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第 03 讲 二次函数 的图像和性质
1. 会用描点法画出二次函数 y=ax²+c（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物
线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
2. 掌握二次函数 y=ax²+c（a≠0）性质，掌握 y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c
（a≠0）之间联系。
知识点 1 y=ax²+c的图像性质：
【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象．
【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣
1，
∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0），
∴其图象如图所示：
二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图像是一条抛物线（2）关于y
轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大
而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.
【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象．
【解答】解：列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 …
描点、连线如图．二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图像是一条抛物线（2）关于y轴
对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增
大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.
总结： y=ax²+c的图像的性质
知识点2： y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c（a≠0）之间的关系
【题型1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】
【典例1】（2023•南海区模拟）抛物线y＝﹣x2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝0 C．直线x＝1 D．直线
【答案】B
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+1的对称轴是直线x＝0，即y轴．
故选：B．【变式1-1】（2020九上·路南期末）抛物线 y=−x2+2 的对称轴为（ ）
A．x 轴 B．y 轴 C．x=2 D．y=2
【答案】B
b 0
【解析】解：抛物线 y=−x2+2 的对称轴是 x=− =− =0,
2a 2×(−1)
即抛物线 y=−x2+2 的对称轴是 y 轴，
故答案为：B
1
【变式1-2】（2021九上·阳东期中）二次函数y=− x2−2的图象的对称轴为
2
．
【答案】y轴或直线x=0
1
【解析】∵二次函数y=− x2−2，
2
b
∴对称轴为x=− =0；
2a
故答案是：y轴或直线x=0．
【典例2】（2022秋•丰南区校级期末）二次函数y＝x2+2的图象的顶点坐标是
（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）
【答案】A
【解答】解：二次函数y＝x2+2的图象的顶点坐标是（0，2），
故选：A．
【变式2】（2021九上·长春月考）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
【答案】D
【解析】解： ∵ 抛物线 y=2x2−3 ，
∴ 该抛物线的顶点坐标为 (0，−3) ，
故答案为：D．
【题型2 二次函数y=ax²+c图像性质】
【典例3】（2022秋•九龙坡区期末）关于抛物线 y＝﹣x2+2，下列说法正确的
是（ ）
A．开口向上B．对称轴是y轴
C．有最小值
D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2中，a＝﹣1＜0，
∴开口向下，对称轴是y轴，故A错误，B正确；
∴函数有最大值，当x＜0时，函数y随x的增大而增大，
故C、D错误．
故选：B．
【变式3-1】（2022九上·徐汇期中）下列关于二次函数y=−x2+3的图像说法中
错误的是（ ）
A．它的对称轴是直线x=0
B．它的图像有最高点
C．它的顶点坐标是(0，3)
D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小
【答案】D
【解析】解：∵二次函数的表达式为y=−x2+3
∴a<0，开口向下，抛物线有最高点，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
∵b=0，∴对称轴x=0
将x=0代入解析式得y=3
∴顶点坐标为(0，3)
故答案为：D
【变式3-2】（2021九上·亳州期末）抛物线y=4x2抛物线y=−4(x+2) 2的相同
点是（ ）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上
【答案】D
【解析】解：抛物线y＝4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，0），
抛物线y＝−4（x＋2）2的开口向下，对称轴为直线x＝−2，顶点是（−2，0），
∴抛物线y＝4x2与抛物线y＝−4（x＋2）2的相同点是顶点都在x轴上，
故答案为：D．
【变式3-3】（2021九上·奉贤期中）关于二次函数 y=−2x2+1 的图象，下列
说法中，正确的是（ ）．
A．对称轴为直线 x=1
B．顶点坐标为（-2，1）
C．可以由二次函数 y=−2x2 的图象向左平移1个单位得到；
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．
【答案】D
【解析】关于二次函数 y=−2x2+1 的对称轴为直线x=0，开口向下，在对称
轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，顶点坐标（0，1），可以由二
次函数 y=−2x2 的图像向上平移1个单位得到．
故答案为：D．
【题型3 二次函数y=ax²+c中y值大小比较】
【典例4】（2023•虹口区一模）如果点A（﹣2，y ）与点B（﹣3，y ）都在抛
1 2
物线y＝x2+k上，那么y 和y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解答】解：∵y＝x2+k，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴x＜0时，y随x增大而减小，
∵﹣3＜﹣2，
∴y ＞y ，
2 1
故选：B．
【变式4-1】（2022九上·阳春期末）已知点(x ，y )，(x ，y )均在抛物线
1 1 2 2
y=x2−1上，下列说法正确的是（ ）A．若x =−x ，则y =−y B．若y = y ，则x =x
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若x y ，故本选项不符合题意；
1 2 1 2
D.若00、c>0，由二次函数的图象可知
a<0，两者相矛盾，故此选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知a<0、c>0，由二次函数的图象可知a<0，c>0两者
相吻合，故此选项符合题意；
C、由一次函数的图象可知a<0、c<0，由二次函数的图象可知a>0，两者相矛
盾，故此选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知a<0、c>0，由二次函数的图象可知a>0，两者相矛
盾，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【变式6-2】（2022九上·新抚月考）函数y＝ax－a和y=ax2+2（a为常数，且
a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：由y=ax2+2的顶点坐标为(0，2)，
故A，B不符合题意；
由C，D中二次函数的图象可得：a<0，
∴−a>0，
∴ 函数y＝ax－a过一，二，四象限，
故C符合题意，D不符合题意，
故答案为：C
【题型6 y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c（a≠0）之间的关系】
【典例7】（2020九上·梅河口期末）已知，直线 y=−2x+3 与抛物线 y=ax2
相交于 A 、 B 两点，且 A 的坐标是 (−3,m)
（1）求 a ， m 的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）m=9,a=1 （2）（0，0）
【解答】（1）解：把A的坐标（-3，m）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9，
所以A点坐标为（-3，9），
把A（-3，9）代入线y=ax2得9a=9，解得a=1．
综上所述，m=9,a=1．
（2）解：抛物线的表达式为y=x2，根据抛物线特点可得：对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
【变式7-1】（九上·西城月考）抛物线 y=3x2，y=−2x2+1 在同一直角坐标
系内，则它们（ ）
A．都关于 y 轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
【答案】A
【解析】A ．观察两个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴
b
x=− =0 ，对称轴为 y 轴，都关于 y 轴对称,该选项符合题意；
2a
B ．前一个 a>0 ，开口向上，后一个 a<0 ，开口向下，该选项不符合题意；
C． 前一个经过原点 (0，0) ，后一个经过点 ，(0，1) ，该选项不符合题
意；
D ．因为二次项系数不一样，不可能通过平移得到的，该选项不符合题意；.
故答案为： A
【变式7-2】（2020九上·南昌月考）已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象
上，当x＝﹣2时，y＝8．
（1）求a，b的值；
（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
{a=1)
【答案】（1） （2）m＝40，n＝±4．
b=4
【解答】（1）解：∵点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，
∴13＝9a+b，
∵当x＝﹣2时，y＝8，
∴8＝4a+b，
{13=9a+b)
，
8=4a+b
{a=1)
解得： ；
b=4
（2）解：∵a＝1，b＝4，
∴函数解析式为y＝x2+4，
∵点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，∴m＝36+4＝40，20＝n2+4，
∴n＝±4，
则m＝40，n＝±4．
1．（2023•庐阳区一模）抛物线y＝3x2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣5） B．（0，0） C．（0，5） D．（3，﹣5）
【答案】A
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝3x2﹣5，
∴顶点坐标为（0，﹣5），
故选：A．
2．（2023•小店区校级模拟）对于二次函数y＝﹣ x2+2，当x为x 和x 时，对
1 2
应的函数值分别为y 和y ．若x ＞x ＞0，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．无法比较
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣ x2+2中，﹣ ＜0且对称轴为直线x＝0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x ＞x ＞0，
1 2
∴y ＜y ，
1 2
故选：B．
3．（2023•庐阳区校级一模）二次函数 y＝x2﹣2的图象经过点（a，b），则代
数式b2+6a2的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2的图象经过点（a，b），
∴b＝a2﹣2，
∴a2＝b+2，
∴b2+6a2＝b2+6（b+2）
＝b2+6b+12
＝（b+3）2+3；
所以代数式b2+6a2的最小值是4，
故选：C．
4．（2023•宁波模拟）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象
大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：当a＞0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知开，口向上，顶点在 y
轴负半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），
由一次函数y＝ax+a可知过一，二，三象限，交x轴于（﹣1，0）；
当a＜0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知，开口向下，顶点在 y轴正半轴上，
与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过二，三，
四象限，交x轴于（﹣1，0）；
故选：C．
5．（2023•青浦区一模）抛物线y＝3x2﹣1在y轴右侧的部分是 ．（填
“上升”或“下降”）
【答案】上升．
【解答】解：∵y＝3x2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴y轴右侧部分上升，
故答案为：上升．
6．（2021.深圳）抛物线 y=3x2，y=−2x2+1 在同一直角坐标系内，则它们
（ ）
A．都关于 y 轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
【答案】A
【解答】 A ．观察两个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴
b
x=− =0 ，对称轴为 y 轴，都关于 y 轴对称,该选项符合题意；
2a
B ．前一个 a>0 ，开口向上，后一个 a<0 ，开口向下，该选项不符合题意；
C． 前一个经过原点 (0，0) ，后一个经过点 ，(0，1) ，该选项不符合题
意；
D ．因为二次项系数不一样，不可能通过平移得到的，该选项不符合题意；.
故答案为： A ．
7．（2021.佛山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点
1
A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y= x2于B，C两点，则BC的长为
3
。
【答案】6
【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），
1
当y=3时， x2=3，
3
解得x=±3，
∴ B点坐标为（-3，3），C点坐标为（3，3），∴BC=3-（-3）=6.
故答案为：6
1 1
8.（2021.百色）如图，两条抛物线 y =− x2+1,y =− x2−1 与分别过点（
1 2 2 2
−2 ， −1 ）（2， −3 ）且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴部分的面积为
（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，两个抛物线的形状相同
1 1
∴y -y =- x2+1-（- x2-1）=2
1 2 2 2
∴阴影部分面积=（y -y ）×|2-（-2）|=2×4=8
1 2
故答案为：B.
9．（2021.长沙）已知 y=(m+2)xm2+m−4+1 是关于x的二次函数.
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，
y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随
x的增大而减小？
【解答】（1）因为函数为二次函数
∴m+2≠0，m2+m-4=2
∴m≠-2，m2+m-6=0
∴m≠-2，（m+3）（m-2）=0
∴m=-3，m=2（2）当m=2时，函数为y=4x2+1，有最低点，最低点为（0,1），且x≥0时，y
随x的增大而增大
（3）m=-3时，函数为-x2+1，有最大值，最大值为1，x≥0时，y随x的增大而
减小
1．（2022秋•曲阜市期末）二次函数y＝x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2）
【答案】B
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2的图象的顶点坐标是（0，﹣2），
故选：B．
2．（2022秋•郊区期末）抛物线 y＝﹣4x2+3的开口方向和顶点坐标分别是（
）
A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3）
C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝﹣4x2+3的开口向下，顶点坐标是（0，3）．
故选：C．
3．（2021.河池）下列各点在抛物线 y=x2+1 上的是（ ）
A．(0,1) B．(−1,0) C．(0,0) D．(1,1)
【答案】A
【解答】当x=0时，y=1，故A符合题意，C不符合题意；
当x=1时，y=2，故D不符合题意；
当x=-1时，y=2，故B不符合题意；
故答案为：A．
4．（2021.云南）关于二次函数 y=−2x2+1 的图象，下列说法中，正确的是
（ ）．
A．对称轴为直线 x=1
B．顶点坐标为（-2，1）C．可以由二次函数 y=−2x2 的图象向左平移1个单位得到；
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．
【答案】D
【解答】关于二次函数 y=−2x2+1 的对称轴为直线x=0，开口向下，在对称
轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，顶点坐标（0，1），可以由二
次函数 y=−2x2 的图像向上平移1个单位得到．
故答案为：D．
5．（2021.浙江）二次函数 y=2x2−3 的图象是一条抛物线，下列关于该抛物
线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线与 x 轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线 x =1 D．抛物线经过点（2,3）
【答案】B
【解答】A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项不符合题意；
B、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两
个交点，所以B选项符合题意；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项不符合题意；
D、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项不符合题
意，
故答案为：B．
6．（2021.柳州）二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位后得到函数解析式为
（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）2
【答案】B
【解答】解：∵y＝x2的图象向下平移2个单位，
∴平移后函数图象顶点坐标为（0，﹣2），
∴得到函数解析式为y＝x2﹣2．
故答案为：B．
7．（2021.贵阳）抛物线 y=2x2−1 的图像经过点 A(−3,y ) ， B(1,y ) ，
1 2C(4,y ) ，则 y ， y ， y 大小关系是（ ）
3 1 2 3
A．y
