文档内容
第二十三章 旋转（知识清单）
一、学习目标
1 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质.
2 了解中心对称和中心对称图形的概念并理解它的基本性质.
3 掌握关于原点对称的两点的关系并应用.
重点：
1 掌握二次函数的图象特征及其性质.
2 掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法.
难点：
1 图形旋转的基本性质的归纳与运用.
2 中心对称的基本性质的归纳与运用.
二、学习过程
【章节介绍】
让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，探索图形旋转基本性质，进一步发展空间观察，
培养运动几何的观点，增强审美意识.让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内
涵，享受学习乐趣，学生运用所学知识进行图案设计活动，激发学习热情.
【知识梳理】
一 旋转的概念：
在平面内，将一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转.这个定
点叫做旋转中心.转动的角叫做旋转角.
二 旋转的性质：
1.对应点到旋转中心的距离相等.
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.3.旋转前、后的图形全等.
三 简单旋转作图的一般步骤：
1)找出图形的关键点；
2)确定旋转中心，旋转方向和旋转角；
3)将关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个角，得到关键点的对应点；
4)按照原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形．
四 中心对称的概念：
把一个图形绕某一个点旋转180º，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对
称或中心对称.
1）这个点叫做对称中心.
2）这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
五 中心对称的性质：
1)中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心所平分.
2)中心对称的两个图形是全等形.
六 利用中心对称的性质作图的基本步骤：
1.作点的中心对称：先连接点和对称中心，然后延长一倍；
2.做图形的中心对称：先确定好图形的特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等），再作特殊
点的对称点，然后顺次连接.
七 中心对称图形的概念：
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这
个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点.
八 中心对称图形的性质：
中心对称图形上每一对对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
九 在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P＇(-x，-y)。
十 在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤：
1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；
2）写出关键点关于原点对称的点坐标；
3）在直角坐标系中标出对称点的坐标；
4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形.
【考点解读】考查题型一 画旋转图形
1．图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）将（1）中的△A B C 绕点C1逆时针旋转90°得到△A B C ，画出△A B C ．
1 1 1 2 2 1 2 2 1
【详解】解：（1）如下图所示，△A B C 为所求；
1 1 1
（2）如下图所示，△A B C 为所求；
2 2 1
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点分别是A(−5,1)，B(−1,3)，C(−1,1)．
(1)平移△ABC，使得点A的对应点A 的坐标为(1,3)，画出平移后的△A B C ；
1 1 1 1
(2)将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A B C ；
2 2 2(3)若△A B C 与△A B C 关于点P成中心对称，则点P坐标为______．
1 1 1 2 2 2
【详解】（1）如图所示：△A B C 即为所求，
1 1 1
（2）如图所示：△A B C 即为所求，
2 2 2
（3）已知A 的坐标(1,3)，根据图形可知A 的坐标为：(5,-1)，
1 2
3−1
则P点横坐标为： ，P点的纵坐标为： =1，
2
点P的坐标(3,1)．
故答案是：（3，1）
3．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，
1）．
(1)平移△ABC，使得点A的对应点A 的坐标为（﹣1，﹣1），则点C的对应点C 的坐标为 ；
1 1(2)将△ABC绕原点旋转180°得到△ABC ，在图中画出△ABC ；
2 2 2 2 2 2
(3)M、N为x轴上的两个动点，点M在点N的左侧，连接MN，若MN＝1，点D（0，﹣1）为y轴上的一
点，连接DM、CN，则DM＋CN的最小值为 ．
【详解】（1）解：∵平移△ABC，使得点A（1，3）的对应点A 的坐标为（﹣1，﹣1），
1
∴平移方式为：将△ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴点C（2，1）的对应点C 的坐标为（0，－3），
1
故答案为：（0，－3）；
（2）△ABC 如图所示：
2 2 2
（3）如图，取点D′（1，−1），连接CD′交x轴于点N′，
∵M′N′＝DD′＝1，且M′N′∥DD′，
∴四边形M′N′D′D是平行四边形，
∴DM′＝D′N′，
∴DM′＋CN′＝D′N′＋CN′＝CD′，
∴DM＋CN的最小值为CD′＝ ，
故答案为：❑√5．考查题型二 旋转综合题
1．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连
接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
【详解】（1）证明：如图，
∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，
即∠BAE＝∠CAF，
AB=AC
{
在△ABE和△ACF中 ∠BAE=∠CAF，
AE=AF
∴△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF；（2）解：如图，
∵四边形ABDF为菱形，
∴DF＝AF＝2，DF∥AB，
∴∠1＝∠BAC＝45°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴CF＝❑√2AF＝2❑√2，
∴CD＝CF﹣DF＝2❑√2﹣2．
2．如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB=4，DE=4.3，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合．
（1）旋转中心是______，旋转角为______°；
（2）请你判断△DFE的形状，简单说明理由；
（3）四边形DEBF的面积为 ．
【详解】解：（1）由旋转可得，旋转中心是点D；旋转角为∠ADC=90°，
故答案为点D，90；
（2）△DFE是等腰直角三角形．；理由：根据旋转可得DE=DF，∠EDF=∠ADC=90°，
所以△DFE是等腰直角三角形．；
（3）根据旋转可得：△ADE≌△CDF，
∴四边形DEBF的面积=正方形ABCD的面积=4×4=16．
3．如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三
角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．
（1）证明：⊿ABC ≌ ⊿DCB；
（2）求∠AEB的大小．
（3）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和
△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
【详解】证明：(1)
∵AO=DO，且ΔAOB、ΔDOC都为等边三角形，
∴CO=BO,∠COD=∠BOA=60∘,
∴∠COB=60∘，
∴ΔCOB为等边三角形，
∴∠DCB=∠ABC=120∘,
在ΔABC和 中，
{
AB=CD
BC=BC ,
∠DCB=∠ABC
∴ΔABC≌ΔDCB;
(2)如图所示：∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
且点O是线段AD的中点，
∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60∘，
∴∠4=∠5，
又∵∠4+∠5=∠2=60∘，
∴∠4=30∘，
同理∠6=30∘，
∵∠AEB=∠4+∠6，
∴∠AEB=60∘.
(3)如图所示：
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60∘.
又∵OD=OA，
∴OD=OB，OA=OC，
∴∠4=∠5，∠6=∠7，
∵∠DOB=∠1+∠3，
∠AOC=∠2+∠3，
∴∠DOB=∠AOC.∵∠4+∠5+∠DOB=180∘,∠6+∠7+∠AOC=180∘，
∴2∠5=2∠6，
，
又∵∠AEB=∠8−∠5，∠8=∠2+∠6，
∴∠AEB=∠2+∠6−∠5=∠2+∠5−∠5=∠2，
∴∠AEB=60∘.
4．如图，将RtΔADF绕着点A顺时针旋转90°得到 ，射线EB与DF相交于点C，∠D=90°，求
证：四边形ABCD为正方形．
【详解】证明：∵将RtΔADF绕着点A顺时针旋转90°得到 ，
∴∠EAF=90°,△ADF≌△ABE，
∴∠EAB=∠FAD，AB=AD，
∵∠D=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABC=90°，
∵∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，即∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形．
5．探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在BC、CD上，
∠EAF=45°．
（1）①如图 1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；
②如图 2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系_______时，仍有EF=BE+DF;
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=2❑√2，点D、E均在边BC上，且
∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．【详解】（1）①如图1，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，
即∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中
{
AF=AF
∠EAF=∠GAF
AE=AG
∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
②∠B+∠D=180°，
理由是：
把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE=AG， ，∠BAE=∠DAG，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴C，D，G在一条直线上，和①知求法类似，∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中
{
AF=AF
∠EAF=∠GAF
AE=AG
∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
故答案为：∠B+∠D=180°
（2）∵△ABC中，AB=AC=2❑√2，∠BAC=90
∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：
BC=❑√AB2+AC2=❑√(2❑√2) 2+(2❑√2) 2=4 ，
把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．
则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC−∠DAE=90°−45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△FAD和△EAD中
{
AD=AD
∠FAD=∠EAD
AF=AE
∴△FAD≌△EAD，
∴ ，
设DE=x，则DF=x，
∵BD=1，∴BF=CE=4−1−x=3−x，
∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，
∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，
x2=(3−x) 2+12，
5
解得：x= ，
3
5
即DE= ．
3
(❑√2 )
6．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形 OA
