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第 22 章 二次函数 章节整合练习（14 个知识点+40
题练习）
章节知识清单练习
知识点1．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其
中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c
是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后
再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义．
知识点2．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取
三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛
物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画
另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．知识点3．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，
y随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，
y随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．
知识点4．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．
（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣
4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．知识点5．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ， ）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣ 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x ，0），（x ，0），则其对称轴为x＝
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．
知识点6．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出
原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求
出解析式．
知识点7．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为
图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝ 时，y＝ ．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为
图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝ 时，y＝ ．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从
而获得最值．知识点8．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，
a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0）；
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（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入
数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当
已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x轴有两个交点时，可选
择设其解析式为交点式来求解．
知识点9．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与
y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是
能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得
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到抛物线与x轴的两个交点坐标（x ，0），（x ，0）．
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知识点10．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x
的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的
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交点坐标（x ，0），（x ，0）．
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知识点11．图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
知识点12．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是
实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，
再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；
有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
知识点13．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次
函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的
讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到
平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
知识点14．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符
号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数
问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下
的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意
义．
章节题型整合练习
一．二次函数的定义
1．（2024•海淀区校级开学）下列 关于 的函数中，是二次函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的定义， 、 、 为常数， ，判断即可．
【解答】解： 、 ，是二次函数，故 符合题意；
、 ，是一次函数，故 不符合题意；
、 不是二次函数，故 不符合题意；
、 ，不是二次函数，故 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．（2024春•萨尔图区校级期末）若 是关于 的二次函数，则 的值为 ．
【分析】根据二次函数的定义求解．
【解答】解： 是关于 的二次函数，
且 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为0．3．（2023秋•博乐市月考）已知函数 ．
（1）当 为何值时， 为 的二次函数？
（2）当 为何值时， 为 的一次函数？
【分析】（1）根据二次函数的定义得到得 且 ，然后解不等式和方程即可得到满足条
件的 的值；
（2）根据一次函数的定义分类讨论：当 时， 是 的一次函数；当 且 时，
是 的一次函数；当 且 时， 是 的一次函数，然后分别解方程或不等式即
可．
【解答】解：（1）根据题意得 且 ，
解得 ，
即当 为2时， 是 的二次函数；
（2）当 时，即 时， 是 的一次函数；
当 且 时， 是 的一次函数，解得 ；
当 且 时， 是 的一次函数，解得 ；
即当 为 或 或 时， 是 的一次函数．
【点评】本考查了二次函数的定义：一般地，形如 、 、 是常数， 的函数，叫做
二次函数．其中 、 是变量， 、 、 是常量， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项．
、 、 是常数， 也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义．
二．二次函数的图象
4．（2024•瑶海区校级一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象可能为
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由二次函数 图象得到字母系数的正负，再与一次函数 的图象相
比较看是否一致．
【解答】解： 、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项
正确；
、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项错误；
、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项错误；
、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项错误．
故选： ．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
5．（2024•东海县模拟）已知二次函数 的图象如图所示，则点 在第 一 象
限．
【分析】由抛物线开口方向得到 ，由抛物线的对称轴位置得到 ，由抛物线与 轴的交点位置得，所以 ， ，然后根据第一象限点的坐标特征判断点 所在象限．
【解答】解： 抛物线开口向下，
．
对称轴在 轴左侧，
，
，
，
图象与 轴的交点在正半轴上，
，
， ，
点 在第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查了二次函数图象，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2023秋•丰满区校级月考）若二次函数 的图象如图所示，试求 的值．
【分析】依据题意，由图象知，过 ，故可以代入解析式，再结合开口向下，进而可以得解．
【解答】解：由题意，二次函数图象过 ，
．
．
或 ．
又函数图象开口向下，
．．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
三．二次函数的性质
7．（2024秋•姑苏区校级月考）对于二次函数 的图象，下列说法不正确的是
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当 时， 随 的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解
答本题．
【解答】解： 二次函数 ，
该函数图象开口向上，故选项 正确，不符合题意；
对称轴是直线 ，故选项 正确，不符合题意；
顶点坐标为 ，故选项 错误，符合题意；
当 时， 随 的增大而减小，故选项 正确，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质
解答．
8．（2024•恩施市校级一模）已知函数 ，点 在该函数的图象上，若这样的点
恰好有三个，则 的值为 1 或 ．
【分析】根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出函数 ，的图象如图，
由图象可知①当 ， 时，可得：②当 ， 时，可得：
，
△ 时，
解得： ，
故答案为：1或 ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，关键是根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质解答．
9．（2024•凉山州模拟）对于三个数 、 、 ，用 ， ， 表示这三个数的平均数，用 ， ，
表示这三个数中的最大数；即 ，例如 ；若满足 ，则
， ， ，例如 ， ， ， ， ， ，根据上述材料，完成下列问
题：
（1） ， ， 1 ；若 ， ， ，则 的取值范围为 ；
（2）若 ，12， ， ， ，求 的值．
【分析】（1）利用规定的运算方法直接计算或比较得出答案即可；
（2）根据规定的运算方法建立方程，求解即可．
【解答】解：（1） ；
， ， ，
或 ，
或 ，
．（2） ，
， ， ，
，12， ， ， ，
，
化简整理得： ，
解得： ， ．
【点评】本题考查新定义，平均数，解不等式组，解一元二次方程．解题关键是根据新定义，列出不等式
组与一元二次方程．
四．二次函数图象与系数的关系
10．（2024•西陵区模拟）如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线
．则下列结论：① ；② ；③ ；④抛物线上有两点 ， 和 ，
，若 且 ，则 ．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；
由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．
【解答】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线交 轴于正半轴，
，，
，
，故①正确；
抛物线对称轴为直线 ， 时， ，
时， ，
，故②正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
，
，
，
故③正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
若 且 ，则点 ， 到对称轴的距离小于 ， 到直线的距离，
，故不正确．
故选： ．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
11．（2024•射洪市一模）二次函数 的大致图象如图所示 ．下
列结论：① ；② ；③若 ，则 ；④ ．其中正确的有
②③④ ．（只填写序号）
【分析】①根据抛物线的开口向下即可得出 ，再根据抛物线的对称轴在 和 之间即可得出
，②正确；②由 可得出 ，再根据抛物线与 轴交于 轴负半轴可得出 ，由此即可
得出 ，①错误；③将 代入抛物线解析式中，整理后可得出 ，③正确；④根据抛物线的对称轴 可得出 ，再由当 时 即可得出 ，进而即可得出
，④正确．综上即可得出结论．
【解答】解： 抛物线的开口向下，
．
抛物线的对称轴 ，
，即 ，②成立；
， ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴的负半轴，
，
，①错误；
，
，
，
整理得： ，③成立；
抛物线的对称轴 ，
，
当 时， ，
，即 ，④正确．
综上可知正确的结论为②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12．（2023秋•姑苏区校级月考）（1）已知函数 ，当 ， 时， 恒成立，
求实数 的取值范围．
（2）已知函数 ，若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围．【分析】（1）根据 可得对称轴为直线 ，分三种情况：当 时，
在 ， 上随着 的增大而减小；当 时，当 时， 最小；当 时， 在 ，
上随着 的增大而增大，分别计算出 的范围即可得到答案；
（2）画出二次函数的大致图象，根据图象可得 ，进行计算即可得到答案．
【解答】解：（1） ，
的对称轴为直线 ，
当 时， 在 ， 上随着 的增大而减小，
（1） ，
解得： ，
当 时，当 时， 最小，
（a） ，
解得： ，
，
当 时， 最小，
，
解得： ，
，
综上所述，当 ， 时， 恒成立，实数 的取值范围为 ；（2）作出二次函数的大致图象如图所示：
，
对于任意 ，都有 成立，
，
解得： ，
实数 的取值范围为 ．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、求不等式组的解集，熟练掌握二次函数的图象与性质，
采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
五．二次函数图象上点的坐标特征
13．（2024•凉山州模拟）已知 是关于 的二次函数，其图象经过 ，则 的值为
A． B． C． D．无法确定
【分析】把 代入二次函数解析式得到 ，求出 ，然后根据二次函数的定义确定 的值．
【解答】解：把 代入 得 ，
解得 或 ，
，
的值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特性：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．正确理解二次函数的定义是解决问题的关键．
14．（2023秋•商水县期末）已知 ， ， 是抛物线 上的三点，则 ，
， 的大小关系为 ．（用“ ”连接）
【分析】根据抛物线的对称轴及开口方向即可解决问题．
【解答】解：因为二次函数的解析式为 ，
所以抛物线的对称轴为直线 ，且开口向下，
故在抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小．
又因为 ， ， ，且 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
15．（2024•东莞市三模）已知 ．
（1）化简 ；
（2）若点 是抛物线 上的一点，求 的值．
【分析】（1）利用分式混合运算的法则化简即可；
（2）把点 代入 ，得 ，即可求得 ．
【解答】解：（1）
．（2） 点 是抛物线 上的一点，
，
，
．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握分式的混合运算顺序
和法则是解题的关键．
六．二次函数图象与几何变换
16．（2024•泾阳县模拟）已知抛物线 的对称轴在 轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个
单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 的值是
A． 或1 B． C．1 D．5
【分析】根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将 代入，求得 的值．
【解答】解： 抛物线 的对称轴在 轴左侧，
，
．
抛物线 ．
将该抛物线先向右平移 2个单位长度，再向上平移 1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：
，
将 代入，得 ，
解得 ， （舍去）．
故选： ．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，
解题的关键是写出平移后抛物线解析式．17．（2024秋•姑苏区校级月考）若抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则 4 ，
．
【分析】根据抛物线关于 轴对称的特征可知， 的符号不变， 的符号变为相反数即可得到答案．
【解答】解：根据抛物线关于 轴对称的特征可知， 的符号不变， 的符号变为相反数，
抛物线 关于 轴对称的抛物线为 ，
即 ，
， ，
故答案为：4， ．
【点评】本题主要考查抛物线关于 轴对称，熟练掌握抛物线关于 轴对称的特征是解题的关键．
18．（2024•鹿城区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 与原点重合，顶点 在
轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上，抛物线 经过点 ．
（1）求 的值与对称轴．
（2）将抛物线向右平移 个单位 使得新抛物线与 ， 分别交于 ， ，点 ， 的纵坐标
相等，求 的值和点 的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据解析式对称对称轴；
（2）得到平移后的函数解析式，再根据题意求得对称轴，列出方程即可求解．
【解答】解：（1） 抛物线 经过点 ，
，
解得 ，二次函数的表达式为： ，
，
对称轴为直线 ；
（2）将抛物线向右平移 个单位 得到 ，
新抛物线与 ， 分别交于 ， ，
点 的横坐标为0，点 的横坐标为6，
点 ， 的纵坐标相等，
对称轴为直线 ，
，
，
，
令 ， ，
点 的坐标为 ．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性
质等相关知识，熟练掌握待定系数关键是本题解题的关键．
七．二次函数的最值
19．（2024•河北模拟）已知二次函数 为常数）在自变量 的值满足 的情况下，与
其对应的函数值 的最小值为5，则 的值为
A．1或 B． 或5 C．1或 D．1或3
【分析】当 时，二次函数在 上单调递增，进而得出 时， 取得最小值5，进而求出
的值；当 ，二次函数在 上单调递减，进而得出 时， 取得最小值5，进而求出 的值．
【解答】解： 的值不可能在1到3之间，当 时，
当 时， 取得最小值5，
，
或 （不合题意，舍去），
当 ，
当 时， 取得最小值5，
，
或 （不合题意，舍去），
故选： ．
【点评】本题主要是函数的单调性以及最值问题，正确理解二次函数的单调性是解题关键．
20．（2024•拱墅区校级开学） 时，函数 的最小值为 ，则实数 的值为 或 3
．
【分析】二次函数的最值跟二次函数的开口方向、对称轴、自变量的取值范围有关系，这三要素哪一个不
确定，就讨论哪一个，其中后面两个主要谈论的是对称轴与自变量取值范围与对称轴的位置关系，本题开
口方向确定，自变量范围确定，对称轴为 不确定，所以谈论对称轴和自变量的位置关系，分三种情况，
①范围在对称轴左侧；②范围在对称轴右侧；③对称轴在范围之间，再根据开口方向向上，离对称轴越近，
值越小判断在何处取最小值即可．
【解答】解： 函数 ，
对称轴 ，
开口方向向上，
当 时， 随 增大而增大，当 时， 随 增大而减小，
①当 时， 时 有最小值，
，
；
②当 时， 时有最小值，
，
；③当 时， 有最小值，
，即 ，
解得 或 ，
，
此种情况不存在 值满足题意；
综上， 的值为 或3．
故答案为： 或3．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（2024•婺城区校级开学）已知函数 ， 为常数）的图象经过点 ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，求 的最大值与最小值之差；
（3）当 时，求 的最小值．（可用含 的代数式表示）
【分析】（1） 是与 轴的交点，可得 ，再将 代入求值，可求得 的值；
（2）根据二次函数的解析式 ；当 时，仅当 时， 取得最大值；仅
当 时， 取得最小值；再计算 的最大值与最小值之差；
（3）分类讨论：当 时及当 时，根据函数特点，计算求出 的最小值．
【解答】解：（1） 函数 ， 为常数）的图象经过点 ， ，
， ，
将点 代入可得： ，解得： ，
， ；
（2） ，
当 时，①仅当 时， 取得最小值，此时 ；
②仅当 时， 取得最大值，此时 ；
，
当 时，求 的最大值与最小值之差为9；
（3） ，
当 时，则在 时， 随 的增大而减小，
当 时， 有最小值，最小值为 ；
当 时，则在 时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
当 时， 有最小值，最小值为 ；
综上所述， 的最小值为 或 ．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的特点，并用分类讨论思想分析计算求值是解本
题的关键，综合性较强，难度适中．
八．待定系数法求二次函数解析式
22．（2024•曲阜市一模）在平面直角坐标系 中，抛物线的顶点是 ，当 时， 随 的增大而
增大，则抛物线解析式可以是
A． B． C． D．
【分析】根据题意可知抛物线开口向上，又知顶点为 ，根据抛物线的顶点式求解．
【解答】解：由题意得：抛物线的顶点是 ，开口向上，
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．23．（2024•鹿城区校级开学）已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，它的顶点坐标为
，则此抛物线的解析式 ．
【分析】由二次函数的图象的性质求出 ，再用待定系数法即可求解．
【解答】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，
则 ，
则抛物线的表达式为： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二次函数的性质和待定系数法求函数的表达式，熟悉二次函数的图象和性质是解题
的关键．
24．（2024秋•姑苏区校级月考）已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，
﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；
（3）求抛物线与y轴的交点坐标．
【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2，然后将点（1，﹣3）代入抛物线的解析
式中，即可求得待定系数法的值，也就求出了抛物线的解析式．
（2）根据二次函数的性质易得当x＜2时，y随x的增大而增大．
（3）利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，
∴抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2，
∵抛物线过点（1，﹣3），∴﹣3＝a（1﹣2）2，
∴解得a＝﹣3，
∴此抛物线的解析式y＝﹣3（x﹣2）2．
（2）因为抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下，
所以当x＜2时，y随x的增大而增大．
（3）当x＝0时，y＝﹣3（x﹣2）2＝﹣12，
所以抛物线y＝﹣3（x﹣2）2与y轴的交点坐标为（0，﹣12）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，
常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析
式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
九．二次函数的三种形式
25．（2023•襄垣县一模）将二次函数 化成 的形式，正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据完全平方公式变形，把一般式化为顶点式，得到答案．
【解答】解：
，
故选： ．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关
键．
26．（2023秋•仁寿县期末）已知二次函数 可以写成 ，则 的取值范围
是 ．
【 分 析 】 将 顶 点 式 展 开 得 到 ， ， 代 入 进 行 配 方 得 到即可．
【解答】解： ，
， ，
，
，
故答案为： ，
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式，求出 、 的代数式是关键．
27．（2023秋•肥东县期末）已知抛物线 ．
（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
（2） 取何值时， ？
【分析】（1）用配方法时，先提二次项系数，再配方，写成顶点式，根据顶点式的坐标特点
求顶点坐标及对称轴；
（2）令 ，确定函数图象与 轴的交点，结合开口方向判断 的取值范围．
【解答】解：（1） ，
顶点坐标 ， ，
对称轴是直线 ；
（2）令 ，即 ，解得 或 ，
抛物线开口向下，
当 或 时， ．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，抛物线的顶点式适合于确定抛物线的开口方向，
顶点坐标，对称轴，最大（小 值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值 ，
， ．
一十．抛物线与x轴的交点
28．（2023秋•河东区期末）抛物线 与 轴只有一个公共点，则 的值为 ．
【分析】 ，通过求根的判别式△ 求解．
【解答】解：令 ，
则△ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
29．（2024•凉山州模拟）如图，抛物线 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于
点 ．
（1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
（2）若点 在抛物线上，且 ，求点 的坐标；（3）点 是抛物线上 、 之间的一点，过点 作 轴于点 ，过点 作 交抛物线于点
，过点 作 轴于点 ．设点 的横坐标为点 ，请用含 的代数式表示矩形 的周长，
并求矩形 周长的最大值．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积公式求得 点的横坐标为 ，即可求解；
（3）根据对称轴为直线 ，设 点的横坐标为 ，则 ，表示出矩形的周长，然后
根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线 经过点 、 ，
所以有 ，
解得 ．
抛物线的解析式为 ．
故 点的坐标为 ；
（2）将 代入 ，解得 ， ，
，点的横坐标为 ，
把 代入
，
（3）由抛物线 可知，对称轴为直线 ，
点的横坐标为 ， 轴，
则 ，
，
矩形 的周长 ，
当 时矩形的周长最大值为10．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，线段周长问题，正确记忆超
过知识点是解题关键．
一十一．图象法求一元二次方程的近似根
30．（2024•泰安）如图所示是二次函数 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线
，图象与 轴交点的纵坐标是2．则下列结论：① ；②方程 一定有一个根在
和 之间；③方程 一定有两个不相等的实数根；④ ．其中，正确结论的个
数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可．
【解答】解： 抛物线的对称轴为直线 ，
，
，
，故①正确；
抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点在2，3之间，
与 轴的另一个交点在 ，0之间，
方程 一定有一个根在 和0之间，故②错误；
抛物线 与直线 有两个交点，
方程 一定有两个不相等的实数根，故③正确；
抛物线与 轴的另一个交点在 ，0之间，
，
图象与 轴交点的纵坐标是2，
，
，
．故④错误．
故选： ．【点评】本题考查的是图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与 轴的交点、二次函数图象与系数的关
系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
31．（2023秋•睢宁县期末）已知二次函数 中，函数 与自变量 的部分对应值如表，
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 0.04
则方程 的一个解的范围是 ．
【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当 时，相应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：由表格数据可得，当 时， ，当 时， ，
于是可得，当 时，相应的自变量 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到 由正变为负时，自变量的取
值即可．
一十二．根据实际问题列二次函数关系式
32．（2024•槐荫区二模）某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三
边用栅栏围成，若栅栏的总长为 ，设长方形靠墙的一边长为 ，面积为 ，当 在一定范围内
变化时， 随 的变化而变化，则 与 满足的函数关系是A． B． C． D．
【分析】利用长方形面积等于长乘宽计算即可．
【解答】解：由题意得：长方形靠墙的一边长为 ，则平行墙的边长为 ，
面积 ，
故选： ．
【点评】本题考查根据实际问题列函数关系式，找出数量关系是解答本题的关键．
33．（2024•市南区二模）某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．
经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为 元，每天的销售
利润为 元，则 与 的函数关系式为 ．
【分析】当销售单价为 元时，每件学具的销售利润为 元，每天可销售 件，利用每天的
销售利润 每件学具的销售利润 日销售量，即可找出 与 的函数关系式．
【 解 答 】 解 ： 当 销 售 单 价 为 元 时 ， 每 件 学 具 的 销 售 利 润 为 元 ， 每 天 可 销 售
件，
根据题意得： ，
即 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出 与 的函数关系式
是解题的关键．
34．（2023秋•天山区校级期中）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；
如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元
后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价 元 为整数），每个月的销售量为 件．
（1）求 与 的函数关系式并直接写出自变量 的取值范围；（2）设每月的销售利润为 ，请直接写出 与 的函数关系式．
【分析】（1）当售价超过 50元但不超过 80元，每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖 1件，
， ，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件， ，
，
（2）由利润 （售价 成本） 销售量列出函数关系式，
【解答】解：（1）当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ．
则 ；
（2）由题意可得，
，
．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解决本题的关键．
一十三．二次函数的应用
35．（2024•山西模拟）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如
图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，图中点 ，
关于 轴对称，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，若点 到 轴的距离小于它到
轴的距离，则二次函数 图象的顶点坐标是A． B．
C． D． 或
【分析】根据点 ， 关于 轴对称，可得两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程得到 和
的值，进而根据点 到 轴的距离小于它到 轴的距离可得 的具体值，代入二次函数，整理成顶点式可
得二次函数的顶点坐标．
【解答】解： 点 ， 关于 轴对称，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，
， ．
解得： 或 ； ．
当 时， ；当 时， ．
当 时， ．
点 到 轴的距离小于它到 轴的距离， ，
．
二次函数解析式为：
．
二次函数 图象的顶点坐标是 ．
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：平面直角坐标系内的两点关于 轴对称，横坐标互
为相反数，纵坐标相等；平面内一点到 轴的距离是此点的纵坐标的绝对值，到 轴的距离是此点的横坐
标的绝对值．
36．（2024•鼓楼区校级开学）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离 （米 关于滑行的时间 （秒 的
函数解析式是 ，无人机着陆后滑行 4 5 秒才能停下来．
【分析】将一般式转化为顶点式即可求解．【解答】解：无人机着陆后滑行的距离指的是最大距离，
，
当 时，无人机着陆后滑行的最大距离为1350米停下，
故答案为：45．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数关系式．
37．（2023秋•宣化区期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50
元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采
用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．
（1）设定价为 元，日销售量为 件．试用含 的式子表示 ， ；
（2）当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500元？
（3）请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？
【分析】（1）销售量 降价前每日销售量 降价所增加的销售量，据此即可求解；
（2）每件所获利润 日销售量 元，据此即可求解；
（3）设日销售利润为 元，日销售利润 每件所获利润 日销售量，据此即可求解．
【解答】解：（1）
，
故答案为： ；
（2）由题意得：
，
整理得： ，
解得： ， ，
降价促销，
舍去，
，
答：该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元．
（3）设日销售利润为 元，由题意得：，
，
当 时， （元 ；
答：每件售价为70元时，可使日销售利润最多．
【点评】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中
的应用，找出等量关系式是解题的关键．
一十四．二次函数综合题
38．（2024•临邑县一模）如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，以 为边
向右作菱形 ，点 恰与原点 重合，抛物线 的顶点在直线 上移动．若抛物
线与菱形的边 、 都有公共点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】将 与 联立可求得点 的坐标，然后由抛物线的顶点在直线 可求得
，于是可得到抛物线的解析式为 ，由图形可知当抛物线经过点 和点 时抛物线
与菱形的边 、 均有交点，然后将点 和点 的坐标代入抛物线的解析式可求得 的值，从而可判
断出 的取值范围．【解答】解： 将 与 联立得： ，解得： ．
点 的坐标为 ．
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为 ．
将 ， ，代入得 得： ，解得 ，
抛物线的解析式为 ．
如图1所示：当抛物线经过点 时．
将 代入 得： ，解得： ， ．
如图2所示：当抛物线经过点 时．
将 代入 得： ，整理得： ，解得： ，
．
综上所述， 的范围是 ．
故选： ．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组
的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边 、 均有交点
时抛物线经过的“临界点”为点 和点 是解题解题的关键．
39．（2024•和平区校级三模）如图，已知抛物线 ，等边 的边长为 ，顶点 在抛
物线上滑动，且 边始终平行水平方向，当 在滑动过程中，点 落在坐标轴上时， 点坐标是：
， ， ， ， ， ．
【分析】根据等边三角形的边长解直角三角形求出等边三角形的高为 3，然后分①点 在 轴上时，点
的坐标为纵坐标为3，代入抛物线解析式求出点 的横坐标，根据等边三角形的性质，然后利用等边三
角形的性质解答即可；②点 在 轴上时，点 的横坐标为等边三角形边长的一半，即 ，然后代入
抛物线解析式求出点 的纵坐标，再向下3个单位长度即为点 的纵坐标，点 的横坐标的长度等于
等边三角形的边长，写出即可．
【解答】解： 等边 的边长为 ，
高线 ，边长的一半为 ，
①如图1，点 在 轴上时，点 的纵坐标为3，
点 在抛物线上滑动，
，
整理得， ，解得 ，
当 时， ，
此时，点 的坐标为 ， ，
当 时， ，
此时，点 的坐标为 ， ；
②如图2，点 在 轴上时，点 的横坐标等于等边三角形边长的一半，为 ，
点 在抛物线上滑动，
，
，
所以点 的坐标为 ， ，
综上所述，点 的坐标为 ， ， ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ， ， ．
【点评】本题综合考查了二次函数问题，等边三角形的性质，难点在于要分点在 轴上与 轴上两种情况
讨论求解．
40．（2024•东宝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，与直线交于点 ， 两点，点 是直线 下方抛物线上不与 ， 重合的一动点，过点 作 的平
行线交 轴于点 ，设点 的横坐标为 ．
（1）请直接写出 ， ， 的值；
（2）如图，若抛物线的对称轴为直线 ，点 在直线 的右侧， 与直线 交于点 ，当 为 的中
点时，求 的值；
（3）线段 的长记为 ．
①求 关于 的函数解析式；
②若 ，结合 关于 的函数图象，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）将 ， 两点代入抛物线 可得 ， 的值，令抛物线 ，
可得 的值；
（2）过点 作 轴于点 ，设抛物线的对称轴交 轴于点 ，先证明 ，得
，根据 ，利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，可设直线 的
解析式为 ，求出 ，可得 ， ， ，则 ，由
图可得 、 在 轴的同侧，即可求解；
（3）①求出 ，则 ，即可得 关于 的函数解析式；②画出函数图象，分析图象即可得出结论．
【解答】解：（1） 抛物线 与直线 交于点 ， 两点，
将 ， 两点代入抛物线 得 ，
解得 ，
抛物线 ，
令 ，解得 或2，
点 ，
；
（2）过点 作 轴于点 ，设抛物线的对称轴交 轴于点 ， 交 轴于点 ，
，
，
，
点 的横坐标为 ．
，
点 ， ，
直线 的解析式为 ，设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
， ， ，
，
由图可得 、 在 轴的同侧，
或 ，
点 在直线 的右侧，
；
（3）①如图2，
直线 的解析式为 ，
直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，
，
，
，
，；
②画出函数图象如图所示：
，
，
，
或 ，
当 时， ，当 时， ，
点在直线 下方，
，
由图象得若 ， 的取值范围为 或 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程
解决问题，属于中考压轴题．
