文档内容
第 02 讲 二次函数 的图像和性质
1. 会用描点法画出二次函数 （a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、
对称轴、顶点坐标及开口方向等概念。；
2. 掌握二次函数 （a≠0）的图像和性质，并解决简单的应用；
知识点 1 y=ax²的图像画法：
（1）应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0
为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，
并注意变化趋势。
【问题1】在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象并简单描述其性质。
【解答】解：（1）列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
（2）描点、连线：
．
二次函数y＝x2 的性质：（1）y＝-x2 图像是一条抛物线（2）关于y轴对
称（3）开口向上（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，
当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.
【问题2】在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2函数的图象．【解答】解：列表得：
﹣2 ﹣1 0 1 2
﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4
y＝﹣x2
描点、连线可得图象为：
．
二次函数y＝-x2 的性质：（1）y＝-x2图像是一条抛物线（2）关于y轴对
称（3）开口向下（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，
当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.
总结： y=ax²的图像的性质
小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 来说， 越大，抛物线的开口越小
y = ax²
知识点2：二次函数y=ax²的图像及性质的应用
二次函数y=ax²的图像关于y轴对称，因此图像左右两部分折叠可以重合，在比较二次函数大小时，我们可以根据图中点具有的对称性转变到同一变化区
域；根据图像中函数值高低去比较；对于不规则的图形面积，采用等面积割补
法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解。
【题型1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】
【典例1】抛物线 y=3x2 的对称轴是（ ）
A．直线 x=3 B．直线 x=−3 C．直线 x=0 D．直线 y=0
【答案】C
b
【解答】解：对称轴为直线： x=− ，
2a
其中， a=3 ， b=0 ，
∴x=0 ，
故答案为：C．
【变式1-1】（2022九上·定南期中）抛物线y=2x2的图象的对称轴是 ．
【答案】y轴
b
【解析】解：∵二次函数y=2x2的对称轴为直线x=− ，a=2，b=0，
2a
∴x=0，即二次函数的对称轴为y轴．
故答案为：y轴
【变式1-2】抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是 ；对称轴是
【答案】（0，0）；y轴或x=0
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0，0）；对称轴是y轴或x=0
【题型2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】
【典例2】抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴
【答案】B
【解答】解：抛物线 y=2x2 的开口向上，对称轴为 y 轴，有最低点；
抛物线 y=−2x2 开口向下，对称轴为 y 轴，有最高点；
故抛物线 y=2x2 与 y=−2x2 相同的性质是对称轴都是 y 轴.故答案为：B.
【变式2-1】（2022九上·青秀月考）二次函数y=−x2的图象开口（ ）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=−x2，a=−1<0
∴二次函数y=−x2的图象开口向下
故答案为：A
【变式2-2】（2022九上·瑞安期中）已知抛物线y=ax2（a≠0）的开口向下，
则a的值可能为（ ）
1
A．-2 B． C．1 D．❑√2
4
【答案】A
【解析】解：抛物线y=ax2（a≠0）的开口向下，
∴a＜0，
故只有A选项符合题意.
故答案为：A
.【典例3】（2021秋•武冈市期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么
a ，a ，a ，a 的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
1 2 3 4
【答案】a ＞ a ＞ a ＞ a
1 2 3 4
【解答】解：如图所示：①y＝a x2的开口小于②y＝a x2的开口，则a ＞a
1 2 1 2
＞0，
③y＝a x2的开口大于④y＝a x2的开口，开口向下，则a ＜a ＜0，
3 4 4 3
故a ＞a ＞a ＞a ．
1 2 3 4
故答案为：a ＞a ＞a ＞a
1 2 3 4
【变式3-1】（2022九上·上思月考）在同一个平面直角坐标系中，二次函数y =a x2，y =a x2，y =a x2的图象如图2所示，则a ，a ，a 的大小关系为
1 1 2 2 3 3 1 2 3
．
【答案】a ＞a ＞a
3 2 1
【解析】解：由函数图象可知：a ＞a ＞a
3 2 1.
故答案为：a ＞a ＞a
3 2 1
【变式3-2】（秋•建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么 a
1
a （填“＞”、“＝”或“＜”）．
2
【答案】＞
【解答】解：如图所示 y＝a x2的开口大于y＝a x2的开口，开口向下，则 a
1 2 2
＜a ＜0，
1
故答案为：＞．
【变式3-3】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y
＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 ．
【答案】 a ＞ b ＞ d ＞ c
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
【题型3 二次函数y=ax²图像性质】
【典例4】关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为（0，3）
C．对称轴为y轴 D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大
【答案】C
【解答】解：∵y＝3x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0），
∴A、B都不符合题意，C符合题意，
∵a＝3＞0，对称轴为x＝0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴D不符合题意，
故答案为：C．
【变式4-1】（2021九上·肥东期末）二次函数y=x2的图象经过的象限是
（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解析]解：∵y=x2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），
∴抛物线经过第一，二象限．
故答案为：A
【变式4-2】（2022九上·河西期中）在抛物线y=x2上的点为（ ）
A．（1，0） B．（2，2） C．（-1，1） D．（0，
1）
【答案】C
【解析】解：A. 0≠1，故A选项不符合题意；
B. 2≠4，故B选项不符合题意；
C. 1=1，故C选项不符合题意；D. 1≠0，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【变式4-3】（2022九上·萧山期中）对于y=−x2下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线x=0
C．顶点为(0，0) D．y随x增大而减小
【答案】D
【解析】解：y=−x2中a=−1<0，开口向下，A正确，不符合题意；
对称轴为直线x=0，B正确，不符合题意；
顶点为(0，0)，C正确，不符合题意；
当x<0时y随着x的增大而增大，D错误，符合题意，
故答案为：D.
【题型4 二次函数y=ax²平移规律】
【典例5】（2022秋•津南区期末）抛物线y＝（x﹣2）2是由抛物线y＝x2平移
得到的，下列平移正确的是（ ）
A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度
【答案】D
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2平移得到抛物线y＝x2，则这个平移过程
正确的是向右平移了2个单位，
故选：D．
【变式5-1】（2022九上·密云期末）将抛物线y=x2向右平移一个单位，得到的
新抛物线的表达式是（ ）
A．y=(x+1) 2 B．y=(x−1) 2 C．y=x2+1 D．y=x2−1
【答案】B
【解析】解：抛物线y=x2向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是
y=(x−1) 2，
故答案为：B．
【变式5-2】（2022九上·门头沟期末）如果将抛物线y=x2向上平移3个单位长
度，得到新的抛物线的表达式是（ ）A．y=(x+3) 2 B．y=(x−3) 2 C．y=x2+3 D．y=x2−3
【答案】C
【解析】解：抛物线y=x2向上平移3个单位长度可得y=x2+3，
故答案为：C
【变式5-3】（2023九上·南宁期末）抛物线y=x2向下平移一个单位得到抛物线
（ ）
A．y=(x+1) 2 B．y=(x−1) 2 C．y=x2+1 D．y=x2−1
【答案】D
【解析】解：抛物线y=x2向下平移一个单位得到抛物线解析式为：y=x2−1.
故答案为：D.
【题型5 二次函数y=ax²中y值大小比较问题】
【典例6】（2022九上·普陀期中）已知点A(x ，y )，B(x ，y )在抛物线
1 1 2 2
y=−x2上，如果x 0 时，二次函数开口向上，一次函数经过
一、三、四象限，当 a<0 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四
象限，排除 C ；
故答案为： D ．
【题型7 二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】
【典例8】（2020•兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位
AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时 0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持
续多少小时才能到达拱桥顶？【答案】（1） （2）5小时
【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），
由CD＝10m，可设D（5，b），
由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，
则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得 ．
∴y＝ ；
（2）∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1m，
∴ ＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
【变式8-1】（2022九上·中山期中）如图，正方形的边长为4，以正方形中心
1 1
为原点建立平面直角坐标系，作出函数y= x2 与y=− x2 的图象，则阴影部分
3 3
的面积是 ．【答案】8
1 1
【解析】解：∵函数y= x2 与y=− x2 的图象关于x轴对称，
3 3
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
∵正方形的边长为4，
1 1
∴S = S = ×42=8．
阴影部分 2 正方形 2
故答案为：8．
【变式8-2】（2020九上·临江期末）如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点，且
AB//x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB＝2 ❑√2 ，
则图中阴影部分的面积为
【答案】π
【解析】解：∵AB=2 ❑√2 ，
1 1
∴BC= AB= ×2 ❑√2 = ❑√2 ，
2 2
∴点B的横坐标为 ❑√2 ，
代入抛物线解析式得，y=（ ❑√2 ）2=2，
∴OC=2，即圆的半径为2，
1 1
由图可知，阴影部分的面积等于圆的面积的 ，即为 ×π×22=π．
4 4
故答案为：π．1．（2023•宾阳县一模）抛物线y＝x2向上平移2个单位，所得抛物线的解析式
是（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
【答案】A
【解答】解：∵抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴向上平移2个单位后的抛物线顶点坐标为（0，2），
∴新抛物线解析式为y＝x2+2．
故选：A．
2．（2022•黑龙江）若二次函数 y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象
必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
3．（2023•延安一模）如图是四个二次函数的图象，则 a、b、c、d的大小关系
为（ ）
A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a
【答案】B
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），
所以，a＞b＞c＞d．
故选：B．
4．（2023•增城区一模）已知 A（0，y ），B（3，y ）为抛物线y＝（x﹣2）2
1 2
上的两点，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＝y C．y ＜y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：将A（0，y ），B（3，y ）代入y＝（x﹣2）2，
1 2
得： ， ，
∴y ＞y ．
1 2
故选：A．
1．若二次函数y＝ax2的图象经过点( 1，－2 )，则它也经过（ ）
A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1)
【答案】A
【解答】解：∵图象经过点（1，-2），
∴a=-2，
∴y=-2x2，
AB、当x=-1时，y=-2×（-1）2=-2，∴A正确，B错误；
C、当x=1时，y=-2×12=-2，错误；
D、当x=2时，y=-2×22=-4，错误.故答案为：A.
2．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0
【答案】D
【解答】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-
2），故选项A不合题意；
二次函数y=2x2的图象的对称轴是y轴，故选项B不合题意；
该函数开口向上，对称轴是y轴，所以当x＜0时，y随x的增大而减小，故选
项C不合题意；
二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，
y有最小值为0，故选项D符合题意.
故答案为：D.
3．二次函数 y=x2 ，当 −1≤x≤3 时，函数值y的取值范围是（ ）
A．1≤ y≤9 B．0≤ y≤9 C．0≤ y≤1 D．y≥0
【答案】B
【解答】解：∵y=x2 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
当-1≤x≤0时，y随x的增大而减小，
∴当x=-1时，y有最大值1，当x=0时，y有最小值0，
当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x=3时，y有最大值9，当x=0时，y有最小值0，
∴当-1≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤9，
故答案为：B．
4．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范
围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1
【答案】B【解答】解：∵二次函数y=(a−1)x2的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而
增大，
∴二次函数 y=(a−1)x2的图象开口向上，
∴a-1>0，即：a>1，
故答案为：B.
5．若抛物线y=ax2经过点P(−❑√7,4)，则该抛物线一定还经过点（ ）
A．(4,−❑√7) B．(❑√7,4) C．(−4,❑√7) D．(−❑√7,−4)
【答案】B
【解答】解：由抛物线y=ax2可知抛物线的对称轴为y轴，
∵抛物线y=ax2经过(−❑√7,4)，
∴点(−❑√7,4)关于y轴的对称点(❑√7,4)也在抛物线上，
∴它也经过点(❑√7,4)．
故答案为：B．
6．二次函数 y＝ax2 与一次函数 y＝ax+a 在同一坐标系中的大致图象可能
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由一次函数 y＝ax+a 可知，一次函数的图象与 x 轴交于点
（−1，0） ，排除 A、B ；当 a>0 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当 a<0 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四
象限，排除 C ；
故答案为： D ．
7.（秋•龙岩期末）将抛物线y＝x2通过一次平移可得到抛物线y＝（x+5）2，对
这一平移过程描述正确的是（ ）
A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度
C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度
【答案】C
【解答】解：将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+5）2，则这个平移过程
正确的是向左平移了5个单位，
故选：C．
1
8．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝ g t2（g＝
2
9.8），则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
1
【解答】解：∵s＝ gt2是二次函数的表达式，
2
∴二次函数的图象是一条抛物线．
1
又∵ g＞0，
2
∴应该开口向上，
∵自变量t为非负数，
∴s为非负数．
∴图象是抛物线在第一象限的部分．故答案为：B．
9．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 y=2 ，与二次函数 y=x2 ，
y=ax2 分别交于A、B和C、D，若 CD=2AB ，则a为（ ）
1 1
A．4 B． C．2 D．
4 2
【答案】B
【解答】解：如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线 y=2 与二次函数 y=x2 交于A、B，
∴当 y=2 时， x2=2 ，得 x=±❑√2 ，
∴A(❑√2,2),B(−❑√2,2) ，
∴AB=2❑√2 ,
∵CD=2AB ，
∴CD=4 ❑√2 ，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2 ❑√2 ，
∴D（2 ❑√2 ，2），
将点D的坐标代入 y=ax2 ，得8a=2，
1
解得a= ，
4
故答案为：B．
10.（2021秋•金安区校级月考）二次函数y＝2x2的图象开口方向是 ．
【答案】向上
【解答】解：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，∴开口向上，
故答案为：向上
11．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若
抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是
．
1
【答案】 ≤a≤3
9
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
1
当抛物线经过（3，1）时，a＝ ，
9
1
观察图象可知 ≤a≤3，
9
1
故答案为： ≤a≤3．
9
12．二次函数y=x2的图象如图所示，点A 位于坐标原点，点A ，A ，A ，…，
0 1 2 3
A 在y轴的正半轴上，点B ，B ，B ，…，B 在二次函数y=x2位于第一象
2020 1 2 3 2020
限的图象上，△A B A ，△A B A ，…，△A B A 都是直角顶点在抛物
0 1 1 1 2 2 2019 2020 2020
线上的等腰直角三角形，则△A B A 的斜边长为 ．
2020 2021 2021【答案】4042
【解答】解：如图所示，过点B ，B ，B 分别作y轴的垂线，垂足分别为C，
1 2 3
D，E
∵△A B A ，△A B A ，△A B A …△A B A 都是直角顶点在抛物线上的等腰
0 1 1 1 2 2 2 3 3 9 10 10
直角三角形
∴∠B A A =∠B A A =∠B A A =45°
1 0 1 2 1 2 3 2 3
∴A B 所在直线的解析式为：y=x
0 1
{y=x)
由 ，
y=x2
得B （1，1）
1
∴A A =2B C=2
0 1 1
∴A （0，2）
1
∴直线A B 为：y=x+2
1 2{y=x+2)
由 ，
y=x2
得B （2，4）
2
∴A A =2B D=4
1 2 2
∴A （0，6）
2
∴直线A B 为：y=x+6
2 3
{y=x+6)
由 ，
y=x2
得B （3，9）
3
∴A A =2B E=6
2 3 3
…
由上面A A =2，A A =4，A A =6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直
0 1 1 2 2 3
角三角形的斜边长依次加2
∴△A B A 的斜边长为A A :2021×2=4042
2020 2021 2021 2020 2021
故答案为：4042．
