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1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 26.1 二次函数的概念 知识点一 二次函数的定义 定义：一般的，形如𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎、𝑏、𝑐是常数，𝑎≠0）的函数，叫作二次函 数。其中，𝑥是自变量，𝑎、𝑏、𝑐分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数 项。 特别提醒 作为二次函数，其二次项系数𝑎务必不能等于“0”，这是二次函数的灵魂。反之，若 𝑎= 0，则不论𝑏、𝑐等于几，函数会降为一次函数或常数函数。 归纳总结 形如𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎、𝑏、𝑐是常数，𝑎≠0）的函数，叫作二次函数。 知识点二 含参二次函数 当要求函数𝑦= 𝑎𝑥𝑚+ 𝑏𝑥+ 𝑐是一个二次函数时，需要同时满足以下条件： ①𝑎≠0； ②𝑚= 2 𝑏、𝑐无特殊要求，一般情况下可以置之不理。 拓展延伸 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎≠0）是二次函数的标准形式，因此，有以下三点要求需要额外 留意： ⚫ 必须是整式（分母中不能含有𝑥，根号内不能含有𝑥）； ⚫ 需合并同类项后再进行判断，例如𝑦= 𝑥(𝑥+ 1) −𝑥2，化简后为𝑦= 𝑥，很明显不 是二次函数； ⚫ 𝑏和𝑐可以等于“0”，也可以不为“0”。若𝑏= 0且𝑐= 0，该函数仍是二次函数， 例如：𝑦= 2𝑥2。 归纳总结 若想使一个含参函数为二次函数，要求：①二次项系数≠0；②最高次项为二次项。 第二十六章 二次函数 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 知识点三 实际问题中的函数解析式 为了表示实际问题中各个数量间的函数解析式，步骤大致与一元二次方程应用题类 似，但只有三步，即审设列。 ①审题：圈画出题干中已知的数量（比较常见的有人数、物品单价、长度等），明确各 个数量之间的关系，并列出语言关系表达式； ②假设：一般情况下，题干中会给定假设好的量，在表示其他数量的时候，可以借助 已知的数量去表达； ③列式：将已经表示出来的量代入语言关系表达式中。 归纳总结 表示实际问题中的函数解析式时，遵循“审设列”三个步骤即可。 易错点 1 忽略𝒂≠𝟎的大前提 • 错例：认为𝑦= (𝑚−2)𝑥2 + 3𝑥是二次函数； • 错因：思维定势，只关注“有没有平方项”，完全忘了系数的“身份前提”； • 规避方法：看到函数后，自问三个问题：①最高次项是哪一项？②它的系数是 谁？③这个系数能不能等于“0”？ 易错点 2 不化简直接判断类型 • 错例：认为𝑦= (𝑥+ 1)2 −𝑥2是二次函数； • 错因：被表面形式迷惑，缺乏“合并同类项”的自觉，看不到“平方项抵消”的 陷阱； • 规避方法：规定判断前必须先进行化简并写成降幂排列，化简后𝑥2项还在才是二 次函数。 易错点 3 忽视分母/根号对“整式”的限制 • 错例：认为𝑦= 1 𝑥2 + 2𝑥或𝑦= √𝑥2 + 1是二次函数； • 错因：对“整式”概念模糊，只机械记忆“最高次是 2”，不关注代数式的结构 特征； • 规避方法：强调二次函数必须是关于𝑥的整式，𝑥既不能在分母上，也不能在根号 内。例如𝑦= 1 𝑥2和𝑦= √𝑥2都不是二次函数。 3 / 22 学科网（北京）股份有限公司 易错点 4 实际问题漏写取值范围 • 错例：矩形面积𝑆= 𝑥(10 −𝑥)，直接写𝑆= −𝑥2 + 10𝑥，不写0 < 𝑥< 10； • 错因：代数思维与数学建模思维脱节，认为“函数就是式子”，忽略了变量的现 实意义； • 规避方法：凡是实际问题列出的函数解析式，必须检查在实际问题中，是否存在 限制范围。若存在，则一定在解析式后紧跟一个括号写自变量的范围。 易错点 5 混淆自变量和函数值 • 错例：认为𝑥= 2𝑦2 + 3𝑦是二次函数； • 错因：对“函数”定义中“谁是自变量、谁是因变量”的概念不清，受字母符号 干扰； • 规避方法：明确“自变量的次数”才是判断标准。函数以𝑥为自变量，必须写成 𝑦= ⋯的形式，这是关于𝑥的二次函数；若写成𝑥= ⋯，则是关于𝑦的二次函数 • 题型一：二次函数的识别 方法技巧 判断函数是否为二次函数的核心特征以及做法： ①二次项系数不为0； ②存在最高次项为二次项； ③必须是整式，即自变量𝑥不能存在于根号下或分母上； ④若解析式中含有括号，则必须拆括号、合并同类项后才能判断是否为二次函数。 1.（25-26 八年级下·山东东营·期中）下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A． 2 3 y x− = B． 2 5 13 y x x = − + C． 2 y ax bx c = + + D． 2 1 2 y x x = − + 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如 2 y ax bx c = + + （a ，b ，c 是常数， 0 a ）的函数，叫做二次函数. 4 / 22 学科网（北京）股份有限公司 ∵选项A 中 2 3 y x− = 是一次函数， ∴A 不符合题意； ∵选项B 中 2 5 13 y x x = − + ，符合二次函数的定义， ∴B 符合题意； ∵选项C 中 2 y ax bx c = + + ，未说明 0 a ，当 0 a = 时不是二次函数， ∴C 不符合题意； ∵选项D 中 2 1 2 y x x = − + 里，1 x 是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D 不符合题意. 2.（25-26 九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（ ） A． 2 2 3 y x = − B． 2 2 ( 2) y x x = + − C． 2 3 1 y x = − + D． 2 5 y x = 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如 2 y ax bx c = + + （a ，b ，c 是常数， 0 a ）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 2 2 3 y x = − 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. 2 2 2 2 ( 2) 4 4 4 4 y x x x x x x = + − = + + − = + ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不 符合题意； C. 2 3 1 y x = − + 符合 2 y ax bx c = + + （ 3 0 a = − ， 0 b = ， 1 c = ）的形式，是二次函数，故符 合题意； D. 2 5 y x = ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 3.（2026·河南周口·一模）下列各式中，y 是关于x 的二次函数的是（ ） A． 2 1 y x = B． 2 2 0 x y − + = C． 2 1 y x = + D． 2 2 1 y x = − 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如 2 y ax bx c = + + （ 0 a ，, , a b c 为常 5 / 22 学科网（北京）股份有限公司 数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、 2 1 y x = 是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理 2 2 0 x y − + = 得 2 2 y x = + ，符合 ( ) 2 1 0 y ax bx c a = + + = ，符合二次函数定义，该 选项符合题意； C、 2 1 y x = + 中x 的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、 2 2 1 y x = −中，一个x 对应两个不同的y 值，y 不是x 的函数，该选项不符合题意． 4.（24-25 九年级上·安徽合肥·期末）下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A． 2 1 6 y x = − B． 2 6 y x = − C． 2 6 y x = − D． 2 6 y x = − 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如 2 y ax bx c = + + ，其中a 、 b 、c 为常数， 0 a ，且等式右边是关于x 的整式）逐一分析选项． 【详解】解：A、 2 1 6 y x = − 是分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． B、 2 6 y x = −最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义． C、 2 6 y x = −符合 2 y ax bx c = + + （ 1 0 a = ， 0 b = ， 6 c = −）的形式，是二次函数． D、 2 6 y x = − 是根式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选：C． 5.（25-26 九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：① 2 y x = ；② 2 1 y x = + ；③ ( )( ) 1 1 y x x = − ＋ ；④ 2 1 y x = ；⑤ 2 4 y x = + ；⑥ 2 2 2 2 x y a + = + （a 为常数）；⑦ ( ) 2 3 1 1 y x = + −，其中是二次函数的有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如 2 y ax bx c = + + （a ，b ，c 是常 数，且 0 a ）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． 6 / 22 学科网（北京）股份有限公司 ③ ( )( ) 2 1 1 1 y x x x = − = − ＋ ，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥ 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 x y x a a a + + = = + + + ，因为a 为常数，所以 2 2 2 0 a + ，符合定义，是二次函 数． ⑦ ( ) 2 2 3 1 1 3 6 2 y x x x = + −= + + ，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共5个，故选C． 6.（25-26 九年级上·湖南怀化·阶段检测）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( ) A． 2 2 4 (2 1) y x x = − + B． 2 y ax bx c = + + C． 2 2 2 1 s t t = − − D． 2 1 y x x = + 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如 ² y ax bx c = + + （a 、b 、c 为常数，且 0 a ）的函数是二次函 数，需满足整式形式且最高次项为二次． 【详解】解：选项A： ( ) ( ) 4 ? 2 1 ? 4 ? 4 ? 4 1 4 1 y x x x x x x = − + = − + + = − −，为一次函数，不是 二次函数； 选项B： ² y ax bx c = + + ，当 0 a = 时不是二次函数，因此不一定为二次函数； 选项C： 2 ? 2 1 s t t = − −，是整式， 2 0 a = ，一定为二次函数； 选项D： 2 1 y x x = + ，含有分式，不是整式，因此不是二次函数； 故选C． 7.（24-25 九年级上·安徽安庆·阶段检测）下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是 （ ） A． 2 1 3 y x x = − + B． 1 3 y x = C． ( ) 2 1 y x x = − − D． ( )( ) 2 1 4 y x x x = − + − 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，熟记二次函数的定 7 / 22 学科网（北京）股份有限公司 义是解题的关键． 【详解】解：A、 2 1 3 y x x = − + 不是二次函数，故选项不符合题意； B、 1 3 y x = 不是二次函数，故选项不符合题意； C、 ( ) 2 2 1 2 1 y x x x x = − −= − −，是二次函数，故选项符合题意； D、 ( )( ) ( ) 2 2 2 1 4 3 4 3 4 y x x x x x x x = − + − = − − − = + ，不是二次函数，故选项不符合题意； 故选：C． 8.（26-27 九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1） 3 4 y x = ； （2） (2 1) y x x = − ； （3） 2 ( 2) 3 y x = + −； （4） 2 2 ( 4) y x x = + − ； （5） 2 y ax bx c = + + （, , a b c 为常数）． 【答案】（2），（3）是二次函数 【详解】解：（1） 3 4 y x = 是一次函数，不是二次函数； （2） 2 (2 1) 2 y x x x x = − = − ，符合 ( ) 2 0 y ax bx c a = + + 的形式，是二次函数； （3） 2 2 ( 2) 3 4 1 y x x x = + −= + + ，符合 ( ) 2 0 y ax bx c a = + + 的形式，是二次函数； （4） 2 2 ( 4) 8 16 y x x x = + − = + ，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函 数； （5） 2 y ax bx c = + + 中，a 是否为0 未知，若 0 a = ，则函数退化为一次函数或常数函数， 因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 题型二：根据二次函数的定义求参数 方法技巧 8 / 22 学科网（北京）股份有限公司 对于函数𝑦= 𝑎𝑥𝑚+ 𝑏𝑥+ 𝑐，若要求其为二次函数，则： ①𝑚= 2； ②𝑎≠0。 ⚫ 若𝑚对应的是一个新的一元二次式（假设是关于𝑎的），则需要令该一元二次式等于 2，即解该一元二次方程，求𝑎；其次，还要令𝑎≠0，将不符合题意的解舍去。 1.（21-22 九年级上·新疆哈密·期中）已知函数 ( ) 2 2 2 m y m x − = + 是二次函数，则m 等于 （ ） A．2 B．2 C．2 − D． 2 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x 的最高次数为2，且二次项系数不为 0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数 ( ) 2 2 2 m y m x − = + 是二次函数， ∴ 2 2 2 m − = ，且 2 0 m+ ， ∴ 2 m = 且 2 m − ， ∴ 2 m = ． 2．（25-26 八年级下·江苏南通·阶段检测）已知 2 ( 1) 2 3 y m x x− = + + 是二次函数，则m 的取 值范围是（ ） A． 1 m − B． 1 m − C． 1 m D． 1 m − 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为0 的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为0 ， ( ) 2 1 2 3 y m x x = + + − 是二次函数， ∴ 1 0 m+ ， 解得 1 m −． 3．（25-26 八年级下·浙江宁波·期中）若函数 ( ) 2 2 2 m y m x x − = − + 是关于x 的二次函数，则 m 为（ ） A．2 B．2 C．2 − D．0 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x 的最高次数为2 ，且二次项系数不为 9 / 22 学科网（北京）股份有限公司 0 ，据此列出关系式即可求出m 的值． 【详解】解：函数 ( ) 2 2 2 m y m x x − = − + 是关于x 的二次函数， 2 0 m − ，且 2 2 2 m − = ， 解方程 2 2 2 m − = ，即 2 4 m = ， 解得 2 m = 或 2 m = - ， 又∵ 2 0 m− ， 2 m ， 2 m = −． 4．（21-22 九年级上·浙江绍兴·期中）若关于x 的函数 ( ) 2 4 y a x x = − − 是二次函数，则a 的 取值范围（ ） A． 0 a B． 4 a C． 4 a D． 4 a 【答案】B 【详解】解：∵关于x 的函数 ( ) 2 4 y a x x = − − 是二次函数，二次函数要求二次项系数不为 0， ∴ 4 0 a − ， 解得 4 a ． 5．（21-22 九年级上·江苏连云港·期末）已知 ( ) 2 m y m x = + 是关于x 的二次函数，那么m 的 值为（ ） A．2 − B．2 C．2 D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求x 的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于m 的条件 即可求解． 【详解】解：∵ ( ) 2 m y m x = + 是关于x 的二次函数， ∴ 2 m = ，且 2 0 m+ ， 解 2 m = 得 2 m = ， 解 2 0 m+ 得 2 m − ， ∴ 2 m = ． 10 / 22 学科网（北京）股份有限公司 6．（25-26 九年级上·云南昭通·期末）若 ( ) 2 4 7 5 a y a x x − = − + −是二次函数，则a 的值为 （ ） A．4 − B．4 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为 2 y ax bx c = + + ( 0 a )，根据定 义列出关于a 的方程与不等式，进而求解a 的值． 【详解】解：∵函数 ( ) 2 4 7 5 a y a x x − = − + −是二次函数， ∴ 2 2 a − = ，且 4 0 a− ． 由 2 2 a − = ，得 4 a = ，解得 4 a = 或 4 a = −． 又∵ 4 0 a− ，即 4 a ， ∴ 4 a = −． 故选：A． 7．（2026·上海虹口·一模）已知 ( ) 1 3 m y m x − = − （m 为常数）是二次函数，那么m 的值是 （ ） A．3 B．1 − C．3 − D．3 或1 − 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x 的指数必须为2，且系数不 为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ( ) 1 3 m y m x − = − （m 为常数）是二次函数， ∴ 3 0, 1 2 m m − − = ， ∴ 3 1 2 m m −= , ， 解得 1 m = −， 故选：B． 8．（2025 九年级上·江苏无锡·专题练习）若 ( ) 2 3 2 3 m m y m x + + = − 是关于x 的二次函数，则m 的值为（ ） A．0 B．0 或3 C．3 D．0 或3 − 11 / 22 学科网（北京）股份有限公司 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如 2 y ax bx c = + + （其中a、b、c 是 常数且 0 a ）的函数是二次函数，据此可得 2 3 2 2 3 0 m m m + + = − ，解之可得答案． 【详解】解：∵ ( ) 2 3 2 3 m m y m x + + = − 是关于x 的二次函数， ∴ 2 3 2 2 3 0 m m m + + = − ， 解得 1 0 m = ， 2 3 m = −， 故选：D． 9．（25-26 九年级上·吉林松原·期中）若 ( ) 2 3 4 2 y m x x = − + − 是关于x 的二次函数，则m 的 取值范围是（ ） A． 1 m B． 1 m C． 3 m D． 3 m 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，因此 令系数 3 0 m− 即可求解． 【详解】∵函数 ( ) 2 3 4 2 y m x x = − + − 是关于x 的二次函数， ∴二次项系数 3 0 m− ， ∴ 3 m ． 故选：D． 10．（25-26 九年级上·安徽合肥·期中）若 ( ) 2 2 6 4 1 m m y m x mx + − = + + −是关于x 的二次函数， 则m 的值为（ ） A．2 B．4 − C．2 或4 − D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如 2 y ax bx c = + + （a，b，c 为常数， 0 a ）的函数，叫做二次函数．其中x、y 是变量，a、b、c 是常量，a 是二次项系数，b 是 一次项系数，c 是常数项， 2 y ax bx c = + + （a，b，c 为常数， 0 a ）也叫做二次函数的一 般形式． 12 / 22 学科网（北京）股份有限公司 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵ ( ) 2 2 6 4 1 m m y m x mx + − = + + −是关于x 的二次函数， ∴ 2 2 6 2 m m + − = 且 4 0 m+ ． 解方程 2 2 6 2 m m + − = 得 4 m = −或 2 m = ． 又∵ 4 0 m+ ， ∴ 4 m − ． ∴ 2 m = ． 故选 ：A． 题型三：列二次函数的关系式 方法技巧 ①审题：圈画出重要的数量，写出语言关系表达式； ②设未知数：若题干中已有设定好的自变量，可以直接带入语言关系表达式；若题 干中没有给定自变量，需要灵活假设，将式子尽可能表示的简洁； ③列等式：将因变量𝑦单独保留在等号一侧，另一侧是关于𝑥的一元二次式。 ⚫ 若问题背景是实际问题，需要明确是否有限定的范围，例如墙长有长度范围， 或者墙有限定的高度，座位有限等等，如果有明确的限定范围，则自变量的取 值范围至少要在这个限定范围里面。 1.（25-26 九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一 带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7 月份售出1500 个，若每月的销售量比上一月份增 加相同的百分率x ，请问9 月份的销售量y 关于每月增加的百分率x 的函数解析式是（ ） A． ( ) 2 1500 1 y x = + B． ( ) 2 1500 1 y x = + − C． ( ) 2 1 1500 y x = + + D． 2 1500 y x = + 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8 月、9 月的销售量，从而得到9 月销售量y 关于x 的函 数解析式． 【详解】解：∵7 月份销售量为1500 个，每月销售量的增长百分率为x， 13 / 22 学科网（北京）股份有限公司 ∴8 月份的销售量为 ( ) 1500 1 x + 个， ∴9 月份的销售量 ( ) ( ) ( ) 2 1500 1 1 1500 1 y x x x = + + = + ． 故选：A． 2．（25-26 九年级上·天津河西·期末）一个扇形的圆心角为100，则这个扇形的面积S 与扇 形所在圆的半径R 之间的函数关系满足（ ） A．正比例关系 B．反比例关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数，利用扇形面积公式得到 2 5π 18 S R = ，进而求解即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为100， ∴ 2 2 100π 5π 360 18 R S R = = ∴S 是R 的二次函数，满足二次函数关系． 故选：D． 3．（2025 八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a 元，售价为x 元，每天可销售( ) 100 10x − 件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是 （ ） A． ( )( ) 100 10 y x a x = − − B． ( )( ) 100 10 y x a x = + − C． ( )( ) 10 100 y x a x = − − D． ( )( ) 10 100 y x a x = + − 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减 成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为( ) x a − 元，每天销售( ) 100 10x − 件， ∴ 每天利润 ( )( ) 100 10 y x a x = − − ． 故选：A． 4．（2025 八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为50元，售价为x 元，每天可销售( ) 100 x − 件，每天的利润为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A． ( )( ) 50 100 y x x = − − B． ( ) 100 y x x = − 14 / 22 学科网（北京）股份有限公司 C． ( )( ) 50 100 y x x = + − D． ( ) 100 50 100 y x x = − − 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公 式． 根据利润的计算公式，利润= 每件利润销售数量，每件利润为( ) 50 x− 元，销售数量为 ( ) 100 x − 件，代入公式即可得到y 与x 之间的函数关系式． 【详解】解：每件利润为( ) 50 x− 元，销售数量为( ) 100 x − 件， 每天的利润 ( )( ) 50 100 y x x = − − ， 即函数关系式为 ( )( ) 50 100 y x x = − − ， 故选：A ． 5．（25-26 九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰 瓜，若每斤盈利10元，每天可售出50斤．经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售 出10斤．设每斤降价x 元，每天盈利为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A． ( )( ) 10 50 10 y x x = + − B． ( )( ) 10 50 10 y x x = − + C． ( )( ) 10 50 10 y x x = − − D． ( )( ) 10 50 10 y x x = + + 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求 解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价x 元， ∴每斤盈利为( ) 10 x − 元， ∵每降价1元多售出10斤， ∴降价x 元多售出10x 斤， ∴销售量为( ) 50 10x + 斤， ∴ ( )( ) 10 50 10 y x x = − + ， 故选：B． 6．（25-26 九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300 元，经过医保局连续两 15 / 22 学科网（北京）股份有限公司 次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都 是x ，则两次降价后的价格y （元）与每次降价的百分率x 之间的函数关系式是（ ） A． ( ) 300 1 y x = − B． ( ) 2 300 1 y x = − C． ( ) 2 300 1 y x = + D． ( ) 2 300 1 y x = − 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关 键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为x ，则两次降价后的价格等于原价乘以( ) 1 x − 的 平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x ， ∴第一次降价后价格为 ( ) 300 1 x − ， 第二次降价后价格为 ( )( ) ( ) 2 300 1 1 300 1 x x x − − = − ， ∴ ( ) 2 300 1 y x = − ， 故选：B． 7．（25-26 九年级上·河北沧州·期中）用长为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设 AB 为x （单位：米），则窗框的透光面积y （单位： 2 m ），关于x （单位：m）的函数解析 式为（铝合金条粗细忽略不计）（ ） A． 2 4 y x x = − + B． 2 3 8 y x x = − + C． 2 3 4 2 y x x − + = D． 2 8 3 y x x = − + 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得 8 3 2 x AD BC − = = 米，进而根据矩形的面 积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 16 / 22 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：由题意得， 8 3 2 x AD BC − = = 米， ∴ 2 8 3 3 · · 4 2 2 x y AB AD x x x − = = = − + ， 故选：C ． 8．（25-26 九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水 池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为3m ．记正方形内除水池外的面积为 2 m y ，圆的半径为m x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ） A． ( ) 2 2 3 y x x = + − B． ( ) 2 4 3 y x = + C． ( ) 2 2 4 3 y x x = + − D． ( ) 2 3 y x = + 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为( ) 2 6 m x + ，然后通过 面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为( ) 2 6 m x + ， ∴ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 4 3 y x x x x = + − = + − ， 故选：C ． 9．（25-26 九年级上·云南文山·期中）用12 米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形 菜园，设垂直于墙面的边长为x 米，矩形的面积为y 平方米，根据题意，可列式为 （ ） A． 12 2 y x = − B． ( ) 12 y x x = − C． ( ) 12 2 y x x = − D． ( ) 6 y x x = − 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边 17 / 22 学科网（北京）股份有限公司 长，可得出平行于墙面的边长为( ) 12 2x − 米，再利用矩形的面积公式，即可找出y 关于x 的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y 关于x 的函数关系式是解题的 关键． 【详解】解：围栏的全长为12 米，且设垂直于墙面的边长为x 米， 平行于墙面的边长为( ) 12 2x − 米． 根据题意得： ( ) 12 2 y x x = − ， 故选：C． 10．（25-26 九年级上·安徽安庆·阶段检测）某商品的进货单价为30元/ 个，当销售单价为 40 元/ 个时，每天能卖出40 个，若销售单价每上涨1元/ 个，则每天的销量就减少1个．设 该商品的销售单价为x 元/ 个，每天的利润为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A． ( ) ( ) 30 40 40 y x x = − − − B． ( ) ( ) 40 40 40 y x x = − − − C． ( )( ) 10 40 y x x = + + D． ( ) ( ) 30 40 40 y x x = − − − 【答案】D 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润= （售价−进价）销量列函数关系式即 可． 【详解】解：设该商品的销售单价为x 元/ 个， 则每个某商品的利润为：( ) 30 x− 元，销量为： ( ) 40 40 x − − ， 则每天的利润 ( ) ( ) 30 40 40 y x x = − − − ， 故选：D． 11．（25-26 九年级上·广西钦州·阶段检测）下列变量具有二次函数关系的是（ ） A．圆的周长C 与半径r B．用10m长的绳子围成一个长方形，其中一边长y 与它邻边x 之间的关系 C．正三角形的面积S与边长a D．匀速行驶的汽车，路程s与时间t 【答案】C 【分析】本题考查了列二次函数关系式，正确列出各选项之间变量之间的关系即可； 【详解】解：A： 2 = C r ，故圆的周长C 与半径r 具有一次函数关系，不符合题意； 18 / 22 学科网（北京）股份有限公司 B：由题意得：( ) 2 10 x y + = ，即 5 y x − = + ；故一边长y 与它邻边x 具有一次函数关系，不 符合题意； C：由图可知： 1 1 2 2 BD BC a = = ， 2 2 3 2 AD AB BD a = − = ， ∴ 2 1 3 3 2 2 4 S a a a = = ； 故正三角形的面积S与边长a 具有二次函数关系，符合题意； D：匀速行驶的汽车，路程s 与时间t 成正比例函数关系，不符合题意； 故选：C 12．（25-26 九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱 笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8 米，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米． (1)写出S 与x 的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20 平方米时，求x 的值． 【答案】(1) 2 4 24 S x x = − + (2)4 6 x (3) 5 x = 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求自变量取值范围，二次函数与一元二次方 程， 对于（1），先表示花圃的长，再根据面积相等列出函数关系式； 对于（2），根据墙的长度可得0 24 4 8 x − ，求出解集即可； 对于（3），将 20 S = 代入函数关系式，求出解即可. 【详解】（1）解：∵AB 为x 米、篱笆长为24 米， ∴花圃长为(24 4 )x − 米， 19 / 22 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 (24 4 ) 4 24 S x x x x = − = − + ； （2）解：∵墙的可用长度为8 米， ∴0 24 4 8 x − ， 解得4 6 x ； （3）解：当 20 S = 时， 2 4 24 20 x x − + = ， 解得 1 2 1, 5 x x = = ， ∵4 6 x ， ∴ 5 x = . 13．（25-26 九年级上·北京·课前预习）设圆柱的高为6cm，底面半径为cm r ，底面周长为 cm C ，圆柱的体积为 3 cm V ． (1)分别写出C 关于r 、V 关于r 、V 关于C 的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 【答案】(1) 2 = C r 、 2 6 V r = 、 2 3 2 C V = (2)V 关于r 的关系式 2 6 V r = 是二次函数，V 关于C 的关系式 2 3 2 C V = 是二次函数． 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆 柱的体积公式． （1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【详解】（1）解： 圆柱的底面半径为cm r ，底面周长为cm C ， 2 (cm) C r = ； 又圆柱的高为6cm，底面半径为cm r ，圆柱的体积为 3 cm V ， ( ) 2 2 3 6 6 V r r cm = = ． 设圆柱的高为6cm，底面周长为cm C ，圆柱的体积为 3 cm V ， ( ) 2 2 3 3 6 2 2 C C V cm = = ． 综上所述，C 关于r 、V 关于r 、V 关于C 的函数关系式分别是： 2 = C r 、 2 6 V r = 、 20 / 22 学科网（北京）股份有限公司 2 3 2 C V = ． （2）解：根据二次函数的定义知，V 关于r 的关系式 2 6 V r = 是二次函数，V 关于C 的关 系式 2 3 2 C V = 是二次函数． 14．（25-26 七年级上·北京·随堂练习）已知正方体的棱长为cm x ，它的表面积为 2 cm S ，体 积为 3 cm V (1)分别写出S与x 、V 与x 之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于x 的二次函数？ 【答案】(1) 2 6 S x = ， 3 V x = (2) 2 6 S x = 是关于x 的二次函数 【分析】此题主要考查了正方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次 函数的定义是解题关键． （1）直接利用正方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：正方体的棱长为cm x ，它的表面积为 2 cm S ，体积为 3 cm V 2 6 S x = ， 3 V x = ； （2）解：依题意， 2 6 S x = 是关于x 的二次函数． 15．（24-25 九年级上·广东惠州·阶段检测）明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成 一个矩形菜园，围墙足够长，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道1米宽的 门，已知铁丝网总长是79 米．如图所示，设AB 的长为x 米，矩形面积为y 平方米． (1)用含x 的代数式表示y ． (2)当菜园的面积是600 平方米时，求出x 的值． 【答案】(1) 2 2 80 y x x − = + (2) 1 2 10, 30 = = x x 【分析】本题考查了二次函数关系式，二次函数的应用； （1）根据题意先求得BC ，进而根据矩形面积公式，即可求解； 21 / 22 学科网（北京）股份有限公司 （2）当 600 y = 时， 2 2 80 600 x x − + = ，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设AB 的长为x 米，矩形面积为y 平方米， ∴ 79 1 2 80 2 BC x x = + − = − ， ( ) 2 80 2 2 80 y x x x x = − = − + ， （2）解：当 600 y = 时， 2 2 80 600 x x − + = 解得： 1 2 10, 30 = = x x 16．（24-25 九年级上·广东广州·阶段检测）如图，用长为18m的篱笆(虚线部分)，两面靠墙 围成矩形的苗圃．设矩形的一边为m x ，面积为 2 m y ． (1)求y 关于x 的函数关系式为 ； (2)写出自变量x 的取值范围（墙足够长）； (3)当 81 y = 时，求x 的值． 【答案】(1) 2 18 y x x = − + (2)自变量x 的取值范围为0 18 x (3) x 的值为9 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意求出二次函数解析式，是解题的关键． （1）篱笆只有两边，且其和为18m，设一边为m x ，则另一边为(18 )m x − ，根据公式表示 面积求解即可； （2）根据实际意义，矩形边长应大于0，列不等式组求解即可； （3）把 81 y = 代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：由已知，矩形的另一边长为(18 )m x − ， 则 ( ) 2 18 18 y x x x x = − = − + ； 即 2 18 y x x = − + ； （2）解：根据实际意义，得 0 18 0 x x − ， 解得：0 18 x ． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 ∴自变量x 的取值范围为0 18 x ； （3）解：当 81 y = 时，则 2 18 81 x x + − = ， 解得： 1 2 9 x x = = ， 即当 81 y = 时，x 的值为9． 17．（25-26 九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为10cm． (1)当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为cm x ，面积为 2 cm S ，求S与x 之间的函数关系 式． 【答案】(1) 2 99 8 cm (或 2 12.375cm )． (2) 2 1 5 (0 10) 2 S x x x = − + 【分析】（1）一直角边的长为4.5cm，则另一直角边长为5.5cm即可求出面积； （2）一直角边的长为cm x ，则另一直角边长为( ) 10 cm x - ，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为4.5cm， 则另一直角边长为 ( ) 10 4.5 5.5 cm − = ， 所以这个直角三角形的面积 ( ) 2 1 99 4.5 5.5 12.375 cm 2 8 S = = = （2）解：由题意，得另一条直角边的长为( ) 10 cm x - ， 则 ( ) ( ) 2 1 1 10 5 0 10 2 2 S x x x x x = − = − + ．
