文档内容
专题23.2 中心对称图形（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 掌握中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
2. 掌握关于原点对称的点的坐标的特征，以及如何求对应点的坐标；
3. 探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和
旋转的组合进行图案设计。
【知识点梳理】
考点1 中心对称（两个图形）
1.概念
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个
图形关于这个点对称或中心对称；
2.性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一
点对称。
4. 作图步骤：(1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。
(2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距
离相等。
(3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形
5.中心对称图形（一个图形）
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么
这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
考点2 点坐标对称
1.关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为
P’（-x，-y）
2.关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的
对称点为P’（x，-y）
3.关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴
的对称点为P’（-x，y）
【典例分析】【考点1 中心对称图形】
【例1】（2022春•鼓楼区校级期中）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 1-1】（2022•青岛一模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2022•西乡塘区一模）下列四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022春•宁海县期中）下列图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．【考点2 中心对称的性质】
【例2】（2021秋•梁子湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC的顶点
A在x轴上，顶点B的坐标为（8，6）．若直线l经过点（2，0），且将平行四边形
OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是（ ）
A．y＝x﹣2 B．y＝3x﹣6 C． D．
【变式2-1】（2021秋•淮南月考）如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结
论中不成立的是（ ）
A．OC＝OC′ B．∠ABC＝∠A'C'B'
C．点B的对称点是B′ D．BC∥B'C'
【变式2-2】（2020秋•昌图县期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点
E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点
F，则四边形BEDF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形【变式2-3】（2021春•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中
心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
【例3】（2021秋•任城区校级月考）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O
成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝
3，则阴影部分的面积之和为 ．
【变式3-1】（2021秋•泰山区期末）如图，点O是 ABCD的对称中心，EF是过点O的
任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边▱形ABFE和四边形EFCD的面积分别
记为S ，S ，那么S ，S 之间的关系为S S ．（填“＞”或“＝”或“＜”）
1 2 1 2 1 2
【变式3-2】（2021秋•南昌期中）如图，直线MN过 ABCD的中心点O，交AD于点
M，交BC于点N，已知S
ABCD
＝4，则S阴影 ＝ ．▱
▱
【变式3-2】（2021春•娄星区校级期中）如图，三个边长均为 2的正方形重叠在一起，
O ，O 是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，
1 2
则重叠部分的面积为 ．【考点3 点坐标的对称】
【例4】（2022•孝南区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原
点对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
【变式4-1】（2021秋•桃城区校级期末）已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原
点对称，则a与b的值分别为（ ）
A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1
【变式4-2】（2022•新都区模拟）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于原点对称
的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）
【变式4-3】（2021秋•开封期末）已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则
该点关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
【考点4 图案设计】
【例5】（2022春•泗阳县期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，
建立如图所示平面直加坐标系，△ABC的顶点均在格点上，其中点 A坐标为（1，﹣
3）．
（1）以点B为旋转中心，画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△A B C ；
1 1 1
（2）画△ABC关于点O对称的△A B C ；
2 2 2
（3）若平面内存在一点D，使A、B、C、D四点构成的四边形是平行四边形，则点D
的坐标为 ．【变式5-1】．（2022春•将乐县期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），
B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
1 1 1
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A B C ，并写出A 的坐标．
2 2 2 2
【变式5-2】（2022•朝阳区校级一模）图1、图2分别是7×7的正方形网格，网格中每个
小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上，仅用无刻度直尺完成下列作图．
（1）在图1中确定点C、D（点C、D在小正方形的顶点上），并画出以 AB为对角线
的四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为15；
（2）在图2中确定点E、F（点E、F在小正方形的顶点上），并画出以AB为对角线的
四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积为15．【变式5-3】（2022春•化州市月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点
的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A B C 关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A B C 的各
1 1 1 1 1 1
顶点的坐标；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A B C ，作出△A B C ，并写出各
2 2 2 2 2 2
顶点的坐标．专题23.2 中心对称图形（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
5. 掌握中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
6. 掌握关于原点对称的点的坐标的特征，以及如何求对应点的坐标；
7. 探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和
旋转的组合进行图案设计。
【知识点梳理】
考点1 中心对称（两个图形）
1.概念
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；
2.性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一
点对称。
8. 作图步骤：
(4) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。
(5) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距
离相等。
(6) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形
5.中心对称图形（一个图形）
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么
这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
考点2 点坐标对称
1.关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
2.关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的
对称点为P’（x，-y）
3.关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴
的对称点为P’（-x，y）
【典例分析】
【考点1 中心对称图形】
【例1】（2022春•鼓楼区校级期中）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与
原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中
心对称图形，
故选：D．
【变式 1-1】（2022•青岛一模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【变式1-2】（2022•西乡塘区一模）下列四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与
原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中
心对称图形，
故选：A．
【变式1-3】（2022春•宁海县期中）下列图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与
原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中
心对称图形，
故选：D．
【考点2 中心对称的性质】
【例2】（2021秋•梁子湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC的顶点
A在x轴上，顶点B的坐标为（8，6）．若直线l经过点（2，0），且将平行四边形
OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是（ ）
A．y＝x﹣2 B．y＝3x﹣6 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵点B的坐标为（8，6），
∴平行四边形的中心坐标为（4，3），
设直线l的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，0），（4，3）代入，可得 ，
解得 ，
∴直线l的解析式为y＝ x﹣3．
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•淮南月考）如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．OC＝OC′ B．∠ABC＝∠A'C'B'
C．点B的对称点是B′ D．BC∥B'C'
【答案】B
【解答】解：∵△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，
∴OC＝OC′，BC∥B′C′，点B的对称点B′，
故A，C，D正确，
故选：B．
【变式2-2】（2020秋•昌图县期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点
E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点
F，则四边形BEDF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形
【答案】C
【解答】解：连接BD．
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BD经过点O，OD＝OB，
∵AD∥BC，∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
观察图形可知，四边形BEDF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：C．
【变式2-3】（2021春•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中
心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
【答案】B
【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）
对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，
所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，
故选：B．
【例3】（2021秋•任城区校级月考）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O
成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝
3，则阴影部分的面积之和为 ．【答案】12
【解答】解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，
AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝4，OD＝3，
∴AB＝3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12．
故答案为：12．
【变式3-1】（2021秋•泰山区期末）如图，点O是 ABCD的对称中心，EF是过点O的
任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边▱形ABFE和四边形EFCD的面积分别
记为S ，S ，那么S ，S 之间的关系为S S ．（填“＞”或“＝”或“＜”）
1 2 1 2 1 2
【答案】＝
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是 ABCD的对称中心，
▱∴OB＝OD，
在△DEO与△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴S△DEO ＝S△BFO ，
∵S△ABD ＝S△CDB ，
∴S ＝S ．
1 2
故答案为：＝．
【变式3-2】（2021秋•南昌期中）如图，直线MN过 ABCD的中心点O，交AD于点
M，交BC于点N，已知S
ABCD
＝4，则S阴影 ＝ ．▱
▱
【答案】1
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM∥CN，OA＝OC，
∴∠MAO＝∠NCO，
∵∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴S△AOM ＝S△CON ，
∴S阴 ＝S△AOM +S△BON ＝S△BOC ＝ S平行四边形ABCD ＝1，
故答案为：1．
【变式3-2】（2021春•娄星区校级期中）如图，三个边长均为 2的正方形重叠在一起，
O ，O 是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，
1 2
则重叠部分的面积为 ．【答案】 n ﹣ 1
【解答】解：连接O B、O C，如图：
1 1
∵∠BO F+∠FO C＝90°，∠FO C+∠CO G＝90°，
1 1 1 1
∴∠BO F＝∠CO G，
1 1
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O BF＝∠O CG＝45°，
1 1
在△O BF和△O CG中，
1 1
，
∴△O BF≌△O CG（ASA），
1 1
∴O
1
、O
2
两个正方形阴影部分的面积是 S正方形 ＝1，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 S正方形 ＝1，
∴把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为（n﹣1）．
故答案为：n﹣1
【考点3 点坐标的对称】
【例4】（2022•孝南区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原
点对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
【答案】B
【解答】解：∵点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝﹣2，
故选：B．
【变式4-1】（2021秋•桃城区校级期末）已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原
点对称，则a与b的值分别为（ ）
A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1【答案】B
【解答】解：∵点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，
∴
解得 ．
故选：B．
【变式4-2】（2022•新都区模拟）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于原点对称
的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）
【答案】B
【解答】解：点P（﹣2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（2，4），
故选：B．
【变式4-3】（2021秋•开封期末）已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则
该点关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
【答案】D
【解答】解：∵M（a，b）在第二象限内，
∴a＜0，b＞0，
又∵|a|＝1，|b|＝2，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴点M（﹣1，2），
∴点M关于原点的对称点的坐标是（1，﹣2）．
故选：D．
【考点4 图案设计】
【例5】（2022春•泗阳县期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，
建立如图所示平面直加坐标系，△ABC的顶点均在格点上，其中点 A坐标为（1，﹣
3）．
（1）以点B为旋转中心，画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△A B C ；
1 1 1
（2）画△ABC关于点O对称的△A B C ；
2 2 2
（3）若平面内存在一点D，使A、B、C、D四点构成的四边形是平行四边形，则点D
的坐标为 ．【答案】（1）略（2）略 （3）（3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．
【解答】解：（1）如图，的△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）点D的坐标为 （3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．
故答案为：（3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．
【变式5-1】．（2022春•将乐县期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），
B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
1 1 1
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A B C ，并写出A 的坐标．
2 2 2 2【答案】（1）略 （2）A 的坐标（﹣2，2）
2
【解答】解：（1）如图，△A B C ；即为所求；
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求，A 的坐标（﹣2，2）．
2 2 2 2
【变式5-2】（2022•朝阳区校级一模）图1、图2分别是7×7的正方形网格，网格中每个
小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上，仅用无刻度直尺完成下列作图．
（1）在图1中确定点C、D（点C、D在小正方形的顶点上），并画出以 AB为对角线
的四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为15；
（2）在图2中确定点E、F（点E、F在小正方形的顶点上），并画出以AB为对角线的
四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积为15．【答案】略
【解答】解：（1）如图1中，平行四边形ACBD即为所求．
（2）如图2中，菱形AEBF即为所求．
【变式5-3】（2022春•化州市月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点
的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A B C 关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A B C 的各
1 1 1 1 1 1
顶点的坐标；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A B C ，作出△A B C ，并写出各
2 2 2 2 2 2
顶点的坐标．【答案】（1）A （3，﹣5），B （2，﹣1），C （1，﹣3）；
1 1 1
（2）A （5，3），B （1，2），C （3，1）
2 2 2
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求，A （3，﹣5），B （2，﹣1），C
1 1 1 1 1 1
（1，﹣3）；
（2）如图所示，△A B C 即为所求，A （5，3），B （1，2），C （3，1）．
2 2 2 2 2 2
