文档内容
2015年贵州省遵义市中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在0，﹣2，5， ，﹣0.3中，负数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）观察下列图形，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）据有关资料显示，2014年通过国家科技支撑计划，遵义市获得国家级科技专项重点
项目资金5533万元，将5533万用科学记数法可表示为（ ）
A．5.533×108 B．5.533×107 C．5.533×106 D．55.33×106
4．（3分）如图，直线l ∥l ，∠1＝62°，则∠2的度数为（ ）
1 2
A．152° B．118° C．28° D．62°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a﹣a＝3 B．2（2a﹣b）＝4a﹣b
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
6．（3分）下列几何体的主视图与其他三个不同的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）若x＝3是分式方程 ﹣ ＝0的根，则a的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
第1页（共31页）8．（3分）不等式3x﹣1＞x+1的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知点A（﹣2，y ），B（3，y ）是反比例函数y＝ （k＜0）图象上的两点，则有（ ）
1 2
A．y ＜0＜y B．y ＜0＜y C．y ＜y ＜0 D．y ＜y ＜0
1 2 2 1 1 2 2 1
10．（3分）如果一组数据x ，x ，…，x 的方差是4，则另一组数据x +3，x +3，…，x +3的方差
1 2 n 1 2 n
是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．19
11．（3分）如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，
当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
12．（3分）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB C D ，B C 交CD于
1 1 1 1 1
点E，AB＝ ，则四边形AB ED的内切圆半径为（ ）
1
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）使二次根式 有意义的x的取值范围是 ．
14．（4分）如果单项式﹣xyb+1与 xa﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2015＝ ．
15．（4分）2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，
第2页（共31页）经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x，可列
方程为 ．
16．（4分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵
爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记
图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ．若正方形EFGH
1 2 3
的边长为2，则S +S +S ＝ ．
1 2 3
17．（4分）按一定规律排列的一列数依次为： ， ， ， ，…，按此规律，这列数中的第10
个数与第16个数的积是 ．
18．（4分）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为 的中点，D、E分别是
OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为 cm2．
三、解答题(本题共9小题，共90分)
19．（6分）计算：（3.14﹣ ）0﹣ ﹣|﹣3|+4sin60°．
π
20．（8分）先化简，再求值： ，其中a＝2．
第3页（共31页）21．（8分）如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平
台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝
31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1
米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
22．（10分）有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、
9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着
5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡
片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．
（1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；
（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．
第4页（共31页）23．（10分）遵义市某中学为了搞好“创建全国文明城市”的宣传活动，对本校部分学生（随
机抽查）进行了一次相关知识了解程度的调查测试（成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表
示测试成绩）．通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据
图中提供的信息解答以下问题：
（1）参加调查测试的学生为 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）本次调查测试成绩中的中位数落在 组内；
（4）若测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，该中学共有学生2600人，请你根据样本数据
估计全校学生测试成绩为优秀的总人数．
24．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作
第5页（共31页）AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
25．（12分）某工厂生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y（万
元）与产量x（吨）之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x（吨） 10 20 30
y（万元/吨） 45 40 35
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，求该产品的总产量；（注：总成本＝每吨成
本×总产量）
（3）市场调查发现，这种产品每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间满足如图所示的
函数关系，该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨．请求出该厂第一个月销售
这种产品获得的利润．（注：利润＝售价﹣成本）
26．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作 O，交BC于点D，交CA的延长线于
⊙
第6页（共31页）点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求 O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的⊙长．
27．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点
C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积
最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；
（3）以AB为直径作 M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与 M相切，求该直线的解析式．
⊙ ⊙
第7页（共31页）2015 年贵州省遵义市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在0，﹣2，5， ，﹣0.3中，负数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】11：正数和负数．
【分析】根据小于0的是负数即可求解．
【解答】解：在0，﹣2，5， ，﹣0.3中，﹣2，﹣0.3是负数，共有两个负数，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正数和负数，熟记概念是解题的关键．注意0既不是正数也不是负数．
2．（3分）观察下列图形，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称
轴折叠后可重合．
3．（3分）据有关资料显示，2014年通过国家科技支撑计划，遵义市获得国家级科技专项重点
项目资金5533万元，将5533万用科学记数法可表示为（ ）
A．5.533×108 B．5.533×107 C．5.533×106 D．55.33×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
第8页（共31页）绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵5533万＝55330000，
∴用科学记数法表示为：5.533×107，
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，直线l ∥l ，∠1＝62°，则∠2的度数为（ ）
1 2
A．152° B．118° C．28° D．62°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠1的同位角，再根据对顶角相等求解．
【解答】解：∵如图，l ∥l ，∠1＝62°，
1 2
∴∠3＝∠1＝62°，
∴∠2＝∠3＝62°（对顶角相等），
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a﹣a＝3 B．2（2a﹣b）＝4a﹣b
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
【考点】35：合并同类项；36：去括号与添括号；4C：完全平方公式；4F：平方差公式．
【分析】根据合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，进行解答．
【解答】解：A、4a﹣a＝3a，故本选项错误；
B、应为2（2a﹣b）＝4a﹣2b，故本选项错误；
第9页（共31页）C、应为（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；
D、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，正确．
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，熟记
公式结构是解题的关键．
6．（3分）下列几何体的主视图与其他三个不同的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【解答】解：A、从正面看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；
B、从正面看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；
C、从正面看第一层三个小正方形，第二层右边一个小正方形、中间一个小正方形；
D、从正面看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
7．（3分）若x＝3是分式方程 ﹣ ＝0的根，则a的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【考点】B2：分式方程的解．
【分析】首先根据题意，把x＝3代入分式方程 ﹣ ＝0，然后根据一元一次方程的解法，
求出a的值是多少即可．
【解答】解：∵x＝3是分式方程 ﹣ ＝0的根，
∴ ，
第10页（共31页）∴ ，
∴a﹣2＝3，
∴a＝5，
即a的值是5．
故选：A．
【点评】（1）此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方
程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产
生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
（2）此题还考查了一元一次方程的求解方法，要熟练掌握．
8．（3分）不等式3x﹣1＞x+1的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式．
【分析】首先根据解一元一次不等式的方法，求出不等式3x﹣1＞x+1的解集，然后根据在数
轴上表示不等式的解集的方法，把不等式3x﹣1＞x+1的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：由3x﹣1＞x+1，
可得2x＞2，
解得x＞1，
所以一元一次不等式3x﹣1＞x+1的解在数轴上表示为：
故选：C．
【点评】（1）此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集的方法，要熟练掌握，解答此题的关
键是要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要
注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定
方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
（2）此题还考查了解一元一次不等式的方法，要熟练掌握，基本操作方法与解一元一次方程
基本相同，都有如下步骤： 去分母； 去括号； 移项； 合并同类项； 化系数为1．
① ② ③ ④ ⑤
第11页（共31页）9．（3分）已知点A（﹣2，y ），B（3，y ）是反比例函数y＝ （k＜0）图象上的两点，则有（ ）
1 2
A．y ＜0＜y B．y ＜0＜y C．y ＜y ＜0 D．y ＜y ＜0
1 2 2 1 1 2 2 1
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的
坐标特点解答．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （k＜0）中，k＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣2＜0，
∴点A（﹣2，y ）在第二象限，
1
∴y ＞0，
1
∵3＞0，
∴B（3，y ）点在第四象限，
2
∴y ＜0，
2
∴y ，y 的大小关系为y ＜0＜y ．
1 2 2 1
故选：B．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐
标特点，比较简单．
10．（3分）如果一组数据x ，x ，…，x 的方差是4，则另一组数据x +3，x +3，…，x +3的方差
1 2 n 1 2 n
是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．19
【考点】W7：方差．
【分析】根据题意得：数据x ，x ，…，x 的平均数设为a，则数据x +3，x +3，…，x +3的平均数
1 2 n 1 2 n
为a+3，再根据方差公式进行计算：S2＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…（x ﹣ ）2]即可得到答
1 2 n
案．
【解答】解：根据题意得：数据x ，x ，…，x 的平均数设为a，则数据x +3，x +3，…，x +3的平
1 2 n 1 2 n
均数为a+3，
根据方差公式：S2＝ [（x ﹣a）2+（x ﹣a）2+…（x ﹣a）2]＝4．
1 2 n
第12页（共31页）则S2＝ {[（x +3）﹣（a+3）]2+[（x +3）﹣（a+3）]2+…（x +3）﹣（a+3）]}2
1 2 n
＝ [（x ﹣a）2+（x ﹣a）2+…（x ﹣a）2]
1 2 n
＝4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方
差公式进行计算即可．
11．（3分）如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，
当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题．
【专题】16：压轴题．
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A
关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，进而得出
∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则
A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝50°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
第13页（共31页）∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形
的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
12．（3分）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB C D ，B C 交CD于
1 1 1 1 1
点E，AB＝ ，则四边形AB ED的内切圆半径为（ ）
1
A． B． C． D．
【考点】LE：正方形的性质；MI：三角形的内切圆与内心；R2：旋转的性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】作∠DAF与∠AB G的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OF⊥AB ，
1 1
AB＝ ，再根据直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形内切圆的圆心．
【解答】解：作∠DAF与∠AB G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB ，
1 1
则∠OAF＝30°，∠AB O＝45°，
1
故B F＝OF＝ OA，
1
设B F＝x，则AF＝ ﹣x，AO＝2x，
1
在Rt△AOF中，∵AF2+OF2＝OA2，
故（ ﹣x）2+x2＝（2x）2，
解得x＝ 或x＝ （舍去），
∴四边形AB ED的内切圆半径为： ．
1
故选：B．
第14页（共31页）【点评】本题考查了旋转的性质三角形的内切圆，正方形的性质，要熟练掌握正方形的性质及
直角三角形的性质，是解答此题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）使二次根式 有意义的x的取值范围是 x ≥ ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：5x﹣2≥0，
解得x≥ ．
故答案为：x≥ ．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
14．（4分）如果单项式﹣xyb+1与 xa﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2015＝ 1 ．
【考点】34：同类项．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得：a﹣2＝1，b+1＝3，解
方程即可求得a、b的值，再代入（a﹣b）2015即可求解．
【解答】解：由同类项的定义可知
a﹣2＝1，解得a＝3，
b+1＝3，解得b＝2，
所以（a﹣b）2015＝1．
故答案为：1．
【点评】考查了同类项，要求代数式的值，首先要求出代数式中的字母的值，然后代入求解即
可．
15．（4分）2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，
第15页（共31页）经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x，可列
方程为 158 5 （ 1+ x ） 2 ＝ 218 0 ．
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】123：增长率问题．
【分析】本题是增长率的问题，是从1585亿元增加到2180亿元，根据增长后的生产总值＝增
长前的生产总值×（1+增长率），即可得到2015年的生产总值是500（1+x）2万元，即可列方
程求解．
【解答】解：依题意得在2013年的1585亿的基础上，
2014年是1585（1+x），
2015年是1585（1+x）2，
则1585（1+x）2＝2180．
故答案为：1585（1+x）2＝2180．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解与变化率有关的实际问题时：（1）主要变化
率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；（2）可直接套公式：原有量×
（1+增长率）n＝现有量，n表示增长的次数．
16．（4分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵
爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记
图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ．若正方形EFGH
1 2 3
的边长为2，则S +S +S ＝ 1 2 ．
1 2 3
【考点】KR：勾股定理的证明．
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG＝KG，
CF＝DG＝KF，再根据S ＝（CG+DG）2，S ＝GF2，S ＝（KF﹣NF）2，S +S +S ＝12得出
1 2 3 1 2 3
3GF2＝12．
【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG＝KG，CF＝DG＝KF，
第16页（共31页）∴S ＝（CG+DG）2
1
＝CG2+DG2+2CG•DG
＝GF2+2CG•DG，
S ＝GF2，
2
S ＝（KF﹣NF）2＝KF2+NF2﹣2KF•NF，
3
∴S +S +S ＝GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF＝3GF2＝12，
1 2 3
故答案是：12．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的
性质，根据已知得出S +S +S ＝3GF2＝12是解题的难点．
1 2 3
17．（4分）按一定规律排列的一列数依次为： ， ， ， ，…，按此规律，这列数中的第10
个数与第16个数的积是 ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】首先根据 ， ＝ ，可得当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、
14、…，分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，据此求出这列数中的第10个数与
第16个数各是多少；然后求出它们的积是多少即可．
【解答】方法一：
解：∵ ， ＝ ，
∴这列数依次为： ， ， ， ，…，
∴当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，
∵8﹣5＝11﹣8＝14﹣11＝3，
∴分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，
∴这列数中的第10个数与第16个数的积是：
＝
＝ ．
第17页（共31页）故答案为： ．
方法二：
将 ， ， ， 化成分子相同的形式 ， ， ， ，
经观察，此数列分母为一阶等差，
∴设s＝kn+b，
，
∴k＝3，b＝2，
∴s＝3n+2，
∴s ＝ ，s ＝ ，
10 16
∴s ×s ＝ ．
10 16
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答
此题的关键是判断出：当这列数的分子都化成4时，分母构成以5为首项，以3为公差的
等差数列．
18．（4分）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为 的中点，D、E分别是
OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为 （ + ﹣ ） cm2．
π
【考点】MO：扇形面积的计算．
【专题】16：压轴题．
【分析】连结OC，过C点作CF⊥OA于F，先根据空白图形ACD的面积＝扇形OAC的面积
﹣三角形OCD的面积，求得空白图形ACD的面积，再根据三角形面积公式得到三角形
ODE的面积，再根据图中阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣
三角形ODE的面积，列式计算即可求解．
第18页（共31页）【解答】解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F，
∵半径OA＝2cm，C为 的中点，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD＝OE＝1cm，OC＝2cm，∠AOC＝45°，
∴CF＝ ，
∴空白图形ACD的面积＝扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积
＝ ﹣ ×
＝ ﹣ （cm2）
π
三角形ODE的面积＝ OD×OE＝ （cm2），
∴图中阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积
＝ ﹣（ ﹣ ）﹣
π
＝ + ﹣ （cm2）．
π
故图中阴影部分的面积为（ + ﹣ ）cm2．
π
故答案为：（ + ﹣ ）．
π
【点评】考查了扇形面积的计算，本题难点是得到空白图形ACD的面积，关键是理解图中阴
影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积．
三、解答题(本题共9小题，共90分)
19．（6分）计算：（3.14﹣ ）0﹣ ﹣|﹣3|+4sin60°．
【考点】2C：实数的运算；6πE：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及零指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个
考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（3.14﹣ ）0﹣ ﹣|﹣3|+4sin60°
＝1﹣2 ﹣3+2 π
第19页（共31页）＝﹣2．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关
键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式化简、绝对值等考点的运算．
20．（8分）先化简，再求值： ，其中a＝2．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】首先根据分式的混合运算法则化简此分式，然后将a＝2代入求值即可求得答案．
【解答】解：
＝ × ﹣
＝ ﹣
＝ ，
当a＝2时，原式＝ ＝4．
【点评】此题考查了分式的化简求值问题．注意解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值
计算．
21．（8分）如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平
台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝
31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1
米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】设BM＝x米．由等腰直角三角形的性质知，CF＝DF＝x，得EN＝FB＝BC﹣CF＝4﹣
x，AN＝AB﹣DF﹣ED＝5﹣x，则在直角三角形ANE中，有EN＝AN•tan31°，建立方程求得
x的值．
第20页（共31页）【解答】解：设BM＝x米．
∵∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，
∴CF＝DF＝x米，
∴BF＝BC﹣CF＝（4﹣x）米．
∴EN＝DM＝BF＝（4﹣x）米．
∵AB＝6米，DE＝1米，BM＝DF＝x米，
∴AN＝AB﹣MN﹣BM＝（5﹣x）米．
在△AEN中，∠ANE＝90°，∠EAN＝31°，
∴EN＝AN•tan31°．
即4﹣x＝（5﹣x）×0.6，
∴x＝2.5，
答：DM和BC的水平距离BM的长度为2.5米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，本题通过设适当的参数，利用直角三角形的边
角关系建立方程而求解是解题关键．
22．（10分）有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、
9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着
5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡
片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．
（1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；
（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．
【考点】KS：勾股定理的逆定理；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这三条线段
能组成三角形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先由树状图求得这三条线段能组成直角三角形的情况，然后直接利用概率公式求解即
可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7种情况，
第21页（共31页）∴这三条线段能组成三角形的概率为： ；
（2）∵这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm；
∴这三条线段能组成直角三角形的概率为： ．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
23．（10分）遵义市某中学为了搞好“创建全国文明城市”的宣传活动，对本校部分学生（随
机抽查）进行了一次相关知识了解程度的调查测试（成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表
示测试成绩）．通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据
图中提供的信息解答以下问题：
（1）参加调查测试的学生为 40 0 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）本次调查测试成绩中的中位数落在 C 组内；
（4）若测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，该中学共有学生2600人，请你根据样本数据
估计全校学生测试成绩为优秀的总人数．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W4：中位数．
【分析】（1）根据A类人数是40，所占的百分比是10%，据此即可求得总人数；
（2）根据百分比的定义求得B和E类的人数，从而完成条形统计图；
（3）利用中位数的定义，就是大小处于中间位置的数即可作判断．
（4）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）参加调查测试的学生总数是：40÷10%＝400（人），故答案是：400；
（2）B组的人数是：400×35%＝140（人），
第22页（共31页）则E组的人数是：400﹣40﹣140﹣120﹣80＝20（人）．
；
（3）中位数落在C组．
故答案是：C；
（4）全校学生测试成绩为优秀的总人数是：2600×（10%+35%）＝1170（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统
计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作
AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KP：直角三角形斜边上的中线；KX：三角形中位线定
理；LA：菱形的判定与性质．
【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用 中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平
行且相①等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于
斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论；
（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可
第23页（共31页）求出结论．
【解答】（1）证明： ∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE， ①
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝ BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF＝ AC▪DF＝ ×4×5＝10．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形
第24页（共31页）的面积计算，主要考查学生的推理能力．
25．（12分）某工厂生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y（万
元）与产量x（吨）之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x（吨） 10 20 30
y（万元/吨） 45 40 35
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，求该产品的总产量；（注：总成本＝每吨成
本×总产量）
（3）市场调查发现，这种产品每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间满足如图所示的
函数关系，该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨．请求出该厂第一个月销售
这种产品获得的利润．（注：利润＝售价﹣成本）
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不
超过55吨时，得出x的取值范围；
（2）根据总成本＝每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可．
（3）先利用待定系数法求出每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间的函数关系式，再
分别求出对应的销售单价、成本，根据利润＝售价﹣成本，即可解答．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
将（10，45）（20，40）代入解析式得：
，
解得：
∴y＝﹣0.5x+50，（10≤x≤55）．
（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，
即x（﹣0.5x+50）＝1200，
解得：x ＝40，x ＝60，
1 2
∵10≤x≤55，
第25页（共31页）∴x＝40，
∴该产品的总产量为40吨．
（3）设每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间的函数关系式为m＝k n+b ，
1 1
把（40，30），（55，15）代入解析式得：
解得： ，
∴m＝﹣n+70，
当m＝25时，n＝45，
在y＝﹣0.5x+50，（10≤x≤55）中，当x＝25时，y＝37.5，
∴利润为：25×（45﹣37.5）＝187.5（万元）．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据总成本＝每吨的成本×生产数量得出等式方程
求出是解题关键．
26．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作 O，交BC于点D，交CA的延长线于
点E，连接AD、DE． ⊙
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求 O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的⊙长．
【考点】KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（2）先求得∠E＝∠C，根据等角对等边求得BD＝DC＝DE＝3，进而求得AD＝1，然后根据勾
股定理求得AB，即可求得圆的半径；
（3）根据题意得到AC＝ ，BC＝6，DC＝3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得
AE．
【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，
第26页（共31页）∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：∵AB＝AC，
∠B＝∠C，
∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C，
∴BD＝DC＝DE＝3，
∵BD﹣AD＝2，
∴AD＝1，
在RT△ABD中，AB＝ ＝ ，
∴ O的半径为 ；
⊙
（3）解：∵AB＝AC＝ ，BD＝DC＝3，
∴BC＝6，
∵∠B＝∠E，∠C＝∠C，
∴△EDC∽△BAC，
∵AC•EC＝DC•BC，
∴ •EC＝3×6，
∴EC＝ ，
∴AE＝EC﹣AC＝ ﹣ ＝ ．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的
应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
27．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点
C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积
最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；
（3）以AB为直径作 M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与 M相切，求该直线的解析式．
⊙ ⊙
第27页（共31页）【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；H7：二次函数的最值；H8：待定系数法求二次函
数解析式；HF：二次函数综合题；KQ：勾股定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定
与性质．
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）只需运用待定系数法就可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，如图2，可用待定系数法求出直线AC的解析
式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然
后用割补法得到△ADC的面积是关于m的二次函数，运用二次函数的最值性就可解决问
题；
（3）设过点E的直线与 M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图3，根据切线的性质
可得MF⊥EN．易得⊙M的坐标、ME、MF、EF的长，易证△MEF∽△NEM，根据相似三角形
的性质可求出MN，从而得到点N的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，
由题可得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+2；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，如图2．
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
第28页（共31页）则有 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝ x+2．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH＝﹣ m2﹣ m+2，GH＝ m+2，
∴DG＝﹣ m2﹣ m+2﹣ m﹣2＝﹣ m2﹣m，
∴S△ADC ＝S△ADG +S△CDG
＝ DG•AH+ DG•OH＝ DG•AO＝2DG
＝﹣ m2﹣2m＝﹣ （m2+4m）
＝﹣ （m2+4m+4﹣4）
＝﹣ [（m+2）2﹣4]
＝﹣ （m+2）2+2．
∴当m＝﹣2时，S△ADC 取到最大值2．
此时y ＝﹣ ×（﹣2）2﹣ ×（﹣2）+2＝2，
D
即点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）设过点E的直线与 M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图3，
则有MF⊥EN． ⊙
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB＝6，MF＝MB＝MA＝3，
∴点M的坐标为（﹣4+3，0）即M（﹣1，0）．
∵E（﹣1，﹣5），∴ME＝5，∠EMN＝90°．
第29页（共31页）在Rt△MFE中，EF＝ ＝ ＝4．
∵∠MEF＝∠NEM，∠MFE＝∠EMN＝90°，
∴△MEF∽△NEM，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴NM＝ ，
∴点N的坐标为（﹣1+ ，0）即（ ，0）或（﹣1﹣ ，0）即（﹣ ，0）．
设直线EN的解析式为y＝px+q．
当点N的坐标为（ ，0）时，
①
，
解得： ，
∴直线EN的解析式为y＝ x﹣ ．
当点N的坐标为（﹣ ，0）时，
②
同理可得：直线EN的解析式为y＝﹣ x﹣ ．
综上所述：所求直线的解析式为y＝ x﹣ 或y＝﹣ x﹣ ．
第30页（共31页）【点评】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、运用割补法求面
积，二次函数的最值性、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，当直接
求一个图形面积比较困难时，通常可考虑采用割补法，另外，过圆外一点作圆的切线有两
条，不能遗漏．
第31页（共31页）
