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22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质(第二课时) 分层作业
基础训练
1．已知抛物线 经过点 ，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴物线的解析式为： ，
∵ 时， ，
∴抛物线必经过的点是 ．
故选：B．
2．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数
的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2
C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1
【详解】解：根据题意得 ，
解得： ，
∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．
故选：A．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA＝OB，则c的值为
（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【详解】依题：抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，
∴ B（0，c），
∴ OB＝c，
∵ OA＝OB，
∴ OA＝c，
∴ A（c，0），
∴﹣c2+2c+c＝0，解得c＝3或c＝0（舍去），
故选：D
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
－ －
x … －5 －3 －1 0 …
4 2
－
y … 4 0 －2 0 4 …
2
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－
【详解】解：将点(−4，0)、(−1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，
得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4．
A． a=1>0，抛物线开口向上，A不正确；
B． − =− ，当x − 时，y随x的增大而增大，B不正确；
⩾
C． y=x²+5x+4=(x+ ) ²− ，二次函数的最小值是− ，C不正确；D． − =− ，抛物线的对称轴是x=− ，D正确．
故选D．
5．抛物线 经过点 、 ，且与y轴交于点 ，则当 时，y的值为
（ ）
A． B． C． D．5
【详解】解：∵抛物线 经过点 、 ，且与y轴交于点 ，
∴ ，解方程组得 ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ．
故选择A．
6．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4
【详解】由图象可知：
抛物线y 的顶点为（-2，-2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y= （x+2）2-2；
1 1
抛物线y 的顶点为（0，-1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y=x2-1；
2 2
抛物线y 的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y=（x-1）2+1；
3 3
抛物线y 的顶点为（1，-3），与y轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y=2（x-1）2-3；
4 4综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y
1
故选A．
7．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解:由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；
④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，
∴﹣ ＝2，
∴4a+b＝0，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确，
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：B．
9．已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（
）
A． B． C． D．
【详解】解：A.正比例函数中 ，二次函数开口向上， ，与 轴的交点在 轴正半轴，则 ，
矛盾，故A不正确；
B.正比例函数中 ，二次函数开口向上， ，与 轴的交点在 轴正半轴，则 ，矛盾，故B不
正确；
C.正比例函数中 ，二次函数开口向下， ，与 轴的交点在 轴正半轴，则 ，故C正确；
D. .正比例函数中 ，二次函数开口向下， ，与 轴的交点在 轴正半轴，则 ，矛盾，故D
不正确；
故选C
10．已知二次函数 的图象如图所示，有以下4个结论：① ；② ；
③ ；④ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：① 抛物线开口向下，
，
∵ ，∴ ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴，
，
，故错误；
②观察函数图象，可知：
当 时， ，
，故错误．
③ 抛物线的对称轴为 ，抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴，
当 时， ，
，故正确；
④ 抛物线与 轴有2个交点，
△ ，故正确．
故选：B．
11．二次函数 的图象如图所示，下列结论中正确的是( )
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：由函数图象可知 ，对称轴 ，图象与y轴的交点 ，函数与x轴有两个不同的
交点，
∴ ， ；③错误
；②错
；①错误
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；∴ ，即 ；
∴只有④是正确的；
故选A．
12．已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ，其中正确结论的序号为 ．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
对称轴 ， 、 异号，故 ，
与 轴交点在正半轴，故 ，
，故①正确；
当 时， ，故②正确；
抛物线的对称轴为 ，与 轴的一个交点为3，则与 轴的另一个交点为 ，
当 时， ，故③错误；
，
，
，故④错误；
， ，
，
，
，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
13．如图所示，二次函数 的图象开口向上，图象经过点 和 且与 轴交于负半轴．
给出四个结论：① ，② ；③ ；④ ；其中正确的结论的序号是 ．【详解】解：① 点 在二次函数图象上，
，结论①正确；
② 二次函数 的图象开口向上，对称轴在 轴右侧，与 轴交于负半轴，
， ， ，
，
，结论②错误；
③ ， ，
，
，结论③正确；
④ 二次函数 的图象经过点 和 ，
， ，
，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
能力提升
1．如图，平行四边形ABCD中， ，点 的坐标是 ，以点 为顶点的抛物线经过 轴上的点A，
B，则此抛物线的解析式为 ．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为 ，B点坐标为
设函数解析式为 ，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为 ，即
故答案为 ．
2．如图，抛物线 经过点 ，点 ，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使 的面积是 面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不
存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，点 ，∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）解：存在．
∵ ，
∴ ，
将 代入得， ，
∴ ，
又∵B（2，-3），
∴BC//x轴，
∴ 到线段 的距离为1， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，由题意可知点P在直线BC上方，
则 ，
整理得， ，
解得 ，或 ，
∴ ， ，
∴存在点P，使 的面积是 面积的4倍，点P的坐标为 ， ．
3．如图，已知抛物线 经过A(－1，0)，B(3，0)两点．(1)求抛物线的解析式；
(2)当0<x<3时，直接写出y的取值范围；
(3)点P为抛物线上一点，若 ，求出此时点P的坐标．
【详解】（1）解：将点A（﹣1，0），B（3，0）两点代入y＝ +bx+c
解得 ，
抛物线的解析式为： ，
；
（2） ，物线的对称轴为 ，开口向下，y的最大值为4，
如图，
0＜x＜3时， ；
（3）设P（x，y），
△PAB的高为|y|，
A（﹣1，0），B（3，0），
，，
解得 ，
当 时，
，
此时方程无解，
当 时，
，
解得 ，
或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的
性质是解题的关键．
4．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值
【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，解得 ，
∴这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+m，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，解得 ，∴直线BC的解析是为y=-x+3，
设点P坐标为（t，t2-4t+3），过点P作 轴，交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴SBCP=SBPE+S = （-t2+3t）×3=- （t- ）2+ ，
△ △ CPE
∵- ＜0，
∴当t= 时，SBCP = ．
△ 最大
拔高拓展
1．如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线 上，则△ABP面积的
最小值为 ．
【详解】设直线AB为
∵直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)
∴ ∴
∴直线AB为如图，平移直线AB到直线CD，直线CD为
当 与抛物线 相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值
∴
∴
∴
∴
∴
∴
将 代入 ，得
∴
∴
∴
∴ 为直角三角形，∴
即△ABP面积的最小值为
故答案为： ．
