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1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 26.1 二次函数的概念 知识点一 二次函数的定义 定义：一般的，形如𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎、𝑏、𝑐是常数，𝑎≠0）的函数，叫作二次函 数。其中，𝑥是自变量，𝑎、𝑏、𝑐分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数 项。 特别提醒 作为二次函数，其二次项系数𝑎务必不能等于“0”，这是二次函数的灵魂。反之，若 𝑎= 0，则不论𝑏、𝑐等于几，函数会降为一次函数或常数函数。 归纳总结 形如𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎、𝑏、𝑐是常数，𝑎≠0）的函数，叫作二次函数。 知识点二 含参二次函数 当要求函数𝑦= 𝑎𝑥𝑚+ 𝑏𝑥+ 𝑐是一个二次函数时，需要同时满足以下条件： ①𝑎≠0； ②𝑚= 2 𝑏、𝑐无特殊要求，一般情况下可以置之不理。 拓展延伸 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎≠0）是二次函数的标准形式，因此，有以下三点要求需要额外 留意： ⚫ 必须是整式（分母中不能含有𝑥，根号内不能含有𝑥）； ⚫ 需合并同 类项后再进行判断，例如𝑦= 𝑥(𝑥+ 1) −𝑥2，化简后为𝑦= 𝑥，很明显 不是二次函数； ⚫ 𝑏和𝑐可以等于“ 0”，也可以不为 “0”。若𝑏= 0且𝑐= 0，该函数仍是二 次函数，例如：𝑦= 2𝑥2。 归纳总结 若想使一个含参函数为二次函数，要求：①二次项系数≠0；②最高次项为二次项。 第二十六章 二次函数 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 知识点三 实际问题中的函数解析式 为了表示实际问题中各个数量间的函数解析式，步骤大致与一元二次方程应用题类 似，但只有三步，即审设 列。 ①审题：圈画出题干中已知的数量（比较常见的有人数、物品单价、长度等），明确各 个数量之间的关系，并列出语言关系表达式； ②假设：一般情况下，题干中会给定假设好的量，在表示其他数量的时候，可以借助 已知的数量去表达； ③列式：将已经表示出来的量代入语言关系表达式中。 归纳总结 表示实际问题中的函数解析式时，遵循“审设列”三个步骤即可。 易错点 1 忽略𝒂≠𝟎的大前提 • 错例：认为𝑦= (𝑚−2)𝑥2 + 3𝑥是二次函数； • 错因：思维定势，只关注“有没有平方项”，完全忘了系数的“身份前提”； • 规避方法：看到函数后，自问三个问题：①最高次项是哪一项？②它的系数是 谁？③这个系数能不能等于“0”？ 易错点 2 不化简直接判断类型 • 错例：认为𝑦= (𝑥+ 1)2 −𝑥2是二次函数； • 错因：被表面形式迷惑，缺乏“合并同类项”的自觉，看不到“平方项抵消”的 陷阱； • 规避方法：规定判断前必须先进行化简并写成降幂排列，化简后𝑥2项还在才是二 次函数。 易错点 3 忽视分母/根号对“整式”的限制 • 错例：认为𝑦= 1 𝑥2 + 2𝑥或𝑦= √𝑥2 + 1是二次函数； • 错因：对“整式”概念模糊，只机械记忆“最高次是 2”，不关注代数式的结构 特征； • 规避方法：强调二次函数必须是关于𝑥的整式，𝑥既不能在分母上，也不能在根号 内。例如𝑦= 1 𝑥2和𝑦= √𝑥2都不是二次函数。 3 / 11 学科网（北京）股份有限公司 易错点 4 实际问题漏写取值范围 • 错例：矩形面积𝑆= 𝑥(10 −𝑥)，直接写𝑆= −𝑥2 + 10𝑥，不写0 < 𝑥< 10； • 错因：代数思维与数学建模思维脱节，认为“函数就是式子”，忽略了变量的现 实意义； • 规避方法：凡是实际问题列出的函数解析式，必须检查在实际问题中，是否存在 限制范围。若存在，则一定在解析式后紧跟一个括号写自变量的范围。 易错点 5 混淆自变量和函数值 • 错例：认为𝑥= 2𝑦2 + 3𝑦是二次函数； • 错因：对“函数”定义中“谁是自变量、谁是因变量”的概念不清，受字母符号 干扰； • 规避方法：明确“自变量的次数”才是判断标准。函数以𝑥为自变量，必须写成 𝑦= ⋯的形式，这是关于𝑥的二次函数；若写成𝑥= ⋯，则是关于𝑦的二次函数 • 题型一：二次函数的识别 方法技巧 判断函数是否为二次函数的核心特征以及做法： ①二次项系数不为0； ②存在最高次项为二次项； ③必须是整式，即自变量𝑥不能存在于根号下或分母上； ④若解析式中含有括号，则必须拆括号、合并同类项后才能判断是否为二次函数。 1.（25-26 八年级下·山东东营·期中）下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A． 2 3 y x− = B． 2 5 13 y x x = − + C． 2 y ax bx c = + + D． 2 1 2 y x x = − + 2.（25-26 九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（ ） A． 2 2 3 y x = − B． 2 2 ( 2) y x x = + − C． 2 3 1 y x = − + D． 2 5 y x = 3.（2026·河南周口·一模）下列各式中，y 是关于x 的二次函数的是（ ） 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 A． 2 1 y x = B． 2 2 0 x y − + = C． 2 1 y x = + D． 2 2 1 y x = − 4.（24-25 九年级上·安徽合肥·期末）下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A． 2 1 6 y x = − B． 2 6 y x = − C． 2 6 y x = − D． 2 6 y x = − 5.（25-26 九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：① 2 y x = ；② 2 1 y x = + ；③ ( )( ) 1 1 y x x = − ＋ ；④ 2 1 y x = ；⑤ 2 4 y x = + ；⑥ 2 2 2 2 x y a + = + （a 为常数）；⑦ ( ) 2 3 1 1 y x = + −，其中是二次函数的有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 6.（25-26 九年级上·湖南怀化·阶段检测）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( ) A． 2 2 4 (2 1) y x x = − + B． 2 y ax bx c = + + C． 2 2 2 1 s t t = − − D． 2 1 y x x = + 7.（24-25 九年级上·安徽安庆·阶段检测）下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是 （ ） A． 2 1 3 y x x = − + B． 1 3 y x = C． ( ) 2 1 y x x = − − D． ( )( ) 2 1 4 y x x x = − + − 8.（26-27 九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1） 3 4 y x = ； （2） (2 1) y x x = − ； （3） 2 ( 2) 3 y x = + −； （4） 2 2 ( 4) y x x = + − ； （5） 2 y ax bx c = + + （, , a b c 为常数）． 5 / 11 学科网（北京）股份有限公司 题型二：根据二次函数的定义求参数 方法技巧 对于函数𝑦= 𝑎𝑥𝑚+ 𝑏𝑥+ 𝑐，若要求其为二次函数，则： ①𝑚= 2； ②𝑎≠0。 ⚫ 若𝑚对应的是一个新的一元二次式（假设是关于𝑎的），则需要令该一元二次式等于 2，即解该一元二次方程，求𝑎；其次，还要令𝑎≠0，将不符合题意的解舍去。 1.（21-22 九年级上·新疆哈密·期中）已知函数 ( ) 2 2 2 m y m x − = + 是二次函数，则m 等于 （ ） A．2 B．2 C．2 − D． 2 2．（25-26 八年级下·江苏南通·阶段检测）已知 2 ( 1) 2 3 y m x x− = + + 是二次函数，则m 的取 值范围是（ ） A． 1 m − B． 1 m − C． 1 m D． 1 m − 3．（25-26 八年级下·浙江宁波·期中）若函数 ( ) 2 2 2 m y m x x − = − + 是关于x 的二次函数，则 m 为（ ） A．2 B．2 C．2 − D．0 4．（21-22 九年级上·浙江绍兴·期中）若关于x 的函数 ( ) 2 4 y a x x = − − 是二次函数，则a 的 取值范围（ ） A． 0 a B． 4 a C． 4 a D． 4 a 5．（21-22 九年级上·江苏连云港·期末）已知 ( ) 2 m y m x = + 是关于x 的二次函数，那么m 的 值为（ ） A．2 − B．2 C．2 D．0 6．（25-26 九年级上·云南昭通·期末）若 ( ) 2 4 7 5 a y a x x − = − + −是二次函数，则a 的值为 （ ） A．4 − B．4 C．4 D．2 7．（2026·上海虹口·一模）已知 ( ) 1 3 m y m x − = − （m 为常数）是二次函数，那么m 的值是 （ ） 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．1 − C．3 − D．3 或1 − 8．（2025 九年级上·江苏无锡·专题练习）若 ( ) 2 3 2 3 m m y m x + + = − 是关于x 的二次函数，则m 的值为（ ） A．0 B．0 或3 C．3 D．0 或3 − 9．（25-26 九年级上·吉林松原·期中）若 ( ) 2 3 4 2 y m x x = − + − 是关于x 的二次函数，则m 的 取值范围是（ ） A． 1 m B． 1 m C． 3 m D． 3 m 10．（25-26 九年级上·安徽合肥·期中）若 ( ) 2 2 6 4 1 m m y m x mx + − = + + −是关于x 的二次函数， 则m 的值为（ ） A．2 B．4 − C．2 或4 − D．0 题型三：列二次函数的关系式 方法技巧 ①审题：圈画出重要的数量，写出语言关系表达式； ②设未知数：若题干中已有设定好的自变量，可以直接带入语言关系表达式；若题 干中没有给定自变量，需要灵活假设，将式子尽可能表示的简洁； ③列等式：将因变量𝑦单独保留在等号一侧，另一侧是关于𝑥的一元二次式。 ⚫ 若问题背景是实际问题，需要明确是否有限定的范围，例如墙长有长度范围， 或者墙有限定的高度，座位有限等等，如果有明确的限定范围，则自变量的取 值范围至少要在这个限定范围里面。 1.（25-26 九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一 带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7 月份售出1500 个，若每月的销售量比上一月份增 加相同的百分率x ，请问9 月份的销售量y 关于每月增加的百分率x 的函数解析式是（ ） A． ( ) 2 1500 1 y x = + B． ( ) 2 1500 1 y x = + − C． ( ) 2 1 1500 y x = + + D． 2 1500 y x = + 2．（25-26 九年级上·天津河西·期末）一个扇形的圆心角为100，则这个扇形的面积S 与扇 形所在圆的半径R 之间的函数关系满足（ ） 7 / 11 学科网（北京）股份有限公司 A．正比例关系 B．反比例关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 3．（2025 八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a 元，售价为x 元，每天可销售( ) 100 10x − 件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是 （ ） A． ( )( ) 100 10 y x a x = − − B． ( )( ) 100 10 y x a x = + − C． ( )( ) 10 100 y x a x = − − D． ( )( ) 10 100 y x a x = + − 4．（2025 八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为50元，售价为x 元，每天可销售( ) 100 x − 件，每天的利润为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A． ( )( ) 50 100 y x x = − − B． ( ) 100 y x x = − C． ( )( ) 50 100 y x x = + − D． ( ) 100 50 100 y x x = − − 5．（25-26 九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰 瓜，若每斤盈利10元，每天可售出50斤．经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售 出10斤．设每斤降价x 元，每天盈利为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A． ( )( ) 10 50 10 y x x = + − B． ( )( ) 10 50 10 y x x = − + C． ( )( ) 10 50 10 y x x = − − D． ( )( ) 10 50 10 y x x = + + 6．（25-26 九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300 元，经过医保局连续两 次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都 是x ，则两次降价后的价格y （元）与每次降价的百分率x 之间的函数关系式是（ ） A． ( ) 300 1 y x = − B． ( ) 2 300 1 y x = − C． ( ) 2 300 1 y x = + D． ( ) 2 300 1 y x = − 7．（25-26 九年级上·河北沧州·期中）用长为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设 AB 为x （单位：米），则窗框的透光面积y （单位： 2 m ），关于x （单位：m）的函数解析 式为（铝合金条粗细忽略不计）（ ） 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 A． 2 4 y x x = − + B． 2 3 8 y x x = − + C． 2 3 4 2 y x x − + = D． 2 8 3 y x x = − + 8．（25-26 九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水 池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为3m ．记正方形内除水池外的面积为 2 m y ，圆的半径为m x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ） A． ( ) 2 2 3 y x x = + − B． ( ) 2 4 3 y x = + C． ( ) 2 2 4 3 y x x = + − D． ( ) 2 3 y x = + 9．（25-26 九年级上·云南文山·期中）用12 米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形 菜园，设垂直于墙面的边长为x 米，矩形的面积为y 平方米，根据题意，可列式为 （ ） A． 12 2 y x = − B． ( ) 12 y x x = − C． ( ) 12 2 y x x = − D． ( ) 6 y x x = − 10．（25-26 九年级上·安徽安庆·阶段检测）某商品的进货单价为30元/ 个，当销售单价为 40 元/ 个时，每天能卖出40 个，若销售单价每上涨1元/ 个，则每天的销量就减少1个．设 该商品的销售单价为x 元/ 个，每天的利润为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A． ( ) ( ) 30 40 40 y x x = − − − B． ( ) ( ) 40 40 40 y x x = − − − C． ( )( ) 10 40 y x x = + + D． ( ) ( ) 30 40 40 y x x = − − − 11．（25-26 九年级上·广西钦州·阶段检测）下列变量具有二次函数关系的是（ ） 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 A．圆的周长C 与半径r B．用10m长的绳子围成一个长方形，其中一边长y 与它邻边x 之间的关系 C．正三角形的面积S与边长a D．匀速行驶的汽车，路程s与时间t 12．（25-26 九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱 笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8 米，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米． (1)写出S 与x 的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20 平方米时，求x 的值． 13．（25-26 九年级上·北京·课前预习）设圆柱的高为6cm，底面半径为cm r ，底面周长为 cm C ，圆柱的体积为 3 cm V ． (1)分别写出C 关于r 、V 关于r 、V 关于C 的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 14．（25-26 七年级上·北京·随堂练习）已知正方体的棱长为cm x ，它的表面积为 2 cm S ，体 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 积为 3 cm V (1)分别写出S与x 、V 与x 之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于x 的二次函数？ 15．（24-25 九年级上·广东惠州·阶段检测）明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成 一个矩形菜园，围墙足够长，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道1米宽的 门，已知铁丝网总长是79 米．如图所示，设AB 的长为x 米，矩形面积为y 平方米． (1)用含x 的代数式表示y ． (2)当菜园的面积是600 平方米时，求出x 的值． 16．（24-25 九年级上·广东广州·阶段检测）如图，用长为18m的篱笆(虚线部分)，两面靠墙 围成矩形的苗圃．设矩形的一边为m x ，面积为 2 m y ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 (1)求y 关于x 的函数关系式为 ； (2)写出自变量x 的取值范围（墙足够长）； (3)当 81 y = 时，求x 的值． 17．（25-26 九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为10cm． (1)当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为cm x ，面积为 2 cm S ，求S与x 之间的函数关系 式．
