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22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质（第一课时）分层作业
基础训练
1．下列关于二次函数 的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点 在函数图像上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线 有两个交点
【详解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
2．抛物线 经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：抛物线 经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到，
故选：D．
3．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图像与 轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在 轴的右侧
C．当 时， 的值随 值的增大而减小 D． 的最小值为-3
【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选：D．
4．二次函数 的图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解： ．
二次函数 的图象的对称轴是 ．
故选A．
5．已知抛物线 经过 和 两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【详解】解：抛物线 经过 和 两点，
可知函数的对称轴 ，
，
；
，
将点 代入函数解析式，可得 ；
故选B．6．若二次函数 的图像如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，y有最大值
C．图像经过点 D．当 时，
【详解】解：∵抛物线开口向下，经过点 ， ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，A选项正确，不符合题意．
当 时y有最大值，B选项正确，不符合题意．
∵图象经过 ，抛物线对称轴为直线 ，
∴抛物线经过点 ，C选项正确，不符合题意．
当 或 时， ，选项D错误，符合题意．
故选D．
7．已知(﹣4，y)，(2.5，y)，(5，y)是抛物线y＝﹣3x2﹣6x+m上的点，则y、y、y 的大小关系是（
1 2 3 1 2 3
）
A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y
1 2 3 3 2 1 1 3 2 2 1 3
【详解】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴与直线x＝﹣1距离越近的点的纵坐标越大，
∵﹣1﹣（﹣4）＜2.5﹣（﹣1）＜5﹣（﹣1），
∴y＞y＞y，
1 2 3
故选：A．
8．已知二次函数 ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【详解】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．
故选：B．
9．已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x，x，x 对应的函数值分别为y，y，y．当−13时，y，y，y 三者之间的大小关系是（ ）
3 1 2 3
A． B． C． D．
【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4，
∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，
解得x=-1或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2−2x−3的图象如图：
由图象知 ．
10．如图是二次函数 的图像，该函数的最小值是 ．【详解】解：由图像可知，此函数的对称轴为直线 ，函数的图像经过点 ，
则 ， ，
解得 ，
将 代入 得： ，解得 ，
则二次函数的解析式为 ，
当 时， ，
即该函数的最小值是 ，
故答案为： ．
11．二次函数 （ ，a，c均为常数）的图象经过 、 、 三点，
则 ， ， 的大小关系是 ．
【详解】解：∵ （ ，a，c均为常数），
∴图象的开口向下，对称轴是直线 ，
∴ 关于直线 的对称点是 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点 ．（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得 ；
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线 ；
故二次函数的对称轴为：直线 ；
18．已知二次函数y=
（1）将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．
（2）在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当y＜0时x的取值范围．
【详解】解：（1）
，
所以抛物线的图象的开口向上、顶点坐标为 、对称轴为直线 ；
（2）当 时， ，解得 ， ，抛物线与 轴的交点坐标为 ， ，抛
物线如图，当 时， ；
能力提升
1．已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
故选：B．
2．若点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴的距离小于2，则 的取值范围是
．
【详解】解： 点 到 轴的距离小于2，
，点 在二次函数 的图象上，
，
当 时， 有最小值为1．
当 时， ，
的取值范围为 .
故答案为：
3．设抛物线 ，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点 ，则 ；
（2）将抛物线 向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
【详解】解：（1）将 代入 得：
故答案为：0
（2）根据题意可得新的函数解析式为：
由抛物线顶点坐标
得新抛物线顶点的纵坐标为：
∵
∴当a=1时， 有最大值为8，∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是
故答案为：2
4．已知函数 在 上有最大值4，则常数 的值为 .
【详解】解： .
当 时，
当 时， 有最大值，
，
∴ ；
当 时，
当 时， 有最大值，
，
，
综上所述： 的值为 或 .
故答案是： 或 .
5．在平面直角坐标系中，二次函数 过点（4，3），若当0≤x≤a 时，y 有最大值 7， 最
小值 3，则 a 的取值范围是 ．
详解】解：∵二次函数y=-x2+mx+3过点（4，3），
∴3=-16+4m+3，
∴m=4，
∴y=-x2+4x+3，
∵y=-x2+4x+3=-（x-2）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴是x=2，顶点为（2，7），函数有最大值7，
把y=3代入y=-x2+4x+3得3=-x2+4x+3，解得x=0或x=4，
∵当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，
∴2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4．拔高拓展
1．抛物线 不经过第三象限．
（1）求 、 的取值范围；
（2）若与 轴交于 ，且顶点在 上，求 、 的值．
【详解】解：（1）由抛物线得 ，可见其与 轴必有交点，且在 轴同侧，
∵不经过第三象限，
∴开口必然向上，与 轴必有交点且在同侧，
∴ ， ，
∴ ， ；
（2）①若 ，则 ，其顶点为 ，该顶点在 上，所以成立；
②若 ，顶点 在 上，
∴ ，
解得 ，
∵由（1）得，抛物线的解析式为 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
综上， ， 或 ， 或 ， ．
