δ
3
4 1
2
9
8
4
4
1
0
m
m
m
= −
−
−
=
−+
=
+
，
∴无论m 取何值，方程总有2 个实数根；
(3)
证明：
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
2
3
2
0
x
x
m
−
+
−
=
的两根，
∴
1
2
3
x
x
+
=
，
2
1
2
2
x
x
m
=
−
，
∴(
)(
)
1
2
1
1
x
x
−
−
1
2
1
2
1
x x
x
x
−
=
−
+
(
)
1
2
1
2
1
x x
x
x
=
−
+
+
2
2
3 1
m
=
−
−
+
2
m
= −
0
，
即(
)(
)
1
2
1
1
0
x
x
−
−
．
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果；
（2）求出
2
4
1
0
m
=
+
，即可得证；
（3）由一元二次方程根与系数的关系可得
1
2
3
x
x
+
=
，
2
1
2
2
x
x
m
=
−
，再将(
)(
)
1
2
1
1
x
x
−
−
展
开，整体代入并计算即可得证．
【详解】（1）解：∵
1x ，
2x 是关于x 的一元二次方程
2
2
3
2
0
x
x
m
−
+
−
=
的两根，
∴
1
2
3
x
x
+
=
，
2
1
2
2
x
x
m
=
−
，
∵
1
1
x = −，
∴
2
4
x =
，
∴
2
1 4
2
m
−
=
−
，
∴
6
m =
；
（2）证明：略；
（3）证明：略．
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题型七：与根与系数的关系相关的新定义
方法技巧
一般的，新定义题目会对方程的两个根的关系重新进行定义，可能会涉及到两者的
差值、两者之间的倍数关系，因此在做题时，一方面要遵循题干中所给的等量关
系，通过假设，尽可能保证含有一个未知量；一方面要对计算的代数式进行转化，
具体的，可以使用等量代换法对参数进行替换。
1.如果关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的
2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x 的方程
2
2
0
px
x
q
+
+
=
是倍根方程，则pq
的值为（ ）
A．7
8
B．8
9
C．2
D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题根据“倍根方程”的定义，设出方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的
关系建立等式，化简即可求出pq 的值．
【详解】解：设方程
2
2
0
px
x
q
+
+
=
的两个根分别为m 和2m ，且
0
p
．根据一元二次方
程根与系数的关系可得：
2
2
2
m
m
p
q
m
m
p
+
= −
=
①
②
由①得：
2
3m
p
= −
，即
2
3
m
p
= −
．
将
2
3
m
p
= −
代入②得：
2
2
2
3
q
p
p
−
=
化简得：
2
8
9
q
p
p
=
．
两边同乘
2
p （
0
p
）得：
8
9
pq =
．
2.如果关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
有两个实数根，且其中一个根是另一个
根的n 倍，则称这样的方程为“n 倍方程”，以下关于n 倍方程的说法正确的是（ ）
①方程
2
3
2
0
x
x
−
+
=
是2 倍方程；②若(
)(
)
3
1
0
x
mx
−
+
=
为3 倍方程，则
1
9
m = −
；③若
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p ，q 满足
8
pq =
，则关于x 的方程
2
6
0
px
x
q
−
+
=
为2 倍方程；④若关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
为n 倍方程，则
(
)
2
2
1
nb
n
ac
=
+
．
A．①③
B．①④
C．①③④
D．①②③
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、公式法解一元
二次方程
【分析】根据新定义“n 倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个
说法即可得到结论．
【详解】解：①解方程
2
3
2
0
x
x
−
+
=
，
因式分解得(
)(
)
1
2
0
x
x
−
−
=
，
解得
1
2
1,
2
x
x
=
=
，
2
2 1
=
，满足2 倍方程定义，①正确；
②方程(
)(
)
3
1
0
x
mx
−
+
=
的两根为
1
2
1
3,
x
x
m
=
= −
，
∵方程是3 倍方程，
故分两种情况讨论：
当
1
2
3
x
x
=
时，
1
3
3
m
= −
，解得
1
m = −，
当
2
1
3
x
x
=
时，
1
3 3
m
−
= ，解得
1
9
m = −
，
1
m
= −或
1
9
m = −
，故②错误；
③若
8
pq =
，则方程
2
6
0
px
x
q
−
+
=
的判别式
2
( 6)
4
36
4 8
4
0
pq
= −
−
=
−=
，
∴方程有两个不相等的实数根，
由求根公式得
6
4
6
2
2
2
x
p
p
=
=
，
即
1
2
8
4
4
2
,
2
2
x
x
p
p
p
p
=
=
=
=
，
∴
1
2
2
x
x
=
，满足2 倍方程定义，故③正确；
④设方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的两根为,n
，
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由根与系数的关系得：
b
n
a
+
= −
，
c
n
a
=
，
则
(
)1
b
a n
= −
+
，
2
c
n
a
=
，
将
(
)1
b
a n
= −
+
代入得：
2
2
2
(
1)
b
c
n a n
a
=
+
，
两边同乘
2
2
(
1)
a n+
整理得：
2
2
(
1)
nb
n
ac
=
+
，故④正确．
3.小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如
图所示．如果
1x ，
2x ，
3x 是一元三次方程
(
)
3
2
0
0
ax
bx
cx
d
a
+
+
+
=
的三个根，请你类比
小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系．
一元二次方程根与系数的探究
因为
1x ，
2x 是方程的根，根据方程根的定义
得到
2
1
2
(
)(
)
ax
bx
c
a x
x
x
x
+
+
=
−
−
展开右边得到
2
2
1
2
1
2
(
)
ax
bx
c
ax
a x
x x
ax x
+
+
=
−
+
+
因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同
对比后得
1
2
1
2
(
) ,
bx
a x
x x c
ax x
= −
+
=
整理后得到
1x +
2x
b
a
= −
，
1x
2x
c
a
=
则
1
2
3
x x
x
用系数可以表示为（ ）
A．b
a
B．
b
a
−
C．d
a
D．
d
a
−
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形
式，对比常数项系数求解．
【详解】解：∵
1x ，
2x ，
3x 是一元三次方程
(
)
3
2
0
0
ax
bx
cx
d
a
+
+
+
=
的三个根，
∴
(
)(
)(
)
3
2
1
2
3
ax
bx
cx
d
a x
x
x
x
x
x
+
+
+
=
−
−
−
，
展开右边得
(
)
(
)
3
2
1
2
3
1
2
1 3
2
3
1
2
3
ax
a x
x
x
x
a x x
x x
x x
x
ax x x
−
+
+
+
+
+
−
．
∵等式为恒等式，两边常数项对应相等，
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∴
1
2
3
d
ax x x
= −
，
整理得
1
2
3
d
x x x
a
= −
．
4.学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x 的一元二次方程
2
0
x
x
m
+
−
=
开展
探究．
(1)当
1
m = 时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”；
(2)若实数a，b 满足
2
0
a
a
m
+
−
=
，
2
3
9
0
b
b
m
+
−
=
，且3a
b
，求3a
b
+ 的值；
(3)若两个不相等的实数p，q 满足
2
p
p
m
mq
+
−
=
，
2
q
q
m
mp
+
−
=
，求证：
2
pq
m
=
．
【答案】(1)
1
5
2
−+
(2)
3
3
a
b
+
= −
(3)
证明：
∵
2
p
p
m
mq
−
+
=
①，
2
q
q
m
mp
−
+
=
②，
①−②得：
2
2
(
)
p
q
p
q
m q
p
−
−
−
+
=
，
整理得：(
)(
)
(
)
(
)
p
q
p
q
p
q
m p
q
−
−
−
−
+
+
=
，
∵p
q
，
∴
0
p
q
−
，
等式两边同时除以p
q
−得：
1
p
q
m
−
+
+ =
，即
1
p
q
m
−
−
+
=
，
∴
1
q
m
p
−
−−
=
将
1
q
m
p
−
−−
=
代入①得：
2
(
1
)
p
p
m
m
m
p
−
−
−−
+
=
，
整理得：
2
2
p
p
m
m
m
mp
−
−
−
−
+
=
，
移项整理得：
2
2
(1
)
0
p
m p
m
+
+
+
=
，
同理，将
1
p
m
q
−
−−
=
代入②，整理得
2
2
(1
)
0
q
m q
m
+
+
+
=
，
∵p
q
，
∴p ，q 是一元二次方程
2
2
(1
)
0
x
m x
m
+
+
+
=
的两个不相等的实数根，
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∴
2
pq
m
=
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、公式法解一元二次方程
【分析】（1）代入
1
m = ，利用求根公式求出方程的正根即可；
（2）将已知等式变形，得到a 和3
b 是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关
系求出3a
b
+ 的值；
（3）对两个已知等式作差，结合p
q
得到p
q
+
的关系式，再推导出p ，q 是新一元二次
方程的两个根，利用根与系数关系证明结论.
【详解】（1）解：将
1
m = 代入
2
0
x
x
m
+
−
=
，得
2
1
0
x
x
+
−=
，
∴
(
)
2
Δ
1
4 1
1
5
0
−
=
−
=
，
∴
1
5
2
x
−
=
，
∴
1
2
1
5
1
5
0,
0
2
2
x
x
−+
−−
=
=
，
∴“黄金分割数”为1
5
2
−+
；
（2）解：∵
2
0
a
a
m
−
+
=
，
2
3
9
0
b
b
m
−
+
=
，
将
2
3
9
0
b
b
m
−
+
=
两边同时除以9，得
2
0
3
3
b
b
m
−
+
=
，
∵3a
b
，
∴
3
b
a
，
∴a ，3
b 是一元二次方程
2
0
x
x
m
+
−
=
的两个不相等的实数根，
∴
1
3
b
a
−
+
=
，
∴3
3
a
b
−
+
=
；
（3）略
5.已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个实数根
1x ，
2x ，若满足
1
2
1
x
x
−
= ，则
此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）
①
2
0
x
x
−
=
；②
2
4
5
0
x
x−
−
=
(2)已知关于x 的方程
2
2
0
x
ax
+
=
是“差根方程”，求a 的值．
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(3)已知ABC
是直角三角形，斜边BC 的长为7 ，若ABC
的两边AB 、AC 的长是一个
二次项系数为1 的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”．
【答案】(1)①
(2)
1
2
a =
(3)
2
13
3
0
x
x
−
+ =
【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的
应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键．
（1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可；
（2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可；
（3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再
写出二次项系数为1 的方程即可．
【详解】（1）解：①
2
0
x
x
−
=
解得：
1
1
x = 或
2
0
x =
，
1
2
1 0
1
x
x
−
=
−
= ，
①是“差根方程”；
②
2
4
5
0
x
x−
−
=
解得：
1
5
x = ，
2
1
x = −，
(
)
1
2
5
1
6
1
x
x
−
=
−−
=
，
②不是“差根方程”；
（2）解：方程
2
2
0
x
ax
+
=
因式分解得：(
)
2
0
x x
a
+
=
，
解得：
1
0
x =
，
2
2
x
a
= −
，
方程
2
2
0
x
ax
+
=
是“差根方程”，
(
)
0
2
1
a
−−
= ，
2
1
a
= ，
2
1
=
a
或2
1
a = −，
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解得：
1
2
a =
或
1
2
a
−
=
；
（3）解： 设
1
AB
x
=
、
2
AC
x
=
，
ABC
是直角三角形，斜边BC 的长为7 ，
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
2
2
1
2
7
x
x
+
=
，
1x
、
2x 是“差根方程”的两个实数根，
1
2
1
x
x
−
= ，
(
)
2
1
2
1
x
x
−
= ，
2
2
1
2
1
2
2
1
x
x
x x
+
−
= ，
1 2
7
2
1
x x
−
= ，
1
2
3
x x
=
，
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
7
2 3
13
x
x
x
x
x x
+
=
+
+
=
+ =
，
1x
、
2x 是三角形的边长，均为正数，
1
2
13
x
x
+
=
，
方程二次项系数为1，
所求差根方程为
2
13
3
0
x
x
−
+ =
．
6.定义：如果关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
（
0
a
）有两个实数根，且其中一个根
比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）．
①
2
6
x
x
+
= ；②
2
3
2
0
x
x
+
+
=
；③
2
1
0
49
x −
=
；④
2
5
6
x
x
−
= −．
(2)若方程
2
2
1
0
x
x
k
+
−
+ =
是“邻根方程”，
1x ，
2x 是方程的两根，求：
①请求出k 的值；
②求方程的两个根．
【答案】(1)②④
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(2)①
1
4
k =
，②
1
1
2
x = −
，
2
3
2
x = −
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系．
（1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k 的方程求解即可；
②利用
1
2
1
x
x
−
= ，
1
2
2
x
x
−
+
=
即可求得
1x 、
2x ．
【详解】（1）解：①解方程
2
6
x
x
+
= 得
1
2
x =
，
2
3
x = −，
∵
(
)
1
2
2
3
5
x
x
−
=
−−
=
，
∴方程
2
6
x
x
+
= 不是“邻根方程”；
②解方程
2
3
2
0
x
x
+
+
=
得
1
1
x = −，
2
2
x = −，
∵
(
)
2
1
1
2
1
x
x =
−
−−−
= ，
∴方程
2
3
2
0
x
x
+
+
=
是“邻根方程”；
③解方程
2
1
0
49
x −
=
得
1
1
7
x =
，
2
1
7
x = −
，
∵
1
2
1
1
2
7
7
7
x
x
−
=
−−
=
，
∴方程
2
1
0
49
x −
=
不是“邻根方程”；
④解方程
2
5
6
x
x
−
= −得
1
3
x = ，
2
2
x =
，
∵
1
2
3
2
1
x
x
−
= −
= ，
∴方程
2
5
6
x
x
−
= −是“邻根方程”．
故答案为：②④；
（2）解：①∵方程
2
2
1
0
x
x
k
+
−
+ =
是“邻根方程”，
1x 、
2x 是方程的两根，
∴
1
2
2
x
x
−
+
=
，
1
2
1
= −+
x x
k
，
1
2
1
x
x
−
= ，
∵(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
x x
−
=
+
−
，
∴
(
)
(
)
2
21
2
4
1
k
= −
−
−+
，
解得
1
4
k =
；
②∵方程
2
2
1
0
x
x
k
+
−
+ =
是“邻根方程”，
1x 、
2x 是方程的两根，
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∴
1
2
1
x
x
−
= ，
1
2
2
x
x
−
+
=
，
解得
1
1
2
x = −
，
2
3
2
x = −
．
7.新定义：已知关于x 的一元二次方程
2
1
1
1
0
a x
b x
c
+
+
=
的两根之和
1
2
+
x
x 与两根之积，
1
2
x
x
分别是另一个一元二次方程
2
2
2
2
0
a x
b x
c
+
+
=
的两个根，则一元二次方程
2
2
2
2
0
a x
b x
c
+
+
=
称为一元二次方程
2
1
1
1
0
a x
b x
c
+
+
=
的“再生韦达方程”，一元二次方程
2
1
1
1
0
a x
b x
c
+
+
=
称为“原生方程”．
比如：一元二次方程
2
2
3
0
x
x
−
−
=
的两根分别为
1
2
3,
1
x
x
=
= −，则
1
2
1
2
2,
3
x
x
x x
+
=
= −，
所以它的“再生韦达方程”为
2
6
0
x
x−
+
=
．
(1)已知一元二次方程
2
5
6
0
x
x
−
+
=
，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”
2
30
0
x
x
+
−
=
，求它的“原生方程”．
【答案】(1)
2
11
30
0
x
x
−
+
=
(2)
2
6
5
0
y
y
+
+
=
或
2
5
6
0
y
y
−
−
=
【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练
掌握根与系数的关系是解题关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出
1
2
1
2
5,
6
x
x
x x
+
=
=
，然后根据新定义求解即
可；
（2）令它的“原生方程”两根分别为
1
2
,
y y ，根据题意得出
1
2
1
2
6,
5
y
y
y
y
+
= −
= ，或
1
2
1
2
5,
6
y
y
y
y
+
=
= −，然后求解即可．
【详解】（1）解：解
2
5
6
0
x
x
−
+
=
得
1
2
2,
3
x
x
=
= ，
则
1
2
1
2
5,
6
x
x
x x
+
=
=
，
所以一元二次方程
2
5
6
0
x
x
−
+
=
的“再生韦达方程”为
2
(5
6)
5 6
0
x
x
−
+
+ =
，
即
2
11
30
0
x
x
−
+
=
；
（2）解
2
30
0
x
x
+
−
=
得
1
2
6,
5
x
x
= −
=
，
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令它的“原生方程”两根分别为
1
2
,
y y ，
则
1
2
1
2
6,
5
y
y
y
y
+
= −
= ，或
1
2
1
2
5,
6
y
y
y
y
+
=
= −．
当
1
2
1
2
6,
5
y
y
y
y
+
= −
= ，则所求“原生方程”为
2
6
5
0
y
y
+
+
=
；
当
1
2
1
2
5,
6
y
y
y
y
+
=
= −，则所求“原生方程”为
2
5
6
0
y
y
−
−
=
．
综上所述，它的“原生方程”为
2
6
5
0
y
y
+
+
=
或
2
5
6
0
y
y
−
−
=
．
