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2019年贵州省遵义市中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题、每小题4分，共48分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满）
1．（4分）遵义市2019年6月1日的最高气温是25℃，最低气温是15℃，遵义市这一天的最
高气温比最低气温高（ ）
A．25℃ B．15℃ C．10℃ D．﹣10℃
2．（4分）如图是由7个相同的小正方体组合而成的几何体．这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）今年5月26日﹣5月29日，2019中国国际大数据产业博览会在贵阳举行，贵州省
共签约项目125个，金额约1008亿元．1008亿用科学记数法表示为（ ）
A．1008×108 B．1.008×109 C．1.008×1010 D．1.008×1011
4．（4分）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4的度数是（ ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
5．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．﹣（2a2）2＝4a2
C．a2•a3＝a6 D．a6÷a3＝a3
6．（4分）为参加全市中学生足球赛．某中学从全校学生中选拔22名足球运动员组建校足球
队，这22名运动员的年龄（岁）如下表所示，该足球队队员的平均年龄是（ ）
年龄（岁） 12 13 14 15
人数 7 10 3 2
第1页（共28页）A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁
7．（4分）圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A．5 cm B．10cm C．6cm D．5cm
8．（4分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x ，x ，则x 2+3x +x x ﹣2的值是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．10 B．9 C．8 D．7
9．（4分）如图所示，直线l ：y＝ x+6与直线l ：y＝﹣ x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式 x+6
1 2
＞﹣ x﹣2的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
10．（4分）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四
边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是（ ）
A．AC，BD相等且互相平分 B．AC，BD垂直且互相平分
C．AC，BD相等且互相垂直 D．AC，BD垂直且平分对角
11．（4分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能
源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为
125.6万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．50.7（1+x）2＝125.6 B．125.6（1﹣x）2＝50.7
C．50.7（1+2x）＝125.6 D．50.7（1+x2）＝125.6
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两
点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的
面积为2 ，则k的值为（ ）
第2页（共28页）A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在
答题卡的相应位置上.）
13．（4分）计算3 ﹣ 的结果是 ．
14．（4分）小明用0﹣9中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最后一位数字忘记了，
小明只输入一次密码就能打开手机的概率是 ．
15．（4分）如图，平行四边形纸片ABCD的边AB，BC的长分别是10cm和7.5cm，将其四个角
向内对折后，点B与点C重合于点C'，点A与点D重合于点A′．四条折痕围成一个“信
封四边形”EHFG，其顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，则EF＝ cm．
16．（4分）如图，已知 O的半径为1，AB，AC是 O的两条弦，且AB＝AC，延长BO交AC
于点D，连接OA，⊙OC，若AD2＝AB•DC，则O⊙D＝ ．
三、解答题（本题共8小题，共86分.答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡相应位
置上解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：2sin60°+| ﹣2|+（﹣1）﹣1﹣
第3页（共28页）18．（8分）化简式子（ +1）÷ ，并在﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为
a的值代入求值．
19．（10分）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B
到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，
山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求
电动扶梯DA的长（结果保留根号）．
20．（12分）电子政务、数字经济、智慧社会…一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数
字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用
大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：
“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表
组别 成绩x（分） 人数
A 60≤x＜70 10
B 70≤x＜80 m
C 80≤x＜90 16
D 90≤x≤100 4
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中m＝ ；统计图中n＝ ，D组的圆心角是 度．
第4页（共28页）（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D组随机抽取2名学生参加5G体验活
动，请你画出树状图或用列表法求：
恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率；
①至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率．
②
21．（12分）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有
A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4
辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需
费用10300元．
（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方
案最省钱？
22．（12分）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究
S△ABC 与S△ADE 的比是否为定值．
第5页（共28页）（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC ：S△ADE 是否为定值？如果是，求
出此定值，如果不是，说明理由．（图 ）
（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含①有30°角的直角三角板时，S△ABC ：S△ADE 是否为定
值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图 ）
（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b②，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常
数），S△ABC ：S△ADE 是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结
论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图 ）
③
23．（12分）如图，AB是 O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，BC．
（1）求证：△ADB≌△⊙BCA；
（2）若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长；
第6页（共28页）（3）在（2）的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，连接PC．求证：PC是 O的切线．
⊙
24．（14分）如图，抛物线C ：y＝x2﹣2x与抛物线C ：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它
1 2
们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．
（1）求抛物线C 的解析式；
2
（2）在抛物线C 的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐
2
第7页（共28页）标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C 上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，
2
△MOC面积最大？并求出最大面积．
第8页（共28页）2019 年贵州省遵义市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题、每小题4分，共48分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满）
1．（4分）遵义市2019年6月1日的最高气温是25℃，最低气温是15℃，遵义市这一天的最
高气温比最低气温高（ ）
A．25℃ B．15℃ C．10℃ D．﹣10℃
【分析】所求的数值就是最高气温与最低气温的差，利用有理数的减法法则即可求解．
【解答】解：25﹣15＝10℃．
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．这是需
要熟记的内容．
2．（4分）如图是由7个相同的小正方体组合而成的几何体．这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定
则可．
【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：3，1，1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确把握观察方向是
解题关键．
3．（4分）今年5月26日﹣5月29日，2019中国国际大数据产业博览会在贵阳举行，贵州省
共签约项目125个，金额约1008亿元．1008亿用科学记数法表示为（ ）
A．1008×108 B．1.008×109 C．1.008×1010 D．1.008×1011
第9页（共28页）【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1008亿＝1.008×1011，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4的度数是（ ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
【分析】求出∠5＝∠2，根据平行线的判定得出a∥b，根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：
∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠5＝180°，
∴∠2＝∠5，
∴a∥b，
∴∠4＝∠6，
∵∠3＝104°，
∴∠6＝180°﹣∠3＝76°，
∴∠4＝76°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能正确利用定理进行推理是解此题的关键．
5．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．﹣（2a2）2＝4a2
C．a2•a3＝a6 D．a6÷a3＝a3
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂
第10页（共28页）相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：
A选项，完全平方公式，（a+b）2＝a2+2ab+b2，错误；
B选基，积的乘方，﹣（2a2）2＝﹣4a4，错误；
C选项，同底数幂相乘，a2•a3＝a5，错误；
D选项，同底数幂相除，a6÷a3＝a3，正确．
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则
是解题的关键．
6．（4分）为参加全市中学生足球赛．某中学从全校学生中选拔22名足球运动员组建校足球
队，这22名运动员的年龄（岁）如下表所示，该足球队队员的平均年龄是（ ）
年龄（岁） 12 13 14 15
人数 7 10 3 2
A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁
【分析】直接利用加权平均数的定义计算可得．
【解答】解：该足球队队员的平均年龄是 ＝13（岁），
故选：B．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
7．（4分）圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A．5 cm B．10cm C．6cm D．5cm
【分析】设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2 •5＝ ，然后解方程
π
即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，
根据题意得2 •5＝ ，
π
解得R＝10．
即圆锥的母线长为10cm，
∴圆锥的高为： ＝5 cm．
第11页（共28页）故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（4分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x ，x ，则x 2+3x +x x ﹣2的值是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到 x 2＝3x ﹣1，则 x 2+3x +x x ﹣2＝3
1 1 1 2 1 2
（x +x ）+x x ﹣3，接着利用根与系数的关系得到x +x ＝3，x x ＝1，然后利用整体代入的
1 2 1 2 1 2 1 2
方法计算．
【解答】解：∵x 为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，
1
∴x 2﹣3x +1＝0，
1 1
∴x 2＝3x ﹣1，
1 1
∴x 2+3x +x x ﹣2＝3x ﹣1+3x +x x ﹣2＝3（x +x ）+x x ﹣3，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
根据题意得x +x ＝3，x x ＝1，
1 2 1 2
∴x 2+3x +x x ﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
1 2 1 2
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根
1 2
时，x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
9．（4分）如图所示，直线l ：y＝ x+6与直线l ：y＝﹣ x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式 x+6
1 2
＞﹣ x﹣2的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
【分析】利用函数图象写出直线l ：y＝ x+6与在直线l ：y＝﹣ x﹣2上方所对应的自变
1 2
量的范围即可．
第12页（共28页）【解答】解：当x＞﹣2时， x+6＞﹣ x﹣2，
所以不等式 x+6＞﹣ x﹣2的解集是x＞﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y
＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线
y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10．（4分）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四
边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是（ ）
A．AC，BD相等且互相平分 B．AC，BD垂直且互相平分
C．AC，BD相等且互相垂直 D．AC，BD垂直且平分对角
【分析】利用中点四边形的判定方法得到答案即可．
【解答】解：顺次连接对角线相等的四边形的四边中点得到的是菱形，
顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点得到的是矩形，
顺次连接对角线相等且垂直的四边形的四边中点得到的四边形是正方形，
故选：C．
【点评】考查了中点四边形的知识，牢记其规律是解答本题的关键．
11．（4分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能
源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为
125.6万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．50.7（1+x）2＝125.6 B．125.6（1﹣x）2＝50.7
C．50.7（1+2x）＝125.6 D．50.7（1+x2）＝125.6
【分析】设投入的年平均增长率为x，由题意得等量关系：2016年销量×（1+增长率）2＝
2018年销量，根据等量关系列出方程．
【解答】解：设年平均增长率为x，可列方程为：
50.7（1+x）2＝125.6，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题
目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两
第13页（共28页）点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的
面积为2 ，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，
可得出横坐标，即可求得AE，BE的长，根据菱形的面积为2 ，求得AE的长，在
Rt△AEB中，即可得出k的值．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵A，B两点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，
∴A（ ，4），B（ ，2），
∴AE＝2，BE＝ k﹣ k＝ k，
∵菱形ABCD的面积为2 ，
∴BC×AE＝2 ，即BC＝ ，
∴AB＝BC＝ ，
在Rt△AEB中，BE＝ ＝1
∴ k＝1，
∴k＝4．
故选：C．
第14页（共28页）【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公
式是解题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在
答题卡的相应位置上.）
13．（4分）计算3 ﹣ 的结果是 ．
【分析】首先化简二次根式进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝3 ﹣2
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
14．（4分）小明用0﹣9中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最后一位数字忘记了，
小明只输入一次密码就能打开手机的概率是 ．
【分析】最后一个数字可能是0～9中任一个．总共有十种情况，其中开锁只有一种情况．
利用概率公式进行计算即可．
【解答】解：随意拨动最后一位号码正好开锁的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率公式．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
15．（4分）如图，平行四边形纸片ABCD的边AB，BC的长分别是10cm和7.5cm，将其四个角
向内对折后，点B与点C重合于点C'，点A与点D重合于点A′．四条折痕围成一个“信
封四边形”EHFG，其顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，则EF＝ 1 0 cm．
第15页（共28页）【分析】先根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形EHFG是矩形，再证明
△FCH≌△EAG，可得CF＝AE＝FC'，可知EF＝AB，即可得结论．
【解答】解：如图中，
由翻折可知：∠CHF＝∠FHC'，∠BHE＝∠EHC'，
∴∠FHE＝∠FHC'+∠EHC'＝ （∠CHC'+∠BHC'）＝90°，
同法可证：∠HFG＝∠GEH＝90°，
∴四边形EHFG是矩形．
∴FH＝EG，FH∥EG，
∴∠HFC'＝∠FEG，
∵∠CFH＝∠HFC'，∠AEG＝∠GEA'，
∴∠CFH＝∠AEG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A，BC＝AD，
由翻折得：CH＝C'H＝BH＝ BC，AG＝A'G＝DG＝ AD，
∴CH＝AG，
∴△HCF≌△GAE（AAS），
∴CF＝AE，
∴EF＝FC'+EC'＝AE+BE＝AB＝10cm，
故答案为：10．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换，矩形的判定和性质，三角形全等的性质
和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（4分）如图，已知 O的半径为1，AB，AC是 O的两条弦，且AB＝AC，延长BO交AC
⊙ ⊙
第16页（共28页）于点D，连接OA，OC，若AD2＝AB•DC，则OD＝ ．
【分析】可证△AOB≌△AOC，推出∠ACO＝∠ABD，OA＝OC，∠OAC＝∠ACO＝∠ABD，
∠ADO＝∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；依据对应边成比例，设OD＝x，表示出AB、
AD，根据AD2＝AB•DC，列方程求解即可．
【解答】解：在△AOB和△AOC中，
∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ABO＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAD，
∵∠ADO＝∠BDA，
∴△ADO∽△BDA，
∴ ，
设OD＝x，则BD＝1+x，
∴ ，
∴AD＝ ，AB＝ ，
∵DC＝AC﹣AD＝AB﹣AD，AD2＝AB•DC，
（ ）2═ （ ﹣ ），
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x＝ 或x＝ （舍去），
因此OD＝ ，
第17页（共28页）故答案为： ．
【点评】考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项
等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用参数解决问题是数学解题中经常
用到的方法．
三、解答题（本题共8小题，共86分.答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡相应位
置上解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：2sin60°+| ﹣2|+（﹣1）﹣1﹣
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多
少即可．
【解答】解：2sin60°+| ﹣2|+（﹣1）﹣1﹣
＝2× +2﹣ ﹣1﹣（﹣2）
＝ +2﹣ +1
＝3
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数
运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算
律在实数范围内仍然适用．
18．（8分）化简式子（ +1）÷ ，并在﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为
a的值代入求值．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2，﹣1，0，1，2中选取一
个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（ +1）÷
＝[ ]
＝（ ）
第18页（共28页）＝
＝
＝ ，
当a＝﹣2时，原式＝ ＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（10分）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B
到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，
山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求
电动扶梯DA的长（结果保留根号）．
【分析】作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到FC＝DE，DF＝EC，根据直角三角形的性质
求出FC，得到AF的长，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：作DE⊥BC于E，
则四边形DECF为矩形，
∴FC＝DE，DF＝EC，
在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，
∴DE＝ BD＝84，
∴FC＝DE＝84，
∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AD＝ AF＝70 （米），
答：电动扶梯DA的长为70 米．
第19页（共28页）【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（12分）电子政务、数字经济、智慧社会…一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数
字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用
大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：
“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表
组别 成绩x（分） 人数
A 60≤x＜70 10
B 70≤x＜80 m
C 80≤x＜90 16
D 90≤x≤100 4
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中m＝ 2 0 ；统计图中n＝ 3 2 ，D组的圆心角是 28. 8 度．
（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D组随机抽取2名学生参加5G体验活
动，请你画出树状图或用列表法求：
恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率；
①至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率．
②
【分析】（1）先根据A组人数及其所占百分比求出总人数，由各组人数之和等于总人数求
出B组人数m的值，用360°乘以D组人数所占比例可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）被调查的总人数为10÷20%＝50，
第20页（共28页）则m＝50﹣（10+16+4）＝20，
n%＝ ×100%＝32%，即n＝32，
D组的圆心角是360°× ＝28.8°，
故答案为：20、32、28.8；
（2） 设男同学标记为A、B；女学生标记为1、2，可能出现的所有结果列表如下：
① A B 1 2
A / （B，A） （1，A） （2，A）
B （A，B） / （1，B） （2，B）
1 （A，1） （B，1） / （2，1）
2 （A，2） （B，2） （1，2） /
共有 12 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中刚好抽到一男一女的结果有8种，
∴恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为 ＝ ；
∵至少1名女生被抽取参加5G体验活动的有10种结果，
②
∴至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用
统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，
也考查了列表法和画树状图求概率．
21．（12分）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有
A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4
辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需
费用10300元．
（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方
案最省钱？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得租用A，B两型客车，每辆的
费用；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以得到有哪几种租车方案和最省钱的方案．
第21页（共28页）【解答】解：（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，
，
解得， ，
答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；
（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，
，
解得， ， ， ，
∴共有三种租车方案，
方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，
方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，
方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，
由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明
确题意，利用不等式的性质和方程的知识解答．
22．（12分）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究
S△ABC 与S△ADE 的比是否为定值．
（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC ：S△ADE 是否为定值？如果是，求
出此定值，如果不是，说明理由．（图 ）
（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含①有30°角的直角三角板时，S△ABC ：S△ADE 是否为定
值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图 ）
（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b②，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常
数），S△ABC ：S△ADE 是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结
第22页（共28页）论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图 ）
【分析】（1）结论：S△ABC ：S△ADE ＝定值．如图1中，作③DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长
线于G．首先证明∠DAE＝∠CAG，利用三角形的面积公式计算即可．
（2）结论：S△ABC ：S△ADE ＝定值．如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
首先证明∠DAE＝∠CAG，利用三角形的面积公式计算即可．
（3）结论：S△ABC ：S△ADE ＝定值．如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
首先证明∠DAE＝∠CAG，利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）结论：S△ABC ：S△ADE ＝定值．
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∵AB＝AE＝AD＝AC，
∴ ＝ ＝1．
（2）如图2中，S△ABC ：S△ADE ＝定值．
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
第23页（共28页）不妨设∠ADC＝30°，则AD＝ AC，AE＝AB，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∴ ＝ ＝ ．
（3）如图3中，如图2中，S△ABC ：S△ADE ＝定值．
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
∵∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，
∴∠DAE＝∠CAG，
第24页（共28页）∵AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，30度的直角三角形的
性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
23．（12分）如图，AB是 O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，BC．
（1）求证：△ADB≌△⊙BCA；
（2）若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长；
（3）在（2）的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，连接PC．求证：PC是 O的切线．
⊙
【分析】（1）可证∠ACB＝∠ADB＝90°，则由HL定理可证明结论；
（2）可证AD＝BC＝DC，则∠AOD＝∠ABC＝60°，由直角三角形的性质可求出AC的长；
（3）可得出BC＝BP＝2，∠BCP＝30°，连接OC，可证出∠OCP＝90°，则结论得证．
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ⊙
∵AB＝AB，
∴△ADB≌△BCA（HL）；
（2）解：如图，连接DC，
∵OD⊥AC，
∴ ，
∴AD＝DC，
第25页（共28页）∵△ADB≌△BCA，
∴AD＝BC，
∴AD＝DC＝BC，
∴∠AOD＝∠ABC＝60°，
∵AB＝4，
∴ ；
（3）证明：如图，连接OC，
∵BC＝BP＝2
∴∠BCP＝∠P，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCP＝30°，
∵OC＝OB，∠ABC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝60°+30°＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是 O的切线．
【点评】本⊙题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形
的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
24．（14分）如图，抛物线C ：y＝x2﹣2x与抛物线C ：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它
1 2
们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．
（1）求抛物线C 的解析式；
2
（2）在抛物线C 的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐
2
标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C 上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，
2
第26页（共28页）△MOC面积最大？并求出最大面积．
【分析】（1）C 、C ：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，将点A的坐标代入C
1 2 2
的表达式，即可求解；
（2）作点C关于C 对称轴的对称点C′（﹣1，3），连接AC′交函数C 的对称轴与点P，
1 2
此时PA+PC的值最小，即可求解；
（3）S△MOC ＝ MH×x
C
＝ （﹣x2+4x﹣x）＝﹣ x2+ ，即可求解．
【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），
∵C 、C ：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，
1 2
则点A（4，0），将点A的坐标代入C 的表达式得：
2
0＝﹣16+4b，解得：b＝4，
故抛物线C 的解析式为：y＝﹣x2+4x；
2
（2）联立C 、C 表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），
1 2
作点C关于C 对称轴的对称点C′（1，3），
2
连接AC′交函数C 的对称轴与点P，
2
此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3 ，
此时点P（2，2）；
（3）直线OC的表达式为：y＝x，
第27页（共28页）过点M作y轴的平行线交OC于点H，
设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），
则S△MOC ＝ MH×x
C
＝ （﹣x2+4x﹣x）＝﹣ x2+ x，
∵﹣ ＜0，故x＝ ，
S△MOC 最大值为 ．
【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解
成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．
第28页（共28页）
