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2.7 幂函数与二次函数
幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
【注意】幂函数解析式的特征：
(1)xα的系数为1．
(2)x 为自变量．
(3)α 为常数．
幂函数的图象与性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
1
2
y＝x-1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增函数
在[0，＋∞)上
单调递增，在
(－∞，0]上单
调递减
增函数
在[0，＋∞)上单
调递增
在(0，＋∞)上
单调递减，在
(－∞，0)上单
调递减
公共点
都经过点_(1，1)_
二次函数及其性质
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)=ax
2 + bx
+ c ( a ≠0)
.
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为( m , n ) .
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
2.二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
[
4 ac−b
2
4 a
,+∞)
(−∞, 4 ac−b
2
4 a ]
对称轴
x=- b
2a
顶点
坐标
(−b
2a , 4 ac−b
2
4 a )
奇偶性
当b=0 时是偶函数,当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在(−∞,−b
2a]上单调递减;
在[−b
2a ,+∞)上单调递增
在(−∞,−b
2a]上单调递增;
在[−b
2a ,+∞)上单调递减
考点一 幂函数图像与定点问题
考点二 幂函数单调性与奇偶性
考点三 利用幂函数单调性与奇偶性求参
考点四 利用幂函数的单调性解不等式
考点五 利用幂函数比较大小
考点六 利用二次函数单调性求参
考点七 利用二次函数的最值求参数
考点一 幂函数图像与定点问题
1．（25-26 高三上·云南文山·开学）函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可.
【详解】函数
是幂函数，定义域为R，
又
，所以
为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AD；
由
，得函数
在
上单调递增，排除C；
且当
时，函数
的图象在
下方，选项B 符合要求.
故选：B
2．（25-26 高三上·浙江·开学）函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和幂函数的图象和性质直接判断即可.
【详解】函数
为单调递减的指数函数，且过点
，其值域为
，排除B，D.
函数
为幂函数，定义域和值域都是
，且单调递增，过点
.
故选：A.
3．（25-26 高三上·陕西安康·开学）函数
的图象过定点______.
【答案】
【详解】由
，解得
，代入函数
，可得
，
所以函数图象恒过定点
.
4．（25-26 高三上·山西·阶段检测）已知函数
（
为常数）的图象恒过定点
，则
___________．
【答案】3
【分析】根据幂函数过定点
得
的图象过定点
，进而得
【详解】令
，则
，故
的图象过定点
，
故
，
．
故答案为：3．
5．（25-26 高三上·上海浦东新·阶段检测）如图所示是函数
（
均为正整数且
互质）的图象，则
（ ）
A．
是奇数且
B．
是偶数，
是奇数，且
C．
是偶数，
是奇数，且
D．
是奇数，且
【答案】B
【分析】由幂函数性质及
时两图象的位置关系可知
；由图象可知
为偶函数，进而确定
的
特征.
【详解】由幂函数性质可知：
与
恒过点
，即在第一象限的交点为
，
当
时，
，则
；
又
图象关于
轴对称，
为偶函数，
，
又
互质，
为偶数，
为奇数.
故选：B.
6．（25-26 高一·全国·寒假作业）函数
的图象恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用幂函数的性质，令
，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标．
【详解】令
，即
时，
，
图象恒过定点
．
故选：B.
考点二 幂函数单调性与奇偶性
7．（25-26 高三上·上海杨浦·开学）下列函数中在区间
上是严格减函数的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性判断即可.
【详解】对于A：
，在
上单调递增，不符合.
对于B：
是底数在
内的指数函数，所以在
上严格递减，从而在
上也严格递减．符合.
对于C：
在
上单调递增，不符合.
对于D：
在
上单调递增，又
，故不符合.
8．（25-26 高三上·江苏连云港·开学）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于函数
，
令
，解得
，所以函数的定义域为
，
又
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
.
故选：C
9．（25-26 高二下·北京·开学）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对A，因为
和
都是定义在
上的增函数，所以
是增函数，
又
，所以
为奇函数，正确；
对B，由反比例函数性质可知，
在定义域内不单调，错误；
对C，由对勾函数性质可知，
在定义域内不单调，错误；
对D，因为
，所以
，所以
是偶函数，
由幂函数性质可知，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，错误.
10．（25-26 高三上·浙江·开学）（多选）已知幂函数
，下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
的图象关于直线
对称
B．若
，则
是偶函数，且在
上单调递增
C．若
，则
的定义域为
，且在
上单调递减
D．若
，则对任意
，都有
【答案】BC
【分析】根据幂函数的性质逐项分析即可.
【详解】若
，
，定义域为
，
其图象上存在点
，而点(4,2)关于直线
对称点
不在其图象上，
，故不关于直线
对称，
故A 错误.
若
，
，可知
是开口向上的二次函数，对称轴为
，
又
，
是偶函数，
，
在
上单调递增，故B 正确.
若
，
，可知
的定义域为
，
又
，
在
上单调递减，故C 正确.
若
，
，则
，
故只有当
时才有
，故D 错误.
故选：BC.
11．（25-26 高三上·上海·开学）已知
，幂函数
的图象关于
轴对称，且与
轴和
轴无交点，则
的值是___________
【答案】
或
【分析】根据幂函数图象的对称性和定义域的特征进行求解即可.
【详解】因为幂函数
的图象关于
轴对称，
所以该幂函数是偶函数，设
，
则有
，
所以有
为偶数，
幂函数
的图象与
轴和
轴无交点，
所以
，
因为
，
所以当
时，
为偶数，
当
时，
不是偶数，
当
时，
为偶数，
综上所述：
的值是
或
.
故答案为：
或
12．（25-26 高三上·江苏无锡·月考）已知函数
，若
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件可判断函数
是
的增函数，且为奇函数；利用函数的奇偶性单调性解不等式即可.
【详解】依题意，函数
的定义域为
；
因为
，所以函数
是奇函数；
因为
，所以
；
根据解析式及幂函数的单调性知函数
在
上单调递增；
所以
，解得
；故实数
的取值范围是
；
故选：A.
考点三 利用幂函数单调性与奇偶性求参
13．（25-26 高三上·河北衡水·开学）已知幂函数
在
上单调递减，若正数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．16
B．12
C．8
D．4
【答案】D
【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数
的值，再利用“乘1 法”结合基本不等式求
的最小值.
【详解】因为
为幂函数，所以
，解得
或
．
因为
在
上单调递减，所以
，则
，
所以
，则
，且
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，所以
的最小值为4．
14．（25-26 高三上·甘肃兰州·开学）已知幂函数
在区间
上单调递增，则
___________．
【答案】2
【分析】根据幂函数的定义和性质列式求解即可.
【详解】因为幂函数
在区间
上单调递增，
则
，解得
.
15．（2026·吉林·三模）已知集合
，集合
，且
，
.记事件
“函数
是幂函数”，事件
“函数
在
上单调递增”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义和性质结合古典概型求
，
，代入条件概率公式运算求解.
【详解】设样本空间为
，则
，
对于事件
“函数
是幂函数”，可知
，
则
，可得
，
对于事件
“幂函数
在
上单调递增”，则
，
则
，可得
，
所以
.
16．（25-26 高三上·甘肃定西·开学）若幂函数
是奇函数，则
___________.
【答案】2
【分析】利用幂函数的定义以及奇函数的性质即可求解
【详解】由题可知
，即
，解得
或
．
当
时，
，其定义域为
，
，此时
为奇函数；
当
时，
，其定义域为
，
，此时
为偶函数；
综上，
.
故答案为：
17．（25-26 高三上·重庆·开学）若幂函数
是偶函数，则整数m 的取值可以是__________（写一个即
可）.
【答案】0
【分析】根据幂函数的性质解出题目.
【详解】要使幂函数
为偶函数，需满足
,
则
取
，
此时，函数为
是偶函数。
故答案为：0
18．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数
在
上单调递减，则实数m 的值为（ ）
A．0 或1
B．
或1
C．1
D．0
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解．
【详解】由于
为幂函数，所以
，解得
或
，
又函数
在
上单调递减，
所以
，即
故当
时
符合条件．
考点四 利用幂函数的单调性解不等式
19．（25-26 高三上·河北唐山·阶段检测）设
是幂函数，若
，则
的取值范
围是______．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为
是幂函数，所以
，解得
，所以
．
易知
是增函数.
因为
，所以
，解得
．
故答案为：
.
20．（25-26 高三上·江苏连云港·开学）已知幂函数
的图象过点
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意求得
，再根据其单调性和奇偶性求解.
【详解】设幂函数
，
因为
的图象过点
，
所以
，解得
，
所以
且
在
上是增函数，奇函数，
又
，
所以
，
所以
，解得
，
故选：B
21．（25-26 高三上·重庆·月考）已知幂函数
则不等式
的解集为______．
【答案】
【分析】根据题意，得到函数
为偶函数且函数
在
单调递增，在
单调递增，把不等式转化
为
，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由函数
，可得其定义域为
，关于原点对称，
且
，所以函数
为偶函数，图像关于
轴对称，
又由幂函数的性质，可得函数
在
为单调递增函数，
所以函数
在
为单调递减函数，
不等式
，即为
，
平方整理得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
22．（25-26 高三上·上海虹口·开学）已知幂函数
在
上是严格减函数，其中
．
(1)求
的值；
(2)求关于
的不等式
的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求出
值.
（2）根据函数的单调性求出不等式的解集即可.
【详解】（1）由已知可得
，
即
，
解得
或
当
，则
在
上严格减，符合条件，
当
，则
在
上严格增，不符合条件，
综上所述，
．
（2）由（1）及不等式，有
，
可得
，
解得
或
．
故所求解集为
．
23．（25-26 高三上·上海静安·月考）试用函数观点解不等式
，则该不等式的解集为______．
【答案】
【分析】由题意，原不等式等价于
，令函数
，判断函数单调性，通过单调性即可求
解.
【详解】根据题意，不等式
等价于
，
令函数
，定义域为
，即解不等式
，
因为
为定义域内的增函数，
为定义域内的增函数，
所以
在定义域
内单调递增，且
，
所以对应不等式即为
，从而得
，
所以不等式
的解集为
．
故答案为：
24．（25-26 高三上·辽宁·月考）已知幂函数
的图象关于原点对称，若
，则实
数
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由幂函数和奇偶性求得
，再结合单调性即可求解.
【详解】由题意，
，解得
或
，所以
或
，
又
的图象关于原点对称，奇函数，
所以
，
所以
，在
单调递减，
因为
，
当
时，
恒成立，
当
时，由
可得
，
综上
的取值范围是
故答案为：
考点五 利用幂函数比较大小
25．（2026·重庆北碚·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解
【详解】构造指数函数
，底数
，所以
单调递减，即
；
，即
.
26．（25-26 高三上·浙江杭州·开学）已知
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数单调性判断
的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可.
【详解】指数函数
，底数
，因此
是
上的减函数,
原不等式可改写为：
,
根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：
.
指数函数
，底数
，因此
是减函数，
因为
，所以
.
幂函数
，指数
，因此
在
上是增函数.
因为
，所以
所以
27．（25-26 高三下·湖北随州·月考）设
，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
【答案】B
【详解】
，
由幂函数
在
上单调递增，得
，即
；由指数函数
在
上是单调递减，得
，即
；
.
28．（2026·天津·一模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
，
因为函数
在
上单调递增，
则
，则
，则
，则B 正确.
29．（25-26 高三下·安徽·月考）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】适当构造函数，根据函数单调性比较大小即可.
【详解】构造函数
，求导得
，
当
时
，
单调递增，因此
，即
.
令
，得
，即
.
，对
同时取次方得
，
.
因为幂函数
在
单调递增，
，
，故
.
综上
.
考点六 利用二次函数单调性求参
30．（25-26 高二下·四川凉山·开学）若函数
的单调递增区间是
，则
__________.
【答案】2
【详解】因为函数
的对称轴为
，则其单调递增区间为
，
依题意可得
，解得
.
31．（2026 高二下·福建·学业考试）已知函数
在区间
是减函数，则实数a 的取值范围是
________
【答案】
【详解】
的对称轴为
，开口向上，递减区间为
.
所以
，所以
.
32．（2026·甘肃金昌·三模）已知
，
，若函数
在
上单调递减，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可.
【详解】由
在
上单调递减知
；
由
在
上单调递减知：
当
，即
满足题意；
当
，
，所以
，
由
在
上单调递减，得
，所以
，
综上，a 的取值范围是
.
33．（24-25 高三上·四川宜宾·开学）若函数
是
上的单调函数，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
函数
在
上单调，且
开口向下，在区间
上不可能单调递减，
函数
在
上不可能单调递减，故
在
上单调递增，
，解得
，
的取值范围是
．
考点七 利用二次函数的最值求参数
34．（2026·辽宁抚顺·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，若
在
上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以由
在
上恒成立，可得
在
上恒成立.
若
，即
，则
在
上单调递增，则
，得
.
若
，即
，则
，化简得
，得
.
若
，即
，则
在
上单调递减，则
，得
.
综上所述，a 的取值范围为
.
35．（2026·江西赣州·二模）已知函数
在区间
上的最大值为
，在区间
上的最大值为
．
若
，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对分情况①
，②
，③
，④
，⑤
讨论，前四种情况都与
矛盾，
第五种情况可根据单调性求解.
【详解】设
，易得
在
上递增，在
上递减，且有两个零点
和
，
因
可由
保持
轴上方部分并将
轴下方部分沿
轴翻折得到，
如上图，
在
上递减，在
上递增，
在
上递减，在
上递增.
① 当
时，
在
的最大值
，
在
的最大值为
，矛盾；
② 当
时，
在
的最大值
，
在
的最大值为
，矛盾；
③ 当
时，
在
的最大值
，
在
的最大值为
，矛盾；
④ 当
时，
在
的最大值
，因
，
在
单调递增，最大值
，
，矛盾；
⑤ 当
时，
在
的最大值
，
，
，由图可知，此时只需令
即可，
解得
或
，所以
，
综上所述，的取值范围是
.
36．（2026 高三上·广东清远·专题练习）已知函数
(1)当
时，求函数
的最小值和最大值；
(2)若函数
在
上的最小值为2，求实数a 的值.
【答案】(1)函数
的最小值为
，最大值为
；
(2)
【分析】（1）根据函数
在
的单调性讨论求解即可；
（2）分
，
，
三种情况讨论求解即可.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增
所以，当
时，函数
取得最小值
，
当
时，函数
取得最大值
.
（2）
，开口向上，对称轴为
，
所以，当
时，
在
上单调递增，故
，解得
，满足
；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，故
，即
，方程
无解；
当
时，
在
上单调递减，故
，解得
，不满足
；
综上，当
时，函数
在
上的最小值为2.
37．（25-26 高三上·浙江·开学考试）已知函数
，
(1)若不等式
恒成立，求实数
的值；
(2)若函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若函数
在区间
上的值域为
，且
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列出不等式求解.
（2）求出方程的两个根，再建立不等式组求解.
（3）按
图象对称轴与区间
的关系分段求出最小值，并建立不等式求解即可.
【详解】（1）函数
为开口向上的二次函数，当
恒成立时，
，
即
，所以
.
（2）由（1）知
，由
，得
，解得
，
，
由函数
在区间
上有两个零点，得
，解得
，
所以实数
的取值范围
.
（3）依题意，
，即
，则
，而
，又
，
则
，即
，又
，因此
，
（ⅰ）当
时，
在区间
上单调递增，则
，
于是
，解得
，且
或
，因此
；
（ⅱ）
，则
，于是
，
解得
，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
38．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的最小值为
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定
义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值.
【详解】设
，则
，函数
等价于函数
．
令
，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线
．
当
，即
时，
在
上单调递增，此时无最值，不满足题意；
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
或
（舍去）．
所以实数
的值是
.
1．（2026·四川广安·模拟预测）“
”是“
为幂函数”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由幂函数的定义求出
的值，再由充分必要条件判断即可.
【详解】因为
为幂函数，
所以
，
解得：
或
,
所以“
”是“
为幂函数”的充分且不必要条件.
2．（25-26 高三上·湖南长沙·开学）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】借助幂函数与对数函数单调性判断即可得.
【详解】因为幂函数
在
上单调递增，
所以
，即
，
又因为对数函数
在
上单调递减，
所以
，即
，所以
.
3．（24-25 高三上·北京·月考）下列函数中，是奇函数且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据奇函数和在
上单调递增两个条件，逐个分析选项.
【详解】选项A，
的定义域为
，不关于原点对称，不具备奇偶性，错误；
选项B，
，满足
，是偶函数不是奇函数，错误；
选项C，
，满足
，是奇函数，但它在
上单调递减，不符合要求，错误；
选项D，
，满足
，是奇函数；且由幂函数单调性可知，
在
上
单调递增，正确.
4．（25-26 高三上·浙江杭州·开学）幂函数
的图象经过（ ），且在第一象限内（ ）
A．第一、二象限 单调递减
B．第一、三象限 单调递减
C．第一、二象限 单调递增
D．第一、三象限 单调递增
【答案】C
【详解】幂函数
的定义域为
，由
，得函数
是偶函数，
其图象关于
轴对称，又
，则该函数图象在
轴及上方，
而
，则函数
在
上单调递增，
所以幂函数
的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增.
5．（24-25 高三上·全国·课后作业）关于幂函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．幂函数图象恒过原点
B．存在
，使得幂函数图象过第四象限
C．存在
，使得幂函数为非奇非偶函数
D．当
时，幂函数图象恒在
轴上方
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论.
【详解】若
的图象不过原点，A 错误；
对于幂函数
，当
时，
恒成立，因此函数图象不过第四象限，B 错误；
当
时，
的定义域为
，且在
上单调递增，为非奇非偶函数，C 正确；
当
时，
的图象过第一、三象限，D 错误．
故选：C.
6．（25-26 高三上·山西长治·开学）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
为减函数，函数
为增函数，
所以
，所以
.
7．（25-26 高三上·山西朔州·开学）（多选）已知幂函数
，则（ ）
A．当
为奇函数时，
B．当
为偶函数时，
C．当
为奇函数时，
在
上单调递减
D．当
为偶函数时，
在
上单调递减
【答案】ACD
【分析】根据幂函数定义计算可得
或
，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可
得出结论.
【详解】由幂函数的定义可知
，即
，解得
或
，
当
时，
为奇函数，且
在
上单调递减，A，C 正确；
当
时，
为偶函数，且
在
上单调递减，B 错误，D 正确．
故选：ACD．
8．（25-26 高三上·陕西咸阳·开学）（多选）已知幂函数
过点
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是减函数
C．
是奇函数
D．不等式
的解集是
【答案】ACD
【分析】根据幂函数定义以及经过点的坐标可得
，再由其单调性、奇偶性可判断B 错误，C 正确，由分
式不等式可得D 正确.
【详解】设幂函数
，则
，即
，
即
，A 正确，
函数
的定义域为
，
则函数
在定义域
和
上分别单调递减，但在整个定义域上并不单调递减，B 错误，
函数
的定义域关于原点对称，且
，所以函数
为奇函数，C 正确，
不等式为
，即
,解得
或
，
即不等式
的解集是
，D 正确.
故选：ACD
9．（25-26 高三上·浙江杭州·月考）（多选）已知抛物线
的一段图像如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据二次函数性质分析可知
，
，且
，即可判断A；举反例判断B；结合不等式性质
判断CD.
【详解】因为抛物线
的图象开口向上，则
，
且对称轴
，则
，
又因为抛物线
的图象过点
，
，
则
，可得
，解得
，故A 正确；
例如
，符合题意，但
，故B 错误.
因为
，且
，则
，
所以
，故CD 正确；
10．（25-26 高三上·河南·月考）（多选）已知函数
，则（ ）
A．“
”是“
为偶函数”的充要条件
B．“
在区间
上单调递减”是“
”的充要条件
C．“
在区间
上单调递增”是“
”的必要不充分条件
D．“
在区间
上仅当
时取最大值”是“
”的充分不必要条件
【答案】AC
【分析】根据二次函数的对称性及偶函数性质及充要条件的概念可判断A；根据二次函数单调性与充分条件、必
要条件的概念判断BC，根据二次函数的最值求得
，然后利用充要条件的概念可判断D.
【详解】对于A，
为偶函数
，故选项A 正确；
对于B，若
在区间
上单调递减，则
，
反之，当
时，
，满足
，但是
在区间
上先减后增，
故“
在区间
上单调递减”是“
”的充分不必要条件，选项B 错误；
对于C，若
在区间
上单调递增，则
，
由
得不到
，由
可推出
，
故“
在区间
上单调递增”是“
”的必要不充分条件，选项C 正确；
对于D，因为
在区间
上仅当
时取最大值，所以
，
故“
在区间
上仅当
时取最大值”是“
”的充要条件，选项D 错误.
故选：AC
11．（25-26 高三上·四川南充·月考）（多选）已知二次函数
的图象如图所示，下列结论正确的有（
）
A．
B．
C．方程
有两个不相等的实数根
D．方程
的两根是
，
【答案】ABD
【分析】根据图象，求出a，b，c 的值，代入，可判断A、B 的正误；代入方程，求出根，可判断C、D 的正误.
【详解】由图象可得对称轴
，则
①，
最大值为4，所以
②，
又与x 轴交点为
，所以
③，
选项A：由①②③联立可得
，所以
，故A 正确；
选项B：
，故B 正确；
选项C：
，解得
，故C 错误；
选项D：
，解得
，
，故D 正确.
故选：ABD
12．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数
若
存在最大值，则实数
的最大值为
___________．
【答案】
【详解】若
存在最大值，根据一次函数的单调性可知
，分类讨论，
当
，
时，
的最大值为
，
而
在区间
上为单调递增函数，则
，解得
，
故
，
当
，
时，
的最大值为
，
而
在区间
上为单调递增函数，
则
，即
，解得
，
故
，
综上所述可得
的取值范围为
，故
的最大值为
．
13．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知幂函数
的图象在
上单调递减，则
__________.
【答案】
【详解】因为函数是幂函数，所以
，得
，
当
时，
，函数图象在区间
上单调递增，不满足条件，
当
时，
，函数图象在区间
上单调递减，满足条件，
所以
.
14．（25-26 高三上·河北石家庄·开学考试）已知函数
在
上单调递减，则实数
的
取值范围为_________．
【答案】
【分析】分段函数的两段都是减函数，两端端点处函数值左边不小于右边，由此列不等式计算求解．
【详解】依题意，
在
上单调递减，
在
上单调递减，两端端点处函数值左边不小于右边，
故
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
15．（25-26 高三上·湖北咸宁·开学）已知幂函数
(1)求
的值及函数
的解析式；
(2)若
为偶函数，方程
有一正一负两个实根，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)
或
，
或
.
(2)
.
【详解】（1）因为函数
为幂函数，所以
，
解得
或
.
所以
或
.
（2）因为
为偶函数，故
，
又方程
有一正一负两个实根，
即方程
有一正一负两个实根，
设方程根为
，则
，解得
.
所以实数k 的取值范围为
.
16．（25-26 高三上·云南·开学考试）已知函数
．
(1)证明：
，
，
，
；
(2)求不等式
的解集．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过作差法结合幂函数性质证明；
（2）利用奇偶性与单调性解不等式.
【详解】（1）
，
因为
且
，根据均值不等式
，
且
，所以分子
，分母
，
故
，即
．
（2）函数
的定义域为
，关于原点对称，
因为
，所以
是奇函数，
又因为幂函数
的指数
，所以
在
上单调递减，根据奇函数的性质，
在
上也单
调递减，
由
得
，
因为
是奇函数，所以
，则不等式变为
，
由于
在
和
上均单调递减，需分情况讨论：
当
且
时，即
，由单调性得
，解得
，结合得
；
当
且
时，即
且
，无解；
当
与
异号时：
且
，即
，此时
，不等式
不成立；
且
，即
，此时
，不等式
成立；
综上，不等式的解集为
．
17．（25-26 高三上·福建漳州·开学）已知幂函数
的图象关于
轴对称.
(1)求实数
的值；
(2)若函数
在区间
上的最小值为
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
或3
【分析】（1）根据幂函数的定义可知
，解得
，再根据图象关于
轴对称可进一步确定
的值；
（2）根据
图象对称轴的位置求得最值，列方程即可求解.
【详解】（1）因为函数
是幂函数，
所以
，解得
或
.
当
时，
；当
时，
，
因为函数
关于
轴对称，所以函数
是偶函数，即
，
故
.
（2）由（1）知
，
因为
在区间
上的最小值为
，所以
①当
，即
时，
在区间
上单调递增，
所以
，解得
，符合
；
②当
，即
时，
，解得
，
又因为
，所以
；
③当
，即
时，
在区间
上单调递减，
所以
，解得
，不符合
，舍去.
综上可得，
的值为
或3.
18．（25-26 高三上·四川泸州·开学考试）已知函数
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(3)若
，求
在
上的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当
时，得到函数
，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式
的解
集；
（2）结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（3）根据二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）当
时，函数
，
不等式
，即
，解得
或
，
即不等式
的解集为
.
（2）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
要使得
在
上单调递增，则满足
，
所以
的取值范围为
.
（3）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
当
时，函数
在
递减，在
上递增，
所以
最小值为
，又因为区间端点
比
距离对称轴更远，故函数在
处取最大值，
在
上的值域为
.
