文档文本内容
1 / 20
学科网（北京）股份有限公司
26.2.3 二次函数𝒚= 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙+ 𝒄的图象与性质
知识点一 𝒚= 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙+ 𝒄的图象与性质
首先，我们在同一个坐标系下，画出𝑦=
1
2 𝑥2、𝑦=
1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21的图象，并观察两个
图象间的位置关系。
不过，要将二次函数𝑦=
1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21的图象画出来，必须先做一步处理，根据前序
学习过的内容，不难得知我们可以通过配方法，把一般式改写成顶点式，再取点画图。
𝑦=
1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21 =
1
2 (𝑥−6)2 + 3
按照五点作图法，得出以下各组数据：
𝑥
…
−2
−1
0
1
2
…
𝑦= 1
2 𝑥2
…
1
0.5
0
0.5
1
…
𝑥
…
4
5
6
7
8
…
𝑦= 1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21
…
5
3.5
3
3.5
5
…
描出图象：
由图象可以看出，抛物线𝑦=
1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21可以由抛物线𝑦=
1
2 𝑥2先向右平移6 个单
第二十六章
二次函数
2 / 20
学科网（北京）股份有限公司
位长度，再向上平移3 个单位长度得到，下表为抛物线𝑦=
1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21的各项性质：
函数
𝑦= 1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21
开口方向
开口向上
顶点坐标
(6,3)
对称轴
直线𝑥= 6
增减性
当𝑥< 6时，𝑦随𝑥的增大而减小
当𝑥> 6时，𝑦随𝑥的增大而增大
最值
当𝑥= 6时，𝑦取最小值为3
归纳总结
一般地，我们可以类似地研究二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的图象和性质：
先对二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐进行配方，得到𝑦= 𝑎(𝑥+
𝑏
2𝑎)2 +
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
𝑎> 0
图象
开口方向
开口向上
顶点坐标
(−𝑏
2𝑎, 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
)
对称轴
直线𝑥= −
𝑏
2𝑎
增减性
当𝑥> −
𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而增大；
当𝑥< −
𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而减小
最值
𝑥= −
𝑏
2𝑎时，函数取最小值为
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
3 / 20
学科网（北京）股份有限公司
𝑎< 0
图象
开口方向
开口向下
顶点坐标
(−𝑏
2𝑎, 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
)
对称轴
直线𝑥= −
𝑏
2𝑎
增减性
当𝑥> −
𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而减小；
当𝑥< −
𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而增大
最值
𝑥= −
𝑏
2𝑎时，函数取最大值为
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
知识点二 二次函数两点式𝒚= 𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐)
当得知二次函数的图象与𝑥轴的两个交点时，即(𝑥1, 0)和(𝑥2, 0)，该二次函数解析式可
以表示为𝑦= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)，其中𝑎≠0。该式也可以称为交点式、双根式。
特别提醒
①𝑎同样决定二次函数的开口方向和大小；
②并非任取两个对称的点都能直接代入两点式，必须选择落在𝑥轴上的函数图象上的
两个点才可以代入两点式。
归纳总结
二次函数两点式：𝑦= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)
对称轴：直线𝑥=
𝑥1+𝑥2
2
函数图象与𝑥轴的交点坐标：(𝑥1, 0)和(𝑥2, 0)
该式无法直接用公式表示出顶点坐标，但顶点坐标横坐标和对称轴是一样的，所以可
以将对称轴的𝑥=
𝑥1+𝑥2
2
直接代入到二次函数解析式中，求𝑦即可。
4 / 20
学科网（北京）股份有限公司
知识点三 二次函数的图象与系数的关系
对于二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 (𝑎≠0)，它的系数𝑎, 𝑏, 𝑐与二次函数以下性质有着紧密
的联系：
①𝑎：决定了抛物线的开口方向和开口大小。
⚫
𝑎> 0时，抛物线开口向上；𝑎< 0时，抛物线开口向下；
⚫
|𝑎|越大，抛物线开口越小。
②𝑐：决定了抛物线与𝑦轴的交点位置。抛物线与𝑦轴的交点坐标为(0, 𝑐)。
③𝑎和𝑏：两者共同决定二次函数的对称轴位置，二次函数对称轴为直线𝑥= −
𝑏
2𝑎
⚫
当𝑎和𝑏同号时，对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎< 0，对称轴在𝑦轴左侧；
⚫
当𝑎和𝑏异号时，对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎> 0，对称轴在𝑦轴右侧。
因此有一个口诀：左同右异。
特别提醒
当然，二次函数的系数不光会决定以上性质，还会决定抛物线与𝑥轴的交点个数，根
据𝑎, 𝑏, 𝑐的值，我们就可以确定开口方向、对称轴位置、与𝑦轴的交点和与𝑥轴的交点
个数，进而画出抛物线大概的样子。关于抛物线与𝑥轴的交点个数问题，我们会在下
一节《二次函数与一元二次方程》中涉及，感兴趣的同学可以先自行探索。
归纳总结
二次函数的图象与系数的关系：
𝑎决定开口方向和大小，𝑐决定与𝑦轴的交点位置，𝑎和𝑏共同决定对称轴的位置（即
左同右异）。
知识点四 二次函数的平移
二次函数可以通过平移变成一个新的二次函数，当它左右平移时，需要对自变量进行
加减；当它上下平移时，需要对函数解析式整体进行加减，具体的规律可以概括为：
上加下减，左加右减。
①𝑦= 𝑎𝑥2向左平移𝑚个单位之后，解析式为：𝑦= 𝑎(𝑥+ 𝑚)2
②𝑦= 𝑎𝑥2向右平移𝑚个单位之后，解析式为：𝑦= 𝑎(𝑥−𝑚)2
③𝑦= 𝑎𝑥2向上平移𝑚个单位之后，解析式为：𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑚
④𝑦= 𝑎𝑥2向下平移𝑚个单位之后，解析式为：𝑦= 𝑎𝑥2 −𝑚
5 / 20
学科网（北京）股份有限公司
特别提醒
对二次函数进行平移之前，最好能先将其改写成顶点式，因为对顶点式而言，平移时
的左加右减和上加下减，更方便对自变量以及函数解析式整体进行加减，不至于像对
一般式进行平移的时候，容易丢三落四。
拓展延伸
①当我们对一个函数连续进行平移的时候，也可以连续改写，例如：
先将𝑦= 𝑎𝑥2向左/右平移𝑚个单位，再将其上/下平移𝑛个单位，得到的解析式为：𝑦=
𝑎(𝑥± 𝑚)2 ± 𝑛。
②若不将一般式改写为顶点式，在原基础上进行平移，可以进行如下改写：
先将𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐向左/右平移𝑚个单位，再将其上/下平移𝑛个单位，得到的解析
式为：𝑦= 𝑎(𝑥± 𝑚)2 + 𝑏(𝑥± 𝑚) + 𝑐± 𝑛。
归纳总结
平移规律：上加下减，左加右减。上下平移只对函数解析式加减，左右平移只对𝑥加
减。
易错点 1 一般式改写顶点式时不恒等
•
错例：对𝑦=
1
2 𝑥2 −6𝑥+ 21配方时，对前两项提
1
2后，括号中为了配方而新增的项
并没有再度配平消去；
•
错因：只记住“加一次项系数一半的平方”，却忘了“括号外要减掉相等的量”
来保持恒等变形；
•
规避方法：配方时多加/减的项用波浪线重点标记，代表这是多余出来的项，直接
在后面紧跟一项与其抵消。
易错点 2 顶点坐标公式中“符号”记反
•
错例：将顶点坐标(−
𝑏
2𝑎,
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
)记成(−
𝑏
2𝑎, 𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
)或丢掉
𝑏
2𝑎之前的负号；
•
错因：机械记忆公式，不与“顶点式”建立联系，不理解顶点横坐标就是对称轴
𝑥= −
𝑏
2𝑎，导致符号错误无法察觉；
•
规避方法：公式需要背熟；或者算出顶点后，快速检验：将𝑥= −
𝑏
2𝑎代入原式，看
得到的𝑦是否等于
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
。
6 / 20
学科网（北京）股份有限公司
易错点 3 增减性描述不分段
•
错例：对于二次函数𝑦=
1
2 (𝑥−6)2 + 3的增减性，直接说“𝑦随𝑥的增大而增
大”，忘记强调“当𝑥> 6时”这一前提；
•
错因：受到一次函数的“全局增减”思维影响，忽视了二次函数以对称轴为界的
“分段增减”本质；
•
规避方法：凡写增减性，第一步先写“对称轴为𝑥= ℎ”，然后分两段强制书写
“当𝑥< ℎ时……；当𝑥> ℎ时……”，缺一不可。
易错点 4 滥用两点式
•
错例：已知抛物线上两点（非𝑥轴交点），如(1,2)和(3,2)，直接设𝑦=
𝑎(𝑥−1)(𝑥−3)求解析式；
•
错因：被“对称点”迷惑，只看到纵坐标相等就误认为是与𝑥轴的交点；
•
规避方法：使用交点式前，必须确认两个点的纵坐标都为0。若不为 0，只能用一
般式或顶点式（利用对称性先求顶点横坐标）。
易错点 5 系数关系“左同右异”记反
•
错例：看到对称轴在𝑦轴左侧，却说𝑎与𝑏异号；
•
错因：机械记忆口诀但不理解其推导逻辑（对称轴𝑥= −
𝑏
2𝑎的符号判断），导致符
号方向混淆；
•
规避方法：利用推导验证法，举一个具体例子（如𝑦= 𝑥2 + 2𝑥+ 1，𝑎= 1, 𝑏=
2，对称轴𝑥= −1在𝑦轴左侧，此时𝑎, 𝑏同号），记住这个典型例子即可。
易错点 6 平移时对一般式直接加减
•
错例：将𝑦= 2𝑥2 −4𝑥+ 1向右平移1 个单位，写成𝑦= 2𝑥2 −4𝑥+ 1 + 1，没有将
𝑥替换为𝑥−1；
•
错因：最好先化为顶点式再平移，但有的同学嫌麻烦，直接对一般式操作，忽略
了“左右平移是对𝑥加减”这一本质；
•
规避方法：平移问题，强制先配方成顶点式𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘，再对ℎ和𝑘做加
减。
7 / 20
学科网（北京）股份有限公司
•
题型一：把一般式化为顶点式
方法技巧
观察二次项系数是否为“1”：
①当二次项系数等于“1”时：直接对该解析式配方，加上或减去一次项系数一半的平方，
同时还要对该式配平，当加上一个常数的时候，后面必须减去，例如：
𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3 = 𝑥2 −4𝑥+ 𝟒−𝟒+ 3 = (𝑥−2)2 −1
𝑦= 𝑥2 + 6𝑥−2 = 𝑥2 + 6𝑥+ 𝟗−𝟗−2 = (𝑥+ 3)2 −11
②当二次项系数不等于“1”时：
（ⅰ）提：从前两项（即𝑎𝑥2和𝑏𝑥）的系数中，提取𝑎，常数项𝑐保留在外面，不要动；
（ⅱ）找：在括号内找到一次项系数；
（ⅲ）配：配方，在括号内加上并减去一次项系数一半的平方；
（ⅳ）整理：将括号内的完全平方式合并，把多余的项乘以外面的系数𝑎再与常数项合
并。
1.（21-22 九年级下·甘肃武威·开学考试）将二次函数
化成
的形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（21-22 八年级下·浙江金华·期中）把二次函数
配方成
的形式，结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线
的顶点坐标
的过程，则（ ）
解：∵
…………①
8 / 20
学科网（北京）股份有限公司
………………②
∴抛物线的顶点坐标为
………③
A．该过程完全正确
B．该过程从①开始出错
C．该过程从②开始出错
D．该过程从③开始出错
4．（山西省太原市小店区太原华师双语学校2024-2025 学年上学期九年级数学第六次月考
试卷）将二次函数
化为顶点式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：一般式的基本性质
方法技巧
一般式𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)的常见基本性质如下：
①对称轴：直线𝑥= −
𝑏
2𝑎；
②顶点坐标：(−
𝑏
2𝑎, 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
)；
③对于二次函数中的任意的一个𝑥，二次函数在𝑥= −
𝑏
2𝑎时取得最值，该最值为𝑦=
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
。
1.（2022·浙江绍兴·模拟预测）若抛物线
的开口向下，顶点坐标为
，则二次函数
有（ ）
A．最小值
B．最大值
C．最小值2
D．最大值2
2．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）抛物线
的顶点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 九年级上·广东韶关·期末）抛物线
的对称轴是直线（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数
，下列说法错误的是（ ）
9 / 20
学科网（北京）股份有限公司
A．顶点坐标为
B．对称轴为直线
C．函数图像与x 轴有2 个交点
D．当
时，y 随x 的增大而减小
5．（2026 九年级下·内蒙古呼和浩特·专题练习）对于二次函数
，下列
说法正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．对称轴是直线
C．与
轴的交点是
和
D．当
时，
随
的增大而增大
题型三：一次函数与二次函数的图象综合
方法技巧
此类问题的思路链可以简述为：由已知函数图象判断系数符号→推断另一函数图象
特征→筛选选项。可以参考如下详细步骤：
对于𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏和𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)：
第一步：固定一种图象，可以选择先从二次函数图象中定符号
•
𝑎：开口向上→正，开口向下→负。
•
𝑐：与𝑦轴交点纵坐标，正半轴→正，负半轴→负，过原点→0。
•
𝑏：由对称轴位置结合𝑎的符号判断——左同右异（对称轴在𝑦轴左侧⇔𝑎, 𝑏同
号；在𝑦轴右侧⇔𝑎, 𝑏异号）。
第二步：推断一次函数图象特征
•
斜率𝑎：正→上升，负→下降。
•
截距𝑏：正→交𝑦轴正半轴，负→交𝑦轴负半轴。
第三步：逐个选项排除
•
检查选项中的一次函数是否满足第一步推出的𝑎、𝑏符号。
•
特别警惕：两函数中同一字母符号必须一致（如二次函数中𝑎> 0，则一次函
数斜率𝑎也必须为正）。
1.（2026·广东佛山·一模）若二次函数
的图象如图所示，则一次函数
图象大致是（ ）
10 / 20
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 九年级下·辽宁盘锦·阶段检测）在同一坐标系中画出直线
与抛物线
，有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 九年级上·河北廊坊·阶段检测）函数
和函数
在同一
平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
11 / 20
学科网（北京）股份有限公司
C．
D．
4．（25-26 九年级上·宁夏银川·期末）函数
和
（m 是常数，且
）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河南濮阳·一模）已知函数
的图象如图所示，那么函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
12 / 20
学科网（北京）股份有限公司
6．（25-26 九年级上·河南新乡·期中）一次函数
的图象如图所示，则二次函数
在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：二次函数的图象与各项系数的关系
方法技巧
对于二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐(𝑎≠0)：
𝑎：𝑎> 0时开口向上；𝑎< 0时开口向下；
𝑐：与𝑦轴的交点为(0, 𝑐)。当𝑐> 0时，抛物线与𝑦轴交点在正半轴；当𝑐< 0时，抛物
线与𝑦轴交点在负半轴；
𝑎和𝑏：左同右异；同号时，对称轴在𝑦轴左侧；异号时，对称轴在𝑦轴右侧。
1.（2022·陕西·模拟预测）二次函数
的
，
，
，那么其图象
必过（ ）
A．第二、三、四象限
B．第一、三、四象限
C．第一、二象限
D．第一、二、三象限
2．（2024·广东湛江·模拟预测）如图是抛物线
的示意图，则
的值可以是
13 / 20
学科网（北京）股份有限公司
（ ）
A．0
B．2
C．
D．
3．（2026·广东惠州·二模）二次函数
开口向上，与
轴交于负半轴，对称
轴在
轴左侧，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·广东珠海·三模）抛物线
，其中，a，b，c 能决定抛物线
的增减性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 九年级下·河南周口·期中）二次函数
图象开口向上，对称轴在
y 轴左侧，与y 轴交于负半轴，则a、b、c 符号判断正确的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
6．（2026·贵州遵义·一模）二次函数
的图象如图所示，则点
所在
的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
题型五：二次函数的最值
方法技巧
14 / 20
学科网（北京）股份有限公司
一、当对𝒙无区间限制时
直接利用顶点求最值：
将解析式配方为 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘。
若 𝑎> 0，当 𝑥= ℎ 时，𝑦min = 𝑘（无最大值）；
若 𝑎< 0，当 𝑥= ℎ 时，𝑦max = 𝑘（无最小值）。
注意：先判断开口方向，再确定顶点纵坐标即为最值。
二、当对𝒙有区间限制时（例如出现“区间 𝒎≤𝒙≤𝒏”）
①求对称轴 𝑥= −
𝑏
2𝑎，判断其是否在给定区间内。
②若对称轴在区间内：
顶点处取得最值（开口向上取最小，开口向下取最大）；
区间端点处取得另一个最值（离对称轴远的端点值更大/更小）。
③若对称轴在区间左侧：函数在区间内单调递增/递减，最值均在端点处取得。
④若对称轴在区间右侧：函数在区间内单调递减/递增，最值均在端点处取得。
三、实际问题最值
先将实际问题转化为二次函数模型，明确自变量取值范围，再按"有区间限制"的方法
求解。
1.（2026·河南三门峡·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数
（a 为
常数，且
）的图象与y 轴的交点在x 轴下方，则该二次函数有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值3
D．最小值3
3．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数
（b、c 是常数）的图象与x 轴的
交点的横坐标为
和1，且二次函数的最小值为m，则
的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．8
4．（25-26 九年级上·山东·期末）已知关于x 的二次函数
，
在
的取值范围内，若
，则（ ）
A．函数有最大值
B．函数有最大值3
C．函数没有最小值
D．函数没有最大值
5．（25-26 九年级上·福建厦门·期末）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱
15 / 20
学科网（北京）股份有限公司
形喷水装置OM，喷头
向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建
立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度
与水平距离
之间的函数关系
式是
，则水流喷出的最大高度为（）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放
置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速
度
与弹簧被压缩的长度
之间的函数关系式为
，则这个过程
中，小球速度的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 九年级下·江苏盐城·期中）我们规定：若
，
，则
．例如
，
，则
．已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．10
D．16
8．（2026·甘肃庆阳·一模）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y
（单位：元）与每件销售价
（单位：元）之间的关系满足
，由于某
种原因，价格需满足
，那么一周可获得的最大利润是（ ）
A．
元
B．
元
C．
元
D．
元
16 / 20
学科网（北京）股份有限公司
题型六：待定系数法求函数解析式
方法技巧
待定系数法求二次函数解析式，大概有以下三种假设方式：
形式
解析式
适用条件
一般式
𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐
已知图象上的任意三个点（无特殊点）
顶点式
𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘
已知顶点坐标(ℎ, 𝑘)及另一个点
两点式
𝑦= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)
已知图象与𝑥轴两个交点(𝑥1, 0)，(𝑥2, 0)及
另一个点
基本步骤如下：
①审题定式：根据题目中所给的关键特征，选择最方便的形式进行假设。优先考虑
顶点式或两点式。
②代入列式：将已知点坐标代入假设好的解析式，列出关于待定系数（𝑎, 𝑏, 𝑐）的方
程（组）。
③解系数：解方程（组）求出待定系数。
④回代整理：将求出的系数代回所设的形式，化为一般式（若题目无特殊要求）。
1.（2026·河南信阳·二模）已知抛物线
经过
和
两点，则
的值
为（ ）
A．
B．4
C．3
D．5
2．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数
（b、c 是常数）的图象与x 轴的
交点的横坐标为
和1，且二次函数的最小值为m，则
的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．8
3．（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线
顶点坐标为
，且与
的开口方向、
形状大小完全相同，则抛物线
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线
经过
和
两
点，则的值为（ ）
A．0
B．4
C．8
D．
17 / 20
学科网（北京）股份有限公司
5．（25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）假设你是一名人工智能工程师，正在开发一
个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量
代表时间（天），
代表某商品的日销量
（件）．经过初步分析，你发现
与
之间的关系可以用二次函数来拟合（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（22-23 九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可
知，该二次函数的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（26-27 九年级·上海·暑假作业）已知抛物线
过点
、
和
，那么
的值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．（20-21 九年级上·河南·阶段检测）已知二次函数
的图象经过
两点，求此二次函数的解析式．
18 / 20
学科网（北京）股份有限公司
9．（18-19 八年级下·湖南长沙·期末）关于x 的二次函数
的图象与x 轴交
于点
和点
，与y 轴交于点
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标.
10．（17-18 九年级·四川广安·阶段检测）已知二次函数的图象过点P（2，0），对称轴
x=4，顶点在直线y=x﹣1．
（1）求顶点坐标；
（2）求二次函数的解析式．
11．（21-22 九年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知二次函数的图象经过
、
、
三点，求这个二次函数的解析式．
12．（25-26 九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数
(
)的图象上的
部分点的横坐标
，纵坐标
的对应值如下表：
19 / 20
学科网（北京）股份有限公司
…
0
…
…
1
1
…
(1)二次函数图象的顶点坐标为_________，
_________；
(2)求该二次函数的表达式．
题型七：二次函数的图象平移
方法技巧
比较常见的题型：由已知函数求平移后的函数解析式；由平移后的函数解析式求初
始解析式。
对于第一种，由已知函数求平移后的函数解析式，先把函数改写为顶点式，再利用
“上加下减，左加右减”，对原函数作变换即可；
对于第二种，由平移后的函数解析式求初始解析式，可以将平移过程逆推，即方向
变成相反的，符号取反，进而得到原解析式。
当然无论对于哪一种题型，我们还可以用“顶点追踪法”，即只需要关注顶点坐标如何
变化即可，顶点从(ℎ, 𝑘)变成(ℎ∓𝑚, 𝑘± 𝑛)，再直接写出顶点式即可。
1.（2022·福建漳州·模拟预测）已知抛物线
与x 轴没有交点，将该抛物线
向左平移3 个单位长度，再向下平移5 个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）将函数
的图象先向右平移再向下平移，所
得函数图象的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线
向上平移2 个单位长度，再向右
20 / 20
学科网（北京）股份有限公司
平移3 个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 九年级·甘肃·专题练习）在平面直角坐标系中，将二次函数
的图象先向
右平移个单位长度，再向上平移
个单位长度所得图象的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·福建三明·三模）将抛物线
进行平移得抛物线
，点
在抛物线
上，对应点
在抛物线
上，则点
的横坐标可以是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线
（a、b、c 为常数，
）向下
平移2 个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线
关于y 轴对称，则b、c
的值为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
7．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线
向左平移
个单位长度，平移后的抛物线与
轴的交点为
，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·江苏连云港·模拟预测）把抛物线
图象先向左平移2 个单位长
度，再向下平移3 个单位长度，所得的图象的解析式是
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．0
