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专题 01 涉及二次函数图像的五类题型
类型一：二次函数中的图像共存问题
类型二：二次函数图像与系数的关系
类型三：利用二次函数图像信息求二次函数表达式
类型四：利用二次函数图像解决一元二次方程的问题
类型五：利用二次函数图像解决不等式的问题
类型一：二次函数中的图像共存问题
1．函数y＝ax+b与y＝ax2+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：选项A中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2+b中a＞0，b＞0，故选项A
符合题意；
选项B中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＜0，二次函数y＝ax2+b中a＞0，b＞0，故选项B不符合题意；
选项C中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＜0，二次函数y＝ax2+b中a＜0，b＞0，故选项C不符合题意；
选项D中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2+b中a＜0，b＞0，故选项D不符合题意；
故选：A．
2．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：选项A中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项
A不符合题意；
选项B中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，故选项B
符合题意；
选项C中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，而抛物线
中﹣ab＞0，故选项C不符合题意；
选项D中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
3．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+a和二次函数y＝﹣ax2+3x+2的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由题知，
一次函数y＝ax+a过定点（﹣1，0），
二次函数y＝﹣ax2+3x+2过定点（0，2）．
当a＜0时，一次函数中y随x的增大而减小，
此时抛物线的开口向上，且对称轴在y轴左侧．
所以A和B都不正确．
当a＞0时，一次函数中y随x的增大而增大，
此时抛物线的开口向下．
所以C不正确．
故选：D．
5．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a＞0，b＞0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C正确；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D错误．
故选：B．
6．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B；
故选：C．
类型二：二次函数图像与系数的关系
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．abc＞0 B．（a+c）2＞b2 C．b＞﹣2a D．4a+2b+c＞0
【答案】D
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
b
∴x=− ＞0，
2a
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故选项A错误；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，故选项B错误；
b
∵抛物线的对称轴为x=− =1，
2a
∴b＝﹣2a，故选项C错误．
∵抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（﹣1，0）之间，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）与（3，0）之间，
∴x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故选项D正确；
故选：D．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；
③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
b
∴− ＜0，
2a
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；b
②由对称轴可知：− =−1，
2a
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故②错误；
③∵抛物线过点（1，0），
∴y＝a+b+c＝0，
∵b＝2a，
∴y＝3a+c＝0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，
∴x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数），故④正确；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；
故选：D．
3．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜
0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①函数图象与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
②根据图象可得，函数图象与x轴有两个交点，
∴对应方程有两个根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，②正确；③由条件可知：开口向上，a＞0，对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴2a+b＝0，③正确；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∵c＜0，
∴c（a﹣b+c）＜0，
即ac﹣bc+c2＜0，④正确；
综上可得：②③④正确，
故选：C．
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③2a+b＜0；④（a+c）
2﹣b2＜0．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac；故②错误；
b
∵对称轴为直线x=− ＞1，a＜0，
2a
∴b＞﹣2a，
∴2a+b＞0，故③错误；
根据图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0故④正确；
故选：B．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②b＜a+c；③3a+2b＞
0；④2c＜3b；⑤若ax2+bx =ax2+bx ，且x ≠x ，则x +x ＝2．其中结论正确的个数是（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向下，
则a＜0，
b
∵对称轴为直线x=− =1，则b＝﹣2a＞0，
2a
∴2a+b＝0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
则c＞0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c，
得y＝a﹣b+c，
观察图象得y＝a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故②错误，不符合题意；
∵b＝﹣2a，
∴3a+2b＝3a+2×（﹣2a）＝3a﹣4a＝﹣a＞0，
故③正确，符合题意；
∵b＝﹣2a，
1
∴a=− b，
2
∵y＝a﹣b+c＜0，
1
∴− b−b+c＜0，
2
3
∴− b+c＜0，
2∴﹣3b+2c＜0，
即2c＜3b；
故④正确，符合题意；
∵ax2+bx =ax2+bx
，
1 1 2 2
∴ax2+bx +c=ax2+bx +c，
1 1 2 2
∵x ≠x ，
1 2
x +x
即 1 2=1，
2
∴x +x ＝2，
1 2
故⑤正确，符合题意．
故选：B．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，
有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③a﹣b＞0；④m＞2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②正确；
∴a﹣b＜0，所以③错误；
∵ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，
即抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m没有公共点，
而二次函数的最大值为2，
∴m＞2，所以④正确．
故选：C．类型三：利用二次函数图像信息求二次函数解析式
1．如图中抛物线的表达式可能是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2+x+2 C．y＝x2﹣x+2 D．y＝x2+x﹣2
【答案】A
【解答】解：由函数图象可得，抛物线开口向上，抛物线的对称轴在y轴的右侧，抛物线与y轴的交点
在y轴的负半轴上，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴图中抛物线的表达式可能是y＝x2﹣x﹣2．
故选：A．
2．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）
1 1
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y=− x2− x+2
2 2
1 1
C．y=− x2− x+1 D．y＝﹣x2+x+2
2 2
【答案】D
1 9
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x− ）2+ ，
2 4
9 9
把（2，0）代入得 a+ =0，解得a＝﹣1，
4 4
1 9
所以抛物线解析式为y＝﹣（x− ）2+ ．
2 4
即y＝﹣x2+x+2，
故选：D．
3．如图，正方形ABCD的边AD在x轴上，顶点B、C在二次函数的图象上，直线AC对应的函数表达式为
y＝﹣x﹣2，则这个二次函数图象对应的函数表达式为（ ）1
A．y=− x2 B．y＝﹣x2 C．y＝﹣2x2 D．y＝﹣4x2
2
【答案】B
【解答】解：将y＝0代入y＝﹣x﹣2得，
x＝﹣2，
所以点A的坐标为（﹣2，0）．
又因为B，C两点在二次函数图象上，
则B，C两点关于y轴对称．
因为四边形ABCD为正方形，
所以D，A两点关于y轴对称，
所以点D坐标为（2，0），
则DC＝DA＝2﹣（﹣2）＝4，
所以点C坐标为（2，﹣4）．
令二次函数的表达式为y＝ax2，
则a×22＝﹣4，
解得a＝﹣1，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2．
故选：B．
4．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，根据图象解决下列问题：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当y＜3时，x的取值范围是 x ＜﹣ 2 或 x ＞ 0 ．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）x＜﹣2或x＞0．
【解答】解：（1）∵二次函数图象经过点（1，0），（0，3），
{−1+b+c=0)
∴ ，
c=3
{b=−2)
解得 ，
c=3
∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当y＝3时，﹣x2﹣2x+3＝3，
解得x ＝0，x ＝﹣2，
1 2
即x＝0或x＝﹣2时，y＝3，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜﹣2或x＞0时，y＜3．
故答案为：x＜﹣2或x＞0．
5．如图，已知抛物线y＝x2﹣mx+n过点A与B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．点D在抛物线上，
且与点C关于对称轴l对称．
（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；
（2）求△BCD的面积．
1
【答案】（1）函数表达式为y＝x2﹣x﹣2，抛物线的对称轴l为x= ；
2
（2）1．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣mx+n过点B（2，0），C（0，﹣2），
{0=4−2m+n)
∴将（2，0），（0，﹣2）代入，得 ，
n=−2
{m=1
)
解得 ，
n=−2
则该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2，
b −1 1
∴− =− = ，
2a 2×1 2
1
即抛物线的对称轴l为x= ；
2
（2）∵点D与点C关于对称轴l对称，点C（0，﹣2），∴点D的坐标为（1，﹣2），
∴CD＝1，且CD∥x轴．
1
∴S = ×1×2=1．
△BCD 2
6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），P为第二象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接PA，PB，当S△PAB ＝6时，求出点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）点P坐标为（﹣2，3）．
【解答】解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入函数解析式，
{ a+b+3=0 )
可得 ，
9a−3b+3=0
{a=−1)
解得： ，
b=−2
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设点P坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），
∵P为第二象限内抛物线上一点，
∴m＜0，﹣m2﹣2m+3＞0，
∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB＝4，
1 1
∴S△PAB =
2
AB•y
P
=
2
×4×（﹣m2﹣2m+3）＝6，
整理得：m2+2m＝0，
解得m ＝﹣2，m ＝0（舍去），
1 2
∴点P坐标为（﹣2，3）．
类型四：利用二次函数图像解决一元二次方程问题
1．如图，二次函数y＝ax2﹣4ax+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元
二次方程ax2﹣4ax+m＝0（m为常数）的两实数根是（ ）A．x ＝﹣1，x ＝3 B．x ＝﹣1，x ＝5
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝﹣5 D．x ＝1，x ＝3
1 2 1 2
【答案】B
−4a
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣4ax+m（m为常数）的图象的对称轴为直线x =− = 2，
2a
∵二次函数y＝ax2﹣4ax+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴二次函数y＝ax2﹣4ax+m（m为常数）的图象与x轴的另一个交点为（5，0），
∴关于x的一元二次方程ax2﹣4ax+m＝0（m为常数）的两实数根是x ＝﹣1，x ＝5．
1 2
故选：B．
2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.56），B（2.68，0.54），则
关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45
【答案】D
【解答】解：从函数图象看，y＝0的点在2.18和2.68之间，
故选：D．
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：由函数图象可知，a＞0，b＞0，
∴Δ＝a2+4b＞0，
故一元二次方程x2+ax﹣b＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
4．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程
ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
5．二次函数 y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程 ax2+bx+m＝0有实数根，则 m的最大值为
（ ）
3 3
A．3 B．﹣3 C． D．−
2 2
【答案】A
【解答】解：由图象可得，
二次函数y＝ax2+bx的最小值是y＝﹣3，
∵一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，
即一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，
也就是y＝ax2+bx与y＝﹣m有交点，∴﹣m≥﹣3，
解得：m≤3，
∴m的最大值是3，
故选：A．
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，根据图象可知，当 k取（ ）时，关于x的方程|
ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实根．
A．k＞﹣3 B．k＞3 C．0＜k＜3 D．k＜﹣3
【答案】B
【解答】解：该函数y＝|ax2+bx+c|表示函数值为负数的，通过绝对值可化为正数，即x轴下方的图象翻
上去x轴的上方，如图所示，
故|ax2+bx+c|＝k有两个不相等的实数根，
即直线y＝k与y＝|ax2+bx+c|的图象有两个交点，
故k＞3，
故选：B．
类型五：利用二次函数图像解决一元二次不等式问题
1．已知抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如图所示，那么不等式ax2+bx+c＜0的解为（ ）
A．x＜﹣1或x＞3 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．x＞3
【答案】C
【解答】解：观察图象可得不等式ax2+bx+c＜0的解为：﹣1＜x＜3．
故选：C．
2．抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（ ）A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【答案】C
【解答】解：根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为：（﹣3，0），
从图象看，当y＞0时自变量x的取值范围为：﹣3＜x＜1，
故选：C．
3．一次函数y ＝mx+n（m≠0）与二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣
1 2
m）x+c＞n的解集为（ ）
A．x＜3 B．x＞﹣4 C．﹣4＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣4
【答案】C
【解答】解：ax2+（b﹣m）x+c＞n，
即ax2+bx+c＞mx+n．
由图象可得，ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜3，
∴不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为﹣4＜x＜3．
故选：C．
4．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣
kx+b的解集是（ ）A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b交于点横坐标为﹣2和4，
如图所示，
∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
5．如图，函数y =ax2+bx+c与y ＝kx+m的图象相交于点A（2，0）及B（﹣1，3），当（ ）时，
1 2
式子ax2+bx﹣kx＜m﹣c．
A．x＜﹣1 B．x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
【答案】D【解答】解：由题意：∵函数y 与y 相交于点A（2，0）及B（﹣1，3），
1 2
∴能使ax2+bx﹣kx＜m﹣c成立的x的取值范围即使得ax2+bx+c＜kx+m的取值范围，结合图象得：﹣1＜
x＜2．
故选：D．
6．如图1，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，4），则关于x的不等式kx+b＜4的解集为x
＜﹣2．类似地，如图2是函数y =ax2+bx+c(a≠0)和函数y ＝mx+n（m≠0）的图象，由图象可知，
1 2
不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集为（ ）
A．x≤﹣2 B．﹣2≤x≤1 C．x≥1 D．x≤﹣2或x≥1
【答案】D
【解答】解：由题意得，不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集可以看作是函数y＝ax2+bx+c在函数y＝mx+n的
图象上方的部分对应的自变量的取值范围．
又∵函数y＝ax2+bx+c与函数y＝mx+n的图象交点的横坐标分别为﹣2，1，
∴结合图象可得，x≤﹣2或x≥1．
故选：D．
