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1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 26.2.2 二次函数𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+ 𝒌的图象与性质 知识点一 𝒚= 𝒂𝒙𝟐+ 𝒌的图象与性质 首先，我们在同一个坐标系下，画出𝑦= 1 2 𝑥2、𝑦= 1 2 𝑥2 + 2、𝑦= 1 2 𝑥2 −2的图象： 按照五点作图法，得出以下各组数据： 𝑥 … −2 −1 0 1 2 … 𝑦= 1 2 𝑥2 … … 𝑦= 1 2 𝑥2 + 2 … … 𝑦= 1 2 𝑥2 −2 … … 描出图象： 第二十六章 二次函数 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 完成下列表格，进行对比： 函数 𝑦= 1 2 𝑥2 + 2 𝑦= 1 2 𝑥2 𝑦= 1 2 𝑥2 −2 开口方向 顶点坐标 对称轴 不难发现，这三个函数顶点坐标不同，再观察三个图象之间的位置关系，把抛物线 𝑦= 1 2 𝑥2向上平移2 个单位长度，就得到抛物线𝑦= 1 2 𝑥2 + 2；把抛物线𝑦= 1 2 𝑥2向下 平移2 个单位长度，就得到抛物线𝑦= 1 2 𝑥2 −2。 所以我们认为，随着𝑘的变化，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘的图象会向上或向下平移。 当𝑘> 0时，即把抛物线𝑦= 𝑎𝑥2向上平移|𝑘|个单位长度，得到抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘； 当𝑘< 0时，即把抛物线𝑦= 𝑎𝑥2向下平移|𝑘|个单位长度，得到抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘。 特别提醒 𝑦= 𝑎𝑥2上下平移前后，改变的是顶点的纵坐标（好比从(0,0)变成(0, 𝑘)），它的最值也 会随之发生改变，而以下几个性质不会发生改变：①开口方向和大小（𝑎的符号和数 值都没有发生改变）；②对称轴（仍是𝑦轴，即𝑥= 0）；③抛物线的形状，更直观的理 解，可以认为是对整个抛物线“整体搬家”。 归纳总结 二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘(𝑎≠0)的图象性质： 𝑎> 0 图象 𝑘> 0 𝑘< 0 开口方向 顶点坐标 对称轴 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 增减性 最值 𝑎< 0 图象 𝑘> 0 𝑘< 0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 知识点二 𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐的图象与性质 在同一坐标系中，画出𝑦= 1 2 𝑥2、𝑦= 1 2 (𝑥+ 1)2、 𝑦= 1 2 (𝑥−1)2的图象，再对它们的 性质进行对比。 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 函数 𝑦= 1 2 (𝑥+ 1)2 𝑦= 1 2 𝑥2 𝑦= 1 2 (𝑥−1)2 开口方向 顶点坐标 对称轴 经过对比，可以发现，把抛物线𝑦= 1 2 𝑥2向左平移1 个单位长度，就得到抛物线𝑦= 1 2 (𝑥+ 1)2; 把抛物线𝑦= 1 2 𝑥2向右 平移 1 个单位长度，就得到抛物线𝑦= 1 2 (𝑥−1)2; 所以我们认为，随着ℎ的变化，二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2的图象会向左或向右平移。 当ℎ> 0时，即把抛物线𝑦= 𝑎𝑥2向右平移|ℎ|个单位长度，得到抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2； 当ℎ< 0时，即把抛物线𝑦= 𝑎𝑥2向左平移|ℎ|个单位长度，得到抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2。 拓展延伸 关于求二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2的对称轴的问题，有一个非常简单的办法，那就是： 对称轴直线𝑥等于括号内𝑥之后的数字的相反数，例如： 𝑦= 2(𝑥−2)2的对称轴为：直线𝑥= 2；其中，括号内𝑥之后的数为“−2”,因此对称 轴就是“−2”的相反数，即2. 𝑦= −(𝑥+ 3)2的对称轴为：直线𝑥= −3；其中，括号内𝑥之后的数为“+3”,因此对 称轴就是“+3”的相反数，即−3. 归纳总结 二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2(𝑎≠0)的图象性质： 𝑎> 0 5 / 17 学科网（北京）股份有限公司 图象 ℎ> 0 ℎ< 0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 𝑎< 0 图象 ℎ> 0 ℎ< 0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 知识点三 𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+ 𝒌的图象与性质 在同一坐标系中，画出𝑦= 1 2 𝑥2、𝑦= 1 2 (𝑥+ 1)2、 𝑦= 1 2 (𝑥+ 1)2 −1的图象，对比三个 函数图象的各项性质，并观察三个图象之间的位置关系。 函数 𝑦= 1 2 𝑥2 𝑦= 1 2 (𝑥+ 1)2 𝑦= 1 2 (𝑥+ 1)2 −1 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 从中观察顶点坐标的位置变化： (0,0) (−1,0) (−1, −1) 从中观察对称轴的位置变化： 𝑥= 0 𝑥= −1 𝑥= −1 不难看出： 𝑦= 1 2 𝑥2 𝑦= 1 2 (𝑥+ 1)2 𝑦= 1 2 (𝑥+ 1)2 −1 因此我们可以得到结论： 𝑦= 𝑎𝑥2 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘 通过图象可以看出，𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘(𝑎≠0)的顶点为(ℎ, 𝑘)，我们也称该式为“顶 点式”。 归纳总结 二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘(𝑎≠0)的图象性质： 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘 𝑎> 0 𝑎< 0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 易错点 1 顶点坐标写反 • 错例：对于二次函数𝑦= 2(𝑥+ 3)2 −1，顶点坐标写成(3, −1)或(−3,1)； • 错因：受“括号内符号看反”的惯性影响，认为“有加号就是正，有减号就是 负”，反向记忆； 向左平移 1 个单位 向下平移 1 个单位 向左/右平移|ℎ|个单位 向上/下平移|𝑘|个单位 向左平移1 个单位 向下平移1 个单位 向左平移1 个单位 未移动 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 • 规避方法：可以通过计算的方法保证不出错，令括号内的整体等于“0”，即𝑥+ 3 = 0，求出的𝑥就是顶点坐标横坐标，而顶点坐标的纵坐标就是顶点式最后面的常 数，一定要带上前面的符号。 易错点 2 对称轴写错 • 错例：对于二次函数𝑦= −(𝑥−2)2 + 5，对称轴写成𝑦轴或𝑥= 2但无法理解； • 错因：只关注顶点，却忘了对称轴是“穿过顶点的竖直线”，缺乏“顶点横坐标 即为对称轴”的关联意识； • 规避方法：对称轴就是直线𝑥= ℎ，对称轴和顶点坐标横坐标是一样的，并非所有 的对称轴都是𝑦轴。 易错点 3 平移方向混淆 • 错例：描述𝑦= 𝑥2变成𝑦= (𝑥−3)2 + 2时，说成“向左平移3 个单位、向上平移2 各单位”； • 错因：将一些代表负面意义的词和主观想法强行联系在一起，亦或是和数轴上的 点的平移混淆，认为往左平移就是减，往右平移就是加，引起这样错误的知识迁移； • 规避方法：除了“上加下减，左加右减”的方法之外，还可以看顶点如何移动， 顶点的移动路径，就代表函数图象的移动路径。例如：原来的顶点是(0,0)，变化之后 顶点是(3,2)，从(0,0)变成(3,2)需要先向右移动3 个单位，再向上移动2 个单位。 易错点 4 增减性不换“参照系” • 错例：对于二次函数𝑦= 2(𝑥−1)2 + 3，仍说“当𝑥< 0时，𝑦随着𝑥的增加而减 小”； • 错因：思维惯性，依然以𝑦轴为界，忘记了对称轴已经右移到𝑥= 1； • 规避方法：做题第一步先写出对称轴𝑥= ℎ，并在草稿纸上画出这条虚线竖线，所 有讨论增减性的问题，必须以这条线为分界。 易错点 5 最值与开口方向“脱钩” • 错例：对于二次函数𝑦= −3(𝑥+ 2)2 −4，认为有最小值−4； • 错因：只记住了“最值是𝑘”，但忘了前提是“开口向上才有最小值，开口向下才 有最大值”； • 规避方法：先看𝑎确定函数有最大值还是最小值，再看对𝑥的取值范围是否有限 制，如果𝑥可以取全部实数，则最值在顶点位置处；如果𝑥也有对应的取值范围，再判 断端点值与顶点的大小，即可确定最值。 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 • 题型一：𝒚= 𝒂𝒙𝟐+ 𝒌的图象及性质 方法技巧 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘的开口方向、开口大小、对称轴、增减性都和𝑦= 𝑎𝑥2一样，只有顶点坐标 和最值不同，𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘的顶点坐标是(0, 𝑘)，而它的最值也是𝑘。 当提到两个函数图象开口大小一样时，则代表|𝑎|相同；反之，若|𝑎|相同，则代表两个函 数图象开口大小也是一样的。 1.（25-26 九年级上·安徽安庆·期末）对于二次函数 的图象，下列说法正确的 是（ ） A．开口向下 B．与y 轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 2．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线 ，则顶点 坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数 的图象的顶点坐标是 （ ） A． B． C． D． 4．（25-26 九年级上·江苏扬州·期末）抛物线 的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）抛物线 的对称轴是（ ） A．直线 B． 轴 C． 轴 D．直线 6．（25-26 九年级上·湖北恩施·期末）对任何实数 ，抛物线 和 ，以下 说法正确的是（ ） A．形状相同 B．顶点相同 10 / 17 学科网（北京）股份有限公司 C．最小值相同 D．最大值相同 7．（25-26 九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线 的顶点坐标是 ，且形 状及开口方向与抛物线 相同，则a，c 的值分别为（ ） A． ，2 B． ， C． ，2 D． ， 8．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数 ，当 时， 的 取值范围是__________． 题型二：𝒚= 𝒂𝒙𝟐+ 𝒌上的点坐标相对大小 方法技巧 若需要比较函数上的点的纵坐标相对大小： ①找对称轴； ②标点； ③若点分布在对称轴同一侧，则根据函数增减性直接得到结论；若点分布在对称轴两 侧，则看点的相对高低：越高的点，纵坐标的值越大；越低的点，纵坐标的值越小。 当然，也可以选择将𝑥的值代入到函数中求出𝑦进行比较，这种方法更直接一些。 1.（2026·吉林长春·一模）若点 和点 都在抛物线 上，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26 九年级上·福建厦门·期末）已知点 在抛物线 上，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法判断 题型三：𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐的图象及性质 方法技巧 11 / 17 学科网（北京）股份有限公司 熟记𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2的以下各项性质： ①对称轴：直线𝑥= ℎ； ②顶点坐标：(ℎ, 0)； ③增减性：描述增减性时，是以直线𝑥= ℎ未分界线的，并非是𝑦轴。 确认图象时，主要看以下几个关键点：①开口方向；②对称轴；③顶点坐标。 1.（25-26 九年级上·安徽合肥·期末）抛物线 的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C． 轴 D．直线 2．（25-26 九年级上·河北邢台·期末）下列抛物线的顶点坐标为 的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 九年级上·上海·阶段检测）抛物线 的顶点在（ ） A． 轴上 B． 轴上 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26 九年级上·青海西宁·期末）某抛物线与抛物线 的形状相同，且顶点为 ，开口向下．该抛物线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 5.（2026·福建厦门·三模）已知抛物线 ，其中 ，该抛物线示意图是 （ ） A． B． C． D． 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 6．（25-26 九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象 可能是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26 九年级上·广东深圳·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 题型四：根据函数的增减性求取值范围 方法技巧 若根据函数的增减性求𝑥的取值范围，直接利用函数的增减性性质求不等式即可； 若是根据函数的增减性求参数的取值范围，则先确定函数的增减性，再和题干中描 述的增减性对照，对参数取合适的范围即可。 1.（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增 大，则 的取值范围是（ ） 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 2．（25-26 九年级上·安徽池州·期末）在二次函数 的图象上，若y 随x 的增大 而增大，则x 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型五：𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐上的点坐标相对大小 方法技巧 和在𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘上的点坐标判断的方法类似，在𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2上： ①找对称轴； ②标点； ③点若分布在对称轴同一侧，则按照增减性直接判断即可；若分布在对称轴两侧， 则需要对比点的相对高低，越高的点，𝑦值越大。 当然也可以选择直接代点计算，比较大小。 1.（2025 九年级上·上海·专题练习）已知 、 和 都在抛物线 上，那么 、 和 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 九年级上·云南昆明·期中）已知二次函数 的图象上有 ， ， 三点，则 的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26 九年级上·广东江门·期中）若点 ， ， 都在二次函数 的图象上，则（ ） A． B． C． D． 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 4．（25-26 九年级上·天津东丽·期末）已知点 ， 和 都在二次函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25 九年级上·安徽蚌埠·期中）若点 ， ， 都在二次函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25 九年级上·北京·期中）若 ， ， 为二次函数 图象上的三点，则 ， ， ，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 题型六：二次函数对称性的应用 方法技巧 二次函数的图象具有对称性，若在对称轴一侧存在一点，则关于对称轴𝑥= ℎ对称 后，必然也会存在一点在函数图象上，并且这两个点的函数值相同。例如： 对于二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘，其对称轴为直线𝑥= ℎ，设在对称轴左侧图象上存 在点𝐴(𝑥1, 𝑦1)，将其关于对称轴对称后，存在与之对应的点𝐵(𝑥2, 𝑦2)，并满足以下关 系： 𝑥1+𝑥2 2 = ℎ，𝑦1 = 𝑦2。 1.（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线 交x 轴于点 ，若 ，则n 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24 九年级上·浙江杭州·阶段检测）设函数 ， ，直线 与函数 ， 的图象分别交于点 ， ，得（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 3．（22-23 九年级上·浙江杭州·期末）设函数 ， ，直线 的 图象与函数 ， 的图象分别交于点 ， ，得（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 4．（2021·湖南长沙·二模）已知二次函数 （h 为常数），当自变量x 的值满足 1≤x≤3 时，其对应的函数值y 的最小值为1，则h 的值为（ ） A．2 或4 B．0 或4 C．2 或3 D．0 或3 题型七：𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+ 𝒌的图象及性质 方法技巧 二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘的几条重要性质如下： ①顶点坐标：(ℎ, 𝑘) ②对称轴：直线𝑥= ℎ ③增减性：以直线𝑥= ℎ为分界线描述，即：当𝑥> ℎ时，𝑦随𝑥的增大而…；当𝑥< ℎ 时，𝑦随𝑥增大而…. 1.（21-22 九年级上·广西百色·阶段检测）抛物线 的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（22-23 九年级上·江苏宿迁·开学考试）抛物线 的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 3．（22-23 九年级下·江苏苏州·开学考试）由二次函数 ，可知（ ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y 轴交点的纵坐标为1 D．当 时，y 随x 的增大而减小 4．（2022 九年级上·广西南宁·专题练习）二次函数 的对称轴，顶点坐标 分别是（ ） A．直线 ， B．直线 ， C．直线 ， D．直线 ， 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 5．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线 ，下列说法正确的是 （ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D． 时， 随 增大而增大 6．（2025·广东广州·二模）已知二次函数 ，其顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 7．（2022 九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数 ，当 时，y 的取值范围____________． 题型八：由𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+ 𝒌的增减性求参数取值范围 方法技巧 当已知两点在抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘上时，若有给定的函数值的大小关系或增减 性，可以通过以下方法求参数取值范围： ①不等式法：直接将假设好的两个点的横坐标代入到二次函数表达式中，得出与之 对应的函数值，再根据给定的函数值的不等关系，列不等式，求解即可； ②性质法：利用二次函数自身的性质，先确定其开口方向以及对称轴，画草图，再 根据给定的增减性，与之对照，找到对称轴和参数之间的关系即可。 1．（25-26 九年级上·天津武清·阶段检测）点 都在抛物线 上．若 ，则m 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 八年级下·北京·期末）在二次函数 中，当 时，y 随x 的增 大而增大，则实数m 的值可以是______．（写出一个满足条件的m 值） 3．（25-26 九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知 关于 的二次函数 ， 当 时， 随 的增大而减小，则实数 的取值范围是__________． 4．（25-26 九年级上·江西宜春·期末）抛物线 ，当 时， 随 增大 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 而增大，则 的取值范围是___________． 题型九：𝒚= 𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+ 𝒌的性质综合应用 方法技巧 对于二次函数𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘的性质综合应用题，有以下几点性质需要重点关 注： ①抓顶点：由解析式直接得顶点(ℎ, 𝑘)，对称轴𝑥= ℎ； ②看开口：𝑎> 0向上，𝑎< 0向下，其决定增减性和最值类型； ③对称性：若两点纵坐标相等，则它们关于对称轴对称，横坐标满足以下关系： 𝑥1 + 𝑥2 = 2ℎ； ④比大小：点到对称轴的距离越远，𝑎> 0时𝑦越大，𝑎< 0时𝑦越小； ⑤区间最值：若区间含顶点，最值在顶点处；若不含，在端点处取得。注意分情况 讨论。 1．（25-26 九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知抛物线 ，点 ， 在抛物线上，若对于满足 的任意实数 ， 总成立，则实数m 的取值范围是________． 2．（24-25 九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为_____． 3．（25-26 九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数 （ 为常数，且 ）中x 和y 满足下表： x … 1 3 5 6 … y … 5 0 0 12 m ① ；② ；③若点 在此抛物线上，则n 的值为 ；④点 为该函数图象上的两点，则当 时， ；⑤若当 ，函数有最小值12，则 或8．其中正确的是________．
