专题2.2 函数解析式及值域
2.2.1 函数解析式
知识点梳理
1.待定系数法：解析式类型已知的，比如：一次函数，反比例函数，二次函数，且题
目给出相应的条件，一般用待定系数法：先设解析式，再表达出题干的条件，解出答案.
2.换元法：已知复合函数f [g(x)]的表达式，求函数解析式：先令t=g(x)，并用t
表达x,最终得到f(t)，再换回f(x)即可，此时要注意t 的取值范围.
3.方程组法（消元法）：成对出现f(x)，f( 1
x )或f(x)，f(−x)等类型的函数
表达式，求函数解析式：一般情况是将另一部分替换x，得到新的等式，再和原等式联立
解方程组求出f(x).
4.已知函数奇偶性求函数解析式：已知函数奇偶性和一半函数的解析式，求另一半解
析式：①设−x范围已知；②将−x代入已知解析式并计算结果；③利用奇偶性计算出答案.
典型例题
例1. 已知f(x) 为二次函数，且f(x ＋1) ＋f(x －1) ＝2x2 －4x ，则函数的解析式f(x)=
.
例2.已知f(
1−x
1+x )=1−x
2
1+x
2 ，则函数的解析式为f(x)= .
例3.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e
x
1
−,则当x<0时,f(x)= .
例4.已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)+5f(1
x )=2
x +1，则函数f(x)=
.
随堂演练
1.设函数f(x)=x
3+3x
2+1.已知a≠0,且f(x)−f(a)=(x−b)(x−a)
2,x∈R,则函数的
解析式a = ，b= .
2.已知函数f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x
2+1
x
, 则f(1)=( )
A.
2
− B. 0 C. 1 D. 2
3.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e
x，则g(x)等于( )
A. e
x−e
−x B. 1
2 (e
x+e
−x) C. 1
2 (e
−x−e
x) D.
1
2 (e
x−e
−x)
4. f(sinx)=3
cos2
−
x，则f(cosx)=( )
A. 3
sin2
−
x B. 3+sin2x C. 3
cos2
−
x D. 3+cos2x
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈( ∞,0)
−
时,f(x)=2x
3+x
2,则f(2)=
.
6.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为( ∞,4]
−
,则该函
数的解析式
f(x)= _______.
7.已知函数f(1−x)=1−x
2
x
2
(x≠0)，则f(x)= .
8.若x∈(0,π
2
)，函数f(x)满足f(sin x)+2f(cosx)=cos2x，则f(1
2 )= .
9. 已知函数f(x)对定义域{x|x≠0}内的任意实数x满足f(2x) 2
−f(2
x )=4x，则
f(x)= .
10.已知f(3
x)=4xlog23+233，则f(2)+f(4)+f(8)+
+
⋯f(2
8)
的值等于 .
11.已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)−x
2+x]=f(x)−x
2+x.
(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a).
(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式.
2.2.2 分离常数求函数的值域
知识点梳理
1.分离常数主要用来处理形如y=ax+ b
cx+d (c≠0)的有理函数（一次分式函数）。也可推
“
”
广到分子分母次数相同或有公共部分的情形，通过恒等变形把变量部分单独分离出来。
2.基本思想：
“
将分子改写成含分母的形式+
”
常数:ax+ b= A(cx+d)+ B.
再拆开为:y= A+ B
cx+d
.这样函数就变成：一个常数+一个易求范围的的简单分式，从而只
分析B
cx+d
的取值范围，再加上常数A即可。
3.标准步骤
(1)配凑分子:设y=ax+ b
cx+d ,c≠0令ax+ b=k(cx+d)+ m,比较系数或用待定系数法求出
k,m。
(2)拆分函数,代入并化简:y=k(cx+d)+ m
cx+d
=k+ m
cx+d
.
(3)求简单分式的值域
①分析m
cx+d
:
分母不为零⇒m
cx+d ≠0。
②随着|cx+d|→∞, m
cx+d →0, 但取不到0。
③加上常数项得到原函数值域: 若m
cx+d ∈( ∞,0)∪(0,+∞)
−
, 则
y=k+ m
cx+d ∈( ∞,
−
k)∪(k,+∞).
④若是有限区间,比如m
cx+d ∈[p,q] (不含0的情况要小心),则y∈[k+p,k+q].并
注意是否取到
端点.
典型例题
例1.已知函数f(x)=x
1
−
x+1 (x∈[0,3]),则函数的最小值为( )
A. 0.4 B.1
2
C.2 D. 1
−
例2.函数f(x)=x
2
1
−
x
2+3x+2
的值域为 .
随堂演练
1.函数y=1−x
2x+5
的值域为 .
2.函数f(x)=x
x
1
−
(x≥2)的最大值为 .
3.已知x∈[2,3], 则y=x
2
2
−x+4
x
1
−
的值域为 .
4.函数y=x
2
x
2+1
(x∈R)的值域是 .
5.函数y=x
2
2
−x
x
2
2
−x+1
(x∈R)的值域是 .
6.函数y=x
2−x+1
x
2
2
−x+1
(x>1)的值域是 .
7.函数y=
❑√x
2+4
x
2+5
的最大值为 .
2.2.3 判别式法（万能k 法）求函数值域
知识点梳理
1.适用题型：在函数求值域时一般建议用在最简分式含二次项，且定义域为R,可避免
讨论根的分布，直接用判别式判断即可；如果定义域不为R，若需要讨论根的分布，不建
议此法，若不需要复杂讨论也可考虑此法.
2.解题思路：通过去分母将等式整理成关于x 的一元二次方程，利用方程有解转化成
方程判别式解题.
典型例题
例1.函数y = 3 x
2+3 x +1
x
2+ x−1
的值域是__________.
随堂演练
1.函数f(x)=x
2−x+1
x
2−x+2
的值域是 .
2.函数f(x)=x+1
x
2−x+1
的值域是 .
3. 函数f(x)=x
2
1
−
x
2+3x+2
的值域为 .
4.函数f(x)=x
2+x+1
x
2+1
的值域是 .
5.函数y=x
1
−
x
2
6
−x+7
(x>0)的值域为 .
6.已知a,b∈R，且a
2+ b
2+ab=1，则b的取值范围是 .
7.已知a>0，函数f(x)=
❑√ax−x
2+
❑√2x−x
2的最大值为❑√2，则实数a的值为 .
2.2.4 换元法求函数值域
知识点梳理
1.换元法是一种常用数学解题方法，通过引入新的变量代替原式中较复杂的部分，将
原函数转化为更容易分析的新函数，从而简化计算或推理.
在求函数值域中，换元法的核心思想是：将原函数y=f(x)中“难处理”的部分用新变
量t 表示，使y 成为关于t 的较简单函数，再在t 的取值范围内求出y 的取值范围.
2.常见换元类型
（1）根式换元.
（2）三角换元.
（3）指数/对数换元.
（4）分式或高次多项式换元.
典型例题
例1.函数 f(x)=x+1
x
2+2x+10
(0≤x≤8) 的值域为 ( )
A. [
1
8 ,1
6) B. [6,8] C. [
1
10 ,1
6) D. [6,10]
例2.求函数y = x + ❑√1−2 x的值域.
例3.已知f ( x)= 4
x−1−2
x+5, x ∈[−2,2].求f ( x)的值域.
例4.函数f(x)= ❑√1−x+ ❑√3x的最大值为( )
A.1 B.❑√2 C.❑√3 D.2
随堂演练
1.函数f(x)=x+1
x
2+x+4
的值域是( )
A.(
∞
−
B.(
∞
−
C.[−1
5 ,1
3) D.[−1
4 ,1
4)
2.函数y=3❑√x+2
4
−
❑√2−x的最小值为( )
A.-8 B.8 C.-10 D.10
3.已知x>0,y>0且x+y=1,则x
2
1+x
2 +y
2
1+y
2 的最小值为( )
A. 1
5
B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
4.f(x)= ❑√x+ ❑√4 2
−x的最大值为 .
5.若y= ❑√x
4
−+ ❑√18 3
−x，则y的取值范围是 .
6.函数y=x−
❑√4−x
2的值域为 .
7.求函数f(x)=log2(4x)⋅log1
4
x
2 ，x∈[
1
2 ,4]的值域．
