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第 02 讲 中心对称
课程标准 学习目标
1. 掌握中心对称及其中心对称的性质
①中心对称及其性质
2. 能够熟练的进行中心对称作图
②中心对称作图
3. 掌握中心对称图形的概念以及中心对称图形的性质
③中心对称图形
4. 掌握点关于原点对称的点的坐标特点，能够熟练的
④关于原点对称的点的坐标
进行坐标的求解
知识点01 中心对称的定义
1. 中心对称的定义：
如图，把一个图形绕着某个点旋转 180 ° ，如果它能够与另一个图
形 完全重合 ，那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称 ，
这个点叫做 对称中心 ，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心
的 对称点 。
即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是对称
中心，A与A' ，B与B' ，C与C' 都是对称点，中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。
题型考点：①概念理解。
②中心对称判断。
【即学即练1】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．形状和大小完全相同的两个图形成中心对称
B．成中心对称的两个图形必重合
C．成中心对称的两个图形形状和大小完全相同
D．旋转后能重合的两个图形成中心对称
【解答】解：A、成中心对称的两个图形，形状和大小完全相同，但形状和大小完全相同的两个图形不
一定成中心对称，故错误；
B、成中心对称的两个图形能重合，但是绕中心旋转180°后能重合，未旋转时它们不是必须重合，故错
误；
C、正确；
D、旋转180°，能重合的两个图形成中心对称，故错误．
故选：C．
【即学即练2】
2．下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是平移变换图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是旋转变换图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
知识点02 中心对称的性质
1. 中心对称的性质：
①关于中心对称的两个图形能够 完全重合 ；即 。②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过 对称中心 ，并且被对称中心 平分 。
即： 。
③中心对称的两个图形对应边 平行或共线 。
题型考点：①性质理解。
②利用性质求值。
【即学即练1】
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．OC＝OC′ B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′
【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．
故选：D．
【即学即练2】
4．如图所示，△A′B′C′与△ABC关于O成中心对称，那么AO＝ A ′ O ，BO＝ B ′ O ，CO＝
C ′ O ，点A、O与 A ′ 三点在同一直线上， B 、 B ′、 O 三点在同一直线上， C 、 C ′、 O
三点在同一直线上．
【解答】解：△A′B′C′与△ABC关于O成中心对称，那么AO＝A′O，BO＝B′O，CO＝C′O，
点A、O与A′三点在同一直线上；
B、B′、O三点在同一直线上；
C、C′、O三点在同一直线上；
故答案为：A′O；B′O；C′O；A′；B、B′、O；C、C′、O．
【即学即练3】
5．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长
可能是（ ）A．3 B．4 C．7 D．11
【解答】C解析：∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，
∴OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，
∵BD﹣AD＜AB＜BD+AD，
∴5＜AB＜11，
故选：C．
【即学即练4】
6．如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，AC＝2，AB＝4，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接
AP，则AP的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【解答】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，
∴AO＝CO＝ AC＝1，
∴BO＝ ＝ ＝ ，
∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，
∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝ ，
∴AQ＝AO+CO+CQ＝3，
∴AP＝ ＝ ＝2 ．
故选：D．
知识点03 中心对称图形
1. 中心对称图形的定义：
一个图形绕某一点旋转 180 ° 后，如果旋转后的图形能够与旋转前 完全重合 ，那么这个图形
就叫做 中心对称图形 ，这个点叫做图形的 对称中心 。
2. 中心对称图形的性质：性质1：对应点连线都经过 对称中心 ，且被对称中心 平分 。
性质2：对应线段 平行 或 共线 。
性质3：对应角 相等 。
性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个 全等 的图形。
特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是
指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。
题型考点：①中心对称图形的判断。
②利用中心图形的性质求值。
【即学即练1】
7．一张薄纸，一双巧手，在一剪一刻间幻化出千姿百态的美丽图案，令人叹为观止，这就是剪纸艺术．
剪纸作品形式多样，以下剪纸作品中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、既是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】
8．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝2 ，求BB′的长为 8
．
【解答】解：∵是一个中心对称图形，A为对称中心，
∴△ABC≌△AB′C′，
∴AB＝AB′，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝2 ，∴AB＝4，
∴AB′＝4，
∴BB′＝8，
故答案为：8．
【即学即练3】
9．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．
当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 1 2 ．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积＝ ×6×8＝24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝ ×24＝12．
故答案为：12．
【即学即练4】
10．如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画
法）
【解答】解：分割法如图所示：
知识点04 中心对称与中心对称图形作图
1. 中心对称与中心对称图形的作图：
步骤：①确定图形的 关键点 与 对称中心 。
②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离 相等 。
得到 对称点 。
③按照原图形连接各对称点。2. 找图形的对称中心：
连接任意两组 对称点 得到两条线段，这两条线段的 交点 就是对称中心。
题型考点：①中心对称图形的判断。
②利用中心图形的性质求值。
【即学即练1】
11．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了，请你帮排版工人找到对
称中心O的位置．
【解答】解：①连接CC′，取线段CC′的中点，即为对称中心O．
②连接BB′、CC′，两线段相交于O点，则O点即为对称中心．
【即学即练2】
12．如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中
心对称．
【解答】解：如图，四边形A'B'C'D'为所作．
知识点05 关于原点对称的点的坐标1. 关于原点对称的点的坐标：
关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为 相反数 。
即若点 与点 关于原点对称，则有 ， 。
2. 关于点对称的点坐标：
关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。
题型考点：①利用对称特点求点的坐标以及求值。
【即学即练1】
13．点（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（﹣2，3）
【解答】解：点（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，2）．
故选：A．
【即学即练2】
14．点A（a﹣1，﹣6）与点B（﹣3，1﹣b）关于原点对称，则（a+b）2023的值为 ﹣ 1 ．
【解答】解：由题意，得a﹣1+（﹣3）＝0，﹣6+（1﹣b）＝0，
解得，a＝4，b＝﹣5，
∴（a+b）2023＝（4﹣5）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
题型01 中心对称与中心对称图形
【典例1】
第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都开幕．下面四个高校校徽主体图案是中心对称
图形的是（ ）
A． 北京大学 B． 中国人民大学
C． 北京体育大学 D． 北京林业大学
【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，
所以不是中心对称图形．选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【典例2】
中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别
代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以是中
心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以不是中
心对称图形，
故选：D．
【典例3】
数学中的对称之美无处不在，下列是小明看到的他所在小区的垃圾桶上的四幅垃圾分类标志图案，如果不
考虑图案下面的文字说明，那么这四幅图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【典例4】
2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，吉祥物“蓉宝”深受网民喜爱，结合你所学知识，在下列
四个选项中，能够和“蓉宝”（如图）的图片成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选不符合题意．
故选：C．
【典例5】
下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．
故选：C．
【典例6】
下列图形中，点O是该图形的对称中心的是（ ）
A． B．C． D．
【解答】解：由中心对称图形的定义，得到选项B中的图形是中心对称图形，并且点O是该图形的对称
中心，故B符合题意；
选项A、C、D中的图形不是中心对称图形，故A、C、D不符合题意．
故选：B．
题型02 中心对称的性质
【典例1】
如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．OB＝OB' B．∠ACB＝∠A'B'C'
C．点A的对称点是点A' D．BC∥B'C'
【解答】解：∵△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，
∴OB＝OB'，∠ACB＝∠A'C'B'，点A的对称点是点A'，BC∥B'C'，
故A，C，D正确，
故选：B．
【典例2】
如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称， ，AE＝3，∠D＝90°，则AC＝ 1 ．
【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，∴AC＝CD，DE＝AB＝ ，
∵AE＝3，∠D＝90°，
∴AD＝ ＝ ＝2，
∴AC＝ AD＝1，
故答案为：1．
【典例3】
如图矩形的长为10，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．25
【解答】解：在矩形中，点O是各组三角形的对称中心，
∴ ，
故选：A．
【典例4】
如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积
是（ ）
A． B．1.25 C．1.5 D．无法确定
【解答】解：连接AF，BG，
∵正方形的边长分别为3和2，
∴面积分别为9和4，
∵正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，
∴S阴影 ＝ （9﹣4）＝1.25．
故选：B．【典例5】
如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各
边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BD，AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴ ，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
在Rt△OBE中， ， ，
在△BEO和△BFO中，
，
∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE＝OF，BE＝BF，
∵∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴ ，
同法可证，△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，
∴ ， ，
∴四边形EFGH的周长为 ．
故选：A．
【典例6】
如图，把正方形ABCD绕着它的对称中心O沿着逆时针方向旋转，得到正方形A′B′C′D′，A′B′和
B'C′分别交AB于点E，F，在正方形旋转过程中，∠EOF的大小（ ）
A．随着旋转角度的增大而增大
B．随着旋转角度的增大而减小
C．不变，都是60°
D．不变，都是45°
【解答】解：如图所示，连接AO，BO，A'O，AB'，
∵正方形ABCD绕着它的对称中心O沿着逆时针方向旋转，得到正方形A′B′C′D′，
∴AO＝B'O，
∴∠OAB'＝∠OB'A，
又∵∠OAE＝∠OB'E＝45°，
∴∠EAB'＝∠EB'A，
∴AE＝B'E，
又∵EO＝EO，
∴△AOE≌△B'OE（SSS），
∴∠AOE＝∠B'OE．
同理可得，∠BOF＝∠B'OF，
∴∠EOF＝∠B'OE+∠B'OF＝ ∠AOB＝ 90°＝45°．
∴在正方形旋转过程中，∠EOF的大小不变，是45°．故选：D．
题型03 关于原点对称的点
【典例1】
点P（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．P （2，﹣5） B．P （2，5） C．P （﹣2，﹣5） D．P （5，﹣2）
1 1 1 1
【解答】解：点P（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣5）．
故选：A．
【典例2】
在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32
【解答】解：∵点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），
∴a+5＝3，b＝4，
∴a＝﹣2，
∴ab＝（﹣2）×4＝﹣8．
故选：B．
【典例3】
已知在平面直角坐标系中，点A（m﹣3，1﹣m） 关于坐标原点对称的点位于第一象限，则m的取值范围
是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＜1 C．1＜m＜3 D．m＜3
【解答】解：∵点A（m﹣3，1﹣m）关于坐标原点对称的点位于第一象限，
∴点A在第三象限，由第三象限内点的坐标特点，横坐标、纵坐标都为负数，
∴ ，
解得：1＜m＜3．
故选：C．【典例4】
若点P（m，1）关于原点的对称点Q（﹣2，n），那么m+n＝ ．
【解答】解：∵点P（m，1）关于原点的对称点是Q（﹣2，n）
∴m＝2，n＝﹣1，
∴m+n＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
【典例5】
已知：点A（a+b，3a﹣b）与点B（﹣2，6）关于原点对称．
（1）分别求a，b的值；
（2）求点A关于x轴的对称点的坐标；
（3）求点B关于y轴的对称点的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（a+b，3a﹣b）与点B（﹣2，6）关于原点对称，
∴ ，
解得 ，
∴a＝﹣1，b＝3；
（2）由（1）得，点A的坐标为（2，﹣6），
∴点A关于x轴的对称点的坐标（2，6）；
（3）点B关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣6）．
题型04 几何变换类型
【典例1】
点（4，3）经过某种图形变换后得到点B（4，﹣3），这种图形变换可以是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90°
【解答】解：∵点（4，3）关于x轴对称点的坐标为（4，﹣3），
∴点（4，3）经过某种图形变换后得到点B（4，﹣3），这种图形变换可以是关于x轴对称，
故选：A．
【典例2】
观察图，依次几何变换顺序正确的是（ ）
A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转
【解答】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转，
故选：C．
【典例3】
已知，在平面直角坐标系中，M（2，2），规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次
变换．那么连续经过2022次这种变换后，点M的坐标变为（ ）
A．（﹣2018，﹣2） B．（﹣2020，2） C．（﹣2019，2） D．（﹣2021，﹣2）
【解答】解：由题可得，第2022次变换后的点M在x轴上方，
∴点M的纵坐标为2，横坐标为2﹣2022×1＝﹣2020，
∴点M的坐标变为（﹣2020，2），
故选：B．
【典例4】
在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，
x+2）叫做点P（x，y）的终结点，已知点P 的终结点为P ，点P 的终结点为P ，点P 的终结点为
1 2 2 3 3
P ，这样由P 依次得到P ，P ，P ……p ，若点P 的坐标为（2，0），则点P 的坐标为（ ）
4 1 2 3 4 n 1 2023
A．（2，0） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣3，3） D．（1，4）
【解答】解：根据题意得点P 的坐标为（2，0），则点P 的坐标为（1，4），点P 的坐标为（﹣3，
1 2 3
3），点P 的坐标为（﹣2，﹣1），点P 的坐标为（2，0），…，
4 5
而2023＝4×505+3，
所以点P 的坐标与点P 的坐标相同，为（﹣3，3）．
2023 3
故选：C．1．下列选项中的图形是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的为（
）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故C选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：C．
2．最近北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”成为了互联网的“顶流”，他呆萌的形象受到了人们的青
睐，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图的图片成中心对称的是（
）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选符合题意．
故选：D．
3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO
交CD于点F，则四边形AECF形状不可能是（ ）A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形
【解答】解：如图，连接AC，则AC过点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，OA＝OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF一定是平行四边形，
在点E移动的过程中，移动存在AC⊥EF的时候，此时四边形AECF是菱形，
当点E移动到点B时，四边形AECF即变为四边形ABCD，此时是矩形，
在移动的过程中，不存在AC⊥EF且AC＝EF的情况，因此不可能是正方形，
故选：C．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标
为（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点
C′关于（﹣1，0）对称，
所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，
故选：B．5．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AC＝4．作出△ABC关于点A成中心对称的△AB'C'，其
中点B对应点为B'，点C对应点为C'，则四边形CB'C'B的面积是（ ）
A．128 B． C．64 D．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，
∵∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AC＝4．
∴∠ABC＝30°，AB＝2AC＝8，
∴ ，
∵作出△ABC关于点A成中心对称的△AB'C'，连接B′C，BC′，
∴AB＝AB'，AC＝AC'，
∴四边形CB'C'B是平行四边形，
∴四边形CB'C'B的面积为 ，
故选：D．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到
△B′O′C，则点A与点B′之间的距离为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，
∴∠CO′B′＝∠BOC＝90°，∴O′C＝OC＝OA＝ AC＝2，
∴AO′＝6，
∵OB＝OD＝O′B′＝ BD＝8，
在Rt△AO′B′中，根据勾股定理，得
AB′＝ ＝10．
则点A与点B′之间的距离为10．
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OA＝6．OC
＝8．若直线y＝2x+b把矩形面积两等分，则b的值等于（ ）
A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
【解答】解：∵OA＝6．OC＝8，
∴A（0，6），C（8，0），
∴AC中点的坐标为（4，3），
把（4，3）代入y＝2x+b得，
2×4+b＝3，
解得b＝﹣5．
故选：D．
8．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA B 是边长为4的等边三角形，作△B A B 与△OA B 关于点B
1 1 2 2 1 1 1 1
成中心对称，再作△B A B 与△B A B 关于点B 成中心对称，如此作下去，则△B A B .（n是正
2 3 3 2 2 1 2 2n 2n+1 2n+1
整数）的顶点A 的坐标是（ ）
2n+1
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，A 、A 、A 、•••、A 在第一象限，它们的纵坐标为边长为 4的等边三角形
1 3 5 2n+1
的高，即它们的纵坐标为4× ＝2 ，∵点A 的横坐标为2，
1
点A 的横坐标为4+2，
2
点A 的横坐标为4×2+2，
3
点A 的横坐标为4×3+2，
4
•••
所以点A 的横坐标为4×（2n+1﹣1）+2，即8n+2，
2n+1
即点A 的坐标是（8n+2，2 ）．
2n+1
故选：A．
9．图1和图2中所有的小正方形都全等，若将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原
来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，则应该放到的这个位置的序号是 ．
【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．
故答案为：③．
10．已知点P（a+3b，3）与Q（﹣5，a+2b）关于原点对称，则a+b＝ ．
【解答】解：∵点P（a+3b，3）与点Q（﹣5，a+2b）关于x轴对称，
∴ ，
解得： ，
∴a+b＝﹣11．
故答案为：﹣11．
11．如图，坐标平面内的两个三角形是由一个经过某种变换得到另一个的，点 P、Q是一对对应点，已知
点P（m，2）是第二象限内，阴影三角形内部的一个点．则点 Q的坐标为 （可用含m
的式子表示）．【解答】解：如图，
∵A（﹣3，1），B（﹣4，3），C（﹣1，2），
A′（2，﹣3），B′（1，﹣1），C′（4，﹣2），
∴△A′B′C′是△ABC先向右平移5单位长度，再向下平移4个单位长度，
∵点P（m，2）时△ABC内部的一个点，且点P、Q是一对对应点，
∴Q（m+5，﹣2）．
故答案为：（m+5，﹣2）．
12．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，点P在AD上，且AP＝2，若直线l经过点
P，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点Q，则线段PQ的长度为 ．
【解答】解：连接AC，BD交于O，过C作CM⊥AD于M，如图：
∵四边形ABC是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
∵PQ将平行四边形的面积平分，
∴O在PQ上，
由平行四边形的中心对称性可知CQ＝AP＝2，
∴DP＝BQ＝1，
∵∠MDC＝∠ABC＝60°，
∴∠MCD＝30°，
∴DM＝ CD＝1，CM＝ DM＝ ，
∴DM＝DP，
∴M，P重合，
∴CP＝ ，∠PCQ＝∠DPC＝90°，
∴PQ＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，点B的坐标为（a，
b）．
（1）当a＝6，b＝3时，若一次函数y＝kx+4的图象平分矩形OABC面积，求k的值；
（2）若P为矩形OABC内部一点，且△POA的面积与△POC的面积相等，求证：点P在OB上．
【解答】解：（1）如图所示，连接AC，OB，交于点Q，则点Q为矩形ABCO的对称中心，
∵一次函数y＝kx+4的图象平分矩形OABC面积，
∴一次函数y＝kx+4的图象经过点Q，
∵点B的坐标为（a，b），
∴当a＝6，b＝3时，B（6，3），
∴Q（3，1.5），
把（3，1.5）代入y＝kx+4，可得1.5＝3k+4，
解得k＝ ；
（2）设P（m，n），则点P到x轴的距离为n，到y轴的距离为m，
∵点B的坐标为（a，b），
∴AO＝a，CO＝b，
又∵△POA的面积与△POC的面积相等，
∴ an＝ bm，即na＝mb，
由题可得，OB解析式为：y＝ ，
把x＝m代入y＝ ，得y＝ ＝ ＝n，
∴点P（m，n）在OB上．14．已知△ABC≌△CDE，且B、C、D三点共线，∠B＝90°，连接AE．
（1）一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：△ABC绕点B逆时针旋转
度，再向右平移 （填“BC”、“CD”
或“BD”）的距离，可得△CDE；
（2）若AC＝10，△ABC周长为24，求：
①线段BD的长；
②∠ACE的度数．
【解答】解：（1）如图，
△ABC绕点B逆时针旋转90度，再向右平移BD的距离，可得△CDE；
故答案为：90，BD；
（2）①∵AC＝10，△ABC周长为24，
∴AB+BC＝24﹣AC＝24﹣10＝14，
∵△ABC≌△CDE，
∴AB＝CD，
∴BD＝BC+CD＝BC+AB＝14；
②∵∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC＝∠DCE，
∴∠BAC+∠BCA＝∠DCE+∠BCA＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣（∠DCE+∠BCA）＝180°﹣90°＝90°．
15．在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点 B顺时针旋转（旋转角不超过 180°），得到
△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．
（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝2，AC＝ ，求AB的长．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠BEC，理由如下：
∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠BEC；
（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，
∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，
∴AC＝DE＝ ，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵CE∥AB，∴∠BCE＝∠ABC，
∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且DF⊥CE，
∴∠CDF＝30°，
∴CF＝ CD＝1，DF＝ CF＝ ，
在Rt△DEF中，EF＝ ＝ ＝4，
∴CE＝EF+CF＝5＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3＝AB，
∴AB的长为3．
