第二十三章 旋转（知识清单）
一、学习目标
1 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质.
2 了解中心对称和中心对称图形的概念并理解它的基本性质.
3 掌握关于原点对称的两点的关系并应用.
重点：
1 掌握二次函数的图象特征及其性质.
2 掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法.
难点：
1 图形旋转的基本性质的归纳与运用.
2 中心对称的基本性质的归纳与运用.
二、学习过程
【章节介绍】
让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，探索图形旋转基本性质，进一步发展空间观察，
培养运动几何的观点，增强审美意识.让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内
涵，享受学习乐趣，学生运用所学知识进行图案设计活动，激发学习热情.
【知识梳理】
一 旋转的概念：
在平面内，将一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转.这个定
点叫做旋转中心.转动的角叫做旋转角.
二 旋转的性质：
1.对应点到旋转中心的距离相等.
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.3.旋转前、后的图形全等.
三 简单旋转作图的一般步骤：
1)找出图形的关键点；
2)确定旋转中心，旋转方向和旋转角；
3)将关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个角，得到关键点的对应点；
4)按照原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形．
四 中心对称的概念：
把一个图形绕某一个点旋转180º，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对
称或中心对称.
1）这个点叫做对称中心.
2）这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
五 中心对称的性质：
1)中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心所平分.
2)中心对称的两个图形是全等形.
六 利用中心对称的性质作图的基本步骤：
1.作点的中心对称：先连接点和对称中心，然后延长一倍；
2.做图形的中心对称：先确定好图形的特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等），再作特殊
点的对称点，然后顺次连接.
七 中心对称图形的概念：
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这
个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点.
八 中心对称图形的性质：
中心对称图形上每一对对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
九 在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P＇(-x，-y)。
十 在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤：
1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；
2）写出关键点关于原点对称的点坐标；
3）在直角坐标系中标出对称点的坐标；
4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形.
【考点解读】考查题型一 画旋转图形
1．图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）将（1）中的△A B C 绕点C1逆时针旋转90°得到△A B C ，画出△A B C ．
1 1 1 2 2 1 2 2 1
【详解】解：（1）如下图所示，△A B C 为所求；
1 1 1
（2）如下图所示，△A B C 为所求；
2 2 1
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点分别是A(−5,1)，B(−1,3)，C(−1,1)．
(1)平移△ABC，使得点A的对应点A 的坐标为(1,3)，画出平移后的△A B C ；
1 1 1 1
(2)将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A B C ；
2 2 2(3)若△A B C 与△A B C 关于点P成中心对称，则点P坐标为______．
1 1 1 2 2 2
【详解】（1）如图所示：△A B C 即为所求，
1 1 1
（2）如图所示：△A B C 即为所求，
2 2 2
（3）已知A 的坐标(1,3)，根据图形可知A 的坐标为：(5,-1)，
1 2
3−1
则P点横坐标为： ，P点的纵坐标为： =1，
2
点P的坐标(3,1)．
故答案是：（3，1）
3．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，
1）．
(1)平移△ABC，使得点A的对应点A 的坐标为（﹣1，﹣1），则点C的对应点C 的坐标为 ；
1 1(2)将△ABC绕原点旋转180°得到△ABC ，在图中画出△ABC ；
2 2 2 2 2 2
(3)M、N为x轴上的两个动点，点M在点N的左侧，连接MN，若MN＝1，点D（0，﹣1）为y轴上的一
点，连接DM、CN，则DM＋CN的最小值为 ．
【详解】（1）解：∵平移△ABC，使得点A（1，3）的对应点A 的坐标为（﹣1，﹣1），
1
∴平移方式为：将△ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴点C（2，1）的对应点C 的坐标为（0，－3），
1
故答案为：（0，－3）；
（2）△ABC 如图所示：
2 2 2
（3）如图，取点D′（1，−1），连接CD′交x轴于点N′，
∵M′N′＝DD′＝1，且M′N′∥DD′，
∴四边形M′N′D′D是平行四边形，
∴DM′＝D′N′，
∴DM′＋CN′＝D′N′＋CN′＝CD′，
∴DM＋CN的最小值为CD′＝ ，
故答案为：❑√5．考查题型二 旋转综合题
1．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连
接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
【详解】（1）证明：如图，
∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，
即∠BAE＝∠CAF，
AB=AC
{
在△ABE和△ACF中 ∠BAE=∠CAF，
AE=AF
∴△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF；（2）解：如图，
∵四边形ABDF为菱形，
∴DF＝AF＝2，DF∥AB，
∴∠1＝∠BAC＝45°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴CF＝❑√2AF＝2❑√2，
∴CD＝CF﹣DF＝2❑√2﹣2．
2．如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB=4，DE=4.3，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合．
（1）旋转中心是______，旋转角为______°；
（2）请你判断△DFE的形状，简单说明理由；
（3）四边形DEBF的面积为 ．
【详解】解：（1）由旋转可得，旋转中心是点D；旋转角为∠ADC=90°，
故答案为点D，90；
（2）△DFE是等腰直角三角形．；理由：根据旋转可得DE=DF，∠EDF=∠ADC=90°，
所以△DFE是等腰直角三角形．；
（3）根据旋转可得：△ADE≌△CDF，
∴四边形DEBF的面积=正方形ABCD的面积=4×4=16．
3．如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三
角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．
（1）证明：⊿ABC ≌ ⊿DCB；
（2）求∠AEB的大小．
（3）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和
△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
【详解】证明：(1)
∵AO=DO，且ΔAOB、ΔDOC都为等边三角形，
∴CO=BO,∠COD=∠BOA=60∘,
∴∠COB=60∘，
∴ΔCOB为等边三角形，
∴∠DCB=∠ABC=120∘,
在ΔABC和 中，
{
AB=CD
BC=BC ,
∠DCB=∠ABC
∴ΔABC≌ΔDCB;
(2)如图所示：∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
且点O是线段AD的中点，
∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60∘，
∴∠4=∠5，
又∵∠4+∠5=∠2=60∘，
∴∠4=30∘，
同理∠6=30∘，
∵∠AEB=∠4+∠6，
∴∠AEB=60∘.
(3)如图所示：
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60∘.
又∵OD=OA，
∴OD=OB，OA=OC，
∴∠4=∠5，∠6=∠7，
∵∠DOB=∠1+∠3，
∠AOC=∠2+∠3，
∴∠DOB=∠AOC.∵∠4+∠5+∠DOB=180∘,∠6+∠7+∠AOC=180∘，
∴2∠5=2∠6，
，
又∵∠AEB=∠8−∠5，∠8=∠2+∠6，
∴∠AEB=∠2+∠6−∠5=∠2+∠5−∠5=∠2，
∴∠AEB=60∘.
4．如图，将RtΔADF绕着点A顺时针旋转90°得到 ，射线EB与DF相交于点C，∠D=90°，求
证：四边形ABCD为正方形．
【详解】证明：∵将RtΔADF绕着点A顺时针旋转90°得到 ，
∴∠EAF=90°,△ADF≌△ABE，
∴∠EAB=∠FAD，AB=AD，
∵∠D=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABC=90°，
∵∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，即∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形．
5．探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在BC、CD上，
∠EAF=45°．
（1）①如图 1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；
②如图 2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系_______时，仍有EF=BE+DF;
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=2❑√2，点D、E均在边BC上，且
∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．【详解】（1）①如图1，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，
即∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中
{
AF=AF
∠EAF=∠GAF
AE=AG
∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
②∠B+∠D=180°，
理由是：
把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE=AG， ，∠BAE=∠DAG，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴C，D，G在一条直线上，和①知求法类似，∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中
{
AF=AF
∠EAF=∠GAF
AE=AG
∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
故答案为：∠B+∠D=180°
（2）∵△ABC中，AB=AC=2❑√2，∠BAC=90
∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：
BC=❑√AB2+AC2=❑√(2❑√2) 2+(2❑√2) 2=4 ，
把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．
则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC−∠DAE=90°−45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△FAD和△EAD中
{
AD=AD
∠FAD=∠EAD
AF=AE
∴△FAD≌△EAD，
∴ ，
设DE=x，则DF=x，
∵BD=1，∴BF=CE=4−1−x=3−x，
∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，
∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，
x2=(3−x) 2+12，
5
解得：x= ，
3
5
即DE= ．
3
(❑√2 )
6．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形 OA<OM<OA ，∠AOB=∠MON=90°．
2
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM=BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2=2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA=4，OM=3，请直接写出线段AM的长．
【详解】解：(1)∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA=OB，ON=OM，∠AOB=∠NOM=90∘，
又∠AOM=∠NOM+∠AON=90∘+∠AON，
∠BON=∠AOB+∠AON=90∘+∠AON,
∴∠BON=∠AOM，
∴ΔAMO≌ΔBNO(SAS)，
∴AM=BN；(2)①连接BN，如下图所示：
∴∠AOM=∠AOB−∠BOM=90∘−∠BOM，
∠BON=∠MON−∠BOM=90∘−∠BOM，
且OA=OB，OM=ON，
∴ΔAMO≌ΔBNO(SAS)，
∴∠A=∠OBN=45∘，AM=BN，
∴∠ABN=∠ABO+∠OBN=45∘+45∘=90∘，
且ΔOMN为等腰直角三角形，
∴MN=❑√2OM，
在RtΔBMN中，由勾股定理可知：
BM2+BN2=M N2=(❑√2OM) 2=2OM2，且AM=BN
∴AM2+BM2=2OM2；
②分类讨论：
情况一：如下图2所示，设AO与NB交于点C，过O点作OH⊥AM于H点，∠HNO=45∘,ΔNHO为等腰直角三角形，
NO 3 3❑√2
∴HO= = = =HM,
❑√2 ❑√2 2
√ 3❑√2 √23 ❑√46
在RtΔAHO中，AH=❑√AO2−OH2=❑42−( ) 2=❑ = ,
2 2 2
❑√46+3❑√2
∴AM=AH+HM= ；
2
情况二：如下图3所示，过O点作OH⊥AM于H点，
∠HNO=45∘，ΔNHO为等腰直角三角形，
NO 3 3❑√2
∴HO= = = =HM,
❑√2 ❑√2 2
√ 3❑√2 √23 ❑√46
在RtΔAHO中，AH=❑√AO2−OH2=❑42−( ) 2=❑ = ,
2 2 2
❑√46−3❑√2
∴AM=AH−HM= ；
2
❑√46+3❑√2 ❑√46−3❑√2
故AM= 或 ．
2 2
7．如图，△AOB中，OA=OB=6，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD．OC与AB交于点G，CD分别
交OB、AB于点E、F．(1)∠A与∠D的数量关系是：∠A______∠D；
(2)求证：△AOG≌△DOE；
(3)当A，O，D三点共线时，恰好OB⊥CD，求此时CD的长．
【详解】（1）解：由旋转知，∠A=∠C，∠B=∠D，
∵OA=OB，
∴OC=OD，∠A=∠B=∠C=∠D
∴∠A=∠D，
故答案为：=．
（2）证明：由旋转知，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴∠AOB－∠BOC=∠COD－∠BOC，
即∠AOG=∠DOE，
∵OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
又∵∠A=∠D，
∴△AOG≌△DOE．
（3）解：分两种情况讨论，
①如图所示，设∠A=∠B=∠C=∠D=x°，则∠DOB=2x°，
∵OB⊥CD，
∴∠OED=90°，
∴x+2x=90°，
解得：x=30，
即∠D=30°，
在Rt△ODE中，OE=3，由勾股定理得：DE=❑√62−32=3❑√3，
∵OC=OD，OE⊥CD，
∴CD=2DE=6❑√3．
②当D与A重合时，如图所示，
同理，得：CD=6❑√3．
综上所述，当A，O，D三点共线时，OB⊥CD，此时CD的长为6❑√3．
考查题型三 根据中心对称的性质求面积、线段长、角度1．如图，△ABC和△≝¿关于点O成中心对称．
(1)找出它们的对称中心；
(2)若AC=6，AB=5， ，求△≝¿的周长；
(3)连接 ，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
【详解】（1）如图，点O为所作：
（2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴DF=AC=6，DE=AB=5，EF=BC=4，
∴△DEF的周长=4+5+6=15；
（3）四边形ACDF为平行四边形．理由如下：
∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴OA=OD，OC=OF，
∴四边形ACDF为平行四边形．
2．如图，△ABC与△≝¿关于点O成中心对称．
(1)画出对称中心O；（保留作图痕迹）
(2)若 BC=3，AC=4，AB=5，则△≝¿的面积= ．
【详解】（1）解：连接AD，CF，AD与CF的交点就是对称中心O，如图所示：（2）解：∵BC=3，AC=4，AB=5，
∴BC2+AC2=25=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∵△ABC与△≝¿关于点O成中心对称，
S =S
∴ △ABC 1 ．
△≝¿= BC⋅AC=6¿
2
3．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．
求证：FD=BE．
【详解】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC．
∵AF=CE，∴OF=OE．
{
OB=OD
∵在△DOF和△BOE中， ∠DOF=∠BOE，
OF=OE
∴△DOF≌△BOE（SAS）．
∴FD=BE．
4．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E
成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．【详解】(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB=AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB=CD，
∴AC=CD；
(2)∠F=∠MCD.
理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，
∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，
∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，
设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，
∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β，
∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β，
∴∠F=∠MCD.
5．如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=6．点P从点A出发，沿折线AB−BC以每秒2个单位的速
度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、
Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在边BC上运动时，PB=______（用含t的代数式表示）；
(2)当点P与点Q重合时，求t的值；(3)当BQ=2PB时，求t的值；
(4)若点P关于点B的中心对称点为点P'，直接写出△PDP'和△QDC面积相等时t的值．
【详解】（1）解：当2≤t≤5时，PB=2t-4，
故答案为：（2t-4）（2≤t≤5）；
（2）当t=2时，P,B重合，此时P,Q不重合，
当P，Q重合时，2t-4+t=6，
10
∴t= ；
3
（3）当BQ=2PB时，6-t=2（4-2t）或6-t=2（2t-4），
2 14
解得，t= 或t= ，
3 5
14
∴t= 或t= ；
5
（4）当点P在AB上时，如图甲所示，
1 1
∴ ×2（4-2t）×6= ×t×4，
2 2
12
解得，t= ．
7
当点P在BC上时，如图乙所示，
1 1 8
∴ ×2（2t-4）×4= ×t×4，解得，t= ，
2 2 3
12 8
综上所述，满足条件的t的值为 或 ．
7 3
考查题型四 在方格纸中补画图使之成为中心对称图形
1．如图，点A、B、C都是格点（格点即每一个小正方形的顶点）．
（1）在图1中确定点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使这个四边形为轴对称图形（画一个即可）；
（2）在图2中确定点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使这个四边形为中心对称图形（画一个
即可）．
【详解】解：（1）如图1所示：
则四边形ABCD即为所求；
（2）如图2所示：
则四边形ABCE即为所求．2．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为
1，点A、B均在格点上：只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中画一个△ABC，使其是轴对称图形且为锐角三角形．
(2)在图②中画一个四边形ADBE，使其是轴对称图形但不是中心对称图形．
(3)在图③中画一个四边形AMBN，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，且四条边长均为无理数．
【详解】（1）解：如图所示，等腰三角形ABC为所求．（答案不唯一）
（2）解：根据题意，可以画一个筝形或等腰梯形，如图所示．（答案不唯一）
（3）解：如图所示，平行四边形AMBN，边长为：❑√5、 ．（答案不唯一）
3．图①、图②、图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶
点均在格点上，不要求写出画法．
(1)在图①中以AB为边画一个面积为3的三角形ABC．
(2)在图②中以AB为边画一个面积为5的中心对称四边形ABDE．
(3)在图③中以AB为边画一个面积为6的轴对称四边形ABFG．
【详解】（1）解：如图，三角形ABC就是所要求做的图形；
（2）解：如图，四边形ABDE就是所要求做的图形；
（3）解：如图，四边形ABFG就是所要求做的图形．
4．图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，已有两个小等边三角形涂上了黑色．
(1)在图①中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)在图②中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
(3)在图③中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【详解】（1）如图①所示，
阴影部分图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
（2）如图②所示，
阴影部分图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
（3）如图③所示，阴影部分图形既是轴对称图形，也是中心对称图形．
考查题型五 已知两点关于原点对称求参数
1．已知点P（2x，y2＋4）与Q（x2＋1，﹣4y）关于原点对称，求x＋y的值．
【详解】解：∵点P（2x，y2+4）与Q（x2+1，﹣4y）关于原点对称，
∴x2+1+2x＝0，y2+4﹣4y＝0，
∴（x+1）2＝0，（y﹣2）2＝0，
解得：x＝﹣1，y＝2，
∴x+y＝-1+2＝1．
2．如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点
C与点R的坐标之间的关系．
(1)直接写出AC与y轴交点的坐标 ．
(2)若三角形ABC内任意一点M的坐标为（a+3，4﹣b），点M经过上述变换后得到点N的坐标为（2a，2b﹣3），则a﹣b的值为 ．
(3)若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形 ，画出三角形 并求三
角形P' AC的面积．
【详解】（1）设直线AC 的解析式为y＝kx+b，
将A（4，3），C（1，2）代入，
{4k+b=3
得 ，
k+b=2
1
{k=
3
解得 ，
5
b=
3
∴直线AC的解析式为y＝ ，
5
令x＝0，得y＝ ，
3
5
∴直线AC与y轴交点的坐标为（0， ）．
3
5
故答案为：（0， ）．
3
（2）由图可知，△ABC 与△PQR是关于原点成中心对称，
{ −(a+3)=2a
∴可列方程 ，
−(4−b)=2b−3
{a=−1
解得 ，
b=−1
∴a﹣b＝0，
故答案为：0．
（3）如图，△P'Q'R'即为所求．1 1 1 5
△P' AC的面积为 ×3×4− ×2×1−1×1− ×3×1= ．
2 2 2 2
3．已知抛物线 ．
(1)求证：抛物线与x轴必有交点；
(2)若该抛物线与直线y=2x的两个交点关于原点对称，求m的值．
【详解】（1）解：∵Δ=b2−4ac=[−(m+1)] 2 −4(m−1)=m2+2m+1−4m+4=(m−1) 2+4＞0，
∴抛物线与x轴必有交点；
（2）解：依题意可设抛物线与直线的两交点坐标分别为(a，2a)，(−a，−2a)，将两点分别代入抛物
线的解析式中，
{ 2a=a2−(m+1)a+m−1
联立得： ，
−2a=(−a) 2−(m+1)·(−a)+m−1
解得m=−3．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，△PQR是由△ABC经过某种变换后得到的图形.
⑴仔细观察点A和点P，点B和点Q，点C和点R的坐标之间的关系，在这种变换下分别写出这六个点的
坐标，从中你发现什么特征？请你用文字语言将你发现的特征表达出来；
⑵若△ABC内有一点M(2a+5,-1-3b)经过变换后，在△PRQ内的坐标为（-3，-2），根据你发现的特征，求
关于x的方程2-ax=bx-3的解.【详解】⑴A(4,3),B(3,1),C(1,2),P(-4,-3),Q(-3,-1),R(-1,-2),△ABC所在平面上各点与△PQR所在平面的对应
点关于原点对称.
{2a+5=3， {a=−1，
⑵由⑴得 解得
−1−3b=2. b=−1.
5
∴2+x=-x-3，解得x=- .
2
5
所以关于x的方程2-ax=bx-3的解为x=- .
2
考查题型六 图案设计
1．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就
称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角
线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称
图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完
整．【详解】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，
故选：B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．
故答案为：(1)(3)(5)．
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；
②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是
旋转对称图形，故②不正确；
③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；
即命题中①③正确，
故选：C．
（4）图形如图所示：
2．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，
请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【详解】（1）解：画出下列其中一种即可（2）解：画出下列其中一种即可
3．如图是由54个边长为1的小等边三角形组成的网格，请按要求画格点多边形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中画一个以AB为腰的△ABC．
(2)在图2中画一个四边形ABDE，使其中一条对角线长为4，且恰有两个内角为90°．
【详解】（1）解：画法不唯一，如图1或图2
（2）解：画法不唯一，如图3、图4、图5、图6、图7或图84．如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学
过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格
纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．
答案：解：如下图所示，答案不唯一．
