专题06二次函数的图象与性质重难点题型专训（九大题型）（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_重难点专题提升-V7_2024版

专题06 二次函数的图象与性质重难点题型专训【九大题型】 【题型目录】 【知识梳理】 知识点二：二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 时， 随 的增大而增大； 时， 随 向上 (0,0) 轴 的增大而减小； 时， 有最小值0． 时， 随 的增大而减小； 时， 随 向下 (0,0) 轴 的增大而增大； 时， 有最大值0． 的性质： 上加下减的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增 向上 轴 大而减小； 时， 有最小值 ． 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的 向下 轴 增大而增大； 时， 有最大值 ． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增 向上 x=h 大而减小； 时， 有最小值 ． 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增 向下 x=h 大而增大； 时， 有最大值 ． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的 向上 x=h 增 大 而 减 小 ； 时 ， 有 最 小 值 ． 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的 向下 x=h 增大而增大； 时， 有最大值 ． 一般式：yax2 bxc（a，b，c为常数，a0）； 函数 二次函数y ax2 bxc（a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象开口方向 向上 向下 b b 对称轴 直线x 直线x 2a 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b 在对称轴的左侧，即当x 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 x 时，y 2a 2a b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 增大而减小；在对称轴的右侧，即当x b 2a 即当 x 时，y 随 x 的增大而减 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 2a 小．简记：左增右减 b b 抛物线有最低点，当 x 时，y 有最小 抛物线有最高点，当x 时，y有 2a 2a 最大(小)值 4acb2 4acb2 值，y  最大值，y  最小值 4a 最大值 4a 知识点三：二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同 学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二 次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可 以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋ c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数 代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我 们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为 我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是 字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围）， 取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标 轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出 与0的大小关系及含有 的代数式的值的大小关系. (1) 决定开口方向:当 时抛物线开口向上;当 时抛物线开口向下. (2) 共同决定抛物线的对称轴位置:当 同号时，对称轴在 轴左侧;当 异号时，对称轴在 轴右侧(可以简称为“左同右异”);当 时，对称轴为 轴. (3) 决定与 轴交点的纵坐标:当 时，图象与 轴交于正半轴;当 时，图象过原点;当 时，图象与 轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与 轴交点的个数:当 时，抛物线与 轴有两个交点;当 时，抛物线与 轴有一个交点;当 时，抛物线与 轴没有交点. (5) 的符号由 时， 的值确定:若 ，则 ;若 ，则 . (6) 的符号由 时， 的值确定:若 ，则 ;若 ，则 . 知识点四：二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线 ( )的图象是由抛物线 ( )的图象 平移得到的.在平移时， 不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的 或 发生变化(图象的位置 发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿 轴平移，上、下沿 轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标， 再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由 ， 的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；保持抛物线 的形状不 变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 y=ax2 y=ax2+k 向右(h>0)【或左(h<0)】 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【经典例题一 二次函数的图象与各系数之间的关系】 【例1】（2023·山东泰安·校考三模）如图是二次函数 图象的一部分，函数图象经过 点 ，直线 是对称轴，有下列结论：① ；② ；③若 是抛 物线上两点，则 ；④ ；其中正确结论有（ ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据对称轴为 求出 ，即可判定①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为 ， 即可判断②；根据二次函数开口向下，离对称轴越远函数值越大即可判断③；求出 ，结合 即 可判断④．【详解】解： 二次函数对称轴为直线 ， ，即 ，故①正确； 二次函数经过 ， 二次函数与 轴的另一个交点坐标为 ， 当 时， ，故②正确； 抛物线开口向下， 离对称轴越远函数值越小， 是抛物线上两点， ，且 ， ，故③正确； ， ， ，即 ，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·山东泰安·统考三模）抛物线 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，直线 与抛物线都经过点 ．则下列四个结论：① ；②若 与 是抛物线上的两 个点，则 ；③ ；④当 时，函数 的值为 ．其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用图象的信息与已知条件求得 、 的符号， 的关系式，利用待定系数法和二次函数的性 质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解： 抛物线的开口方向向下，与 轴的交点在正半轴， ， ． ，①正确； 抛物线的对称轴为直线 ， 点 ， 关于直线 对称的对称点为 ， ， ， 当 时， 随 的增大而减小． ， ②正确； 抛物线的对称轴为直线 ， ， ， 直线 与抛物线都经过点 ， ． 抛物线 一定经过点 ， ， ，直线 与抛物线都经过点 ， ． ， ， ，即 ，③正确 当 时， ， ， ， ，④正确； 综上，结论正确的有：①②③④， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数 图象上点的坐标的特征，利用已知条件求得 、 的符号， 、 的关系式， 、 的关系式是解题的关键． 2．（2023·新疆克拉玛依·统考二模）如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标 为 ，与x轴的一个交点为 ，点A和点B均在直线 上．① ；② ；③抛物线与x轴的另一个交点为 ；④方程 有两个不相等的实数根；⑤不等 式 的解集为 ．上述五个结论中，其中正确的结论是________（填写序号即可）．【答案】 / ①⑤⑤① 【分析】根据抛物线的对称轴是 ，即可判断①；由抛物线的开口方向，对称轴以及图象与坐标 轴的交点位置得出 的取值范围，即可判断②；利用抛物线的对称性可得出抛物线与x轴的另一个交点 为 ，即可判断③；利用抛物线与直线 只有一个交点，即可判断④；结合一次函数和二次函数 的图象即可判断⑤． 【详解】∵抛物线 的对称轴是 ， ∴ ，即 ． 故①正确； ∵抛物线开口向上， ∴ ． ∴ ． ∵抛物线与 轴的交点在 轴下方， ∴ ． ∴ ． 故②错误； ∵抛物线的对称轴是 ，抛物线与x轴的一个交点为 ， ∴抛物线与x轴的另一个交点为 ． 故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴抛物线与直线 只有一个交点．∴方程 有两个相等的实数根． 故④错误； ∵当 时， ， ∴不等式 的解集为 ． 故⑤正确； 故答案是①⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，二次函数与方程，利用一次函数与二次函数的图象求不等式的 解集等知识，准确识图，从图象中获取相关信息是解题的关键，体现了数形结合的数形思想． 3．（2023·四川乐山·统考二模）已知二次函数 （ 为常数，且 ）． （1）若点 ， 在函数图像上，则 ______ （填“>”、“<”或“=”）； （2）当 时， ，则 的取值范围是_______． 【答案】 < 且 【分析】（1）先求出 ，然后分三种情况讨论即可； （2）先求出抛物线与 轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在 范围内分 和 两种情况确定 函数的最大值，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵点 ， 在函数图像上， ∴当 时， ， 当 时， ， ∴ ， ∴当 或 时， ， 当 时， ， 当 时， ．（2）∵二次函数 ， 整理可得： ， 由（1）可知：当 时，解得： ， ， ∴二次函数的图像交 轴于 和 两点， 对称轴 ， 当 时， ， ∴二次函数图像的顶点坐标为 ， 由（2）可知：当 时， ， 当 时， ， 当 时，二次函数的图像开口向上， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 当 时，二次函数图像开口向下， ∵对称轴 ， 当 ，即 时， ∴二次函数图像在顶点处取得最大值， ∴ ，解得： ， ∴ ， 当 ，即 ， 由题意可知， ，解得： ，即a=-2； 综上所述，当 时， ， 的取值范围是： ，且 ． 故答案为：<， 且 ． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像与 轴的交点，二次函数的性质，二次函 数图像上点的坐标特征，作差法比较函数值的大小，解一元二次方程，解不等式（组）等知识，采用了分 情况讨论的解题方法．解题的关键是 在某一范围内的函数最大值的确定． 【经典例题二 二次函数图象的平移与对称问题】 【例2】（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线 （a、b是常数， ）向下平移2个单位长 度后，得到的新抛物线恰好和抛物线 关于y轴对称，则a、b的值为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【分析】先求出抛物线 关于y轴对称的抛物线为 ，再根据抛物线平移的性质 得出抛物线 向下平移2个单位长度后为 ，即可得出a和b的值． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线 关于y轴对称的抛物线为 ， ∵抛物线 向下平移2个单位长度后为 ， ∵ 与 关于y轴对称，∴ ， 整理得： ， ∴ ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步骤， 以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减． 【变式训练】 1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”，将抛 物线 沿 轴向下平移 个单位，使其平移后的抛物线恰好只有一个“好点”，则 的值为 （ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意将 化为顶点式，再根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”及新 定义即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为： ， ∴ ， ∴将抛物线 沿 轴向下平移 个单位新的函数解析式为 ， ∵在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”， 设新抛物线上这个好点为 ， ∴ ， ∴整理得： ， ∵平移后的抛物线恰好只有一个“好点”，∴ ， ∴ ， 故选 ． 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，二次函数的顶点式，平面直角坐标系的新定义，掌握二次函数 的平移规律是解题的关键． 2．（2023·广西贵港·统考二模）如图，抛物线 截得坐标轴上的线段长 ，D为 的顶点，抛 物线 由 平移得到， 截得 轴上的线段长 ．若过原点的直线被抛物线 ， 所截得的线段长 相等，则这条直线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据已知条件，待定系数求得抛物线 ， 的解析式，设过原点的直线解析式为 ，过原点 的直线被抛物线 ， 所截得的线段长相等，即可求解． 【详解】解：∵抛物线 截得坐标轴上的线段长 ，D为 的顶点， ， ， 设 的解析式为 ，代入 ，得， ， 解得： ， ∴ 的解析式为 ，∵抛物线 由 平移得到， 截得 轴上的线段长 ． ∴ ， 则 的解析式为 ， 即 设过原点的直线解析式为 ，与 ， 分别交于点 ，如图所示， 联立 ， 即 ， ∴ ， ， ∴ 、 两点横坐标之差为 ， 联立 ， 即 ， ∴ ， ， ∴ 、 两点横坐标之差为 ，∵ ∴ ， 解得 ，故直线解析式为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，将一次函数与二次函数 联立求得交点横坐标之差是解决本题的关键. 3．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线 的对称轴为直线 ，且经过点 ． (1)求该二次函数图象与 轴的另一交点 的坐标及其函数表达式． (2)记图象与 轴交于点 ，过点 作 轴，交图象于另一点 ．将抛物线向上平移 个单位长 度后，与 轴交于点 点 为右侧的交点）．若 ，求 的值． 【答案】(1)抛物线解析式为 ； (2) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再令 ，解方程求出点 坐标； （2）先根据对称性求出 的坐标，再求出 ，设平移后的解析式为 ，再根据 ，求出 坐标，在代入平移后的解析式即可求出 ． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得 ，抛物线解析式为 ； 令 ，则 ， 解得 ， ， ； （2）令 ，则 ， ， 对称轴为直线 ， ， ， 抛物线向上平移 个单位长度后的解析式为 ， ， ， ， 把 代入 得： ， 解得 ． 【点睛】本题考查抛物线与 轴的交点，平移的性质，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式． 【经典例题三 利用二次函数的性质求自变量的范围】 【例3】（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，抛物线 （ ， 为常数）经过点 ， 点 ，点 在该抛物线上，其横坐标为 ，若该抛物线在点 左侧部分（包括点 ）的最低点的纵坐 标为 ．则 的值为（ ）A． B． C． D． 或 【答案】D 【分析】首先通过待定系数法求该抛物线的解析式及顶点坐标，再分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左 侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值即可． 【详解】解：将 ， 分别代入 得， 解得 ， ， 抛物线顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， 当 时，抛物线顶点为最低点， ， 解得 ， 当 时，点P为最低点， 将 代入 得 ，解得 (舍)， ， 或 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的性质，二次函数 与方程的关系，通过数形结合求解． 【变式训练】 1．（2022春·九年级课时练习）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx ﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ） A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12 【答案】D 【分析】根据对称轴方程可得b=-4，可得二次函数解析式，可得顶点坐标为（2，-4），关于x的一元二次 方程x2+bx﹣t＝0的解为二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，当﹣1＜x≤6时，﹣4≤t≤12，进而 求解； 【详解】∵对称轴为直线x＝2， ∴ ， ∴b＝﹣4， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x， ∴顶点坐标为（2，-4）， ∵﹣1＜x≤6， ∴当x=-1时，y=5，当x=6时，y=12， ∴二次函数y的取值范围为﹣4≤t≤12， ∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标， ∴﹣4≤t≤12， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线 交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．2．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）将二次函数 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻 折后，所得新函数的图象如图所示．当直线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___ 【答案】 或 【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线 y=x+b与抛物线 只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分 别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为 ， ∴抛物线 的顶点坐标为（1，4）， 当y=0时， ，解得 ， 则抛物线 与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0）， 把抛物线 图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为 ，顶点坐标M（1，-4）， 如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，∴3+b=0，解得b=-3； 当直线y=x+b与抛物线 只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共 点， 即 有相等的实数解，整理得 ， ，解得b= ， 所以b的值为-3或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛 物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点． 3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴交 于点 ． (1)求该二次函数的解析式； (2)点 在该二次函数上． ①当 时，求 的值； ②当 时， 的最小值为 ，求 的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的解析式为 . (2)① 的值为 或 ；② 【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）①把 代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为 ，所以 ，即 ． 【详解】（1）设二次函数的解析式为 ， 把点 代入得 ， 解得 ， ， 该二次函数的解析式为 ； （2）① 时，则 ， 解得 ， ； 故 的值为 或 ； ， 当 时，函数有最小值 ， 当 时，即 时， 有最小值 ， 故 的取值范围是 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征， 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【经典例题四 待定系数法求二次函数的关系式】 【例4】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）二次函数 的自变量 与函数 的几 组对应值如下表，则下列结论中正确的是（ ）A． B．当 时， 的值随 值的增大而减少 C． 的值为 D．方程 有两个根 、 ，且满足 【答案】D 【分析】根据题意待定系数法求得二次函数的解析式，进而根据解析式逐项分析判断即可求解． 【详解】解：将点 代入 ，得 解得： ∴抛物线解析式为 ， ∴ ， ∴ ，故A选项错误； ∵ ， ∴对称轴为直线 ，开口向上， 当 时， 的值随 值的增大而减少，故B选项错误； 当 时与 时，函数值相等，即 ，故C选项错误； 方程 即 ， ， ∴有两个根 、 ， ∴ ，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式训练】 1．（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线 与 轴的公共点是 ， ，将该抛物 线向右平移 个单位长度与 轴的交点坐标为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用点平移的规律得到点 ， 向右平移 个单位长度后对应点的坐标为 ， ， 利用交点式，设平移后的抛物线解析式为 ，接着把把 代入求得 ，于是原抛物 线的解析式可设为 ，然后化为一般式得到 、 、 的值，从而可计算出 的值． 【详解】解： 点 ， 向右平移 个单位长度后对应点的坐标为 ， ， 设平移后的抛物线解析式为 ， 把 代入得 ， 解得 ， 原抛物线的解析式为 ， 即 ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ( 是常数， )与 轴的交 点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数图象与 几何变换． 2．（2023春·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与轴交于点 ，过点 作平行于 轴的直线，交抛物线于点 ，连接 ，若点 关于直线 的对称 点恰好落在线段 上，则 ________． 【答案】 【分析】令 代入 得 或 ，则 ，过A作 轴，E为垂足，则 ，而 轴，则 ，又点A关于直线 的对称点恰好落在线段 上，则 ，即 ，故 ，即可求得 ，把D点的坐标代入 ，即可求解． 【详解】解：令 代入 得 或 ， ∴ ， 过A作 轴，E为垂足，则 ， ∵ 轴， ∴ ，又点A关于直线 的对称点恰好落在线段 上， ∴ ，即 ， ∴ ， 则 ， ∴ ， 把 代入 得： ， 解得： ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，用勾股定理求出 的 长度是解题的关键． 3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数 （m，n，k为常数且 ）． (1)若 的图象经过点 ，求该函数的表达式． (2)若函数 的图象始终经过同一定点M． ①求点M的坐标和k的值． ②若 ，当 时，总有 ，求 的取值范围． 【答案】(1) (2)① ， ；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出函数 经过定点 ，则 ，且 在函数 的图象上，由此把 代入 解析式中求出k的值即可；②先求出抛物线 的对称轴在定点 的左侧，再结合函数图象可知当时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值，由此建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：把 代入 中得： ， 解得 ， ∴ ； （2）解：①在 中，当 时， ， ∴函数 经过定点 ， ∵函数 的图象始终经过同一定点M， ∴ ，且 在函数 的图象上， ∴ ， ∴ ； ②∵ ，抛物线 的对称轴为直线 ， ∴抛物线 的对称轴在定点 的左侧， 由①得 ， ∵ ，当 时，总有 ， ∴如图所示，当 时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值 ∴ ∴ ， ∴ ．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式，解题的关键是理解题 意，灵活运用所学知识解决问题． 【经典例题五 根据二次函数的对称性求函数值】 【例5】（2023·四川成都·校考二模）在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴交 于点 和点 ，其顶点坐标为 ，下列说法正确的是（ ）． A． B．当 时， 随 的增大而减小 C．点 的坐标为 D． 【答案】D 【分析】由题意可得出该二次函数对称轴为直线 ，再根据点A坐标为 ，即得出 ，可判断 C；结合A，B，C三点坐标可判断其图象开口向上，可判断A；根据对称轴为直线 ，图象开口向上， 即得出当 时， 随 的增大而增大，可判断B；根据图象开口向上，与 轴交于点 和点 ，即得出当 时， ，代入 ，即得出 ，可判断D． 【详解】解：∵二次函数 的图象与 轴交于点 和点 ，其顶点坐标为 ， ∴对称轴为直线 ， ∴ ，故C错误，不合题意； ∵二次函数 的图象与 轴交于点 和点 ，其顶点坐标为 ， ∴抛物线开口向上， ∴ ，故A错误，不合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ， ∴当 时， 随 的增大而增大， ∴当 时， 随 的增大而增大，故B错误，不合题意； ∵二次函数 的图象开口向上，与 轴交于点 和点 ，∴ 时， ， ∴ ，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 【变式训练】 1．（2023·山东济南·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅 系点．已知二次函数 的图象上有且只有一个雅系点 ，且当 时，函 数 的最小值为 ，最大值为 ，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解二次函数 与直线 的方程，由 得 ，方程的根为 ， 从而求出 ，所以函数解析式为 ，根据函数解析式求得顶点 坐标与纵轴的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围． 【详解】解：令 ，即 ， 由题意， ，即 ， 又方程的根为 ， 解得 ， 故函数是 ∴函数图象开口向下，顶点为 ，与y轴交点为 ，由对称性，该函数图象也经过 ， 由于函数图象在对称轴 左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小， 且当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ， ∴ ， 故选：C． ． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式 等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题的关键． 2．（2021春·浙江·九年级期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在 的左侧）， 与 轴交于点 ．点 在线段 上，点 与点 关于抛物线对称轴对称，连结 并延长交 轴于点 ．若 ，则点 的横坐标为_______．【答案】 【分析】根据抛物线的解析式得到 点的坐标与对称轴，结合 求得 的直线解析式，进而求得 点的坐标，根据点 与点 关于抛物线对称轴对称，求得 点的坐标，求得 的直线解析式，进而求得 的坐标，根据 关于抛物线对称轴对称求得 点的坐标，根据 求得 的值，代入 点坐标，即 可求得． 【详解】 与 轴交于点 ， ， 设 的直线解析式为： ， ， ， 代入得： ， ， 令 ， ， ， 是抛物线的对称轴， 和 关于 对称，设 ， ， 解得 ， 则 ， 又 关于 轴对称， 设 ， ， 解得 ， ， 设 的直线解析式为： ， , ， ， 解得： ， ， 令 ，解得： ， ， ； ，， 即 ， 解得： ， ， ， 点的横坐标为： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图像，一次函数的待定系数法求解析式，根据抛物线的对称性确定 坐标是解题的关键． 3．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式 ．其中 ． (1)若此函数图象过点 ，求这个二次函数的解析式： (2)函数 ，若 ， 为此二次函数图象上的两个不同点． ①若 ，则 ，试求 的值； ②当 ，对任意的 都有 ，试求 的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）直接将点 代入即可； （2）①利用题意，由 ，求解a；②由已知当 ，对任意的 都有 ，二次函数是递增的，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：∵函数图象过点 ， ∴将点代入 , 解得 ， ∴二次函数的解析式为 ； （2）解：①函数 的对称轴是直线 ， ， 为此二次函数图象上的两个不同点，且 ，则 ， ， ； ②函数 的对称轴是直线 ， ，对任意的 都有 ， 当 ， 时， ； 当 时，不符合题意舍去； ． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的特征， 能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键． 【经典例题六 二次函数与x、y轴交点坐标问题】 【例6】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）已如二次函数 ，当 时，自变 量 的取值范围为 ，则以下式子正确的是（ ） A． B． C． D．【答案】D 【分析】根据题意得出 ，开口向上，与x轴的两个交点为 ，得出 的两根为 ， ，然后根据二次函数的基本性质依次判断即可． 【详解】解：∵二次函数 ，当 时，自变量 的取值范围为 ， ∴ ，开口向上，与x轴的两个交点为 ， ∴对称轴为 ， ∴ ，选项A错误，不符合题意； ∵当 时，自变量 的取值范围为 ， ∴ 即 ，选项B错误，不符合题意； 将点 代入解析式得： ， ∴ ，选项C错误，不符合题意； ∵与x轴的两个交点为 ， ∴ 的两根为 ， ， ∴ ， ∴ ，选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 【变式训练】 1．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考二模）如图，二次函数 的图象与x轴的 交点为A、D的横坐标分别为3和 ，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个 整点（横纵坐标均为整数的点），系数a的值可以是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和 ， ∴二次函数解析式为 ，对称轴为直线 ， 当 时， ， ， ∴抛物线顶点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ， 如图所示，∵图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点）， ∴ ， 解得 ， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点坐标，解题时，利用了数形结合的数学思想， 难度较大． 2．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点分别是“芒果”与坐标轴的交点， 是半圆的直径，抛物线的解析式为 ，若 长 为4，则图中 的长为______． 【答案】6 【分析】根据题意得， 点坐标为 ，将 点坐标 代入抛物线的解析式为 即可求得抛物 线的解析式，令 ，即可求得点 的坐标，从而可求出 的长． 【详解】解： 长为4， 是半圆的直径， 点坐标为 ， 点坐标为 ， 将 点坐标 代入抛物线的解析式为 ， 得， ， 解得 ， 抛物线解析式为 ， 当 时， ， 点坐标为 ， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是求出抛物线 的解析式，从而求出点 的坐标． 3．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数 的图象与y轴的交点为 ．(1)求a的值． (2)求二次函数在x轴上截得的线段长的值． (3)对于任意实数k，规定：当 时，关于x的函数 的最小值记作： ，求 的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把 代入解析式即可； （2）根据（1）求出 的解析式，令 ，解方程求出 和 ，然后求出 即可； （3）先求出 的解析式，再根据 的对称轴，然后分 ， ， 三种情况讨论即 可． 【详解】（1）解：∵二次函数 的图象与y轴的交点为 ， ∴ ， 解得 ， ∴a的值为 ； （2）解：由（1）知， ， ∴ ， 令 ，则 ，解得 ， ， ∴ ， ∴二次函数在x轴上截得的线段长的值为 ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴对称轴为 ， 当 即 时，当 时， 有最小值， ∴ ； 当 时，即 ，当 时， 有最小值， ∴ ； 当 即 时，当 时， 有最小值， ∴ ， 综上所述， 的解析式为： ． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，利用分类讨论 思想是解题的关键． 【经典例题七 利用二次函数的性质求最值】 【例7】（2023·福建南平·统考二模）已知抛物线 （ 为常数）的顶点不在抛物线（ 为常数）上，则 应满足（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线 的顶点坐标，因为该顶点不在抛物线 上，所以将 该点坐标代入 中，不能使等式成立，据此分析 的取值范围． 【详解】解： ， 抛物线 的顶点坐标为 ， 又 抛物线 的顶点不在抛物线 上， ，即 ， 又 ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，灵活运用配方法解决二次函数及二次方程的问题是本题的关键． 【变式训练】 1．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考二模）抛物线G： 与x轴负半轴交于点A，与y轴 交于点B，将抛物线G沿直线 平移得到抛物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最 大值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出 ，进而求出直线 的解析式为 ，再推出抛物线G沿直线 平 移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线 上，设抛物线H的顶点坐标为 ，则抛物线H的解析式为 ，进而求出 ，则 的最大值为 ． 【详解】解：在 中，当 时， ，当 时， ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， ∴ ， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， ∵抛物线 的顶点坐标为 ，即抛物线 的顶点在直线 上， ∴抛物线G沿直线 平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线 上， 设抛物线H的顶点坐标为 ， ∴抛物线H的解析式为 ， 在 中，令 ，则 ， ∴ 的最大值为 ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的平移，推出抛物线H的顶点坐标一定 在直线 上是解题的关键． 2．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）二次函数 的图象上有两点 、 ， 满足 且这两点在对称轴两侧，当 时， 的最大值和最小值的差为 ，则 的取值范围 是_______.【答案】 【分析】分两种情形：当 ， 在对称轴的异侧，且 时，当 ， 在对称轴的异侧， 时， 分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：当 ， 在对称轴的异侧，且 时， ， ，抛物线 的对称轴为直线 ， ， ， ， ， ， 函数的最大值为 ，最小值为 ， ，即 ， ， ， ， ， ， ； 当 ， 在对称轴的异侧， 时， ， ， ， ，， 函数 的最大值为 ，最小值为 ， ，即 ， ， ， ， ， ， ； 综上所述， 的取值范围是 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，轴对称，解不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的 思想，分类思考问题． 3．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数 （b，c是常数）． (1)当 ， 时，求该函数图象的顶点坐标． (2)设该二次函数图象的顶点坐标是 ，当该函数图象经过点 时，求n关于m的函数解析式． (3)已知 ，当 时，该函数有最大值8，求c的值． 【答案】(1) (2) (3)2【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解即可； （2）根据二次函数的性质和已知条件得到 ， ， ， ，进而求解即可； （3）当 时，二次函数 的对称轴为直线 ，开口向下，分 、 、 三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当 ， 时， ， ∴当 ， 时，该函数图象的顶点坐标为 ； （2）解：∵该函数图象经过点 ， ∴ ，则 ， ∵该二次函数图象的顶点坐标是 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ，即 ； （3）解：当 时，二次函数 的对称轴为直线 ，开口向下， ∵ ， ∴当 即 时，该函数的最大值为 ，即 ， 解得 ， ，不合题意，舍去； 当 即 时， 时，y随x的增大而减小， ∴当 时，y有最大值为 ，不合题意，舍去；当 即 时， 时，y随x的增大而增大， ∴当 时，y有最大值为 ， 解得 ，符合题意， 综上，满足条件的c的值为2． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第 （3）问是解答的关键． 【经典例题八 二次函数的图象与性质的新定义问题】 【例8】（2023·广东深圳·校考一模）我们定义一种新函数：形如 的函数 叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数 的图像如图所示，则下列结论正确 的是（ ） A． B． C．当直线 与该图像恰有三个公共点时，则 D．关于 的方程 的所有实数根的和为4 【答案】D 【分析】由 是函数图像和x轴的交点，解得： 可判断A、B错误；由图像可判断C错误； 由题意可得 或 ，利用根与系数的关系可判断D正确．【详解】解： 是函数图像和x轴的交点， ， 解得： ， ， 故A、B错误； 如下图，当直线 与该图像恰有三个公共点时，应该有2条直线， 故C错误； 关于x的方程 ，即 或 ， 当 时， ， 当 时， ， 关于x的方程 的所有实数根的和为 ， 故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．【变式训练】 1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）定义符号 含义为：当 时 ；当 时 ．如： ， ．则 的最大值是（ ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】 的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在同一坐标系 中，画出二次函数 与正比例函数 的图象，如图所示，设 它们交于点A、B， 令 ，即 ，解得： 或 ， ∴A（ ， ），B（ ， ）， 观察图象可知： ①当 时， ，函数值随x的增大而增大，其最大值为 ； ②当 时， ，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于 ； ③当 时， ，函数值随x的增大而减小，最大值为 ． 综上所述， 的最大值是 ． 故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义 和掌握函数的性质是解 题的关键． 2．（2022·浙江杭州·统考一模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右边是 通常的加法、乘法运算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11．若y关于x的函数y＝（kx＋1）⊕（x－1）图象与x 轴仅有一个公共点，则实数k的值为_______． 【答案】-1或0/0或-1 【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为：y=kx2+2x-1，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一个公 共点得到4+4k=0，求解即可． 【详解】∵（kx＋1）⊕（x－1）＝（kx+1）（x-1）+（kx+1）+（x-1）=kx2+2x-1， ∴y= kx2+2x-1， 当k≠0时 ∵y= kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点， ∴△=0，即4+4k=0， ∴k=-1． 当k=0时， 函数为y=2x-1，其图象与x轴一定有一个交点 故答案是：-1或0． 【点睛】考查了一元二次方程的根与二次函数图像和x轴交点坐标的关系，解题关键是熟记：一元二次方 程有两个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有两个交点；一元二次方程有一个根，说明二次函数图像 和x轴的横坐标有一个交点；一元二次方程（在实数范围）无解，说明二次函数图像和x轴的横坐标没有 交点． 3．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）定义：将二次函数 在 轴下方部分 沿 轴向上翻折，翻折后部分与原来末翻折部分形成一个新的函数 ，那么称函数 为原二次函数的有趣 函数．(1)二次函数 _______________（有/没有）有趣函数． (2)已知二次函数与 轴交于点（1，0），（5，0），与 轴交于点 ，求拋物线的解析式，并在坐标 系中画出函数图像． (3)在（2）的条件下： ①过点 作 轴的平行线与抛物线交于点 ，求线段 的长度． ②若函数 为原二次函数的有趣函数，画出函数 的图像并求解当函数 的函数值大于2时，自变量 的 取值范围（直接写出答案）． 【答案】(1)没有 (2) ，图见解析 (3)①6；② 或 或 【分析】（1）由于函数在 轴下方没有图像，根据定义可知二次函数 没有有趣函数； （2）用待定系数法求函数的解析式即可； （3）①根据平行的性质，求出 点坐标，即可求 的长；②画出图像 ，结合图像求范围即可． 【详解】（1）解： ， 函数在 轴下方没有图像，二次函数 没有有趣函数； （2）解：将 、 ， 代入 ， ，解得 ， ； 作图如下： （3）解：① 轴， ，解得 或 ， ， ； ②当 时， ，解得 或 ， 或 时， 或 的函数值大于2； 函数 关于 轴对称的函数解析式为 ， 当 时，解得 或 ，时， 的函数值大于2； 作出函数图像如下： 综上所述： 或 或 时，函数 的函数值大于2． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，弄清定义，数形结合是解题 的关键． 【经典例题九 二次函数的图象与性质综合问题】 【例9】（2023·辽宁辽阳·统考三模）如图，已知抛物线 与x轴的交点A，B的横坐标 分别为 和4，设顶点为D，则下列结论：① ；② ；③ ；④若抛物线经过 ， 则关于x的一元二次方程 的两个根分别为 ，6；⑤当 时， 是等腰直 角三角形，其中正确的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据抛物线可表示为 得 即可判断 的正负及 的关系可判断①②③；根据图象可知，对称轴为 求出对称点的坐标，可判断④，根据 求出 抛物线解析式，再求出 的坐标，以此即可判断⑤． 【详解】解：抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为 和4， 则抛物线可表示为 ， ， ， ，故①错误； ，故②正确； ，故③错误； 抛物线的对称轴为 ， 关于直线 的对称点为 ， ∴关于x的一元二次方程 的两个根分别为 ，5，故④错误； 当 时， ，顶点 ， ， ，且 ， 是等腰直角三角形，故⑤正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、抛物线与 轴的交点坐标、等腰直角三角形的性质，解题关键是根据抛物线与 轴的交点坐标求出对称轴，得到 与 之间的数量关系，再利用等腰三角 形的性质进行解答． 【变式训练】 1．（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）已知三个不重合的点 ， ， 均在抛物线 （ ）上，且 ， ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 【分析】根据 ，推出抛物线的对称轴为： ，得到 ，为抛物线的顶点，再根据 ，和二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴抛物线的对称轴为： ， ∴ ，为抛物线的顶点， ∵ ， ∴ ， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∴ ， ∴ ， ① ，无解；② ，解得： ， ③ ，解得： ； 综上： 或 ； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是求出对称轴，确定抛物线开口向下， ， 为抛物线的顶点． 2．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）如图，抛物线 与x轴交于 点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作 ，将 向右平移得 ， 与x轴交于点B、D．若直线 与 、 共有2个不同的交点，则m的取值范围是______． 【答案】 或者 ，或者 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出 解析式，分别求出直线 与抛物线 ， 相切 时m的值以及直线 过点A、B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】令 ，即 ， 解得 或 ，则点 ， ， 抛物线 ： ， ， 由于抛物线 向右平移两个长度单位得抛物线 ， 则抛物线 解析式为 ， ， 令 ，即 ， 解得 或 ， 则点 ， 如图， 当 与抛物线 ： 相切时， 令 ，即 ， 根据相切可知方程有两个相等的解，即 ， 解得 ， 当 过点 时，即： ， 解得 ，当 与抛物线 ： 相切时， 令 ，即 ， 根据相切可知方程有两个相等的解，即 ， 解得 ， 当 过点 时，即： ， 解得 ， 结合图象可知：直线 与 、 共有2个不同的交点时， 则m的取值范围是 ，或者 ，或者 ， 故答案为： 或者 ，或者 ． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画 出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 3．（2023·浙江宁波·校考二模）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交点C的坐标 为 ，且经过 ． (1)求b和c的值； (2)点P是坐标平面内的一动点，将线段 绕点P顺时针旋转 得 ，其中A、B的对应点分别是 、 ．①当 与D点重合时，请在图中画出线段 ，并直接写出点P的坐标； ②当点P在线段 上，若线段 与抛物线 有公共点，请直接写出P点的横坐标m的取值 范围． 【答案】(1) (2)① ② 或 【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）①过 点作 轴的垂线交 轴于点 ，交 于点 ,则 ，即 ， ，根据 解题即可； ②由当 时， ，由旋转可得 )，再根据 求出解集即 可． 【详解】（1）解：把 和 代入 得： ，解得 ， ∴ （2）①解：如图，过 点作 轴的垂线交 轴于点 ，交 于点 , 则 ， 由旋转得： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 令 ，则 ， 解得： ∴设 点坐标为 ， 则 ， ， 即 ， 解得： ， ∴ 点坐标为 ， ②解：∵ ， 当 时， ， 由题可知： )， 即 ， 由同号两数相乘得正可知：m， 同号， ∴ 或 解得： 或 ， 又∵ ， ∴ 或【点睛】本题考查待定系数法求函数关系式，旋转得性质和全等三角形，掌握旋转的性质是解题的关键． 【重难点训练】 1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数 （a为常数，且 ），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当 时，y随x的增大而 减小；④当 时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( ) A．①② B．②③ C．② D．③④ 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为 ， ， ∴二次函数图象必经过第一、二象限， 又∵ ， ∵ ， ∴ ， 当 时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限， 当 时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限， 故①错误；②正确； ∵抛物线对称轴为 ， ， ∴抛物线开口向上， ∴当 时，y随x的增大而减小，故③正确；∴当 时，y随x的增大而增大，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关 键． 2．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数 是实数 ，则（ ） A．当 时，函数 的最小值为 B．当 时，函数 的最小值为 C．当 时，函数 的最小值为 D．当 时，函数 的最小值为 【答案】A 【分析】令 ，则 ，解得： ， ，从而求得抛物线对称轴为直线 ，再分别求出当 或 时函数y的最小值即可求解． 【详解】解：令 ，则 ， 解得： ， ， ∴抛物线对称轴为直线 当 时， 抛物线对称轴为直线 ， 把 代入 ，得 ， ∵ ∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ． 故A正确，B错误； 当 时， 抛物线对称轴为直线 ， 把 代入 ，得 ， ∵ ∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ， 故C、D错误， 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．3．（2023·内蒙古包头·校考三模）在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为 和 ，若抛物 线 与线段 有且只有一个交点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称轴公式 计算抛物线的对称轴为：直线 ，得抛物线 与 轴交于点 ，先计算过边界点 时， ，对于抛物线 ，当 时，无论 取何 值，抛物线的对称轴不变，抛物线与 轴的交点 都在点 的上方，随着 的值变大，抛物线的 开口越小，可得答案． 【详解】解：抛物线 的对称轴为直线： ， 对于 ， 当 时， ， ∴抛物线 与 轴交于点 ， ∵ ， ∴抛物线的开口向下， ∴抛物线 在平面直角坐标系中的大致位置如图： 当抛物线 经过点 时， ，解得 ， 对于抛物线 ，当 时，无论 取何值，抛物线的对称轴不变，抛物线与 轴的交点 都在点 的上方，随着|a|的值变大，抛物线的开口越小， ∵抛物线 与线段 只有一个交点， ∴ ， 又∵ ， ∴ （两个负数比较大小，绝对值较大的反而小）． ∴ 的取值范围是 ． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握 的值变大，抛物线的开口越小，并利用数形结合的 思想解决问题． 4．（2023春·四川南充·九年级四川省南充高级中学校考阶段练习）方程 有两实根 ， ，且满足 ，那么k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线与 轴的交点问题，把题目转化为抛物线 与 轴的交点一个在 与 之间，另一个在 和 之间，利用抛物线开口向上可得不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解：把方程 有两实根 ， ，且满足 ， 转化为抛物线 与 轴的交点一个在 与 之间，另一个在 和 之间， ， ； ， ； ， ，， 解得 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ， ， 是常数， 与 轴的 交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了解一元二次方程． 5．（2023·安徽六安·校考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线： ． （1）该抛物线的对称轴是 ； （2）若 ， ， 为抛物线上三点，且总有 ，结合图象，则m的取 值范围是 ； 【答案】 直线 【分析】（1）根据抛物线对称轴为直线 代入即可求解； （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，分类讨论 与 ，由两点中点与对称轴的 位置关系求解． 【详解】解：（1） 抛物线： ， 对称轴为直线 ； 故答案为：直线 ； （2） 抛物线对称轴为直线 ，抛物线开口向上， ， ， 即 ， 解得 ，， ， 解得 ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系 是解题关键． 6．（2023·湖南株洲·统考一模）把二次函数 的图像作关于x轴的对称变换，所得图 像的解析式为 ， ，若 ，则m的最大值是 ． 【答案】 0 4 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征得出原二次函数的顶点为 ，即可得出原二次函数为 ，与原二次函数比较可得 ，可得 ；然后再 将 代入 求解即可求得m的最大值． 【详解】解： 把二次函数 的图像作关于x轴的对称变换，所得图像的解析式为 原二次函数的顶点为 ， 原二次函数为 ， ， ∴ ； ，， ， 即 ， m的最大值是4； 故答案为：0；4． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、作关于x轴对称的点的坐标特征、二次函数的图像 与几何变换等知识点，掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 7．（2023·江苏无锡·统考二模）已知抛物线 （m为常数）．若该抛物线与x轴 只有一个交点，则 ；若该抛物线与直线 有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线 对称轴的同侧，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】抛物线与x轴只有一个交点，那么对应的一元二次方程只有一个实数根，利用根的判别式即可求 出m的值；抛物线与直线 有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，那么在对 称轴出抛物线的函数值一定要大于一次函数的函数值，且对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据 此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线 与x轴只有一个交点， ∴ ， 解得 ； ∵抛物线解析式为 ， ∴抛物线对称轴为直线 ， ∵该抛物线与直线 有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧， ∴当 时， ，即 ，且方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， ∴ ，∴ ， 故答案为： ， ． 【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程之间的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． 8．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，抛物线 与 轴交于点 ，交 轴正半轴于 ，直 线 过 ， 是抛物线第一象限内一点，过点 作 轴交直线 于点 ，则 的最大值为 ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的解析式求出 、 坐标，再利用待定系数法求出 的解析式，再设 ，则 ，得出 ，然 后利用函数的性质求出 的最大值即可． 【详解】解：令 ，则 ， 解得： ， ， ， 令 ，则 ， ， 设直线 的解析式为 ， 则 ， 解得： ，直线 的解析式为 ， 设 ，则 ， 在线段 上方， ， ， ， 当 时， 有最大值，最大值为 ． 故答案为：4. 【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点以及一次函数，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解答本 题的关键． 9．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交 于点C，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接 ， ， ，P为 的中点，连接 ，则线段 的长是______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式求出点 的坐标，再利用中点坐标公式可得点 的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】（1）解：将点 ， 代入 得： ， 解得 ， 则该抛物线的解析式为 ． （2）解：抛物线 的顶点坐标为 ， 当 时， ，即 ， ∵P为 的中点，且 ， ∴ 即 ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 10．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，且经过点 ．(1)求抛物线的解析式； (2)结合函数图象当 时，求自变量 的取值范围； (3)点 为抛物线上一点且到 轴距离小于 ，结合函数的图象求点 纵坐标 的取值范围． 【答案】(1) ； (2) 或 ； (3) ． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）令 ，解方程求得 的坐标，进而结合图象即可求解； （3）根据解析式可得，抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，根据 ，且 ，根 据增减性，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：将 和 代入 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为 ； （2）由(1)可知抛物线的解析式为 ， 令 ，则 ，得 ， ， ， ， 结合函数图象可得，当 时，自变量 的取值范围为 或 ； （3） ，抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， ，且 ， 当 时， 取得最大值，最大值是 ， 当 时， ； 当 时， ； ． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式解析式，求与坐标轴的交点坐标，根据图象 求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 11．（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系 中有三个点： ，二次函数 的图象恰好经过这三个点之中的两个点． (1)试推断二次函数 的图象经过点 之中的哪两个点？请简要说明理由； (2)求常数 与 的值； (3)将二次函数 的图象先向下平移2个单位长度，再向右平移 个单位长度，如果平移 后所得新二次函数的图象顶点为 ，且经过点 ，连 、 ，请判断 的形状，并证明你的判断 【答案】(1)点 、 在抛物线上，理由见解析 (2) ， (3)等腰直角三角形，见解析 【分析】（1） 轴，故 、 中只有一个点在抛物线上，求得 的解析式，交 轴于点 ，抛 物线与 轴也交于点 ，故 不符要求，由此解答即可； （2）把 、 点的坐标代入解析式，由此解答即可； （3）由平移可得新的解析式，代入 得出 点的坐标，再判断三角形的形状． 【详解】（1）∵ ， ∴ 轴， 故 、 中只有一个点在抛物线上， ∵设直线 的解析式为 ，代入点 ，点 ， ∴ 解得： ， ∴直线 ，交y轴于点 ． 且抛物线与 轴也交于点 ，故 不符要求． ∴点 在抛物线上 （2）代入 、 到 ， 得 ， 解得 ， ，∴ （3）原抛物线的解析式为 ∴先向下平移2个单位长度，再向右平移 个单位长度后的解析式为 ， 又平移后的顶点为D， ∴ 代入 到 ， 得 ， 解得 （舍）， ， ∴ ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ． ∴ 是等腰直角三角形 【点睛】本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识， 求解析式是解题的关键． 12．（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）我们约定：在平面直角坐标系中， 若某函数图像上至少存在不同的两点 ，满足 ，则称此函数为关于d的“ 函数”，这两点叫做一对关于d的“ 点”． (1)下列函数中，其图象上至少存在一对关于1的“ 点”的，请在相应题目后面横线上“√”，不存在 的打“×”：① ；② ；③ ； (2)若关于3的“ 函数” 的图象和反比例函数 第四象限的图象交于两点 ， 求 的面积； (3)关于x的函数G： 是关于t的“ 函数”，记函数H为 （ 为常数， ），常数h 的图象经过三点 ，且 ， 若函数G的图像和函数H的图象有两个不同的交点 ，求线段 长的取值范围． 【答案】(1)√；×；√ (2) (3) 【分析】（1）先根据新定义计算，再进行判断即可； （2）先根据新定义求得 ，再联立方程组求得点E、F的坐标，再利用分割法求三角形的面积即可； （3）根据函数的新定义求得 ，联立方程组可得 ，且一元二次方程有两个不相等的实 数根，从而可得 ，再由 的图象经过三点 ，且 ，求得 ，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得， ， ∴ ， ∴此时图象上存在无数个关于1的“ 点”，故答案为：√； ②由题意可得： ， ∵ ， ∴图象上不存在一对关于1的“ 点”， 故答案为：×； ③由题意可得： ， ， ∴ ， ， ∴此时图象上存在无数个关于1的“ 点”， 故答案为：√； （2）解：由题意可得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴联立方程组得： ，解得： ， ， ∵当 时， ；当 时， ， ∴ ， ， ∵当 时， ；当 时， ，即 ， ∴一次函数 与x、y轴的交点为 、 ， ∴ ；（3）解：∵ 是关于t的“ 函数”， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴函数G的解析式为 ， ∵函数G的图像和函数H的图象有两个不同的交点 ， ∴联立方程组： ，得： ， ∴一元二次方程 有两个实数根 、 ， ∴ ， ∵ ，且经过点 ， ∴ 是一元二次方程 的根， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ 的图象经过三点 ，且 ，又∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ，即 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的取值范围为： ． 【点睛】本题考查函数的新定义、二次函数图象与性质、熟练掌握二次函数的图象与性质，理解新定义， 将所求问题转化为函数问题是解题的关键．