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26.2.1 二次函数y=a（x-h)²+k 的图象和性质
(第一课时 二次函数y=ax ²+k 的图象和性质)
（教学设计）
1.教学内容
本节课是人教版2024 版九年级上册第26 章《二次函数》，26.2 二次函数图像与性质，26.2.2 二次函数
y=a（x-h)²+k 的图象与性质,第一课时二次函数y=ax ²+k 的图象和性质.主要教学内容：学习二次函数
y=ax ²+k 的图象画法、图象特征、函数性质，探究该函数与基础二次函数y=ax ²的图象平移关系，并运用
性质解决简单的求值、比较函数值大小问题.
2. 内容解析
本节课是二次函数图象与性质探究的第二进阶课时，承接学生已掌握的最简二次函数y=ax ²的图象和性质，
是从基础二次函数向顶点式y=a(x-h)²+k 过渡的关键内容.本节课以数形结合为核心主线，通过描点画图、
对比观察、归纳总结，让学生发现常数k 对二次函数图象的影响，掌握上下平移的规律.本节课的平移思想、
图象性质探究方法，不仅完善了二次函数图象体系，也为后续学习y=a(x-h)²、一般式二次函数的图象平
移、配方变形奠定核心方法基础，在整章知识体系中起到承上启下的关键作用.同时本节课的探究模式，
能有效培养学生几何直观、逻辑推理、数学抽象的核心素养.
基于以上分析，本节课的教学重点为:二次函数y=ax ²+k 的图象特征和核心性质（开口、对称轴、顶点、
增减性、最值）；y=ax ²+k 与y=ax ²的图象平移规律.
教学目标
(1)掌握用描点法绘制y=ax ²+k 的图象；熟练说出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最
值；掌握y=ax ²+k 与y=ax ²的图象平移规律，能运用性质解决基础题型.
(2)经历“列表—描点—画图—对比—归纳”的完整探究过程，体会数形结合、类比迁移、从特殊到一般
的数学思想，提升图象观察、规律总结和知识迁移能力.
(3)在自主探究和小组合作中感受二次函数图象的对称美、变化规律美，培养严谨的数学思维和主动探究
的学习习惯，增强学习二次函数的信心.
2.目标解析
目标1 依托学生已有的y=ax ²知识储备，通过对比画图，精准突破k 值对图象的影响，让学生从“会画基
础抛物线”升级为“会画平移后的抛物线”，系统掌握顶点式基础模型的性质，构建二次函数图象知识框
架.
目标2 通过自主探究、例题实操、规律归纳，训练学生数形转化能力，让学生掌握二次函数通用的探究方
法，为后续复杂二次函数探究提供固定思维模型，提升数学探究核心能力.
目标3 借助图象平移的动态变化，培养学生几何直观素养；通过特殊函数实例归纳一般规律，培养数学抽
象与归纳推理素养；通过性质的实际应用，提升数学运算和模型应用素养.
本节课授课对象为九年级学生，学生已具备扎实的前置知识：熟练掌握正比例函数、一次函数的图象平移
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规律，完全掌握二次函数y=ax ²的图象画法、开口、对称轴、顶点及增减性，具备基本的描点作图、图象
观察、归纳总结的数学能力.从思维特点来看，九年级学生具象思维占主导，抽象思维正在发展，直观的
图象变化容易理解，但抽象的平移规律、k 的几何意义容易混淆，容易出现“记混平移方向、忽略a 对开
口的影响”等问题。同时学生具备一定的小组合作探究能力，适合通过动手画图、对比分析的方式突破重
难点.
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：精准理解常数k 的几何意义，区分k>0 和<0)时图象的平移方向；
结合图象灵活运用函数性质解决比较函数值、求最值的问题.
创设情景，引入新课
复习回顾：二次函数y=2x ²的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x 取何值时，
函数有最值？增减性如何？
学生集体回顾作答，教师板书核心性质.
追问：如果在y=2x ²的基础上变形为y=2x ²+1、y=2x ²-2，函数图象会发生什么变化？引出本节课课题.
(设计意图：复习旧知，唤醒学生对y=ax 性质的记忆，搭建新旧知识桥梁；通过设问制造认知冲突，激发
²
学生探究欲望，自然导入新课.)
探究点1 将y=ax ²+bx+c 转化为类似y=ax ²+k 的简单形式.
追问1.上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax ²+bx+c=0 的？由此，你得到了什么启发？
通过配方，可以将“ax ²+bx 十c”转化为“a(x-h)²+k”的形式，即将二次函数y=ax ²+bx+c 转化
为y=a(x-h)²+k 的形式.当分别讨论h，k 的取值时，就可以建立起y=ax ²+br+c 与y=ax ²的联系了.
追问2.用a.b,c 表示，这里的h 和k 分别是什么?
（设计意图：如何将一般形式的二次函数转化为特殊的二次函数，过渡到先来讨论当h=0，k≠0 时，二次
函数y=ax ²+k 的图象和性质.）
探究点2 画具体函数y=ax ²+k 图象，对比找规律
活动1.用描点法在同一坐标系中画出y=x ²、y=x ²+2、y=x ²-2 的图象.
步骤指导：
列表：选取对称自变量x=-2、-1、0、1、2，分别计算三个函数对应的y 值；
描点：根据坐标精准描点；
连线：用平滑曲线连接各点，得到三条抛物线.
小组讨论问题：
（1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？
（2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？
（3）y=x ²+2、y=x ²-2 的图象可由y=x ²的图象如何平移得到？
活动2.画函数
图象观察图象性质
（1）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数
的图象，并分别指出它们的开口方
向、对称轴和顶点.
(2） 抛物线
与抛物线
有什么关系?
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列表：
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
10
6.5
4
2.5
2
2.5
4
6.5
10
…
…
6
2.5
0
-1.5
-2
-1.5
0
2.5
6
…
描点画图，就得到
的图象.
观察图象：可以看出，抛物线
的开口向上，对称轴是у 轴，顶点是(0，2)；抛
物线
的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是(0，-2).
可以发现，把抛物线
（图中的虚线图形）向上平移2 个单位长度，就得到抛物线
；把
抛物线
向下平移2 个单位长度，就得到抛物线
.
探究点3 画函数y=ax ²+k 图象归纳总结性质
活动3.利用信息技术工具画函数y=ax ²+k 的图象(不妨令a 分别为
和
，改变k 的值，可以发现，随着
k 的变化，二次函数y=ax ²+k 的图象.
在向上或向下平移，即把抛物线y=ax ²向上(k>0）或向下(k<0)平移|k|个单位长度，就得到抛物线
y=ax ²+k(如图).
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师生归纳总结
1. 图象共性：y=ax ²+k 与y=ax ²图象形状、开口大小、开口方向、对称轴完全相同，对称轴均为y 轴（直
线x=0）.
2. 图象差异：顶点坐标不同，y=ax ²顶点为(0,0)，y=ax ²+k 顶点为(0,k).
3. 平移规律：上加下减，当k>0 时，y=ax ²+k 的图象由y=ax ²图象向上平移k 个单位；
当k<0 时，y=ax ²+k 的图象由y=ax ²图象向下平移|k|个单位.
函数y=ax ²+k 性质系统归纳：
开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下；
对称轴：直线x=0（y 轴）；
顶点坐标：(0,k)；
最值：a>0 时，x=0，
；a<0 时，x=0，
；
增减性：a>0，x<0 时，y 随x 增大而减小；x>0 时，y 随x 增大而增大；a<0 反之.
（设计意图：通过学生动手作图、自主对比、合作探究，让学生亲身经历规律生成过程，避免被动记忆；
落实数形结合思想，突破本节课核心重难点，培养学生动手能力和归纳推理能力.）
典型例题
例1.已知二次函数y=-3x ²+4
（1）说出该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值；
（2）说明该函数图象与y=-3x ²的图象的平移关系；
（3）当
时，比较
的大小.
【分析】：本题紧扣本节课核心知识点，综合考查y=ax ²+k 的图象性质、平移规律和增减性应用。解题关
键是先根据a 的正负判断开口与增减性，根据k 确定顶点与平移方式，再结合增减性比较函数值大小.
【详解】解：（1）∵a<0，k=4，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=0（y 轴），顶点坐标为(0,4)；当
x=0 时，函数有最大值，最大值
，无最小值.
（2）根据“上加下减”平移规律：函数y=-3x ²+4 的图象可由抛物线y=-3x ²向上平移4 个单位得到.
（3）a<0，抛物线开口向下，对称轴为y 轴
∴当x>0 时，y 随x 的增大而减小；当x<0 时，y 随x 的增大而增大.
关于y 轴的对称点为x=1，
∵0<2，根据增减性，x=1 时的函数值大于x=2 时的函数值.
∴
.
（设计意图：通过综合性例题，整合本节课所有核心知识点，帮助学生巩固性质和平移规律；规范解题步
骤，培养学生严谨的答题习惯，同时让学生掌握利用对称性、增减性比较函数值的解题技巧，实现知识的
学以致用.)
课本课堂练习（P38）.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
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1.在平面直角坐标系中，二次函数
的图象经过点
．
(1)求这个函数的表达式．
(2)当
时，
随
的增大而减小，求
的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数
的图象经过点
．
∴
，解得：
，
∴这个函数的表达式为：
；
（2）∵
，
∴其对称轴为：
，
∵
，
∴图象开口向上，则当
时，
随
的增大而减小，
∴
的取值范围为
．
1．（2026.盐城市期末）关于二次函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，函数的最大值是
B．开口向下，函数的最大值是
C．开口向上，函数的最小值是
D．开口向下，函数的最小值是
【详解】解：
二次函数
，
由
可得抛物线开口向下；函数的最小值是
，
故选：D．
2．（2026.四平校考）关于二次函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为
C．当
时，y 随x 的增大而减小 D．函数的最大值为
【详解】解：∵
，且
，
∴函数图象开口向上，顶点坐标为
，故A、B 选项错误，不符合题意；
∴当
时，y 随x 的增大而减小，故C 选项正确，符合题意；
∴函数的最小值为
，故D 选项错误，不符合题意；
故选：C
3．（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为
．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2向下平移两个单位，
∴y＝3x2﹣2，
故答案为：y＝3x2﹣2．
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4．（2026.汕尾陆丰校考）已知二次函数
．
(1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______；
(2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
…
…
…
…
(3)若该抛物线上两点
，
的横坐标满足
，则
_____
（比较大小）．
【详解】（1）解：∵
时，
；
时，
，
∴抛物线的对称轴为直线
，即
轴，
当
时，
，
∴抛物线的顶点坐标为
，
故答案为：
轴，
；
（2）当
时，
；
当
时，
；
故答案为：，
；
利用描点法作出的函数图象如下所示：
（3）∵
，
∴抛物线开口向下，在
轴的右侧，
随
的增大而减小，
∵
，
∴
，
故答案为：
．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
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验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
知识技能:（1）二次函数y=ax ²+k 的图象是抛物线，对称轴为y 轴，顶点坐标(0,k)；（2）a 决定开口方
向和开口大小，k 决定抛物线的上下平移位置和函数最值；（3）平移规律：上加下减（k>0 上移，k<0 下
移）；（4）掌握函数的增减性、最值的判断方法，能比较函数值大小.
思想方法:（1）数形结合思想：通过图象直观分析函数性质，以形助数、以数释形；（2）类比迁移思想：
类比y=ax ²的探究方法，推导y=ax ²+k 的性质；（3）从特殊到一般思想：通过具体函数图象归纳通用规
律.
易错提醒:（1）混淆平移方向：牢记“上加下减”，k 为负数是向下平移，不要记反；（2）忽略a 的作用：
判断增减性、开口方向必须先看a 的正负；（3）顶点坐标书写错误：y=ax ²+k 顶点是(0,k)，不是(0,0)；
（4）比较函数值时，忘记利用对称轴转化对称点，直接盲目判断,与a 的正负无关.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题26.2 第2 题(1).
探究性作业：如图，一工厂大门为抛物线形，现量得地面的宽度
米，大门顶端距离地面4 米．为了
迎接国庆节，需在大门C，D 两点处拉一条彩色丝带作装饰，若彩色丝带的宽度忽略不计，且丝带所在的直
线与地面平行，当丝带到大门顶端的距离为
米时，求此彩色丝带所需要的长度．
【详解】解：以
中点为原点，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，如图，
大门顶端距离地面4 米．
抛物线顶点坐标为
，
米，
点
的坐标为
，点
的坐标为
，
设抛物线的解析式为
，
将
代入解析式，
得
，
解得
，
抛物线的解析式为
，
丝带到大门顶端的距离为
米，
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点
，
的纵坐标为
，
当
时，
，
解得
，
（米），
答：此彩色丝带所需要的长度为
米．
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
26.2.2 二次函数y=ax ²+k 的图象和性质(第1 课
时)
一、平移规律（上加下减）
二、函数性质
1. 对称轴：
2. 顶点坐标：
3. 开口：
4. 最值：
5. 增减性：
三、易错点
副板书
典型例题
（预留区域，课堂书写化简、检验例题）
例题
学生练习板演
