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26.2.3 二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙+ 𝒄的图象与性质
知识点一 𝒚= 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙+ 𝒄的图象与性质
首先，我们在同一个坐标系下，画出𝑦=
1
2 𝑥2、𝑦=
1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21的图象，并观察两个
图象间的位置关系。
不过，要将二次函数𝑦=
1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21的图象画出来，必须先做一步处理，根据前序
学习过的内容，不难得知我们可以通过配方法，把一般式改写成顶点式，再取点画图。
𝑦=
1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21 =
1
2 (𝑥−6)2 + 3
按照五点作图法，得出以下各组数据：
𝑥
…
−2
−1
0
1
2
…
𝑦= 1
2 𝑥2
…
1
0.5
0
0.5
1
…
𝑥
…
4
5
6
7
8
…
𝑦= 1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21
…
5
3.5
3
3.5
5
…
描出图象：
由图象可以看出，抛物线𝑦=
1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21可以由抛物线𝑦=
1
2 𝑥2先向右平移6 个单
第二十六章
二次函数
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位长度，再向上平移3 个单位长度得到，下表为抛物线𝑦=
1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21的各项性质：
函数
𝑦= 1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21
开口方向
开口向上
顶点坐标
(6,3)
对称轴
直线𝑥= 6
增减性
当𝑥< 6时，𝑦随𝑥的增大而减小
当𝑥> 6时，𝑦随𝑥的增大而增大
最值
当𝑥= 6时，𝑦取最小值为3
归纳总结
一般地，我们可以类似地研究二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象和性质：
先对二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐进行配方，得到𝑦= 𝑎(𝑥+
𝑏
2𝑎)2 +
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
𝑎> 0
图象
开口方向
开口向上
顶点坐标
(−𝑏
2𝑎, 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
)
对称轴
直线𝑥= −
𝑏
2𝑎
增减性
当𝑥> −
𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而增大；
当𝑥< −
𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而减小
最值
𝑥= −
𝑏
2𝑎时，函数取最小值为
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
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𝑎< 0
图象
开口方向
开口向下
顶点坐标
(−𝑏
2𝑎, 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
)
对称轴
直线𝑥= −
𝑏
2𝑎
增减性
当𝑥> −
𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而减小；
当𝑥< −
𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而增大
最值
𝑥= −
𝑏
2𝑎时，函数取最大值为
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
知识点二 二次函数两点式𝒚= 𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐)
当得知二次函数的图象与𝑥轴的两个交点时，即(𝑥1, 0)和(𝑥2, 0)，该二次函数解析式可
以表示为𝑦= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)，其中𝑎≠0。该式也可以称为交点式、双根式。
特别提醒
①𝑎同样决定二次函数的开口方向和大小；
②并非任取两个对称的点都能直接代入两点式，必须选择落在𝑥轴上的函数图象上的
两个点才可以代入两点式。
归纳总结
二次函数两点式：𝑦= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)
对称轴：直线𝑥=
𝑥1+𝑥2
2
函数图象与𝑥轴的交点坐标：(𝑥1, 0)和(𝑥2, 0)
该式无法直接用公式表示出顶点坐标，但顶点坐标横坐标和对称轴是一样的，所以可
以将对称轴的𝑥=
𝑥1+𝑥2
2
直接代入到二次函数解析式中，求𝑦即可。
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知识点三 二次函数的图象与系数的关系
对于二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 (𝑎≠0)，它的系数𝑎, 𝑏, 𝑐与二次函数以下性质有着紧密
的联系：
①𝑎：决定了抛物线的开口方向和开口大小。
⚫
𝑎> 0时，抛物线开口向上；𝑎< 0时，抛物线开口向下；
⚫
|𝑎|越大，抛物线开口越小。
②𝑐：决定了抛物线与𝑦轴的交点位置。抛物线与𝑦轴的交点坐标为(0, 𝑐)。
③𝑎和𝑏：两者共同决定二次函数的对称轴位置，二次函数对称轴为直线𝑥= −
𝑏
2𝑎
⚫
当𝑎和𝑏同号时，对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎< 0，对称轴在𝑦轴左侧；
⚫
当𝑎和𝑏异号时，对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎> 0，对称轴在𝑦轴右侧。
因此有一个口诀：左同右异。
特别提醒
当然，二次函数的系数不光会决定以上性质，还会决定抛物线与𝑥轴的交点个数，根
据𝑎, 𝑏, 𝑐的值，我们就可以确定开口方向、对称轴位置、与𝑦轴的交点和与𝑥轴的交点
个数，进而画出抛物线大概的样子。关于抛物线与𝑥轴的交点个数问题，我们会在下
一节《二次函数与一元二次方程》中涉及，感兴趣的同学可以先自行探索。
归纳总结
二次函数的图象与系数的关系：
𝑎决定开口方向和大小，𝑐决定与𝑦轴的交点位置，𝑎和𝑏共同决定对称轴的位置（即
左同右异）。
知识点四 二次函数的平移
二次函数可以通过平移变成一个新的二次函数，当它左右平移时，需要对自变量进行
加减；当它上下平移时，需要对函数解析式整体进行加减，具体的规律可以概括为：
上加下减，左加右减。
①𝑦= 𝑎𝑥2向左平移𝑚个单位之后，解析式为：𝑦= 𝑎(𝑥+ 𝑚)2
②𝑦= 𝑎𝑥2向右平移𝑚个单位之后，解析式为：𝑦= 𝑎(𝑥−𝑚)2
③𝑦= 𝑎𝑥2向上平移𝑚个单位之后，解析式为：𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑚
④𝑦= 𝑎𝑥2向下平移𝑚个单位之后，解析式为：𝑦= 𝑎𝑥2 −𝑚
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特别提醒
对二次函数进行平移之前，最好能先将其改写成顶点式，因为对顶点式而言，平移时
的左加右减和上加下减，更方便对自变量以及函数解析式整体进行加减，不至于像对
一般式进行平移的时候，容易丢三落四。
拓展延伸
①当我们对一个函数连续进行平移的时候，也可以连续改写，例如：
先将𝑦= 𝑎𝑥2向左/右平移𝑚个单位，再将其上/下平移𝑛个单位，得到的解析式为：𝑦=
𝑎(𝑥± 𝑚)2 ± 𝑛。
②若不将一般式改写为顶点式，在原基础上进行平移，可以进行如下改写：
先将𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐向左/右平移𝑚个单位，再将其上/下平移𝑛个单位，得到的解析
式为：𝑦= 𝑎(𝑥± 𝑚)2 + 𝑏(𝑥± 𝑚) + 𝑐± 𝑛。
归纳总结
平移规律：上加下减，左加右减。上下平移只对函数解析式加减，左右平移只对𝑥加
减。
易错点 1 一般式改写顶点式时不恒等
•
错例：对𝑦=
1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21配方时，对前两项提
1
2后，括号中为了配方而新增的项
并没有再度配平消去；
•
错因：只记住“加一次项系数一半的平方”，却忘了“括号外要减掉相等的量”
来保持恒等变形；
•
规避方法：配方时多加/减的项用波浪线重点标记，代表这是多余出来的项，直接
在后面紧跟一项与其抵消。
易错点 2 顶点坐标公式中“符号”记反
•
错例：将顶点坐标(−
𝑏
2𝑎,
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
)记成(−
𝑏
2𝑎, 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
)或丢掉
𝑏
2𝑎之前的负号；
•
错因：机械记忆公式，不与“顶点式”建立联系，不理解顶点横坐标就是对称轴
𝑥= −
𝑏
2𝑎，导致符号错误无法察觉；
•
规避方法：公式需要背熟；或者算出顶点后，快速检验：将𝑥= −
𝑏
2𝑎代入原式，看
得到的𝑦是否等于
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
。
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易错点 3 增减性描述不分段
•
错例：对于二次函数𝑦=
1
2 (𝑥−6)2 + 3的增减性，直接说“𝑦随𝑥的增大而增
大”，忘记强调“当𝑥> 6时”这一前提；
•
错因：受到一次函数的“全局增减”思维影响，忽视了二次函数以对称轴为界的
“分段增减”本质；
•
规避方法：凡写增减性，第一步先写“对称轴为𝑥= ℎ”，然后分两段强制书写
“当𝑥< ℎ时……；当𝑥> ℎ时……”，缺一不可。
易错点 4 滥用两点式
•
错例：已知抛物线上两点（非𝑥轴交点），如(1,2)和(3,2)，直接设𝑦=
𝑎(𝑥−1)(𝑥−3)求解析式；
•
错因：被“对称点”迷惑，只看到纵坐标相等就误认为是与𝑥轴的交点；
•
规避方法：使用交点式前，必须确认两个点的纵坐标都为0。若不为 0，只能用一
般式或顶点式（利用对称性先求顶点横坐标）。
易错点 5 系数关系“左同右异”记反
•
错例：看到对称轴在𝑦轴左侧，却说𝑎与𝑏异号；
•
错因：机械记忆口诀但不理解其推导逻辑（对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎的符号判断），导致符
号方向混淆；
•
规避方法：利用推导验证法，举一个具体例子（如𝑦= 𝑥2 + 2𝑥+ 1，𝑎= 1, 𝑏=
2，对称轴𝑥= −1在𝑦轴左侧，此时𝑎, 𝑏同号），记住这个典型例子即可。
易错点 6 平移时对一般式直接加减
•
错例：将𝑦= 2𝑥2 −4𝑥+ 1向右平移1 个单位，写成𝑦= 2𝑥2 −4𝑥+ 1 + 1，没有将
𝑥替换为𝑥−1；
•
错因：最好先化为顶点式再平移，但有的同学嫌麻烦，直接对一般式操作，忽略
了“左右平移是对𝑥加减”这一本质；
•
规避方法：平移问题，强制先配方成顶点式𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘，再对ℎ和𝑘做加
减。
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•
题型一：把一般式化为顶点式
方法技巧
观察二次项系数是否为“1”：
①当二次项系数等于“1”时：直接对该解析式配方，加上或减去一次项系数一半的平方，
同时还要对该式配平，当加上一个常数的时候，后面必须减去，例如：
𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3 = 𝑥2 −4𝑥+ 𝟒−𝟒+ 3 = (𝑥−2)2 −1
𝑦= 𝑥2 + 6𝑥−2 = 𝑥2 + 6𝑥+ 𝟗−𝟗−2 = (𝑥+ 3)2 −11
②当二次项系数不等于“1”时：
（ⅰ）提：从前两项（即𝑎𝑥2和𝑏𝑥）的系数中，提取𝑎，常数项𝑐保留在外面，不要动；
（ⅱ）找：在括号内找到一次项系数；
（ⅲ）配：配方，在括号内加上并减去一次项系数一半的平方；
（ⅳ）整理：将括号内的完全平方式合并，把多余的项乘以外面的系数𝑎再与常数项合
并。
1.（21-22 九年级下·甘肃武威·开学考试）将二次函数
化成
的形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用配方法，将二次函数的一般式转化为
的形式，对比选项得到
结果．
【详解】解：
．
2．（21-22 八年级下·浙江金华·期中）把二次函数
配方成
的形式，结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】利用配方法对原式变形即可得到结果．
【详解】解：
．
3．（25-26 九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线
的顶点坐标
的过程，则（ ）
解：∵
…………①
………………②
∴抛物线的顶点坐标为
………③
A．该过程完全正确
B．该过程从①开始出错
C．该过程从②开始出错
D．该过程从③开始出错
【答案】B
【分析】按配方法正确步骤逐步比对，即可找到错误起始位置．
【详解】解：
，
∴抛物线的顶点坐标为
．
4．（山西省太原市小店区太原华师双语学校2024-2025 学年上学期九年级数学第六次月考
试卷）将二次函数
化为顶点式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，配方法的关键是添加和减去一次项系数一半
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的平方，以形成完全平方式．
通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式，即完成平方并简化常数项．
【详解】解：∵
故选D.
题型二：一般式的基本性质
方法技巧
一般式𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的常见基本性质如下：
①对称轴：直线𝑥= −
𝑏
2𝑎；
②顶点坐标：(−
𝑏
2𝑎, 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
)；
③对于二次函数中的任意的一个𝑥，二次函数在𝑥= −
𝑏
2𝑎时取得最值，该最值为𝑦=
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
。
1.（2022·浙江绍兴·模拟预测）若抛物线
的开口向下，顶点坐标为
，则二次函数
有（ ）
A．最小值
B．最大值
C．最小值2
D．最大值2
【答案】B
【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线
的开口向下，顶点坐标为
，
∴二次函数
有最大值
．
2．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）抛物线
的顶点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，再根据顶点式的性质直接得到顶点
坐标．
【详解】解：
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∴该抛物线的顶点坐标为
．
3．（25-26 九年级上·广东韶关·期末）抛物线
的对称轴是直线（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：因为抛物线的解析式为
，
所以该抛物线的对称轴为直线
．
4．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数
，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为
B．对称轴为直线
C．函数图像与x 轴有2 个交点
D．当
时，y 随x 的增大而减小
【答案】C
【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x
轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可．
【详解】解：∵
，
∴顶点坐标为
，对称轴为直线
，故A、B 选项说法正确，不符合题意；
令
，则
，
解得
，
∴函数图像与x 轴只有1 个交点，故C 选项说法错误，符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
，
∴当
时，
随
的增大而减小，故D 选项说法正确，不符合题意．
5．（2026 九年级下·内蒙古呼和浩特·专题练习）对于二次函数
，下列
说法正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．对称轴是直线
C．与
轴的交点是
和
D．当
时，
随
的增大而增大
【答案】B
【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说
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法，即可得到正确结果．
【详解】解：∵
，二次项系数
，
∴ 抛物线开口向上，选项A 错误；
∵ 整理得到的顶点式为
，
∴ 图象的对称轴是直线
，选项B 正确；
令
，得
，解得
，
∴ 抛物线与
轴的交点坐标是
和
，选项C 错误；
∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线
，
∴ 当
时，
随
的增大而增大，当
时，
随
的增大而减小，选项D 错误．
题型三：一次函数与二次函数的图象综合
方法技巧
此类问题的思路链可以简述为：由已知函数图象判断系数符号→推断另一函数图象
特征→筛选选项。可以参考如下详细步骤：
对于𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏和𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)：
第一步：固定一种图象，可以选择先从二次函数图象中定符号
•
𝑎：开口向上→正，开口向下→负。
•
𝑐：与𝑦轴交点纵坐标，正半轴→正，负半轴→负，过原点→0。
•
𝑏：由对称轴位置结合𝑎的符号判断——左同右异（对称轴在𝑦轴左侧⇔𝑎, 𝑏同
号；在𝑦轴右侧⇔𝑎, 𝑏异号）。
第二步：推断一次函数图象特征
•
斜率𝑎：正→上升，负→下降。
•
截距𝑏：正→交𝑦轴正半轴，负→交𝑦轴负半轴。
第三步：逐个选项排除
•
检查选项中的一次函数是否满足第一步推出的𝑎、𝑏符号。
•
特别警惕：两函数中同一字母符号必须一致（如二次函数中𝑎> 0，则一次函
数斜率𝑎也必须为正）。
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1.（2026·广东佛山·一模）若二次函数
的图象如图所示，则一次函数
图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由二次函数图像开口向下得出
，再根据对称轴在
轴右侧推出
，最后
结合一次函数
的特征，判断图像即可．
【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下，
∴
，
∵从图中可知对称轴在
轴右侧，
∴根据对称轴公式，得
，
∵
，
∴
，
分析一次函数
的图像：
，说明直线从左上到右下；
，说明直线与
轴交于正半轴；
故符合这两个特征的是选项C．
2．（25-26 九年级下·辽宁盘锦·阶段检测）在同一坐标系中画出直线
与抛物线
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，有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可．
【详解】解：A、直线
中，
，抛物线
中，
，故本
选项符合题意；
B、直线
中，
，抛物线
中，
，矛盾，故本选项不
符合题意；
C、直线
中，
，抛物线
中，
，矛盾，故本选项不
符合题意；
D、直线
中，
，抛物线
中，
，矛盾，故本选项不
符合题意．
3．（25-26 九年级上·河北廊坊·阶段检测）函数
和函数
在同一
平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题．
先求出
的顶点坐标， 再分情况讨论即可．
【详解】解：当
时，
，
即函数
的顶点为
，B、D 不符合要求；
当
时，函数
经过一、三象限，函数
开口向上，C 符合；
当
时，函数
经过二、四象限，函数
开口向下，无符合选
项；
故选：C．
4．（25-26 九年级上·宁夏银川·期末）函数
和
（m 是常数，且
）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查图象的性质，熟知一次函数和二次函数的图象性质是解答的关键；
根据
的图象判断，m 的正负，再判断
的图象的开口方向即可；
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【详解】解： 选项A：由函数
的图象可知
，则函数
的图
象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意；
选项B：由函数
的图象可知
，则函数
的图象应该开口向
下，与图像一致，；符合题意；
选项C： 由函数
的图象可知
，则函数
的图象应该开口向
下，与图像不一致，不符合题意；
选项D：由函数
的图象可知
，则函数
的图象应该开口向
上，与图像不一致，不符合题意；
故选B．
5．（2025·河南濮阳·一模）已知函数
的图象如图所示，那么函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合判断，正确根据二次函数推出
，
是解题的关键．先根据二次函数图象求出
，
，再根据一次函数图象与其系
数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案．
【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y 轴右侧，
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∴
，
∴
，
∴一次函数
的图象经过第一、三、四象限，
∴四个选项中只有A 选项符合题意，
故选：A．
6．（25-26 九年级上·河南新乡·期中）一次函数
的图象如图所示，则二次函数
在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象与系数的关系，根据一次函数图
象经过的象限，找出
、
是解题的关键．根据一次函数的图象的性质先确定出a、
b 的取值范围，再根据二次函数的性质即可做出判断．
【详解】解：∵一次函数
经过第一、二、三象限，
∴
，
，
∴二次函数
的图象的开口向上，
对称轴直线
，在y 轴左侧，
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图象与y 轴的交点为
，在y 轴的负半轴，
∴选项D 符合题意．
故选：D．
题型四：二次函数的图象与各项系数的关系
方法技巧
对于二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)：
𝑎：𝑎> 0时开口向上；𝑎< 0时开口向下；
𝑐：与𝑦轴的交点为(0, 𝑐)。当𝑐> 0时，抛物线与𝑦轴交点在正半轴；当𝑐< 0时，抛物
线与𝑦轴交点在负半轴；
𝑎和𝑏：左同右异；同号时，对称轴在𝑦轴左侧；异号时，对称轴在𝑦轴右侧。
1.（2022·陕西·模拟预测）二次函数
的
，
，
，那么其图象
必过（ ）
A．第二、三、四象限
B．第一、三、四象限
C．第一、二象限
D．第一、二、三象限
【答案】C
【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y 轴的哪一侧，交y 轴的
位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可．
【详解】解：∵二次函数
的
，
∴该函数图象开口向上，
又∵
，
，
∴
，顶点在y 轴左侧，经过y 轴正半轴，
∴该二次函数的图象必过第一、二象限．
2．（2024·广东湛江·模拟预测）如图是抛物线
的示意图，则
的值可以是
（ ）
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A．0
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴
∴
的值可以是2．
3．（2026·广东惠州·二模）二次函数
开口向上，与
轴交于负半轴，对称
轴在
轴左侧，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与
的关系确定a 的正负，对称轴位
置与
的关系确定b 的正负，与
轴交点的位置与的关系确定c 的正负，逐一判断选
项，即可得到正确结论．
【详解】解：
二次函数
开口向上，
，选项A 错误；
对称轴在
轴左侧，二次函数对称轴为
，
，
又
，
，选项B 错误；
二次函数与
轴交于负半轴，且当
时，
，
，选项C 错误；
由
，
得
，
∴
，
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∵
，
∴
，选项D 正确．
4．（2026·广东珠海·三模）抛物线
，其中，a，b，c 能决定抛物线
的增减性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数
的性质，需明确抛物线增减性的影响因
素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作
用即可得到结果；
【详解】解：∵抛物线
的开口方向由
决定，开口方向决定整体增减
趋势；抛物线的对称轴为直线
，对称轴位置由
和
共同决定；抛物线的增减性以
对称轴为分界，因此增减性由
共同决定；只决定抛物线与
轴的交点位置，仅上下平
移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是
．
5．（25-26 九年级下·河南周口·期中）二次函数
图象开口向上，对称轴在
y 轴左侧，与y 轴交于负半轴，则a、b、c 符号判断正确的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y 轴交点位置
判断a、b、c 的符号，从而得到正确选项．
【详解】解：∵二次函数
的图象开口向上，
∴
，
∵对称轴在y 轴左侧，二次函数对称轴为直线
，
∴
，
∴
，
∵二次函数图象与y 轴交于负半轴，当
时，
，
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∴
，
综上，
，
，
，故选项A 符合题意．
6．（2026·贵州遵义·一模）二次函数
的图象如图所示，则点
所在
的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据函数图象可得各系数的关系：
，
，则点
所在的象限即可判
定．
【详解】解：观察图象得：开口向下，与y 轴交于正半轴，
∴
，
，
∴点
位于第二象限．
题型五：二次函数的最值
方法技巧
一、当对𝒙无区间限制时
直接利用顶点求最值：
将解析式配方为 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘。
若 𝑎> 0，当 𝑥= ℎ 时，𝑦min = 𝑘（无最大值）；
若 𝑎< 0，当 𝑥= ℎ 时，𝑦max = 𝑘（无最小值）。
注意：先判断开口方向，再确定顶点纵坐标即为最值。
二、当对𝒙有区间限制时（例如出现“区间 𝒎≤𝒙≤𝒏”）
①求对称轴 𝑥= −
𝑏
2𝑎，判断其是否在给定区间内。
②若对称轴在区间内：
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顶点处取得最值（开口向上取最小，开口向下取最大）；
区间端点处取得另一个最值（离对称轴远的端点值更大/更小）。
③若对称轴在区间左侧：函数在区间内单调递增/递减，最值均在端点处取得。
④若对称轴在区间右侧：函数在区间内单调递减/递增，最值均在端点处取得。
三、实际问题最值
先将实际问题转化为二次函数模型，明确自变量取值范围，再按"有区间限制"的方法
求解。
1.（2026·河南三门峡·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
得出
，利用二次函数的性质即可得出
答案．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
．
∴顶点坐标为
．
∴
的最小值为
．
2．（2026·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数
（a 为
常数，且
）的图象与y 轴的交点在x 轴下方，则该二次函数有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值3
D．最小值3
【答案】C
【分析】先根据二次函数与y 轴交点位置得到a 的取值范围，判断二次函数开口方向，再
对二次函数配方得到顶点纵坐标，即可求出函数最值．
【详解】解：将
代入
，得
，
∵二次函数
（a 为常数，且
）的图象与y 轴的交点在x 轴下
方，
∴
，
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解得
，
∴二次项系数
，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴
，
∴该二次函数的最大值为．
3．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数
（b、c 是常数）的图象与x 轴的
交点的横坐标为
和1，且二次函数的最小值为m，则
的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．8
【答案】B
【分析】利用二次函数与x 轴交点满足函数解析式，先求出b，c 的值，再根据二次函数性
质求出最小值m，最后计算
即可；
【详解】解：∵二次函数
的图象与x 轴交点横坐标为
和，
∴函数图象过点
和
，
将两点坐标代入解析式得：
，
整理得
，
解得
，
，
∴二次函数解析式为
，
配方得
，
∵二次项系数
，函数开口向上，
∴最小值
，
则
．
4．（25-26 九年级上·山东·期末）已知关于x 的二次函数
，
在
的取值范围内，若
，则（ ）
A．函数有最大值
B．函数有最大值3
C．函数没有最小值
D．函数没有最大值
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【答案】B
【分析】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．先
求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线
，
∵
，开口向下，在
的取值范围内，且
，
∴当
时，函数有最大值，最大值为
，
当
时，函数有最小值，最小值为
，
观察四个选项，选项B 符合题意，
故选：B．
5．（25-26 九年级上·福建厦门·期末）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱
形喷水装置OM，喷头
向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建
立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度
与水平距离
之间的函数关系
式是
，则水流喷出的最大高度为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵
坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为
，
∴抛物线的顶点坐标为
，
∴水流喷出的最大高度是
（m），
故选：A．
6．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放
置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速
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度
与弹簧被压缩的长度
之间的函数关系式为
，则这个过程
中，小球速度的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由题意得：函数
，
，
该函数图象开口向下，有最大值，
对称轴为
，
将
代入
得：
，
即小球速度的最大值为
．
7．（25-26 九年级下·江苏盐城·期中）我们规定：若
，
，则
．例如
，
，则
．已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．10
D．16
【答案】B
【分析】根据新的定义得到
的表达式，再结合二次函数的性质得到在
上，
随
的增大而增大，据此解答即可．
【详解】解：
，
由于二次函数
图象开口向上，
则在
上，
随
的增大而增大，
当
时，
，
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即
的最小值是1．
8．（2026·甘肃庆阳·一模）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y
（单位：元）与每件销售价
（单位：元）之间的关系满足
，由于某
种原因，价格需满足
，那么一周可获得的最大利润是（ ）
A．
元
B．
元
C．
元
D．
元
【答案】B
【分析】根据顶点式得到二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性即可在给
定范围内求出最大值．
【详解】解：∵
，且
，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线
，
∴当
时，
随
的增大而增大，
∵
，
∴当
时，
取得最大值，
将
代入解析式得
即一周可获得的最大利润是1550 元．
题型六：待定系数法求函数解析式
方法技巧
待定系数法求二次函数解析式，大概有以下三种假设方式：
形式
解析式
适用条件
一般式
𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐
已知图象上的任意三个点（无特殊点）
顶点式
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘
已知顶点坐标(ℎ, 𝑘)及另一个点
两点式
𝑦= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)
已知图象与𝑥轴两个交点(𝑥1, 0)，(𝑥2, 0)及
另一个点
基本步骤如下：
①审题定式：根据题目中所给的关键特征，选择最方便的形式进行假设。优先考虑
顶点式或两点式。
②代入列式：将已知点坐标代入假设好的解析式，列出关于待定系数（𝑎, 𝑏, 𝑐）的方
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程（组）。
③解系数：解方程（组）求出待定系数。
④回代整理：将求出的系数代回所设的形式，化为一般式（若题目无特殊要求）。
1.（2026·河南信阳·二模）已知抛物线
经过
和
两点，则
的值
为（ ）
A．
B．4
C．3
D．5
【答案】B
【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质，先求出对称轴，
再计算
的值，最后代入点坐标求
即可．
【详解】解：∵抛物线
经过
和
两点，两点纵坐标相等，
∴两点关于抛物线对称轴对称，可得抛物线对称轴为
，
对于抛物线
，对称轴为
，
解得
，
∴抛物线解析式为
，
将
代入解析式
得
．
2．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数
（b、c 是常数）的图象与x 轴的
交点的横坐标为
和1，且二次函数的最小值为m，则
的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．8
【答案】B
【分析】利用二次函数与x 轴交点满足函数解析式，先求出b，c 的值，再根据二次函数性
质求出最小值m，最后计算
即可；
【详解】解：∵二次函数
的图象与x 轴交点横坐标为
和，
∴函数图象过点
和
，
将两点坐标代入解析式得：
，
整理得
，
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解得
，
，
∴二次函数解析式为
，
配方得
，
∵二次项系数
，函数开口向上，
∴最小值
，
则
．
3．（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线
顶点坐标为
，且与
的开口方向、
形状大小完全相同，则抛物线
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解
析式．
【详解】解：设抛物线
为
，
抛物线
与
的开口方向、形状大小完全相同，
，
将
代入可得
．
4．（25-26 九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线
经过
和
两
点，则的值为（ ）
A．0
B．4
C．8
D．
【答案】C
【分析】本题考查了求二次函数解析式．
根据待定系数法求解即可．
【详解】解：∵抛物线
经过
和
两点，
∴
，
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解得：
．
故选：C．
5．（25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）假设你是一名人工智能工程师，正在开发一
个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量
代表时间（天），
代表某商品的日销量
（件）．经过初步分析，你发现
与
之间的关系可以用二次函数来拟合（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为
，
利用待定系数法解答即可求解．
【详解】解：设二次函数解析式为
，
把
、
和
代入得，
，
解得
，
∴二次函数解析式为
，
故选：
．
6．（22-23 九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可
知，该二次函数的表达式是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解．
【详解】解：由顶点坐标
可设二次函数表达式为
，
将
代入解析式得，
，
解得
，
∴该二次函数的表达式是
．
7．（26-27 九年级·上海·暑假作业）已知抛物线
过点
、
和
，那么
的值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】点
和
纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，
代入点
和
求出参数，再展开为一般式计算
．
【详解】解：
抛物线过点
、
，两点纵坐标相等，
对称轴为：
，
设抛物线的顶点式为：
．
将点
，
代入，得方程组：
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，
化简：
，
两式相减，得：
，
，
将
代入
，得：
，
，
将顶点式展开：
，
，
，
，
．
8．（20-21 九年级上·河南·阶段检测）已知二次函数
的图象经过
两点，求此二次函数的解析式．
【答案】
【分析】将（1,0）、（0,5）两点坐标代入
得到关于b、c 的方程组，然后解
方程组即可．
【详解】解：把（1,0）、（0,5）代入
得
，
解得
，
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所以二次函数的解析式为
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关
系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
9．（18-19 八年级下·湖南长沙·期末）关于x 的二次函数
的图象与x 轴交
于点
和点
，与y 轴交于点
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标.
【答案】（1）
（2）对称轴：直线
；顶点坐标为
.
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，3）代入求得a 的值可得到
抛物线的解析式；
（2）把抛物线的解析式配方即可
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将C（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）y=-x2+2x+3=-
．
∴对称轴：直线
；顶点坐标为
.
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式以及对称轴和顶点坐标，熟练掌握
相关知识是解题的关键
10．（17-18 九年级·四川广安·阶段检测）已知二次函数的图象过点P（2，0），对称轴
x=4，顶点在直线y=x﹣1．
（1）求顶点坐标；
（2）求二次函数的解析式．
【答案】（1）顶点坐标为（4，3）；（2）y=﹣
（x﹣4）2+3．
【分析】(1)直接由对称轴x=4，顶点在直线y=x﹣1，可得顶点坐标.
(2) 设二次函数的解析式为：y=a（x﹣4）2+3,代入P 点坐标可求得二次函数的解析式.
【详解】解：（1）∵对称轴x=4，顶点在直线y=x﹣1，
∴y=3，
小学
初中
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∴顶点坐标为（4，3）；
（2）设二次函数的解析式为：y=a（x﹣4）2+3，
把点P（2，0）代入得，a（2﹣4）2+3=0，
解得：a=﹣
，
∴二次函数的解析式为：y=﹣
（x﹣4）2+3．
【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴的求法及待定系数法求二次函数解析式.
11．（21-22 九年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知二次函数的图象经过
、
、
三点，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【详解】解：设二次函数的解析式为
，把点
、
、
代入得，
，解得
，
∴这个二次函数的解析式为
．
12．（25-26 九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数
(
)的图象上的
部分点的横坐标
，纵坐标
的对应值如下表：
…
0
…
…
1
1
…
(1)二次函数图象的顶点坐标为_________，
_________；
(2)求该二次函数的表达式．
【答案】(1)
，
；
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称性、顶点坐标的确定及二次函数表达
式的求解，关键是利用二次函数的对称性快速定位对称轴与顶点，再选择合适的表达式形
式简化计算．
（1）通过表格中纵坐标相同的两个点，计算得到二次函数的对称轴，结合表格数据直接得
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出顶点坐标；再利用对称性找到
的对称点，进而求出
的值；
（2）已知顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，代入表格中一个已知点求解出参数
即可．
【详解】（1）解：∵当
时
，
时
，
∴二次函数的对称轴为直线
，
又∵
时
，
∴二次函数图象的顶点坐标为
；
∵
与
关于对称轴
对称，且
时
，
∴
；
故答案为：
，
；
（2）解：设二次函数的顶点式为
，
将点
代入表达式得：
，解得
，
∴
，即
．
题型七：二次函数的图象平移
方法技巧
比较常见的题型：由已知函数求平移后的函数解析式；由平移后的函数解析式求初
始解析式。
对于第一种，由已知函数求平移后的函数解析式，先把函数改写为顶点式，再利用
“上加下减，左加右减”，对原函数作变换即可；
对于第二种，由平移后的函数解析式求初始解析式，可以将平移过程逆推，即方向
变成相反的，符号取反，进而得到原解析式。
当然无论对于哪一种题型，我们还可以用“顶点追踪法”，即只需要关注顶点坐标如何
变化即可，顶点从(ℎ, 𝑘)变成(ℎ∓𝑚, 𝑘± 𝑛)，再直接写出顶点式即可。
1.（2022·福建漳州·模拟预测）已知抛物线
与x 轴没有交点，将该抛物线
向左平移3 个单位长度，再向下平移5 个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
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【答案】C
【分析】先根据抛物线与x 轴无交点求出a 的取值范围，再求出原抛物线顶点坐标，根据
平移规律得到平移后顶点坐标，通过判断坐标符号确定顶点所在象限．
【详解】解：∵抛物线
与x 轴没有交点，
∴
，
解得：
，
原抛物线顶点横坐标为
，纵坐标为
，
即原顶点坐标为
，
根据平移规律，得平移后顶点坐标为
，
∵
，
∴
，则
，
又
，则
，
∴平移后顶点的横纵坐标均为负数，因此顶点在第三象限．
2．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）将函数
的图象先向右平移再向下平移，所
得函数图象的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特
征，即可判断正确选项．
【详解】解：原函数为
，设向右平移
个单位，再向下平移
个单
位，
平移规则为右减自变量，下减常数项，
平移后解析式为
，满足
，
．
选项A：
，得
，
，符合向右平移再向下平移的要求，正
确；
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选项B：常数项为
，不符合要求，错误；
选项C：平方项底数为
，
，属于向左平移，不符合要求，错误；
选项D：平方项底数为
，
，未进行向右平移，不符合要求，错误．
3．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线
向上平移2 个单位长度，再向右
平移3 个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后
的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系
数不变．
【详解】解：∵
，
∴ 原抛物线的顶点坐标为
，
∵ 将顶点向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度，
∴ 平移后顶点的横坐标为
，纵坐标为
，
即新顶点坐标为
，
∵ 抛物线平移后二次项系数不变，
∴ 平移后抛物线的解析式为
．
4．（2023 九年级·甘肃·专题练习）在平面直角坐标系中，将二次函数
的图象先向
右平移个单位长度，再向上平移
个单位长度所得图象的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的平移规律解答即可求解．
【详解】解：将二次函数
的图象先向右平移个单位长度，再向上平移
个单位长度
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所得图象的函数表达式为
．
5．（2026·福建三明·三模）将抛物线
进行平移得抛物线
，点
在抛物线
上，对应点
在抛物线
上，则点
的横坐标可以是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含
的代数式表示出点
的
坐标，再将点
的坐标代入抛物线
的方程，即可求出点
的横坐标．
【详解】解：
抛物线
的顶点为
，抛物线
的顶点为
，
平移规律为：向左平移3 个单位，向下平移4 个单位，
点
在抛物线
上，平移后对应点为
，
的坐标为
，即
，
在抛物线
上，
将
代入
得：
，
整理得
，
解得
或
，
则
的值可以是
或，
因此点
的横坐标可以是
或，选项A 符合．
6．（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线
（a、b、c 为常数，
）向下
平移2 个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线
关于y 轴对称，则b、c
的值为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】先求出抛物线
关于
轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规
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律得到原抛物线向下平移2 个单位后的解析式，对比对应系数即可求出
和的值．
【详解】解：∵抛物线关于
轴对称时，只需将原解析式中的
替换为
，
∴抛物线
关于
轴对称的抛物线为：
，
∵抛物线
向下平移2 个单位，
∴平移后解析式为
，
又∵平移后抛物线与上述关于
轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等，
∴
，
，
解得
，
，
7．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线
向左平移
个单位长度，平移后的抛物线与
轴的交点为
，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据抛物线平移的左加右减规律得到平移后的解析式，再利用已知交点坐标求
出参数
的值，最后通过配方法求出平移后抛物线顶点的纵坐标．
【详解】解：
抛物线向左平移
个单位长度，
平移后的抛物线解析式为
，
平移后的抛物线过点
，
将
，
代入解析式，得
，
整理得
，
解得
或
，
，
，
将
代入平移后的解析式，得
，
整理得
，
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配方得
，
平移后抛物线顶点的纵坐标为
．
8．（2023·江苏连云港·模拟预测）把抛物线
图象先向左平移2 个单位长
度，再向下平移3 个单位长度，所得的图象的解析式是
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】C
【分析】将
化为顶点式，确定顶点坐标，再反向平移得到原抛物线的顶点坐
标
，继而得到原抛物线的解析式，求出
，
，
．代入计算即可．
【详解】解：
．
∴其顶点坐标是
，
∴将其向右平移2 个单位长度，再向上平移3 个单位长度后得到
．
∴原抛物线的解析式是：
．
所以
，
，
．
所以
．
