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2.7 幂函数与二次函数
幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
【注意】幂函数解析式的特征：
(1)xα的系数为1．
(2)x 为自变量．
(3)α 为常数．
幂函数的图象与性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
1
2
y＝x-1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增函数
在[0，＋∞)上
单调递增，在
(－∞，0]上单
调递减
增函数
在[0，＋∞)上单
调递增
在(0，＋∞)上
单调递减，在
(－∞，0)上单
调递减
公共点
都经过点_(1，1)_
二次函数及其性质
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)=ax
2 + bx
+ c ( a ≠0)
.
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为( m , n ) .
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
2.二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
[
4 ac−b
2
4 a
,+∞)
(−∞, 4 ac−b
2
4 a ]
对称轴
x=- b
2a
顶点
坐标
(−b
2a , 4 ac−b
2
4 a )
奇偶性
当b=0 时是偶函数,当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在(−∞,−b
2a]上单调递减;
在[−b
2a ,+∞)上单调递增
在(−∞,−b
2a]上单调递增;
在[−b
2a ,+∞)上单调递减
考点一 幂函数图像与定点问题
考点二 幂函数单调性与奇偶性
考点三 利用幂函数单调性与奇偶性求参
考点四 利用幂函数的单调性解不等式
考点五 利用幂函数比较大小
考点六 利用二次函数单调性求参
考点七 利用二次函数的最值求参数
考点一 幂函数图像与定点问题
1．（25-26 高三上·云南文山·开学）函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·浙江·开学）函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·陕西安康·开学）函数
的图象过定点______.
4．（25-26 高三上·山西·阶段检测）已知函数
（
为常数）的图象恒过定点
，则
___________．
5．（25-26 高三上·上海浦东新·阶段检测）如图所示是函数
（
均为正整数且
互质）的图象，则
（ ）
A．
是奇数且
B．
是偶数，
是奇数，且
C．
是偶数，
是奇数，且
D．
是奇数，且
6．（25-26 高一·全国·寒假作业）函数
的图象恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 幂函数单调性与奇偶性
7．（25-26 高三上·上海杨浦·开学）下列函数中在区间
上是严格减函数的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·江苏连云港·开学）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高二下·北京·开学）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（25-26 高三上·浙江·开学）（多选）已知幂函数
，下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
的图象关于直线
对称
B．若
，则
是偶函数，且在
上单调递增
C．若
，则
的定义域为
，且在
上单调递减
D．若
，则对任意
，都有
11．（25-26 高三上·上海·开学）已知
，幂函数
的图象关于
轴对称，且与
轴和
轴无交点，则
的值是___________
12．（25-26 高三上·江苏无锡·月考）已知函数
，若
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 利用幂函数单调性与奇偶性求参
13．（25-26 高三上·河北衡水·开学）已知幂函数
在
上单调递减，若正数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．16
B．12
C．8
D．4
14．（25-26 高三上·甘肃兰州·开学）已知幂函数
在区间
上单调递增，则
___________．
15．（2026·吉林·三模）已知集合
，集合
，且
，
.记事件
“函数
是幂函数”，事件
“函数
在
上单调递增”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（25-26 高三上·甘肃定西·开学）若幂函数
是奇函数，则
___________.
17．（25-26 高三上·重庆·开学）若幂函数
是偶函数，则整数m 的取值可以是__________（写一个即
可）.
18．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数
在
上单调递减，则实数m 的值为（ ）
A．0 或1
B．
或1
C．1
D．0
考点四 利用幂函数的单调性解不等式
19．（25-26 高三上·河北唐山·阶段检测）设
是幂函数，若
，则
的取值范
围是______．
20．（25-26 高三上·江苏连云港·开学）已知幂函数
的图象过点
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（25-26 高三上·重庆·月考）已知幂函数
则不等式
的解集为______．
22．（25-26 高三上·上海虹口·开学）已知幂函数
在
上是严格减函数，其中
．
(1)求
的值；
(2)求关于
的不等式
的解集．
23．（25-26 高三上·上海静安·月考）试用函数观点解不等式
，则该不等式的解集为______．
24．（25-26 高三上·辽宁·月考）已知幂函数
的图象关于原点对称，若
，则实
数
的取值范围是__________.
考点五 利用幂函数比较大小
25．（2026·重庆北碚·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（25-26 高三上·浙江杭州·开学）已知
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（25-26 高三下·湖北随州·月考）设
，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
28．（2026·天津·一模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（25-26 高三下·安徽·月考）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点六 利用二次函数单调性求参
30．（25-26 高二下·四川凉山·开学）若函数
的单调递增区间是
，则
__________.
31．（2026 高二下·福建·学业考试）已知函数
在区间
是减函数，则实数a 的取值范围是
________
32．（2026·甘肃金昌·三模）已知
，
，若函数
在
上单调递减，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
33．（24-25 高三上·四川宜宾·开学）若函数
是
上的单调函数，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七 利用二次函数的最值求参数
34．（2026·辽宁抚顺·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，若
在
上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（2026·江西赣州·二模）已知函数
在区间
上的最大值为
，在区间
上的最大值为
．
若
，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
36．（2026 高三上·广东清远·专题练习）已知函数
(1)当
时，求函数
的最小值和最大值；
(2)若函数
在
上的最小值为2，求实数a 的值.
37．（25-26 高三上·浙江·开学考试）已知函数
，
(1)若不等式
恒成立，求实数
的值；
(2)若函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若函数
在区间
上的值域为
，且
，求实数
的取值范围．
38．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的最小值为
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．4
1．（2026·四川广安·模拟预测）“
”是“
为幂函数”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（25-26 高三上·湖南长沙·开学）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·北京·月考）下列函数中，是奇函数且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·浙江杭州·开学）幂函数
的图象经过（ ），且在第一象限内（ ）
A．第一、二象限 单调递减
B．第一、三象限 单调递减
C．第一、二象限 单调递增
D．第一、三象限 单调递增
5．（24-25 高三上·全国·课后作业）关于幂函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．幂函数图象恒过原点
B．存在
，使得幂函数图象过第四象限
C．存在
，使得幂函数为非奇非偶函数
D．当
时，幂函数图象恒在
轴上方
6．（25-26 高三上·山西长治·开学）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·山西朔州·开学）（多选）已知幂函数
，则（ ）
A．当
为奇函数时，
B．当
为偶函数时，
C．当
为奇函数时，
在
上单调递减
D．当
为偶函数时，
在
上单调递减
8．（25-26 高三上·陕西咸阳·开学）（多选）已知幂函数
过点
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是减函数
C．
是奇函数
D．不等式
的解集是
9．（25-26 高三上·浙江杭州·月考）（多选）已知抛物线
的一段图像如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（25-26 高三上·河南·月考）（多选）已知函数
，则（ ）
A．“
”是“
为偶函数”的充要条件
B．“
在区间
上单调递减”是“
”的充要条件
C．“
在区间
上单调递增”是“
”的必要不充分条件
D．“
在区间
上仅当
时取最大值”是“
”的充分不必要条件
11．（25-26 高三上·四川南充·月考）（多选）已知二次函数
的图象如图所示，下列结论正确的有（
）
A．
B．
C．方程
有两个不相等的实数根
D．方程
的两根是
，
12．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数
若
存在最大值，则实数
的最大值为
___________．
13．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知幂函数
的图象在
上单调递减，则
__________.
14．（25-26 高三上·河北石家庄·开学考试）已知函数
在
上单调递减，则实数
的
取值范围为_________．
15．（25-26 高三上·湖北咸宁·开学）已知幂函数
(1)求
的值及函数
的解析式；
(2)若
为偶函数，方程
有一正一负两个实根，求实数k 的取值范围.
16．（25-26 高三上·云南·开学考试）已知函数
．
(1)证明：
，
，
，
；
(2)求不等式
的解集．
17．（25-26 高三上·福建漳州·开学）已知幂函数
的图象关于
轴对称.
(1)求实数
的值；
(2)若函数
在区间
上的最小值为
，求实数
的值.
18．（25-26 高三上·四川泸州·开学考试）已知函数
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(3)若
，求
在
上的值域．
