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专题 01 根与系数的四种考法
【知识点精讲】
b
根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x+x =− ，
1 2 1 2 a
c
xx = ．
1 2 a
类型一、整体代换求值
例1．若 是一元二次方程 的两个实数根，则 ．
【答案】 /
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ，然后代入求解即可．
【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练
掌握：一元二次方程 的两个实数根 ， 满足 ， ．
例2．已知 ， 是方程 的两根，则 ．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系得到 ， ，再利用完全平方公式进行计算即
可．
【详解】解：根据题意得 ， ，
∴
= ．
故答案为： ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两
根，则有 ， ．
例3．已知 是方程 的两个实数根，则 的值是 ．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系求出 ，把 代入方程得到关系式，变形后代入
计算即可．
【详解】解：∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴把 代入方程 得： ，
可得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一
元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
例4．已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为 ．
【答案】-1
【分析】首先得到代数式 xx=1， x2−2021x=-1，然后整体代入求值．
1 2 1 1
【详解】解：∵ x2−2021x+1=0 的两根分别为 x，x，
1 2
∴有 xx=1， x2−2021x=-1，
1 2 1 1
∴原式= ，
故答案为-1．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及方程解得定义，整体思想的应用是解
决问题的关键．
【变式训练1】已知关于x的方程 有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若两个实数根分别是 ， ，且 ，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得 ，继而求得实数 的取值范围；
（2）由方程的两个实数根为 、 ，且 ，可得方程 ，解
关于 的方程求得答案．【详解】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
，
即 ；
（2）解：由根与系数的关系可知： ， ，
，
，
解得 或 ，
而 ，
的值为 ．
【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意 方程有两个不相等的
实数根，若二次项系数为1，常用以下关系： ， 是方程 的两根时，
， ．
【变式训练2】已知 ， 是方程 的两个根，则代数 的值为
．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得
，再代入降次求值即可．
【详解】解：由题意，得 ，
， ，
原式 ，
，
，
= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练
掌握一元二次方程根与系数的关系．
类型二、降幂思想求值
例．若 ， 是方程 的两根，则 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数关系可得 ，
，则 ， ，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两根，∴ ， ，
∴ ， ，
即 ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以
上知识是解题的关键．
【变式训练1】设方程 的两个根是 ，则 的取值是 .
【答案】-42
【分析】根据一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系得到x2=1-x， x2=1-x，
1 1 2 2
x+x=-1，再化简求得x5=5x-3，x3=2x-1，再整体代入即可求解．
1 2 1 1 2 2
【详解】解：∵方程x2=-x+1的两个根是x，x，
1 2
∴x2=1-x， x2=1-x，x+x=-1，
1 1 2 2 1 2
∴x5=(x2)2・x=(1-x) 2・x
1 1 1 1 1
=(1-2x+ x2)・x=(1-2x+1-x)・x=(2-3x)・x=2x-3x2=2x-3(1-x)=5x-3，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x3= x2・x=(1-x)・ x=x- x2=x-(1-x)=2x-1，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴原式=4(5x-3)+10(2x-1)=20(x+ x)-22=20 (-1)-22=-42．
1 2 1 2
故答案为：-42．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，若x，x 是一元二次方程
1 2
ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时， ， ．
【变式训练2】已知 ， 是方程 的两个实数根，则
【答案】
【分析】 ， 是方程 的两个实数根，可得
再把 降次化为 ，从而
可得答案.
【详解】解： ， 是方程 的两个实数根，
故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的含义，掌握
“利用一元二次方程的解把代数式进行降次”是解题的关键.
【变式训练3】设a、b是方程 的两实数根，则 ．
【答案】2022
【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得 ，从而可得 ，
，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得 ，从而可得 ，
然后代入计算即可得．
【详解】解： 是 的两实数根，
， ，
， ， ，
则
，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元
二次方程的根与系数的关系是解题关键．
类型三、构造方程化简求值
例．已知实数 、 满足 ， ，则 ．
【答案】 或
【分析】实数 、 满足等式 ， ，①当 时， ， 可能是方
程 的同一个根，两数相等；②当a≠b时，由根与系数的关系，得 ，
，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，
即可求得代数式的值．
【详解】解：①当 时，原式 ．
②当 时，可以把 ， 看作是方程 的两个根．
由根与系数的关系，得 ， ．∴ ．故本题答案为： 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的应用以及分类讨论思想的运用．此题综合性较
强，特别注意不要漏掉“ ”的情况．
【变式训练1】非零实数m， 满足 ， ，则 ．
【答案】 /
【分析】根据已知判断出m，n是方程 的两实数根，然后利用根与系数关系即
可求解．
【详解】解：∵实数 ， 满足等式 ， ，
∴m，n是方程 的两实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定
义得到m，n是方程 的两实数根是解题的关键．
【变式训练2】若实数a、b满足 ， ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】由题意可知 ， 分别是方程 的两个实数根，可得 ． ，
据此即可求解．
【详解】解： ，
， ， ，
， 分别是方程 的两个实数根，
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一
元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
类型四、求参数值（易错点）
例．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
【答案】3
【分析】利用一元二次方程 有两个不相等的实数根求出m的取值
范围，由根与系数关系得到 ，代入 ，解得
的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的
判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
【变式训练1】已知关于x的一元二次方程 的实数根 ，满足
，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式
组，求得m的取值范围．
【详解】解：由题意得： ，
所以 ，
依题意得： ，
解得4＜m≤5．
故答案是：4＜m≤5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不
等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二
次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③
当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
【变式训练2】若 ， 是方程 的两个根，且 ，则
m的值为 ．
【答案】3【分析】根据根与系数的关系结合 ，可得出关于m的一元二次方程，解
之即可得出m的值，再根据方程有实数根即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得
出m的取值范围，从而即可确定m的值，此题得解．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两个根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵方程 有两个实数根，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合
，列出关于m的一元二次方程是解题的关键．
【变式训练3】关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ， ，满足
，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得出 ， ，整体代入 ，
即可求出 ．再根据一元二次方程有两个实数根时，其根的判别式 ，可求出 ，
最后取其公共解即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ， ，
∴ ， ， ∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，解得： ．
∵该方程有两个实数根，
∴ ，解得： ，∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二
次方程的解的情况求参数．掌握一元二次方程 的根的判别式为
，且当 时，该方程有两个不相等的实数根；当 时，该方程有两个相
等的实数根；当 时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和 是解题关键．
课后训练
1．关于x的一元二次方程 两个实数根的倒数和为1，则
（ ）
A． 或0 B．2或0 C．2 D．0
【答案】C
【分析】先利用根与系数的关系得到 ，再建立关于m的方程，
解方程后代入 检验即可．
【详解】解：设该方程的两个实数根分别为a和b，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
检验： 均为该方程的解；
∵ ，
∴ 不成立，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，涉及到了根与系数的关系和解分式方程，解题关
键是要记得检验．
2．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 ．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系可求得 和 的值，代入求值即可．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程 的根与系数的关系为： ， ．
3．已知a，b是方程 的两个根，则 的值 ．
【答案】
【分析】由根与系数关系知 ， ，即知a＜0，b＜0，化简原式
，所以原式
故答案为：﹣14．
【详解】解：∵a，b是方程 的两个根，
∴ ， ，
∴a＜0，b＜0，
∴
∴原式
故答案为：﹣14．
【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够
根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．
4．已知方程 的两根分别为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根的定义可得 ，进而可得 ，
根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，再将原式变形为 ，即可求解．
【详解】解： 方程 的两根分别为 ，
， ，
，
，
故答案为： ．【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元
二次方程根与系数的关系，若一元二次方程 的两根分别为 ，那么
， ．
5．已知方程 的两根是 ，则 = .
【答案】
【分析】先利用根根与系数的关系得 ， ，再通分得到 ，然
后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两
根时， ．
6．已知关于 的二次方程 的两个实根为 和 ，且 ，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得 ， ，再利用完全平方公
式可得 ，结合 ，即可求解．
【详解】解：∵关于 的二次方程 的两个实根为 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，解题的关键是牢记
当一元二次方程 有两个实数根时， ， ．
7．已知 是方程 的两根，则 = ．
【答案】
【分析】先由根与系数的关系结合方程的解可得 可得
再整体代入求值即可．
【详解】解：∵ 是方程 的两根，
∴
∴
∴
∴
，
故答案为： .
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的含义，掌握
“利用解的含义与根与系数的关系构建整体代入”是解本题的关键．
8．如果一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ．
【答案】
【分析】将 代入方程可得 ，利用一元二次方程根与系数的关系求得
和 的值；再将所求代数式提取公因式后代入求值即可；
【详解】解：∵ 是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
由一元二次方程根与系数的关系可得：
， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了方程的根的意义，因式分解；掌握一元二次方程 的
两根 ， 满足 ， 是解题关键．
9．已知a、b为非零常数， ，满足 ，则 ．
【答案】3
【分析】由题意易得 ，则有 是方程 的两个根，进而根据
一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是方程 的两个根，
∴ ，
∴ ；
故答案为3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的
关系是解题的关键．
