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2013年贵州省遵义市中考数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．）
1．（3分）如果+30m表示向东走30m，那么向西走40m表示为（ ）
A．+40m B．﹣40m C．+30m D．﹣30m
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）遵义市是国家级红色旅游城市，每年都吸引众多海内外游客前来观光、旅游．据有
关部门统计报道：2012年全市共接待游客3354万人次．将3354万用科学记数法表示为（
）
A．3.354×106 B．3.354×107 C．3.354×108 D．33.54×106
4．（3分）如图，直线l ∥l ，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是（ ）
1 2
A．70° B．80° C．65° D．60°
5．（3分）计算（﹣ ab2）3的结果是（ ）
A．﹣ a3b6 B．﹣ a3b5 C．﹣ a3b5 D．﹣ a3b6
6．（3分）如图，在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂红，使图中红色部分
的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ）
第1页（共33页）A． B． C． D．
7．（3分）P（x ，y ），P（x ，y ）是正比例函数y＝﹣ x图象上的两点，下列判断中，正确的是
1 1 1 2 2 2
（ ）
A．y ＞y B．y ＜y
1 2 1 2
C．当x ＜x 时，y ＜y D．当x ＜x 时，y ＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
8．（3分）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．a+b＜0 B．﹣a＜﹣b C．1﹣2a＞1﹣2b D．|a|﹣|b|＞0
9．（3分）如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到
结束，所经过路径的长度为（ ）
A． cm B．（2+ ）cm C． cm D．3cm
π
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝4a﹣2b+c，P＝
2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接在
答题卡的相应位置上．）
第2页（共33页）11．（4分）计算：20130﹣2﹣1＝ ．
12．（4分）已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则ab的值为 ．
13．（4分）分解因式：x3﹣x＝ ．
14．（4分）如图，OC是 O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在 O上，∠APC＝
26°，则∠BOC＝ 度⊙． ⊙
15．（4分）已知x＝﹣2是方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，
若AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝ cm．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E为BC边上的一点，以A为圆心，
AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则
AF的长为 （结果保留根号）．
18．（4分）如图，已知直线y＝ x与双曲线y＝ （k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，
﹣2），C为双曲线y＝ （k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的
坐标为 ．
第3页（共33页）三、解答题（本题共9小题，共88分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接在答题卡的相
应位置上．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）解方程组 ．
20．（8分）已知实数a满足a2+2a﹣15＝0，求 ﹣ ÷ 的值．
21．（8分）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），
放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点
C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点
E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高BM＝17米，且点A，B，M在同一直线
上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.60，
cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．
第4页（共33页）22．（10分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某校政教处对部分学生及家长就校园安全
知识的了解程度，进行了随机抽样调查，并绘制成如图所示的两幅统计图，请根据统计图
中的信息，解答下列问题：
（1）参与调查的学生及家长共有 人；
（2）在扇形统计图中，“基本了解”所对应的圆心角的度数是 度；
（3）在条形统计图中，“非常了解”所对应的家长人数是 人；
（4）若全校有1200名学生，请你估计对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了
解”的学生共有多少人？
23．（10分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中
有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或
第5页（共33页）“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分（每次摸后放回），乙同学
在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一
次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．
24．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点
E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM＝CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求 的值．
25．（10分）2013年4月20日，四川雅安发生7.0级地震，给雅安人民的生命财产带来巨大损
失．某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆，把粮食266吨、副食品169吨全部运到
灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食
16吨、副食11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
第6页（共33页）（2）若甲种货车每辆需付燃油费1500元；乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中
的哪种方案，才能使所付的费用最少？最少费用是多少元？
26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．动点M，N从点C同时出
发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每
秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为（t 单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若
不存在，请说明理由．
第7页（共33页）27．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣ ），且与y轴交于点
C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求
AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径的 M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．
⊙
第8页（共33页）2013 年贵州省遵义市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．）
1．（3分）如果+30m表示向东走30m，那么向西走40m表示为（ ）
A．+40m B．﹣40m C．+30m D．﹣30m
【考点】11：正数和负数．
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东走记为正，则向西走就记
为负，直接得出结论即可．
【解答】解：如果+30米表示向东走30米，那么向西走40m表示﹣40m．
故选：B．
【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一
个为正，则和它意义相反的就为负．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图
形，使用排除法来解答．
【解答】解：如图，俯视图为三角形，故可排除A、B．主视图以及左视图都是矩形，可排除
C，
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，难度一般，考生做此类题时可利用排除
法解答．
3．（3分）遵义市是国家级红色旅游城市，每年都吸引众多海内外游客前来观光、旅游．据有
第9页（共33页）关部门统计报道：2012年全市共接待游客3354万人次．将3354万用科学记数法表示为（
）
A．3.354×106 B．3.354×107 C．3.354×108 D．33.54×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵3354万＝33540000，
∴用科学记数法表示为：3.354×107．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，直线l ∥l ，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是（ ）
1 2
A．70° B．80° C．65° D．60°
【考点】JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质．
【分析】首先根据平行线的性质得出∠1＝∠4＝140°，进而得出∠5的度数，再利用三角形
内角和定理以及对顶角性质得出∠3的度数．
【解答】解：∵直线l ∥l ，∠1＝140°，
1 2
∴∠1＝∠4＝140°，
∴∠5＝180°﹣140°＝40°，
∵∠2＝70°，
∴∠6＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵∠3＝∠6，
故∠3的度数是70°．
故选：A．
第10页（共33页）【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠5
的度数是解题关键．
5．（3分）计算（﹣ ab2）3的结果是（ ）
A．﹣ a3b6 B．﹣ a3b5 C．﹣ a3b5 D．﹣ a3b6
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】利用积的乘方与幂的乘方的运算法则求解即可求得答案．
【解答】解：（﹣ ab2）3＝（﹣ ）3•a3（b2）3＝﹣ a3b6．
故选：D．
【点评】此题考查了积的乘方与幂的乘方．注意掌握指数的变化是解此题的关键．
6．（3分）如图，在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂红，使图中红色部分
的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P8：利用轴对称设计图案；X4：概率公式．
【分析】由白色的小正方形有12个，能构成一个轴对称图形的有2个情况，直接利用概率
公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵白色的小正方形有12个，能构成一个轴对称图形的有2个情况（第二行中第
4个，还有第四行中第3个），
∴使图中红色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是： ＝ ．
故选：A．
第11页（共33页）【点评】此题考查了概率公式的应用与轴对称．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）P（x ，y ），P（x ，y ）是正比例函数y＝﹣ x图象上的两点，下列判断中，正确的是
1 1 1 2 2 2
（ ）
A．y ＞y B．y ＜y
1 2 1 2
C．当x ＜x 时，y ＜y D．当x ＜x 时，y ＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据正比例函数图象的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小即可求解．
【解答】解：∵y＝﹣ x，k＝﹣ ＜0，
∴y随x的增大而减小．
故选：D．
【点评】本题考查正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经
过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
8．（3分）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．a+b＜0 B．﹣a＜﹣b C．1﹣2a＞1﹣2b D．|a|﹣|b|＞0
【考点】29：实数与数轴．
【分析】根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：a、b两点在数轴上的位置可知：﹣2＜a＜﹣1，b＞2，
∴a+b＞0，﹣a＜b，故A、B错误；
∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，故C正确；
∵|a|＜2，|b|＞2，
∴|a|﹣|b|＜0，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是数轴的特点，根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解
答此题的关键．
9．（3分）如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到
结束，所经过路径的长度为（ ）
第12页（共33页）A． cm B．（2+ ）cm C． cm D．3cm
π
【考点】KK：等边三角形的性质；MN：弧长的计算；R2：旋转的性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】通过观察图形，可得从开始到结束经过两次翻动，求出点B两次划过的弧长，即可
得出所经过路径的长度．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠AC（A）＝120°，
点B两次翻动划过的弧长相等，
则点B经过的路径长＝2× ＝ ．
π
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，得到点B运动的路径，
注意熟练掌握弧长的计算公式．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝4a﹣2b+c，P＝
2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据图象得到x＝﹣2时对应的函数值小于0，得到N＝4a﹣2b+c的值小于0，根据
对称轴在直线x＝﹣1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0，变
形即可对于P作出判断，根据a，b，c的符号判断得出a+b﹣c的符号．
第13页（共33页）【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴a，b同号，
∴a＜0，b＜0，
∵图象经过y轴正半轴，
∴c＞0，
∴M＝a+b﹣c＜0
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴N＝4a﹣2b+c＜0，
∵﹣ ＞﹣1，
∴ ＜1，
∵a＜0，
∴b＞2a，
∴2a﹣b＜0，
∴P＝2a﹣b＜0，
则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及a，b，c
的符号是解题关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接在
答题卡的相应位置上．）
11．（4分）计算：20130﹣2﹣1＝ ．
【考点】6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【分析】根据任何数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计
算即可得解．
【解答】解：20130﹣2﹣1，
＝1﹣ ，
＝ ．
第14页（共33页）故答案为： ．
【点评】本题考查了任何数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，
是基础题，熟记两个性质是解题的关键．
12．（4分）已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则ab的值为 2 5
．
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．
【解答】解：∵点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），
∴ ，
解得： ，
则ab的值为：（﹣5）2＝25．
故答案为：25．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13．（4分）分解因式：x3﹣x＝ x （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】44：因式分解．
【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x3﹣x，
＝x（x2﹣1），
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继
续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
14．（4分）如图，OC是 O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在 O上，∠APC＝26°，则
∠BOC＝ 5 2 ⊙ ⊙
度．
第15页（共33页）【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
【分析】由OC是 O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，根据垂径定理的即可求得： ＝ ，
又由圆周角定理，⊙即可求得答案．
【解答】解：∵OC是 O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，
∴ ＝ ， ⊙
∴∠BOC＝2∠APC＝2×26°＝52°．
故答案为：52．
【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应
用．
15．（4分）已知x＝﹣2是方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则方程的另一个根是 3 ．
【考点】AB：根与系数的关系．
【专题】11：计算题．
【分析】根据根与系数的关系得到﹣2•x ＝﹣6，然后解一次方程即可．
1
【解答】解：设方程另一个根为x ，根据题意得﹣2•x ＝﹣6，
1 1
所以x ＝3．
1
故答案为3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为
x ，x ，则x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，
若AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝ 9 cm．
【考点】KX：三角形中位线定理；LB：矩形的性质．
【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．
第16页（共33页）【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝ ＝10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，EF＝ OD＝ BD＝ AC＝ cm，AF＝ AD＝ BC＝4cm，AE
＝ AO＝ AC＝ cm，
∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝9cm．
故答案为：9．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟
练掌握三角形中位线的判定与性质．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E为BC边上的一点，以A为圆心，
AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则
AF的长为 （结果保留根号）．
【考点】MO：扇形面积的计算．
【专题】16：压轴题．
【分析】若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC和扇形ADF的面积就相等，可分别表示
出两者的面积，然后列出方程即可求出AF的长度．
【解答】解：∵图中两个阴影部分的面积相等，
∴S扇形ADF ＝S△ABC ，即： ＝ ×AC×BC，
又∵AC＝BC＝1，
∴AF2＝ ，
∴AF＝ ．
第17页（共33页）故答案为 ．
【点评】此题主要考查了扇形面积的计算方法及等腰直角三角形的性质，能够根据题意得
到△ABC和扇形ADF的面积相等，是解决此题的关键，难度一般．
18．（4分）如图，已知直线y＝ x与双曲线y＝ （k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，
﹣2），C为双曲线y＝ （k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的
坐标为 （ 2 ， 4 ）或（ 8 ， 1 ） ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】16：压轴题．
【分析】把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k值，再根据反比例函数图象的中心对
称性求出点A的坐标，然后过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐
标为（a， ），然后根据S△AOC ＝S△COF +S梯形ACFE ﹣S△AOE 列出方程求解即可得到a的值，
从而得解．
【解答】解：∵点B（﹣4，﹣2）在双曲线y＝ 上，
∴ ＝﹣2，
∴k＝8，
根据中心对称性，点A、B关于原点对称，
第18页（共33页）所以，A（4，2），
如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a， ），
若S△AOC ＝S△COF +S梯形ACFE ﹣S△AOE ，
＝ ×8+ ×（2+ ）（4﹣a）﹣ ×8，
＝4+ ﹣4，
＝ ，
∵△AOC的面积为6，
∴ ＝6，
整理得，a2+6a﹣16＝0，
解得a ＝2，a ＝﹣8（舍去），
1 2
∴ ＝ ＝4，
∴点C的坐标为（2，4）．
若S△AOC ＝S△AOE +S梯形ACFE ﹣S△COF ＝ ，
∴ ＝6，
解得：a＝8或a＝﹣2（舍去）
∴点C的坐标为（8，1）．
故答案为：（2，4）或（8，1）．
第19页（共33页）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数的几何意义，作
辅助线并表示出△ABC的面积是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共88分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接在答题卡的相
应位置上．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）解方程组 ．
【考点】98：解二元一次方程组．
【专题】11：计算题．
【分析】由第一个方程得到x＝2y+4，然后利用代入消元法其解即可．
【解答】解： ，
由 得，x＝2y+4 ，
①代入 得2（2y③+4）+y﹣3＝0，
③解得y＝②﹣1，
把y＝﹣1代入 得，x＝2×（﹣1）+4＝2，
③
所以，方程组的解是 ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，
当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
20．（8分）已知实数a满足a2+2a﹣15＝0，求 ﹣ ÷ 的值．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，
得到一个最简分式，最后把a2+2a﹣15＝0进行配方，得到一个a+1的值，再把它整体代入
即可求出答案．
【解答】解： ﹣ ÷ ＝ ﹣ • ＝ ﹣
第20页（共33页）＝ ，
∵a2+2a﹣15＝0，
∴（a+1）2＝16，
∴原式＝ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分
解，然后把除法转化成乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值．
21．（8分）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），
放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点
C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点
E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高BM＝17米，且点A，B，M在同一直线
上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.60，
cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】首先过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，设AB＝x米，则AN＝
x+（17﹣1）＝x+16（米），则在Rt△AEN中，∠AEN＝45°，可得EN＝AN＝x+16，在
Rt△BCN中，∠BCN＝37°，BM＝17，可得tan∠BCN＝ ＝0.75，则可得方程： ，
解此方程即可求得答案．
【解答】解：过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，
设AB＝x米，则AN＝x+（17﹣1）＝x+16（米），
在Rt△AEN中，∠AEN＝45°，
∴EN＝AN＝x+16，
在Rt△BCN中，∠BCN＝37°，BM＝17，
第21页（共33页）∴tan∠BCN＝ ＝0.75，
∴ ＝ ，
解得：x＝1 ≈1.3．
经检验：x＝1 是原分式方程的解．
答：宣传牌AB的高度约为1.3m．
【点评】此题考查了仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此
题的关键．
22．（10分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某校政教处对部分学生及家长就校园安全
知识的了解程度，进行了随机抽样调查，并绘制成如图所示的两幅统计图，请根据统计图
中的信息，解答下列问题：
（1）参与调查的学生及家长共有 40 0 人；
（2）在扇形统计图中，“基本了解”所对应的圆心角的度数是 13 5 度；
（3）在条形统计图中，“非常了解”所对应的家长人数是 6 2 人；
（4）若全校有1200名学生，请你估计对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了
解”的学生共有多少人？
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
第22页（共33页）【分析】（1）根据参加调查的人中，不了解的占5%，人数是16+4＝20人，据此即可求解；
（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数减去其它的情况的人数即可求解；
（4）求得调查的学生总数，则对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”所占
的比例即可求得，利用求得的比例乘以1200即可得到．
【解答】解：（1）参与调查的学生及家长总人数是：（16+4）÷5%＝400（人）；
故答案为：400；
（2）基本了解的人数是：73+77＝150（人），
则对应的圆心角的底数是：360°× ＝135°；
故答案为：135°；
（3）“非常了解”所对应的家长人数是：400﹣83﹣77﹣73﹣54﹣31﹣16﹣4＝62（人）；
故答案为：62；
（4）调查的学生的总人数是：83+77+31+4＝195（人）
对“校园安全“知识达到“非常了解“和“基本了解“的学生是83+77＝160（人），
则全校有1200名学生中，达到“非常了解“和“基本了解“的学生是：1200× ≈984
（人）．
答：达到“非常了解“和“基本了解“的学生共有984人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（10分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中
有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
（1）求口袋中黄球的个数；
第23页（共33页）（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或
“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分（每次摸后放回），乙同学
在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一
次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．
【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）首先设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得： ＝ ，解此方程即可求
得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球
的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）由若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且
共有4种等可能的结果；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝1，
经检验：x＝1是原分式方程的解；
∴口袋中黄球的个数为1个；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，
∴两次摸出都是红球的概率为： ＝ ；
（3）∵摸到红球得5分，摸到蓝球得2分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，
第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，
第24页（共33页）∴乙同学已经得了7分，
∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4
种等可能的结果；
∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点
E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM＝CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求 的值．
【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）由折叠的性质可得：∠ANM＝∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM
＝∠CMN，则可证得∠CMN＝∠CNM，继而可得CM＝CN；
（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC
＝3ND＝3HC，然后设DN＝x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，
∴∠ANM＝∠CNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN；
第25页（共33页）（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，
则四边形NHCD是矩形，
∴HC＝DN，NH＝DC，
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴ ＝ ＝ ＝3，
∴MC＝3ND＝3HC，
∴MH＝2HC，
设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，
∴CM＝3x＝CN，
在Rt△CDN中，DC＝ ＝2 x，
∴HN＝2 x，
在Rt△MNH中，MN＝ ＝2 x，
∴ ＝ ＝2 ．
【点评】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中，
注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
25．（10分）2013年4月20日，四川雅安发生7.0级地震，给雅安人民的生命财产带来巨大损
失．某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆，把粮食266吨、副食品169吨全部运到
灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食
16吨、副食11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付燃油费1500元；乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中
的哪种方案，才能使所付的费用最少？最少费用是多少元？
第26页（共33页）【考点】CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．
【分析】（1）设租用甲种货车x辆，表示出租用乙种货车为（16﹣x）辆，然后根据装运的粮
食和副食品数不少于所需要运送的吨数列出一元一次不等式组，求解后再根据x是正整
数设计租车方案；
（2）方法一：根据所付的费用等于两种车辆的燃油费之和列式整理，再根据一次函数的增
减性求出费用的最小值；
方法二：分别求出三种方案的燃油费用，比较即可得解．
【解答】解：（1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，
根据题意得， ，
由 得，x≥5，
由①得，x≤7，
∴②，5≤x≤7，
∵x为正整数，
∴x＝5或6或7，
因此，有3种租车方案：
方案一：租甲种货车5辆，乙种货车11辆；
方案二：租甲种货车6辆，乙种货车10辆；
方案三：租甲种货车7辆，乙种货车9辆；
（2）方法一：由（1）知，租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，设两种货车燃油总
费用为y元，
由题意得，y＝1500x+1200（16﹣x），
＝300x+19200，
∵300＞0，
∴y随x值增大而增大，当x＝5时，y有最小值，
∴y最小 ＝300×5+19200＝20700元；
方法二：
当x＝5时，16﹣5＝11，
5×1500+11×1200＝20700元；
第27页（共33页）当x＝6时，16﹣6＝10，
6×1500+10×1200＝21000元；
当x＝7时，16﹣7＝9，
7×1500+9×1200＝21300元；
答：选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是20700元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，找出题中
不等量关系，列出不等式组是解题的关键．
26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．动点M，N从点C同时出
发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每
秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为（t 单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若
不存在，请说明理由．
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据勾股定理求得AB＝5cm．
（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成
比例来求t的值；
（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以
t表示的PH的值；然后根据“S＝S△ABC ﹣S△BPH ”列出S与t的关系式S＝ （t﹣ ）2+
（0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．
【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．
∴根据勾股定理，得 ＝5cm．
第28页（共33页）（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
当△AMP∽△ABC时， ＝ ，即 ＝ ，
①
解得t＝ ；
当△APM∽△ABC时， ＝ ，即 ＝ ，
②
解得t＝0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t＝ 时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴PH＝ t，
∴S＝S△ABC ﹣S△BPN ，
＝ ×3×4﹣ ×（3﹣t）• t，
＝ （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5）．
∵ ＞0，
∴S有最小值．
当t＝ 时，S最小值 ＝ ．
答：当t＝ 时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是 ．
第29页（共33页）【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值
的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似
三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．
27．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣ ），且与y轴交于点
C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求
AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径的 M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．
⊙
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交
点坐标的横坐标；
（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值；
（3）连接 ME，根据 CE 是 M 的切线得到 ME⊥CE，∠CEM＝90°，从而证得
△COD≌△MED，设OD＝x，在⊙RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的
坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可．
第30页（共33页）【解答】解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2﹣ （a≠0）
∵抛物线经过（0，2）
∴a（0﹣4）2﹣ ＝2
解得：a＝
∴y＝ （x﹣4）2﹣
即：y＝ x2﹣ x+2
当y＝0时， x2﹣ x+2＝0
解得：x＝2或x＝6
∴A（2，0），B（6，0）；
（2）存在，
如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x＝4，
因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP＝BP，所以AP+CP＝BC的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB＝6，OC＝2
∴BC＝2 ，
∴AP+CP＝BC＝2
∴AP+CP的最小值为2 ；
（3）如图3，连接ME
∵CE是 M的切线
∴ME⊥C⊙E，∠CEM＝90°
∵C的坐标（0，2），
∴OC＝2，
∵AB＝4，
∴ME＝2
第31页（共33页）∴OC＝ME＝2，
∵∠ODC＝∠MDE，
∵在△COD与△MED中
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD＝DE，DC＝DM
设OD＝x
则CD＝DM＝OM﹣OD＝4﹣x
则Rt△COD中，OD2+OC2＝CD2，
∴x2+22＝（4﹣x）2
∴x＝
∴D（ ，0）
设直线CE的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线CE过C（0，2），D（ ，0）两点，
则 解得：
∴直线CE的解析式为y＝﹣ +2；
第32页（共33页）【点评】本题考查了二次函数的综合知识，特别是用顶点式求二次函数的解析式，更是中
考中的常考内容，本题难度偏大．
第33页（共33页）
