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学科网（北京）股份有限公司 1/ 26.1 二次函数的概念 课标要点 1.理解二次函数定义：形如𝒚= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎, 𝑏, 𝑐是常数，𝑎≠0)的函数叫做二次函数， 其中x 是自变量； 2.分清各项名称：𝑎为二次项系数，𝑏为一次项系数，𝑐为常数项；重点牢记二次项系数𝑎≠ 0, 𝑏, 𝑐可以为0； 3.会判断一个函数是否为二次函数：先化为整式一般形式，看最高次数为2，且二次项系数 不为0。 4.能根据实际问题列二次函数解析式，注意实际问题中自变量x 的取值范围。 学习重难点 重点： 1.牢记二次函数一般形式𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)，抓住核心条件𝑎≠0。 2.识别二次项、一次项、常数项，准确读出对应系数。 3.辨析二次函数，区分二次函数、一次函数、正比例函数。 难点： 1.忽略𝑎≠0这个前提，当题目含参数时，既要保证最高次数是2，同时二次项系数不能等 于0。 2.函数没有整理化简就直接判断是不是二次函数，要先化成整式一般形式再判断。 3.实际应用问题，容易漏掉自变量的实际取值范围。 第二十六章 二次函数 学科网（北京）股份有限公司 2/ 知识点 二次函数的概念 1.二次函数定义 一般地，形如𝒚= 𝑎𝒙2 + 𝑏𝒙+ 𝑐(𝑎, 𝑏)(a、b、c 是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，x 是自变量。 2.各项名称 ①a：二次项系数，a≠0 是二次函数必不可少的条件 ②b：一次项系数 ③c：常数项 随学随练 1．（25-26 九年级下·四川绵阳·开学考试）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y 与变量x 之间是 二次函数关系的是（ ） A．铅笔的单价不变，总价y 与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y 与时间x C．正方体的表面积y 与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y 与行驶时间x 2．（25-26 九年级上·安徽安庆·期末）若函数𝑦= (𝑎+ 2)𝑥𝑎2+3𝑎+2 −2是关于x 的二次函数，则a 的值为 学科网（北京）股份有限公司 3/ _____． 3．（25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）某楼盘8 月份以每平方米20000 元的均价对外销售，受市场 经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10 月份楼盘出售均价y 元与平均 每月降价的百分率x 之间的函数关系式__________． 4．（25-26 九年级下·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为𝑥m，𝑦m． (1)若绳长为10m，则𝑦与𝑥的关系式为，𝑦是𝑥的函数； (2)若矩形的面积是10m2，则𝑦与𝑥的关系式为，𝑦是𝑥的函数； (3)若矩形的周长为20m，矩形的面积为𝑆m2，则𝑆与𝑥的关系式为，𝑆是𝑥的函数． 拓展 根据几何变化写二次函数关系式（常考） 题型特征：几何图形边长增加/减少，求周长、面积关于变化量c 的函数，判断是一次还是二次函数。 1.写出新的边长 原边长±变化量，把新的长、宽用含x 代数式表示。 2.套用几何公式 ·周长：𝐶= 2(长+ 宽)，周长展开后不会出现x²项，一般是一次函数。 ·面积：S=长×宽，两个含x 式子相乘会出现x²,一般是二次函数。 3.整理化成标准形式 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏：一次函数；𝑏= 0才是正比例函数； 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)：二次函数。 活学活用 1．（25-26 九年级下·北京·阶段检测）如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为10 cm2，点𝐸在𝐴𝐵边上，点𝐹在𝐶𝐷边上， 四边形𝐴𝐸𝐹𝐷是正方形，记线段𝐴𝐷的长为𝑥 cm，𝐴𝐵的长为𝑦1 cm，正方形𝐴𝐸𝐹𝐷的面积为𝑦2 cm2．当𝑥在一定 范围内变化时，𝑦1，𝑦2随𝑥的变化而变化，则𝑦1，𝑦2与𝑥满足的函数关系分别是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 4/ A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 2．（25-26 九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为30𝑚,20𝑚,现将矩形绿地的长、 宽各增加𝑥𝑚.设新绿地的周长为𝑦𝑚,面积为𝑆𝑚2，当x 在一定范围内变化时，𝑦和𝑆都随𝑥的变化而变化，则𝑦与 𝑥,𝑆与𝑥满足的函数关系分别是（ ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 3．（25-26 九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点𝐴的坐标是(0,−1)，点𝑀是𝑥轴上 一动点，连接𝐴𝑀，作线段𝐴𝑀的垂直平分线𝑙1，过点𝑀作𝑥轴的垂线𝑙2，记𝑙1，𝑙2的交点为𝑃，改变点𝑀的位 置，可以得到相应的点𝑃，设点𝑃的坐标是(𝑥, 𝑦)，则𝑦关于𝑥的函数解析式为_______________． 题型一 二次函数的识别-关系式 学科网（北京）股份有限公司 5/ ▌例1（25-26 九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（ ） A．𝑦= 2 𝑥 B．𝑦= −𝑥+ 1 C．𝑦= 𝑥2 + 1 D．𝑦= 𝑥2 + 1 𝑥 ▌对点练1-1．（25-26 九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，𝑦一定是关于𝑥的二次函数的是（ ） A．𝑦= 𝑎𝑥2 −1 B．𝑦= 2𝑥2 + 2 C．𝑦= √2𝑥 D．𝑦= 1 𝑥 ▌对点练1-2．（25-26 九年级上·江苏盐城·期末）下列函数，一定属于二次函数的是（ ） A．𝑦= (𝑥−1)2 + 2 B．𝑦= 𝑎𝑥2 + 2𝑥+ 3 C．𝑦= 2𝑥+ 3 D．𝑦= 𝑥2 + 1 𝑥 题型二 二次函数的识别-文字叙述 ▌例2（25-26 九年级下·甘肃兰州·开学考试）下面问题中，y 与𝑥满足的函数关系是二次函数的是（ ） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长𝑦(cm)与宽𝑥(cm)的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积𝑦(cm2)与圆柱的高𝑥(cm)的关系； ③某商品每件进价为80 元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(200 −𝑥)件．利润y（元）与每件售价𝑥 （元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ ▌对点练2-1．（25-26 九年级下·四川绵阳·开学考试）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y 与变 量x 之间是二次函数关系的是（ ） A．铅笔的单价不变，总价y 与支数x 解题贴士 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。 关键点： ①自变量最高次数是2 次； ②二次项系数𝑎≠0; ③等式右边是整式(分母、根号里面不能含有x); ④b、c 可以等于0。 学科网（北京）股份有限公司 6/ B．路程一定，列车运行的平均速度y 与时间x C．正方体的表面积y 与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y 与行驶时间x ▌对点练2-2．（25-26 九年级上·浙江·单元复习）下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系 C．等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系 D．圆的面积S 与半径R 之间的关系 题型三 根据二次函数的定义求参数的值 ▌例3（25-26 八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数𝑦= (𝑘−3)𝑥𝑘2−7 + 4𝑥+ 1是关于x 的二次函数，则 𝑘=_______． ▌对点练3-1．（25-26 九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数𝑦= (𝑚+ 2)𝑥2 + 3𝑥+ 𝑚2 −4的常数项为 零，则𝑚的值为_____． ▌对点练3-2． （25-26 九年级上·福建龙岩·期末）若𝑦= (𝑎+ 2)𝑥|𝑎| + 3𝑥−1是二次函数，则𝑎的值为______． 题型四 列二次函数解析式-销售利润问题 解题贴士 标准解题思路(固定两步法) 步骤1：根据“最高次数=2”列方程，解出参数所有候选解 看x 右上角的指数，令指数=2，解方程，得到参数的可能取值。 步骤2：根据“二次项系数≠0”进行取舍 把上面算出来的每一个解，代入二次项系数； 如果代入后系数等于0，这个解要舍去；系数不等于0 才保留。 口诀：先定次数，再卡系数；算完一定要检验系数! 学科网（北京）股份有限公司 7/ ▌例4 （25-26 九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21 元的价格购进一批商品，该商品 在不超过进价20%的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x 元，可卖出(350 −10𝑥)件商品，则商店所 得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x 的取值范围为______． ▌对点练4-1．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2 元，据市场调查，销售单价是 13 元时，平均每天的销售量是50 件，而销售单价每降低1 元，平均每天就可以多售出10 件．若设降价后 售价为𝑥元，每天利润为𝑦元，则𝑦与𝑥之间的函数关系为________． ▌对点练4-2．（25-26 九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品， 解题贴士 第1 步：设未知数 两种常见设元方式： 方式①：设每件涨价(或降价)x 元(中考最常用) 方式②：设每件售价为x 元 优先选①：涨价/降价为x,列式简单，不容易出错。 第2 步：翻译题目，写出两个代数式 ①单件利润：原来每件利润±变化的钱 涨价x 元：单件利润=原单件利润+x 降价x 元：单件利润=原单件利润—x ②销售量：涨价卖得少，降价卖得多 涨价x 元，每涨1 元，少卖多少件：销售量=原销售量一每涨1 元减少销量·x 降价x 元，每降1 元，多卖多少件：销售量=原销售量+每降1 元增加销量·x 关键点：涨价→销量减；降价→销量加。不要搞反加减! 第3 步：总利润=单件利润×销售量，列出关系式 W=(单件利润)(销售量) 展开、合并同类项，得到W=ax²+bx+c,就是二次函数解析式。 第4 步：写出自变量x 实际取值范围(大题必写) 要满足现实： 1.单件利润不能是负数； 2.销售量不能是负数；解不等式，得到x 的取值。 学科网（北京）股份有限公司 8/ 据市场分析，若每千克按50 元销售，一个月能售出500 千克，如果销售单价每千克涨1 元，则月销售量就 减少10 千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55 元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克𝑥元(𝑥> 50)，月销售利润为𝑦元，用含𝑥的式子表示𝑦． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000 元，销售单价应为多少元？ 题型五 列二次函数解析式-增长率问题 ▌例5（25-26 九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规 定．经销商统计某品牌头盔，7 月份售出1500 个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率𝑥，请问9 月份的销售量𝑦关于每月增加的百分率𝑥的函数解析式是（ ） A．𝑦= 1500(1 + 𝑥)2 B．𝑦= 1500 + (1 −𝑥)2 C．𝑦= (1 + 𝑥)2 + 1500 D．𝑦= 𝑥2 + 1500 ▌对点练5-1．（25-26 九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）一部售价为5000 元的手机，一年内连续两次 降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x 之间的函数关系 式是______． ▌对点练5-2．（2025 九年级·全国·专题练习）报告显示，2023 年全球金属增材制造市场的总收入达到 28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________． 解题贴士 ①连续两次增长 设初始基数为𝑎,平均增长率为𝑥,两次之后的总量为𝑦。 第一次增长后：𝑎(1 + 𝑥) 连续增长两次后：𝑦= 𝑎(1 + 𝑥)2 展开整理：𝑦= 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥+ 𝑎，属于二次函数。 ②连续两次下降 基数为𝑎,平均下降率为𝑥,两次之后总量为𝑦。 𝑦= 𝑎(1 −𝑥)2 展开整理：𝑦= 𝑎𝑥2 −2𝑎𝑥+ 𝑎∘ 学科网（北京）股份有限公司 9/ 题型六 列二次函数解析式-几何问题 ▌例6（25-26 九年级上·安徽淮南·期末）长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上分别剪去边长为𝑥cm的 小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为𝑦cm2的无盖的长方体盒子，则𝑦与𝑥之间的函数关系式为（） A．𝑦= (10 −𝑥)(20 −𝑥)(0 < 𝑥< 5) B．𝑦= 200 −4𝑥2(0 < 𝑥< 5) C．𝑦= (10 −2𝑥)(20 −2𝑥)(0 < 𝑥< 5) D．𝑦= 200 + 4𝑥2(0 < 𝑥< 5) ▌对点练6-1．（25-26 九年级上·河北沧州·期中）用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设𝐴𝐵为 𝑥（单位：米），则窗框的透光面积𝑦（单位：m2），关于𝑥（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽 略不计）（ ） A．𝑦= −𝑥2 + 4𝑥 B．𝑦= −3𝑥2 + 8𝑥 C．𝑦= − 3 2 𝑥2 + 4𝑥 D．𝑦= −𝑥2 + 8 3 𝑥 ▌对点练6-2．（25-26 九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81 米长的铁栅栏围成三 个相连的长方形仓库，仓库总面积为𝑦平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1 米宽的缺口作通道， 在平行于墙的一边留下一个1 米宽的缺口作为小门，若设𝐴𝐵= 𝑥米，则𝑦关于𝑥的函数关系式为 ________________________． ▌对点练6-3．（2025 九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形𝐴𝐵𝐶的边长为1，𝐷是𝐴𝐶边上的一 点，过𝐷作𝐵𝐶边的垂线，交𝐵𝐶于𝐺，用𝑥表示线段𝐵𝐺的长度，显然线段Rt △𝐶𝐺𝐷的面积𝑦是线段长度𝑥的函 数，这个函数的表达式是________． 学科网（北京）股份有限公司 10/ 题型七 二次函数的识别解答题综合 ▌例7（2026·河南周口·二模）某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨2000元，物价部门规定销售单价 不低于进价，且不高于每吨2800元．经市场调研：当售价定为每吨2400元时，每日可售出40吨；售价每提 高100元，每日销量减少5吨．设每吨售价提高100𝑥元． (1)写出每日销售量𝑦与𝑥之间的函数关系式，并写出𝑥的取值范围； (2)当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大?最大利润是多少? ▌对点练7-1．（25-26 九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进 价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克 时，平均每天能多售出10千克．设降价𝑥元． (1)设销售利润为𝑦元，请写出𝑦关于𝑥的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到480元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ ▌对点练7-2．（25-26 九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空 地上修建一个矩形绿化带𝐴𝐵𝐶𝐷，绿化带一边𝐴𝐷靠墙（𝐴𝐷的长不超过墙长），另三边用总长为40m的栅栏 围住，设𝐵𝐶边长为𝑥 m，绿化带的面积为𝑦 m2．如图，若墙长为20m． (1)求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； (2)当绿化带的面积为192m2时，求x 的值； (3)求绿化带的面积最大时𝐵𝐶边长． 学科网（北京）股份有限公司 11/ 基础通关 1．（26-27 九年级上·全国·单元复习）下列函数中，属于二次函数的是（ ） A．𝑦= −6𝑥+ 1 B．𝑦= 2𝑥2 − 1 𝑥 C．𝑦= −𝑥(2 −𝑥) D．𝑦= 22 −2𝑥 2．（26-27 九年级上·全国·课后作业）已知二次函数𝑦= 2 −3𝑥+ 𝑥2，则其二次项系数a、一次项系数b、 常数项c 分别为（ ） A．𝑎= 2，𝑏= −3，𝑐= 1 B．𝑎= 2，𝑏= 3，𝑐= 1 C．𝑎= 1，𝑏= 3，𝑐= 2 D．𝑎= 1，𝑏= −3，𝑐= 2 3．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数𝑦= 𝑘𝑥2 −2𝑥−1的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A．𝑘> −1 B．𝑘< 1 C．𝑘≥−1且𝑘≠0 D．𝑘≤1且𝑘≠0 4．（25-26 九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程𝑠（米）与所经过的时间𝑡（秒） 之间的关系为𝑠= 𝑎𝑡2．则表格中𝑚的值为（ ） 𝑡（秒） 0 1 2 3 4 … 𝑠（米） 0 20 𝑚 … A．40 B．50 C．80 D．160 5．（25-26 九年级上·甘肃临夏·期中）物理学中对一定值电阻R 通电后，在限定时间t 内产生的热量计算 公式为𝑄= 𝐼2𝑅𝑡，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q 与I 的函数图象大致 是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26 九年级上·陕西榆林·期末）若函数𝑦= (𝑚+ 2)𝑥𝑚2+𝑚−4 + 𝑚𝑥−3是关于x 的二次函数，则m 的值为_______． 7．（25-26 九年级上·陕西榆林·阶段检测）一个边长为2cm的正方形，若边长增加𝑥cm，面积增加𝑦cm2， 学科网（北京）股份有限公司 12/ 则𝑦与𝑥之间的函数关系式为______． 8．（25-26 九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1 人会传染x 个人，若 最初1 个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y 人感染，则y 与x 的函数关系式为______． 9．（25-26 八年级下·江苏苏州·开学考试）若𝑦= 𝑦1 + 𝑦2，且𝑦1与𝑥+ 1成正比例，𝑦2与𝑥2成正比例，当 𝑥= 1时，𝑦= 0；当𝑥= 2时，𝑦= 5； (1)求y 与x 的函数关系式； (2)𝑥= −2时，函数的值为多少？ 10．（2026·辽宁沈阳·三模）某商场销售一种进价为每件15 元的商品，售价为每件25 元时，每天可售 出50 件；售价每上涨1 元，每天的销售量就减少2 件.设每件商品的售价为𝑥元（𝑥≥25且𝑥为整数），每天 的销售量为𝑦件. (1)求𝑦与𝑥的函数关系式； (2)设每天的销售利润为𝑤元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 11．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，一块直角三角形铁皮𝐴𝐵𝐶，∠𝐶= 90°, ∠𝐴= 30°, 𝐵𝐶= 4, 现要从这块铁皮上剪出一个矩形𝐶𝐷𝐸𝐹，且满足点D，E，F 分别在𝐵𝐶, 𝐴𝐵, 𝐴𝐶上． (1)设𝐸𝐹= 𝑥，请用含x 的代数式表示矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积S． (2)当剪出的矩形𝐶𝐷𝐸𝐹面积最大时，求𝐸𝐹的长以及矩形面积． 素养提升 1．（2025·辽宁·一模）在高中的有机化学中，存在一种C𝑛H𝑦的有机物，其中𝑦和𝑛满足某种函数关系， 如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知𝑦与𝑛满足函数关系式（ ） A．𝑦= 2𝑛 B．𝑦= 2𝑛+ 2 C．𝑦= 2𝑛2 D．𝑦= 3𝑛 2．（25-26 九年级上·北京朝阳·期末）用一个圆心角为𝑛°（𝑛为常数，0 < 𝑛< 180）的扇形作圆锥的侧 学科网（北京）股份有限公司 13/ 面，记扇形的半径为𝑅，所作的圆锥的底面圆的周长为𝑙，侧面积为𝑆，当𝑅在一定范围内变化时，𝑙与𝑆都随𝑅 的变化而变化，则𝑙与𝑅, 𝑆与𝑅满足的函数关系分别是（ ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 3．（2025 九年级·全国·专题练习）若函数𝑦= (𝑚−2)𝑥𝑚2−5𝑚+8是𝑦关于𝑥的二次函数，则以𝑚和4 为两 边长的等腰三角形的周长为______． 4．（25-26 九年级上·辽宁大连·期中）已知有n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场 次数为m，则m 关于n 的函数解析式为________． 5．（2026·云南楚雄·二模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 30°，∠𝐵=60°．点D 在边𝐴𝐵上，线段𝐷𝐸⊥𝐴𝐶交 𝐴𝐶于M，连接𝐴𝐸，𝐶𝐸． (1)若𝐷𝐸= 𝐶𝐵，求证：四边形𝐸𝐷𝐵𝐶是平行四边形． (2)若D 为𝐴𝐵的中点，四边形𝐴𝐸𝐶𝐷是平行四边形，𝐴𝐸= 𝑥，试求出四边形𝐴𝐸𝐶𝐷的面积𝑦与𝑥的函数关系式． 6．（25-26 九年级上·安徽宿州·期末）春节时，家家户户挂红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯 笼已成为我国的一种传统文化．某超市在春节前购进一批成本为30 元/对的灯笼，经市场调查发现，若灯笼 每对售价40 元时，每天可售出120 对，售价每提高1 元，则每天少售出2 对．物价部门规定其销售单价不 高于每对72 元，设灯笼每对涨价𝑥元，超市一天售出灯笼获得利润𝑤元． (1)求𝑤与𝑥之间的函数表达式，并直接写出自变量𝑥的取值范围； (2)当𝑥取何值时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 7．（2025 九年级上·浙江·专题练习）如图1 所示风筝的筝面可以抽象成图2 的筝形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，风筝的骨架由3 条竹棒𝐴𝐶、𝐵𝐷、𝐸𝐹组成，其中E，F 分别是𝐶𝐵和𝐶𝐷的中点．现有一根总长为90cm的 竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面𝐴𝐵𝐶𝐷的材料，作了如下探究： 学科网（北京）股份有限公司 14/ (1)设筝面𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为s（cm2），骨架𝐵𝐷的长度为x（cm），求s 关于x 的函数关系式； (2)在图3 中画出（1）中s 关于x 的函数图象； (3)利用图象分析，当骨架𝐴𝐶长度大于𝐵𝐷长度且筝面的面积超过432cm2时，骨架𝐵𝐷的长度范围． 迁移创新 1．（25-26 九年级上·山东潍坊·期末）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，经统计， 近五年该村甲农户年度纯收入如表所示： 年度 2017 2018 2019 2020 2021 年度纯收入 （万元） 1.5 2.5 4.5 7.5 11.5 若记2017 年度为第1 年度，2018 年度为第2 年度，……，在直角坐标系中用点 (1,1.5),(2,2.5), (3,4.5),(4,7.5), (5,11.5)表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列三个 函数模拟甲农户从2017 年度开始的年度纯收入变化趋势：𝑦= 𝑚 𝑥(𝑚> 0)，𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘> 0)，𝑦= 𝑎𝑥2 − 0.5𝑥+ 𝑐(𝑎> 0)，以便估算甲农户2022 年度的纯收入． (1)能否选用函数𝑦= 𝑚 𝑥(𝑚> 0)进行模拟？请说明理由； 学科网（北京）股份有限公司 15/ (2)你认为选用哪个函数模拟最合理？请说明理由； (3)甲农户准备在2022 年底购买一台价值16 万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数解析式，预测甲农 户2022 年度的纯收入能否满足购买该农机设备的资金需求． 2．（25-26 九年级上·吉林·期末）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快 慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分 析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1 所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静 止释放．从弹珠运动到𝐴点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间𝑡(s)、运 动快慢𝑣(cm s ⁄ )、运动路程𝑦(cm)的数据． 【收集整理数据】 运动时间𝑡(s) 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢𝑣(cm s ⁄ ) 12 10 8 6 4 2 … 运动路程𝑦(cm) 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3 的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示： 函数图象要画在答题卡上） ①𝑣与𝑡之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②𝑦与𝑡之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） (2)【检验】直接写出𝑣与𝑡，𝑦与𝑡之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． (3)【应用】当弹珠到达水平轨道上𝐴点时，前方𝐵点处有一辆电动小车以3cm/s的速度向前匀速直线运动．当 𝑡= 10时，弹珠刚好追上小车，则𝐴，𝐵两点间的距离为________cm． 学科网（北京）股份有限公司 16/
