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第十八章 平行四边形
18.1.1平行四边形的性质（第2课时）
一、温故知新（导）
在前面我们已经探究得出了平行四边形的边和角的性质，那么平行四边形的对角线又会
有什么性质呢？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、能通过观察、测量、试验获得数学猜想，并进一步给出证明，得出平行四边形对角线的
性质；
2、会用平行四边形的性质进行有关证明和计算.
学习重难点
重点：平行四边形对角线互相平分的性质
难点：利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题.
二、自我挑战（思）
1、如图18.1-7，在 ▱ABCD中，连接AC，BD，并设它们相较于点O，OA与OC，OB与OD
有什么关系？（请用尺子测量 ▱ABCD的两条对角线相交后，得到的四条线段长）你能证明
发现的结论吗？
（1）经过测量，你有什么猜想？
OA=O C ， OB=O D .
（2）证明猜想 请你运用以前所学习的知识点证明出你的猜想.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC，AD=BC
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
∴ △AOD≌△COB (ASA)
∴ OA=OC，OB=OD
2、你得到什么结论？
（1）平行四边形的性质： 平行四边形的对角线互相平分 .
（2）请你用几何语言表示性质定理.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=O C ， BO=O D
三、互动质疑（议、展）
1、平行四边形是轴对称图形吗？
平行四边形不是轴对称图形 .
2、上图有几个全等三角形？分别是哪几对？
上图有四对全等三角形，分别是 △ A B D ≌△ C D B ， △ A BC ≌△ C DA ， △ A O B ≌△ C O D ，
△ AO D ≌△ CO B
3、平行四边形面积如何求？还有其它方法吗？
平行四边形的面积等于底 × 高，还可以用两条对角线分成的一个小三角形面积的 4 倍 .
4、四个小三角形面积有何关系？
四个小三角形面积 都相等 .
5、实例：
例2 如图18.1-9，已知在▱ABCD 中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求 BC，CD，
AC，OA 的长以及▱ABCD的面积．例2.解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
1
∴AD=BC=8，AB=CD=10，OA=OC= AC，
2
∵AB=10，BC=8，
由勾股定理得：AC= =6，
√AB2+BC2
∴OA=3；
∴▱ABCD的面积是BC×AC=8×6=48．
答：BC=8，CD=10，AC=6，OA=3， ▱ABCD的面积是48．
（1）例题中运用到哪些几何知识?
① 平行四边形的性质：（对边相等，对角线互相平分）； ② 勾股定理；
（2）能否求出BＤ长？（写出具体解题过程）
可以，∵ CO= 3 ， BC= 8 ，在 R t △ BO C 中，
BO= , ∴ BD=2BO = .
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．平行四边形的对角相等
C．平行四边形的对角线互相平分 D．平行四边形的对边平行且相等
1、解：∵平行四边形的性质是：对边相等且平行；对角相等，邻角互补；对角线互
相平分．∴B、C、D正确，A错误，
故选：A．
2、如图，▱ABCD的周长为30cm,△ABC的周长为27cm,则对角线AC的长为（
）
A．27cm B．17cm C．12cm D．10cm
2、解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵▱ABCD的周长为30cm,△ABC的周长为27cm,
∴AB+BC=15cm,AB+BC+AC=27cm,
∴AC=12cm,
故选：C．
3、如图，在□ABCD 中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，△AOD 的周长是
cm．
3、解：AC、BD是□ABCD的对角线，
∴OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∴OA+OB= （AC+BD）= ×22=11cm，
∵BC=10cm，
∴AD=10cm，
∴△AOD的周长=OA+OB+AD=11+10=21cm．
故答案为：21．4、如图 ,□ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．
4、解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC= AC= ×26=13cm，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∵AB=12cm，
∴OB= cm，
∴BD=2OB=10cm，
∴AD= cm．
六、用
（一）必做题
1、如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．OA=OC B．AB=AC C．∠ABD=∠CBD D．AC⊥BD
1、解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，C错误，不符合题意．
平行四边形对角线不一定互相垂直，D错误，不符合题意；
故选：A．2、如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交
边AD于点E，若△CDE的周长为11cm,则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
2、解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为11cm,
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=11cm.
∴▱ABCD的周长为2（AD+CD）=2×11=22厘米，
故选：B．
3、如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点，若四边形 ABCD的面积
为30cm2，则四边形EDCF的面积为（ ）cm2．
A．15 B．20 C．25 D．30
3、解：如图所示，连接AC，BD，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∠AOB=∠COD，∠DOE=∠BOF，
∴∠EAO=∠FCO，∠EDO=∠FBO，
{∠EAO＝∠FCO
在△AOE与△△COF中， OA＝OC ，
∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA），
{ OA＝OC
在△AOB和△COD中， ∠AOB＝∠COD，
OB＝OD
∴△AOB≌△COD（SAS），
{∠DOE＝∠BOF
在△DOE和△BOF中， DO＝BO
∠EDO＝∠FBO
∴△DOE≌△BOF（ASA），
1
∴S ＝S ＝ S ＝15（cm2），
四边形EDCF 四边形AEFB
2
平行四边形ABCD
故选：A．
4、如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，a∥b,PB⊥b于点B，
PA=15cm,PB=12cm,PC=13cm,CD=14cm,则直线a与b之间的距离是 cm.
4、解：∵a∥b,PB⊥b于点B，PB=12cm,
∴根据平行线之间的距离可知，直线 a与b之间的距离是12cm.
故答案为：12．
5、如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E，F 分别是 OD，OB 的中
点，连接AE，CF，求证：AE=CF．5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，OD=OB，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE=ED，OF=BF，
∴BE=DF，
{ AB＝CD
在△ABE和△CDF中， ∠ABF＝∠CDE，
OE＝OF
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF．
（二）选做题
6、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC=6，BD=8，AB=5，
(1)求□ABCD的周长；
(2)求□ABCD的面积.
6、解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA= AC=3，OB=OD= BD=4，
在△AOB中，OA2+OB2=32+42=52=AB2，
∴△AOB是直角三角形且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，,∴ ,
∴ .
（2）由（1）知：AC⊥BD,
∴ .
7、如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 A 作
AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠AOE=70°，∠EAD=3∠EAO，求∠BCA的度数．
7、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF；
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∵∠AOE=70°，
∴∠EAO=90°-∠AOE=20°，
∵∠EAD=3∠EAO，
∴∠EAD=3×20°=60°，
∴∠DAC=∠DAE-∠EAO=60°-20°=40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠BCA=∠DAC=40°．
