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26.2.1 二次函数y=ax2 的图象和性质
课标要点
1.认识二次函数y=ax2 的图象是抛物线，能够准确说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点。
2.理解系数a 对抛物线开口方向、开口大小的影响，能根据a 的取值判断抛物线基本特征。
3.结合函数图象掌握y=ax2 的增减性，能分别表述x<0、x>0 时，y 随x 的变化情况，区分抛
物线的最高点与最低点。
学习重难点
重点：
1.当a>0 时，抛物线y=ax2 开口向上，对称轴为y 轴，顶点是原点，顶点为最低点；a 越大
开口越小；x<0，y 随x 增大而减小；x>0，y 随x 增大而增大。
2.当a<0 时，抛物线y=ax2 开口向下，对称轴为y 轴，顶点是原点，顶点为最高点；a 越小
开口越小；x<0，y 随x 增大而增大；x>0，y 随x 增大而减小。
难点：
1.分清a>0、a<0 两种情形下增减性，避免混淆。
2.理解a 的大小和抛物线开口宽窄之间的关系。3.结合图象，利用增减性判断自变量变化时
函数值的变化趋势。
第二十六章
二次函数
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知识点
二次函数y=ax2 的图象与性质
函数形式𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)，图象叫做抛物线
共同特征(无论a>0 还是a<0)
①对称轴：y 轴(直线x =0)；②顶点坐标：原点(0,0)；③图象都关于y 轴对称。
④|a|决定开口宽窄：|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，开口越大。
y=ax2
a>0
a<0
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
y 轴，直线x=0
y 轴，直线x=0
顶点坐标
(0，0)（原点）
(0，0)（原点）
顶点位置特征
抛物线的最低点
抛物线的最高点
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最值情况
当x=0 时，最小值；无最大值
当x=0 时，最大值；无最小值
增减性（对称轴左侧x<0）
y 随x 的增大而减小
y 随x 的增大而增大
增减性（对称轴右侧x>0）
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
随学随练
1．（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么𝑎1，𝑎2，𝑎3的大小关系
是（ ）
A．𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3
B．𝑎3 < 𝑎1 < 𝑎2
C．𝑎1 < 𝑎3 < 𝑎2
D．𝑎3 < 𝑎2 < 𝑎1
2．（25-26 九年级上·江苏淮安·期末）已知点(−1,𝑦1)，(0,𝑦2)，(3, 𝑦3)都在二次函数𝑦= 𝑥2的图象上，
则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系是（ ）
A．𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3
B．𝑦3 < 𝑦1 < 𝑦2
C．𝑦2 < 𝑦1 < 𝑦3
D．𝑦3 < 𝑦2 < 𝑦1
3．（25-26 九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面
的距离为4m．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点𝑂为坐标原点，水平方向为𝑥轴，以过点𝑂垂直于𝑥轴
的直线为𝑦轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A．𝑦= −
1
9 𝑥2
B．𝑦= −
1
6 𝑥2
C．𝑦= −
2
9 𝑥2
D．𝑦=
1
4 𝑥2
特别提醒
1.开口宽窄判断易错：不是a 越大开口越窄，是|a|越大，抛物线开口越窄，与a 正负无关。
2.增减性描述易错：不能笼统说y 随x 增大而增大/减小，要以对称轴x =0 分左右两边分别描述。
3.书写规范易错：对称轴要写直线x=0，顶点写坐标(0，0)；二次函数前提a≠0，a=0 不是二次函数。
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4．（25-26 九年级上·广西崇左·阶段检测）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数𝑦=
1
3 𝑥2、𝑦= −
1
3 𝑥2、
𝑦= 3𝑥2、𝑦= −3𝑥2的图象；
（2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴；
（3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标；
（4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y 随x 增大而变化的情况．
拓展
二次函数y=ax2 图象与性质新定义类问题
题型特点：题目给出课本没有的新概念(新运算、新距离、新特征点、新图像、新规则),结合最简单二次函
数y=ax²考理解、读图、计算、分类讨论。核心：先读懂新定义，再套二次函数y=ax²性质。
一、基础必备(y=ax²图像性质)
1.顶点永远(0,0),对称轴：y 轴(x=0)
2.a>0：开口向上；x<0 递减，x>0 递增；有最小值0
3.a<0：开口向下；x<0 递增，x>0 递减；有最大值0
4.点(r,y)在图像上，则y=ax²;若点(m,n)在抛物线上，则n=am²,经常用来求a。
二、通用解题四步(新定义题万能流程)
第1 步：翻译新定义，圈关键词
把题目文字定义翻译成数学式子/几何条件。
常见新定义：新距离、伴随点、可控点、友好点、“k 一特征点”、镜像点、界点等。
操作：用笔画出定义中的等式、不等式、范围。
例：定义：若点P(x0, y0)满足𝑦0 > 𝑎𝑥0
2，称P 为抛物线上方点。
翻译：条件就是𝑦0 > 𝑎𝑥0
2。
第2 步：设点坐标，代入定义
二次函数𝑦= 𝑎𝑥2上动点常设：𝑃(𝑡, 𝑎𝑡2)(用参数t 表示横坐标，纵坐标直接写at²,减少未知数)。把P(t,at²)
代入翻译出来的等式或不等式，得到关于t、a 的方程/不等式。
第3 步：结合y=ax²性质化简
1.出现t²,注意t²≥0;
2.a 正负会改变不等号方向!分类讨论a>0、a<0 是高频易错点；
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3.求交点：联立新定义条件与y=ax²解方程；
4.判断存在性：看方程有没有实数解，判别式、平方非负。
第4 步：检验结果，取舍答案
①解出来的t、a 是否满足题目隐藏条件(比如点在第一象限、x>0 等);
②多解要排除不符合定义的解。
活学活用
1．（25-26 九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，对于点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，若满足𝑦1 + 𝑦2 =
𝑡(𝑥1 + 𝑥2)，则称𝐴，𝐵两点互为“𝑡倍点”．
(1)已知直线𝑦= 2𝑥−3上的点𝐵是点𝐴的“2 倍点”，
①若点𝐴在𝑥轴上，求点𝐴的横坐标．
②若点𝐴在抛物线𝑦= 𝑥2上，求点𝐴的坐标．
(2)已知𝐴(2,0)，若在抛物线𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 8上存在唯一的点𝐵是点𝐴的“𝑡倍点”，求𝑡的值．
2．（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为𝑀，平行于𝑥轴的直线与该抛物线交于点𝐴，𝐵（点𝐴在点𝐵左
侧），根据对称性可知，△𝐴𝑀𝐵为等腰三角形．我们规定：当△𝐴𝑀𝐵为等腰直角三角形时，就称△𝐴𝑀𝐵为
该抛物线的“完美三角形”．
(1)与𝑦= 𝑥2的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号）
①𝑦= 𝑥2 + 1；②𝑦= 2𝑥2；③𝑦= 𝑥2 −2
(2)若抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 6的“完美三角形”的斜边长为8，求𝑎的值；
(3)若抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 2的“完美三角形”的斜边长为𝑚，抛物线𝑦= 𝑏𝑥2 + 3的“完美三角形”的斜边长为
𝑛，且𝑚= 2𝑛，求𝑎与𝑏的数量关系．
题型一 与二次函数y=ax2 相关的点
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▌例1（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线𝑦= 𝑥2的顶点坐标是（ ）
A．（1，0）
B．（0，1）
C．（0，0）
D．（1，1）
▌对点练1-1．（26-27 九年级上·全国·课后作业）二次函数𝑦= −𝑥2的图象必经过点（ ）
A．(2,4)
B．(−2, −4)
C．(−4,2)
D．(4,−2)
▌对点练2-1．（25-26 八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数𝑦=
1
2 𝑥2的图象上的是（ ）
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,2)
D．(4,4)
题型二 二次函数y=ax2 的开口大小比较
▌例2（25-26 九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 𝑦=
1
3 𝑥2，𝑦= −2𝑥2，𝑦=
3
2 𝑥2的图象开口最大的是
解题贴士
判断一个点P(x0，y0)是否在y=ax2图像上
核心方法：代入检验法
把点的横坐标x。代入解析式，算出函数值，看算出来的y 是否等于点的纵坐标y0
。步骤：
1.将x=x0代入y=ax2，计算：y=ax0
2
2.比较计算得到的y 和点的纵坐标yo
若y0=ax0
2→点在抛物线上；
若y0≠ax0
2→点不在抛物线上。
解题贴士
y=ax2，开口大小只看|a|(a的绝对值)，和a的正负无关
1.|a|越大→抛物线开口越窄(越陡)
2.|a|越小→抛物线开口越宽(越平缓)
a的正负只决定开口方向：
a>0：开口向上
a<0：开口向下
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（ ）
A．𝑦=
1
3 𝑥2
B．𝑦= −2𝑥2
C．𝑦=
3
2 𝑥2
D．无法确定
▌对点练2-1．
（25-26 九年级上·河南新乡·期中）有下列二次函数：①𝑦= −3𝑥2；②𝑦=
2
3 𝑥2；③𝑦= −
4
3 𝑥2．在
同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（）
A．①②③
B．①③②
C．②③①
D．②①③
▌对点练2-2．（25-26 九年级上·陕西西安·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么𝑎1，𝑎2，
𝑎3的大小关系是______ ．（请用“>”连接）
题型三 利用二次函数y=ax2 的性质比较函数值大小
解题贴士
方法一：代数法(代入计算，万能，选择题不会就用)
把自变量x 直接代入，算出y，直接比大小。
例：𝑦= 2𝑥2，比较𝑥1=-3，𝑥2=2 的函数值
𝑦1 = 2 × (−3)2 = 18，𝑦2 = 2 × 22 = 8，∴𝑦1 > 𝑦2
方法二：性质法(不计算，快速比较，考试高频)
①当a > 0, 开口向上
|x|越大→x²越大→y 越大。
离y 轴越远，函数值越大。
②当a < 0, 开口向下
|x|越大→x²越大→ax²反而越小。
离y 轴越远，函数值越小。
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▌例3（25-26 八年级下·广西南宁·期末）二次函数𝑦= 2𝑥2的图象上有三个点𝐴(1, 𝑦1)，𝐵(2, 𝑦2)，𝐶(3,𝑦3)，
则𝑦1、𝑦2、𝑦3的大小关系为（ ）
A．𝑦1 > 𝑦2 > 𝑦3
B．𝑦1 > 𝑦3 > 𝑦2
C．𝑦2 > 𝑦1 > 𝑦3
D．𝑦3 > 𝑦2 > 𝑦1
▌对点练3-1．（25-26 九年级上·重庆·阶段检测）已知点𝐴(−2, 𝑦1)，𝐵(0, 𝑦2)，𝐶(1,𝑦3)都在二次函数𝑦= −𝑥2
的图像上，则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系为（ ）
A．𝑦1 > 𝑦2 > 𝑦3
B．𝑦2 > 𝑦1 > 𝑦3
C．𝑦2 > 𝑦3 > 𝑦1
D．𝑦3 > 𝑦2 > 𝑦1
▌对点练3-2．（25-26 九年级上·北京西城·阶段检测）点(2,𝑦1)，(−1,𝑦2)在𝑦= −2𝑥2上，则𝑦1，𝑦2的大
小关系是（ ）
A．𝑦1 < 𝑦2
B．𝑦1 > 𝑦2
C．𝑦1 = 𝑦2
D．无法判断
题型四 根据函数的增减性求参数
▌例4（25-26 九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数𝑦= 𝑚𝑥2，当𝑥< 0时，𝑦随𝑥增大而减小，则
实数𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚< 0
B．𝑚≤0
C．𝑚> 0
D．𝑚≥0
▌对点练4-1．（25-26 九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形𝑂𝐴𝐵𝐶是边长为2√2的正方形，𝑂𝐶与x 轴
正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎< 0)的图象上，则a 的值为（ ）
解题贴士
考法1：直接告知某一侧增减性，求a 取值范围
核心逻辑：
若x > 0 时，y 随x 增大而增大→a > 0
若x > 0 时，y 随x 增大而减小→a < 0
若x < 0 时，y 随x 增大而增大→a < 0
若x < 0 时，y 随x 增大而减小→a > 0
考法2：给两个点，结合增减性求参数范围(中考高频难点)
题干形式：
在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2上，当𝑥1 < 𝑥2时，𝑦1 > 𝑦2(或𝑦1 < 𝑦2)，求a 的范围。
▲关键：要先看两个点是同在对称轴左边/同在右边/分居两侧。
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A．−
1
6
B．−
1
4
C．−
1
3
D．−
1
2
▌对点练4-2．（25-26 九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦= 2分别交抛
物线𝑦= 𝑥2(𝑥≥0)，𝑦= 𝑎𝑥2(𝑥≥0)于点𝐴, 𝐵，且𝐴𝐵= 1，则𝑎的值为（ ）
A．0.5
B．1.5
C．6 −4√2
D．6 + 4√2
题型五 y=ax2 的性质与图象综合（选择）
▌例5（25-26 九年级上·上海·期中）下列关于抛物线𝑦=
1
2 𝑥2和𝑦= −
1
2 𝑥2的关系的说法中，正确的是（ ）
A．它们的形状相同，开口方向也相同；
B．它们都关于y 轴对称；
C．它们的顶点不相同；
D．点(−2,2)既在抛物线𝑦=
1
2 𝑥2上也在𝑦= −
1
2 𝑥2上．
▌对点练5-1．（25-26 九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数𝑦= 4𝑥2与𝑦= −4𝑥2，下列说法错误的是
（ ）
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．顶点坐标相同
D．两函数图象关于x 轴对称
▌对点练5-2．（25-26 九年级上·上海·课后作业）对于函数𝑦= 4𝑥2，下列说法正确的是（ ）
A．当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而减小
B．当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大
C．𝑦随𝑥的增大而减小
D．𝑦随𝑥的增大而增大
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▌对点练5-3．（25-26 九年级上·浙江衢州·阶段检测）关于函数𝑦=
1
2 𝑥2，𝑦= 𝑥2，𝑦= 2𝑥2的图象，下列
说法中不正确的是（ ）
A．顶点坐标相同
B．对称轴相同
C．图象形状相同
D．最低点相同
题型六 y=ax2 的性质与图象实际应用
▌例6（25-26 九年级上·安徽亳州·期中）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数
𝑦= −
1
25 𝑥2，在正常水位时水面宽𝐴𝐵= 30m，当水位上升5m 时，水面的宽𝐶𝐷为（ ）
A．16m
B．18m
C．20m
D．24m
▌对点练6-1．（25-26 九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶
部离水面的距离为4m．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点𝑂为坐标原点，水平方向为𝑥轴，以过点𝑂垂
直于𝑥轴的直线为𝑦轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
解题贴士
模型1：拱桥、隧道、拱门(开口向下，a<0)
一般建系方式：
方案①：以拱顶(最高点)为原点(0，0)，水平向右为x 轴，竖直向下为y 轴；
方案②：以拱顶为原点，x 轴水平向右，y 轴竖直向上，此时a<0，拱顶(0，0)是最高点。
已知桥宽、高度，求解析式；或已知位置求高度；或已知高度求水平宽度。
模型2：抛射运动(喷水、小球下落，a≠0)
1.喷水：喷头放在原点(0，0)，水流向外向上抛出，开口向下a<0。
2.自由下落：物体从原点由静止下落，向下为y 轴正方向，开口向上a>0,y=ax2，时间x，下落距离y。
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A．𝑦= −
1
9 𝑥2
B．𝑦= −
1
6 𝑥2
C．𝑦= −
2
9 𝑥2
D．𝑦=
1
4 𝑥2
▌对点练6-2．（25-26 九年级上·广东江门·期中）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当
水面宽𝐴𝐵= 18m时，涵洞顶点与水面的距离为9m．当水面宽𝐶𝐷= 6m时，水位上升___________
▌对点练6-3．（25-26 九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为
𝑦= −
1
4 𝑥2，当水面离桥顶的高度𝑂𝐻为4m时，水面的宽度𝐴𝐵为______m．
题型七 y=ax2 的性质与图象中规律探索类
▌例7（25-26 九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水
面的距离为4m．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点𝑂为坐标原点，水平方向为𝑥轴，以过点𝑂垂直于𝑥
轴的直线为𝑦轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A．𝑦= −
1
9 𝑥2
B．𝑦= −
1
6 𝑥2
C．𝑦= −
2
9 𝑥2
D．𝑦=
1
4 𝑥2
▌对点练7-1．（25-26 九年级上·广东江门·期中）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当
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水面宽𝐴𝐵= 18m时，涵洞顶点与水面的距离为9m．当水面宽𝐶𝐷= 6m时，水位上升___________
▌对点练7-2．（25-26 九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为
𝑦= −
1
4 𝑥2，当水面离桥顶的高度𝑂𝐻为4m时，水面的宽度𝐴𝐵为______m．
题型八 y=ax2 的性质与图象作图题
▌例8（26-27 九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系内画出二次函数𝑦= 2𝑥2与𝑦= −
1
2 𝑥2的
图象．
(1)列表
x
…
−2
−1
0
1
2
…
𝑦= 2𝑥2
…
________
________
________
________
________
…
𝑦
= −1
2 𝑥²
…
________
________
________
________
________
…
(2)描点、连线
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▌对点练8-1．
（25-26 九年级下·全国·课堂例题）在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数𝑦= 2𝑥2
和𝑦= −
1
2 𝑥2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)：
(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)抛物线𝑦= 2𝑥2，当𝑥______时，抛物线上的点都在𝑥轴的上方，它的顶点是图象的最______点；
(3)函数𝑦= −
1
2 𝑥2，对于一切𝑥的值，总有函数𝑦______0；当𝑥______时，𝑦有最______值是______．
▌对点练8-2．（2025 九年级·全国·专题练习）在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数𝑦=
3
2 𝑥2的
图象，并回答下列问题：
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（1）当x 取何值时，y 有最小值？最小值是多少？
（2）当𝑥> 0时，y 随x 的增大怎样变化？当𝑥< 0时呢？
▌对点练8-3．（2025 九年级·全国·专题练习）已知圆柱的高为
1
3，底面半径为𝑟，体积为𝑉（π取3）．
(1)𝑉与𝑟之间的函数关系式为______，并在图中画出图象．
(2)根据图象，当𝑟= 1时，圆柱的体积为______．
(3)根据图象，求出当𝑟为何值时，𝑉≥4．
题型九 y=ax2 的性质与图象综合解答
▌例9（25-26 九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)的图象与直线𝑦= 2𝑥−3交于
点𝐴(1,𝑏)．
(1)求a 和b 的值；
(2)当x 取何值时，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2中的函数值y 随x 值的增大而增大？
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(3)求抛物线𝑦= 𝑎𝑥2与直线𝑦= 2𝑥−3的另一个交点 B 的坐标．
▌对点练9-1．（2025 九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B 在抛物线𝑦=
1
4 𝑥2上．已知点A，B 的横
坐标分别为−2，4，直线𝐴𝐵与y 轴交于点𝐶．
(1)求直线𝐴𝐵的函数解析式；
(2)在x 轴上找一点P，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐶的值最小，请求出此时点P 的坐标及𝑃𝐴+ 𝑃𝐶的最小值．
▌对点练9-2．（24-25 九年级上·广东广州·期中）如图，已知点𝐴(−2, 4)在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)上，过
点𝐴且平行于𝑥轴的直线交抛物线于点𝐵．
(1)求𝑎的值；
(2)若点𝑃是抛物线上一点，且𝑃的横坐标为1，求△𝐴𝐵𝑃的面积．
▌对点练9-3．（25-26 九年级上·山东济南·期中）如图，已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)与一次函数𝑦= 𝑥+ 2
的图象相交于𝐴(−1, 𝑚)、𝐵(𝑛, 4)两点．
(1)求𝑎, 𝑚, 𝑛的值；
(2)观察图象，直接写出不等式𝑎𝑥2 −𝑥−2 < 0的解集．
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基础通关
1．（2026·广东广州·二模）给出下列函数： ①𝑦= 3𝑥， ②𝑦= −3𝑥+ 2， ③𝑦=
3
𝑥， ④𝑦= 2𝑥2，其中
符合条件“当𝑥> 1时，函数值𝑦随自变量𝑥增大而增大”的是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③
2．（25-26 九年级下·吉林长春·期中）若点𝐴(2,𝑦1)和点𝐵(3, 𝑦2)都在抛物线𝑦= −𝑥2上，则𝑦1和𝑦2的大小
关系是（ ）
A．𝑦1 > 𝑦2
B．𝑦1 = 𝑦2
C．𝑦1 < 𝑦2
D．无法确定
3．（25-26 九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑐的顶点坐标是(0,2)，且形状及开口方向与
抛物线𝑦= −
1
2 𝑥2相同，则a，c 的值分别为（ ）
A．−
1
2，2
B．−
1
2，−2
C．
1
2，2
D．
1
2，−2
4．（25-26 九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(−2,3)，𝐵(3,4)，𝑦= 𝑎𝑥2的图象如
下图所示，则𝑎的值可以为（ ）
A．3
B．2
C．1.7
D．0.5
5．（25-26 九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线𝑦= 3𝑥2时，将系数“3”误认为“
1
3”，得
到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（ ）
A．开口大小
B．开口方向
C．对称轴
D．顶点坐标
6．（25-26 九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，Rt △𝑂𝐴𝐵的顶点𝐴(−2,4)在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2上，将Rt △𝑂𝐴𝐵
绕点𝑂顺时针旋转90°，得到△𝑂𝐶𝐷，边𝐶𝐷与该抛物线交于点𝑃，则点𝑃的坐标为（ ）
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A．(2,2)
B．(2,√2)
C．(√2, 2)
D．(1,2)
7．（25-26 九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形𝑂𝐴𝐵𝐶是正方形，且点𝐴, 𝐶恰好在抛物线𝑦=
1
2 𝑥2上，
点𝐵在𝑦轴上，则𝑂𝐵的长为（ ）．
A．2
B．2√2
C．4
D．√2
2
8．（25-26 八年级下·福建福州·期末）二次函数𝑦= −4𝑥2的图象开口向___________．（填“上”或“下”）
9．
（25-26 九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(−1,1)，𝐵(2,1)，若抛物线𝑦＝𝑎𝑥2(𝑎≠0)
与线段𝐴𝐵有公共点，则𝑎的取值范围是____．
10．（25-26 九年级上·四川广元·期中）已知点(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)是函数𝑦= (𝑚−3)𝑥2的图象上的两点，
且当0 < 𝑥1 < 𝑥2时，有𝑦1 > 𝑦2，则𝑚的取值范围是______
11．（2025·山东东营·中考真题）二次函数𝑦= 𝑥2的图象如图所示，点𝐵0位于坐标原点，点𝐵1，𝐵2，…，
𝐵𝑛在y 轴的正半轴上，点𝐴1，𝐴2，…，𝐴𝑛，点𝐶1，𝐶2，…，𝐶𝑛在二次函数的图象上，四边形𝐵0𝐴1𝐵1𝐶1，四
边形𝐵1𝐴2𝐵2𝐶2，…，四边形𝐵𝑛
－1𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛都是正方形，则正方形𝐵𝑛
－1𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛的周长为______．
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12．（2025 九年级上·河南信阳·专题练习）已知函数𝑦= (𝑚+ 2)𝑥𝑚2+𝑚−4是𝑦关于𝑥的二次函数.
(1)求满足条件𝑚的值；
(2)当𝑚为何值时，此抛物线有最低点？这时，当𝑥取何值时，𝑦随𝑥的增大而减小；
(3)当𝑚为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当𝑥取何值时，𝑦随𝑥的增大而增大.
13．（2025 九年级·全国·专题练习）如图，梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点都在抛物线𝑦= −𝑥2上，且𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝑥轴．点
𝐴的坐标为(𝑎, −4)，点𝐶的坐标为(3,𝑏)．
(1)求a，b 的值．
(2)求𝐵，𝐷两点的坐标．
素养提升
1．（26-27 九年级上·全国·课后作业）如图所示，从𝑦= −𝑥2的图象上可看出当−3 < 𝑥≤1时，函数y 的
取值范围是（ ）
A．−9 < 𝑦≤−1
B．−9 ≤𝑦< −1
C．−9 ≤𝑦≤0
D．−9 < 𝑦≤0
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2．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形𝑂𝐴𝐵𝐶是正方形，且点𝐴、𝐶恰好在抛物线𝑦= 𝑥2上，点𝐵在𝑦轴
上，则𝑂𝐵的长为（ ）
A．2
B．2√2
C．4
D．√2
2
3．（25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知𝑃(𝑡, 𝑦1)，𝑄(𝑡+ 4, 𝑦2)两点在二次函数𝑦= 𝑥2的图象上，
下列判断错误的是（ ）
A．若𝑡= −2，则𝑦1 = 𝑦2
B．若𝑦1 = 𝑦2，则𝑡= −2
C．若𝑡> 0，则𝑦1 < 𝑦2
D．若𝑦1 < 𝑦2，则𝑡> 0
4．（2025 九年级·全国·专题练习）已知(𝑥1, 𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)是函数𝑦= (𝑚−2026)𝑥2的图象上的两点，且
当0 < 𝑥1 < 𝑥2时，有𝑦1 > 𝑦2，则m 的取值范围是（ ）
A．𝑚> 2026
B．𝑚≥2026
C．𝑚≤2026
D．𝑚< 2026
5．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为√2的正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴在𝑥轴正半轴上，顶点𝐶在𝑦轴正半轴上．如
图将正方形𝑂𝐴𝐵𝐶绕顶点𝑂逆时针旋转75°，使点𝐵恰好落在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2上，则𝑎的值是（ ）
A．−√2
2
B．−√3
C．√3
3
D．√3
6．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知点𝐴(1, 𝑡)在抛物线𝑦= 𝑥2上，则点𝐴的坐标为__________；若在𝑥轴
上存在点𝑃，使△𝑂𝐴𝑃是等腰三角形，请写出点𝑃的坐标__________．
7．（25-26 九年级上·湖南岳阳·阶段检测）定义：平面内任意两点𝑃(𝑥1，𝑦1)，𝑄(𝑥2，𝑦2)，𝑑𝑃𝑄= |𝑥1 −𝑥2| +
|𝑦1 −𝑦2|称为这两点之间的曼哈顿距离，例如𝑃(1,2)，𝑄(3,−4)，𝑑𝑃𝑄= |𝑥1 −𝑥2| + |𝑦1 −𝑦2| = |1 −3| +
|2 −(−4)| = 2 + 6 = 8．若点𝐴为抛物线𝑦= 𝑥2上的动点，点𝐵为直线𝑦=
1
2 𝑥+ 𝑏上的动点，且抛物线与直
线没有交点，𝑑𝐴𝐵的最小值为1，则𝑏的值为___________．
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8．（25-26 九年级上·上海·课后作业）根据条件，求下列各题中𝑚的取值或取值范围．
(1)函数𝑦= (2𝑚−1)𝑥2有最小值；
(2)函数𝑦= (𝑚−2)𝑥2，当𝑥< 0时，𝑦随着𝑥的增大而增大；
(3)𝑦= (𝑚+ 1)𝑥2与𝑦= 2𝑥2的函数图象形状相同；
(4)函数𝑦= 𝑚𝑥𝑚2+𝑚的图象是开口向下的抛物线．
9．（2025 九年级·全国·专题练习）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)与直线𝑦= 2𝑥−3相交于点(1,𝑏)．
(1)求a 与b 的值．
(2)二次函数𝑦= 𝑎𝑥2中，当−1 < 𝑥< 3时，求y 的取值范围．
(3)求抛物线与过点(0,−2)且平行于x 轴的直线的两个交点与抛物线顶点所围成的三角形的面积．
10．（2025 九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎> 0)的图像和直线𝐴𝐵相交
于𝐵、𝐶两点，且点𝐴的坐标是(2,0)，点𝐵的坐标是(1,1)．
(1)𝑎=________，并直接写出将二次函数的图像向左平移2个单位长度所得的图像的函数表达式__________．
(2)求△𝑂𝐵𝐶的面积．
(3)在二次函数𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎> 0)的图像上是否存在点𝐷，使得的△𝑂𝐴𝐷面积等于△𝑂𝐵𝐶的面积，若存在，请求
出所有符合题意的点𝐷的坐标；若不存在，请说明理由．
迁移创新
1．（25-26 九年级上·河南许昌·期末）有五张相同的小纸条，分别写有语句：①函数表达式为𝑦=
1
𝑥；②
函数表达式为𝑦= 𝑥2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y 轴对称；⑤函数值y 随自变量x 增
大而增大．将这五张小纸条做成五支签，①②放在不透明的盒子A 中搅匀，③④⑤放在不透明的盒子B 中
搅匀．
(1)从盒子A 中任意抽出1 支签，抽到①的概率是________；
(2)先从盒子A 中任意抽出1 支签，再从盒子B 中任意抽出1 支签．求抽到的两支签上的语句对函数的描述
相符合的概率．
2．（25-26 九年级下·全国·单元复习）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字−2，−1，1，4
的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小华先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒
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子摇匀后，再由小夏随机取出一个小球，记下数字为b．
(1)用列表法或画树状图表示出(𝑎, 𝑏)的所有可能出现的结果；
(2)求小华、小夏各取一次小球所确定的点(𝑎, 𝑏)落在二次函数𝑦= 𝑥2的图象上的概率；
(3)求小华、小夏各取一次小球所确定的数a，b 满足直线𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏经过一、二、三象限的概率．
