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26.2.1 二次函数y=ax2 的图象和性质
课标要点
1.认识二次函数y=ax2 的图象是抛物线，能够准确说出抛物线的开口方向、对称轴、顶
点。
2.理解系数a 对抛物线开口方向、开口大小的影响，能根据a 的取值判断抛物线基本特
征。
3.结合函数图象掌握y=ax2 的增减性，能分别表述x<0、x>0 时，y 随x 的变化情况，区
分抛物线的最高点与最低点。
学习重难点
重点：
1.当a>0 时，抛物线y=ax2 开口向上，对称轴为y 轴，顶点是原点，顶点为最低点；a
越大开口越小；x<0，y 随x 增大而减小；x>0，y 随x 增大而增大。
2.当a<0 时，抛物线y=ax2 开口向下，对称轴为y 轴，顶点是原点，顶点为最高点；a
越小开口越小；x<0，y 随x 增大而增大；x>0，y 随x 增大而减小。
难点：
1.分清a>0、a<0 两种情形下增减性，避免混淆。
2.理解a 的大小和抛物线开口宽窄之间的关系。3.结合图象，利用增减性判断自变量变
化时函数值的变化趋势。
第二十六章
二次函数
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知识点
二次函数y=ax2 的图象与性质
函数形式𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)，图象叫做抛物线
共同特征(无论a>0 还是a<0)
①对称轴：y 轴(直线x =0)；②顶点坐标：原点(0,0)；③图象都关于y 轴对称。
④|a|决定开口宽窄：|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，开口越大。
y=ax2
a>0
a<0
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
y 轴，直线x=0
y 轴，直线x=0
顶点坐标
(0，0)（原点）
(0，0)（原点）
顶点位置特征
抛物线的最低点
抛物线的最高点
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最值情况
当x=0 时，最小值；无最大值
当x=0 时，最大值；无最小值
增减性（对称轴左侧x<0）
y 随x 的增大而减小
y 随x 的增大而增大
增减性（对称轴右侧x>0）
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
随学随练
1．（25-26 九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么𝑎1，𝑎2，𝑎3的大小关系
是（ ）
A．𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3
B．𝑎3 < 𝑎1 < 𝑎2
C．𝑎1 < 𝑎3 < 𝑎2
D．𝑎3 < 𝑎2 < 𝑎1
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆
开口方向和大小与a 的关系是解题关键．
直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a 的关系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：𝑦= 𝑎1𝑥2的开口向上，𝑎1 > 0，
𝑦= 𝑎2𝑥2与𝑦= 𝑎3𝑥2开口向下，则𝑎2 < 0, 𝑎3 < 0，
∵𝑦= 𝑎2𝑥2的开口大于𝑦= 𝑎3𝑥2开口，
∴|𝑎2| < |𝑎3|
∴𝑎2 > 𝑎3，
∴𝑎3 < 𝑎2 < 𝑎1
故选：D．
特别提醒
1.开口宽窄判断易错：不是a 越大开口越窄，是|a|越大，抛物线开口越窄，与a 正负无关。
2.增减性描述易错：不能笼统说y 随x 增大而增大/减小，要以对称轴x =0 分左右两边分别描述。
3.书写规范易错：对称轴要写直线x=0，顶点写坐标(0，0)；二次函数前提a≠0，a=0 不是二次函数。
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2．（25-26 九年级上·江苏淮安·期末）已知点(−1,𝑦1)，(0,𝑦2)，(3, 𝑦3)都在二次函数𝑦= 𝑥2的图象上，
则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系是（ ）
A．𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3
B．𝑦3 < 𝑦1 < 𝑦2
C．𝑦2 < 𝑦1 < 𝑦3
D．𝑦3 < 𝑦2 < 𝑦1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质分别求出𝑦1, 𝑦2, 𝑦3的值，再比较大小即可
得出答案．
【详解】解：∵点(−1, 𝑦1)在二次函数𝑦= 𝑥2的图象上，
∴𝑦1 = (−1)2 = 1，
同理可得，𝑦2 = 02 = 0，𝑦3 = 32 = 9，
∵0 < 1 < 9，
∴𝑦2 < 𝑦1 < 𝑦3．
故选：C．
3．（25-26 九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面
的距离为4m．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点𝑂为坐标原点，水平方向为𝑥轴，以过点𝑂垂直于𝑥轴
的直线为𝑦轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A．𝑦= −
1
9 𝑥2
B．𝑦= −
1
6 𝑥2
C．𝑦= −
2
9 𝑥2
D．𝑦=
1
4 𝑥2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解．
根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为(0,0)，则可设该函数解析式为𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)，将点(6, −4)代
入函数解析式求解即可．
【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为(0,0)，
设该函数解析式为𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)，
∵当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距离为4m．
则点𝐵(6,−4)，
将点𝐵(6,−4)代入可得，−4 = 𝑎× 62，
解得𝑎= −
1
9，
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∴抛物线的表达式为𝑦= −
1
9 𝑥2．
故选：A ．
4．（25-26 九年级上·广西崇左·阶段检测）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数𝑦=
1
3 𝑥2、𝑦= −
1
3 𝑥2、
𝑦= 3𝑥2、𝑦= −3𝑥2的图象；
（2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴；
（3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标；
（4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y 随x 增大而变化的情况．
【答案】
解：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数𝑦=
1
3 𝑥2、𝑦= −
1
3 𝑥2、𝑦= 3𝑥2、𝑦= −3𝑥2图象，如图所示：
；
（2）函数𝑦=
1
3 𝑥2顶点坐标是(0,0)，开口向上，对称轴是y 轴，
𝑦= −
1
3 𝑥2顶点坐标是(0,0)，开口向下，对称轴是y 轴，
𝑦= 3𝑥2顶点坐标是(0,0)，开口向上，对称轴是y 轴，
𝑦= −3𝑥2顶点坐标是(0,0)，开口向下，对称轴是y 轴；
（3）𝑦=
1
3 𝑥2图象中的最低点的坐标是(0,0)，
𝑦= −
1
3 𝑥2图象中的最高点的坐标是(0,0)，
𝑦= 3𝑥2图象中的最低点的坐标是(0,0)，
𝑦= −3𝑥2图象中的最高点的坐标是(0,0)；
（4）𝑦=
1
3 𝑥2，𝑥< 0时，y 随x 的增大而减小，𝑥> 0时，y 随x 的增大而增大，
𝑦= −
1
3 𝑥2，𝑥< 0时，y 随x 的增大而增大，𝑥> 0时，y 随x 的增大而减小，
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𝑦= 3𝑥2，𝑥< 0时，y 随x 的增大而减小，𝑥> 0时，y 随x 的增大而增大，
𝑦= −3𝑥2，𝑥< 0时，y 随x 的增大而增大，𝑥> 0时，y 随x 的增大而减小．
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意画出函数图象即可；
（2）结合图象求解即可；
（3）结合图象求解即可；
（4）结合图象求解即可．
【详解】略
拓展
二次函数y=ax2 图象与性质新定义类问题
题型特点：题目给出课本没有的新概念(新运算、新距离、新特征点、新图像、新规则),结合最简单二次函
数y=ax²考理解、读图、计算、分类讨论。核心：先读懂新定义，再套二次函数y=ax²性质。
一、基础必备(y=ax²图像性质)
1.顶点永远(0,0),对称轴：y 轴(x=0)
2.a>0：开口向上；x<0 递减，x>0 递增；有最小值0
3.a<0：开口向下；x<0 递增，x>0 递减；有最大值0
4.点(r,y)在图像上，则y=ax²;若点(m,n)在抛物线上，则n=am²,经常用来求a。
二、通用解题四步(新定义题万能流程)
第1 步：翻译新定义，圈关键词
把题目文字定义翻译成数学式子/几何条件。
常见新定义：新距离、伴随点、可控点、友好点、“k 一特征点”、镜像点、界点等。
操作：用笔画出定义中的等式、不等式、范围。
例：定义：若点P(x0, y0)满足𝑦0 > 𝑎𝑥0
2，称P 为抛物线上方点。
翻译：条件就是𝑦0 > 𝑎𝑥0
2。
第2 步：设点坐标，代入定义
二次函数𝑦= 𝑎𝑥2上动点常设：𝑃(𝑡, 𝑎𝑡2)(用参数t 表示横坐标，纵坐标直接写at²,减少未知数)。把P(t,at²)
代入翻译出来的等式或不等式，得到关于t、a 的方程/不等式。
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第3 步：结合y=ax²性质化简
1.出现t²,注意t²≥0;
2.a 正负会改变不等号方向!分类讨论a>0、a<0 是高频易错点；
3.求交点：联立新定义条件与y=ax²解方程；
4.判断存在性：看方程有没有实数解，判别式、平方非负。
第4 步：检验结果，取舍答案
①解出来的t、a 是否满足题目隐藏条件(比如点在第一象限、x>0 等);
②多解要排除不符合定义的解。
活学活用
1．（25-26 九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，对于点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，若满足𝑦1 + 𝑦2 =
𝑡(𝑥1 + 𝑥2)，则称𝐴，𝐵两点互为“𝑡倍点”．
(1)已知直线𝑦= 2𝑥−3上的点𝐵是点𝐴的“2 倍点”，
①若点𝐴在𝑥轴上，求点𝐴的横坐标．
②若点𝐴在抛物线𝑦= 𝑥2上，求点𝐴的坐标．
(2)已知𝐴(2,0)，若在抛物线𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 8上存在唯一的点𝐵是点𝐴的“𝑡倍点”，求𝑡的值．
【答案】(1)①−
3
2；②点𝐴的坐标(−1,1)或(3,9)
(2)2 或 − 14
【分析】本题考查解一元一次方程，二次函数性质，解一元二次方程，根的判别式等．
（1）①设𝐵(𝑚, 2𝑚−3)，点𝐴(𝑛, 0)，根据题意列式计算即可求出本题答案；②设点𝐴(𝑛, 𝑛2)，列式𝑛2 + 𝑚2 −
3 = 2(𝑚+ 𝑛)，整理得𝑛2 −2𝑛−3 = 0，解出即可；
（2）设点𝐵(𝑥, 𝑥2 −2𝑥+ 8)，再列式𝑡(𝑥+ 2) = 𝑥2 −2𝑥+ 8，利用根的判别式即可求出本题答案．
【详解】（1）解：①∵直线𝑦= 2𝑥−3上的点𝐵是点𝐴的“2 倍点”，
∴设𝐵(𝑚, 2𝑚−3)，点𝐴(𝑛, 0)，
∴0 + 2𝑚−3 = 2(𝑚+ 𝑛)，解得：𝑛= −
3
2，
②∵点𝐴在抛物线𝑦= 𝑥2上，
∴设点𝐴(𝑛, 𝑛2)，𝑛2 + 2𝑚−3 = 2(𝑚+ 𝑛)，即𝑛2 −2𝑛−3 = 0，解得𝑛1 = −1，𝑛2 = 3．
∴点𝐴的坐标(−1,1)或(3,9)；
（2）解：∵𝐴(2,0)，若在抛物线𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 8上存在唯一的点𝐵是点𝐴的“𝑡倍点”，
∴设点𝐵(𝑥, 𝑥2 −2𝑥+ 8)，
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∴𝑡(𝑥+ 2) = 𝑥2 −2𝑥+ 8有唯一解，
即𝑥2 −(2 + 𝑡)𝑥+ 8 −2𝑡= 0，
∴Δ = [−(2 + 𝑡)]2 −4(8 −2𝑡) = 0，解得𝑡1 = 2，𝑡2 = −14．
即𝑡的值为2 或−14．
2．（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为𝑀，平行于𝑥轴的直线与该抛物线交于点𝐴，𝐵（点𝐴在点𝐵左
侧），根据对称性可知，△𝐴𝑀𝐵为等腰三角形．我们规定：当△𝐴𝑀𝐵为等腰直角三角形时，就称△𝐴𝑀𝐵为
该抛物线的“完美三角形”．
(1)与𝑦= 𝑥2的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号）
①𝑦= 𝑥2 + 1；②𝑦= 2𝑥2；③𝑦= 𝑥2 −2
(2)若抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 6的“完美三角形”的斜边长为8，求𝑎的值；
(3)若抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 2的“完美三角形”的斜边长为𝑚，抛物线𝑦= 𝑏𝑥2 + 3的“完美三角形”的斜边长为
𝑛，且𝑚= 2𝑛，求𝑎与𝑏的数量关系．
【答案】(1)①③
(2)𝑎= ±
1
4；
(3)𝑏= ±2𝑎．
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质．
（1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可；
（2）由题意可知△𝐴𝑀𝐵为等腰直角三角形，设出点𝐵的坐标为(𝑛, 𝑛)，根据二次函数的性质得出𝑛的值，然
后得出𝐴𝐵= |
2
𝑎|，由此列出方程，求解即可；
（3）由（2）的结论，列式整理即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线①𝑦= 𝑥2 + 1；③𝑦= 𝑥2 −2的形状与抛物线𝑦= 𝑥2相同，
∴抛物线𝑦= 𝑥2 + 1和𝑦= 𝑥2 −2与𝑦= 𝑥2的“完美三角形”的斜边长相等；
故答案为：①③；
（2）解：设𝐴𝐵交𝑦轴于𝑁，
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∵△𝐴𝑀𝐵为等腰直角三角形，
∴∠𝐴𝐵𝑀= 45°，
∵𝐴𝐵∥𝑥轴，
∴∠𝐵𝑀𝑁= ∠𝐴𝐵𝑀= 45°，
∴𝑀𝑁= 𝐵𝑁，
设𝐵点坐标为(𝑛, 𝑛)，代入抛物线𝑦= 𝑎𝑥2，
得𝑛= 𝑎𝑛2，
∴𝑛=
1
𝑎，𝑛= 0（舍去），
∴𝑀𝑁= 𝐵𝑁= |
1
𝑎|，
∴𝐴𝐵= 2𝑀𝑁= |
2
𝑎|，
∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2与抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 6的形状相同，
∴抛物线𝑦= 𝑎𝑥2与抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 6的“完美三角形”全等，
∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 6的“完美三角形”斜边的长为8，
∴抛物线𝑦= 𝑎𝑥2的“完美三角形”斜边的长为8，
∴|
2
𝑎| = 8，∴𝑎= ±
1
4；
（3）解：由（2）知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 2的“完美三角形”的斜边长为𝑚= |
2
𝑎|，
抛物线𝑦= 𝑏𝑥2 + 3的“完美三角形”的斜边长为𝑛= |
2
𝑏|，
∵𝑚= 2𝑛，
∴|
2
𝑎| = 2 |
2
𝑏|，
整理得𝑏= ±2𝑎．
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题型一 与二次函数y=ax2 相关的点
▌例1（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线𝑦= 𝑥2的顶点坐标是（ ）
A．（1，0）
B．（0，1）
C．（0，0）
D．（1，1）
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键；
利用二次函数𝑦= 𝑎𝑥2的顶点坐标特征即可求解．
【详解】解：∵二次函数的形式为𝑦= 𝑎𝑥2时，其顶点坐标为(0,0)，
又∵抛物线𝑦= 𝑥2符合𝑦= 𝑎𝑥2（𝑎= 1）的形式，
∴抛物线𝑦= 𝑥2的顶点坐标是(0,0)，
故选：C．
▌对点练1-1．（26-27 九年级上·全国·课后作业）二次函数𝑦= −𝑥2的图象必经过点（ ）
A．(2,4)
B．(−2, −4)
C．(−4,2)
D．(4,−2)
【答案】B
【分析】将各选项中点的横坐标代入𝑦= −𝑥2验证即可得解．
【详解】解：当𝑥= 2时，𝑦= −22 = −4 ≠4，选项A 不符合题意；
当𝑥= −2时，𝑦= −(−2)2 = −4，选项B 符合题意；
当𝑥= −4时，𝑦= −(−4)2 = −16 ≠2，选项C 不符合题意；
当𝑥= 4时，𝑦= −42 = −16 ≠−2，选项D 不符合题意．
解题贴士
判断一个点P(x0，y0)是否在y=ax2图像上
核心方法：代入检验法
把点的横坐标x。代入解析式，算出函数值，看算出来的y 是否等于点的纵坐标y0
。步骤：
1.将x=x0代入y=ax2，计算：y=ax0
2
2.比较计算得到的y 和点的纵坐标yo
若y0=ax0
2→点在抛物线上；
若y0≠ax0
2→点不在抛物线上。
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▌对点练2-1．（25-26 八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数𝑦=
1
2 𝑥2的图象上的是（ ）
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,2)
D．(4,4)
【答案】C
【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y 值
与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可．
【详解】解：A 选项，当𝑥= 0时，𝑦=
1
2 × 02 = 0 ≠1，
∴(0,1)不在该函数图象上，不符合题意；
B 选项，当𝑥= 1时，𝑦=
1
2 × 12 =
1
2 ≠2，
∴(1,2)不在该函数图象上，不符合题意；
C 选项，当𝑥= 2时，𝑦=
1
2 × 22 = 2，与点的纵坐标相等，
∴(2,2)在该函数图象上，符合题意；
D 选项，当𝑥= 4时，𝑦=
1
2 × 42 = 8 ≠4，
∴(4,4)不在该函数图象上，不符合题意．
题型二 二次函数y=ax2 的开口大小比较
▌例2（25-26 九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 𝑦=
1
3 𝑥2，𝑦= −2𝑥2，𝑦=
3
2 𝑥2的图象开口最大的是
（ ）
A．𝑦=
1
3 𝑥2
B．𝑦= −2𝑥2
C．𝑦=
3
2 𝑥2
D．无法确定
【答案】A
解题贴士
y=ax2，开口大小只看|a|(a的绝对值)，和a的正负无关
1.|a|越大→抛物线开口越窄(越陡)
2.|a|越小→抛物线开口越宽(越平缓)
a的正负只决定开口方向：
a>0：开口向上
a<0：开口向下
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【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2的开口大小由二次项系数𝑎的绝对值决定，𝑎的
绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果
【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为
1
3，−2，
3
2，分别计算它们的绝对值得：
|
1
3 | =
1
3，| −2| = 2，|
3
2 | =
3
2
∵
1
3 <
3
2 < 2，即|
1
3 | < |
3
2 | < | −2|
又∵对于抛物线𝑦= 𝑎𝑥2，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大，
∴ 抛物线𝑦=
1
3 𝑥2的开口最大，
▌对点练2-1．
（25-26 九年级上·河南新乡·期中）有下列二次函数：①𝑦= −3𝑥2；②𝑦=
2
3 𝑥2；③𝑦= −
4
3 𝑥2．在
同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（）
A．①②③
B．①③②
C．②③①
D．②①③
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质；二次函数图象的开口大小由系数𝑎的绝对值|𝑎|决定，|𝑎|越小开口越
大，|𝑎|越大开口越小．比较三个函数的|𝑎|值即可得出开口大小顺序．
【详解】解：∵二次函数图象的开口大小由系数𝑎的绝对值|𝑎|决定，|𝑎|越小开口越大，|𝑎|越大开口越小，
对于①𝑦= −3𝑥2，|𝑎| = 3；
对于②𝑦=
2
3 𝑥2，|𝑎| =
2
3 ≈0.666；
对于③𝑦= −
4
3 𝑥2，|𝑎| =
4
3 ≈1.333．
∴|𝑎|从小到大为：②<③<①，
故开口从大到小为：②>③>①，即②③①．
故选：C．
▌对点练2-2．（25-26 九年级上·陕西西安·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么𝑎1，𝑎2，
𝑎3的大小关系是______ ．（请用“>”连接）
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【答案】𝑎2 > 𝑎3 > 𝑎1
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函
数的图象开口大小与𝑎的关系即可得出答案．
【详解】解：观察图象可知，𝑦= 𝑎2𝑥2开口向上，故𝑎2 > 0，
𝑦= 𝑎1𝑥2和𝑦= 𝑎3𝑥2开口向下，且𝑦= 𝑎1𝑥2的开口大小小于𝑦= 𝑎2𝑥2，故𝑎1 < 𝑎3 < 0，
∴ 𝑎2 > 𝑎3 > 𝑎1．
故答案为：𝑎2 > 𝑎3 > 𝑎1．
题型三 利用二次函数y=ax2 的性质比较函数值大小
解题贴士
方法一：代数法(代入计算，万能，选择题不会就用)
把自变量x 直接代入，算出y，直接比大小。
例：𝑦= 2𝑥2，比较𝑥1=-3，𝑥2=2 的函数值
𝑦1 = 2 × (−3)2 = 18，𝑦2 = 2 × 22 = 8，∴𝑦1 > 𝑦2
方法二：性质法(不计算，快速比较，考试高频)
①当a > 0, 开口向上
|x|越大→x²越大→y 越大。
离y 轴越远，函数值越大。
②当a < 0, 开口向下
|x|越大→x²越大→ax²反而越小。
离y 轴越远，函数值越小。
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▌例3（25-26 八年级下·广西南宁·期末）二次函数𝑦= 2𝑥2的图象上有三个点𝐴(1, 𝑦1)，𝐵(2, 𝑦2)，𝐶(3,𝑦3)，
则𝑦1、𝑦2、𝑦3的大小关系为（ ）
A．𝑦1 > 𝑦2 > 𝑦3
B．𝑦1 > 𝑦3 > 𝑦2
C．𝑦2 > 𝑦1 > 𝑦3
D．𝑦3 > 𝑦2 > 𝑦1
【答案】D
【详解】解：∵二次函数𝑦= 2𝑥2中，𝑎= 2 > 0，
∴抛物线开口向上，对称轴为𝑦轴，
∴当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大，
∵点𝐴、𝐵、𝐶的横坐标满足1 < 2 < 3，都在对称轴右侧，
∴𝑦3 > 𝑦2 > 𝑦1．
▌对点练3-1．（25-26 九年级上·重庆·阶段检测）已知点𝐴(−2, 𝑦1)，𝐵(0, 𝑦2)，𝐶(1,𝑦3)都在二次函数𝑦= −𝑥2
的图像上，则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系为（ ）
A．𝑦1 > 𝑦2 > 𝑦3
B．𝑦2 > 𝑦1 > 𝑦3
C．𝑦2 > 𝑦3 > 𝑦1
D．𝑦3 > 𝑦2 > 𝑦1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．
根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵𝑦= −𝑥2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线𝑥= 0，
∵点𝐴(−2, 𝑦1)距离对称轴有2 个单位长度，
点𝐵(0, 𝑦2)距离对称轴有0 个单位长度，
点𝐶(1, 𝑦3)距离对称轴有1 个单位长度，
∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：𝑦2 > 𝑦3 > 𝑦1，
故选：C．
▌对点练3-2．（25-26 九年级上·北京西城·阶段检测）点(2,𝑦1)，(−1,𝑦2)在𝑦= −2𝑥2上，则𝑦1，𝑦2的大
小关系是（ ）
A．𝑦1 < 𝑦2
B．𝑦1 > 𝑦2
C．𝑦1 = 𝑦2
D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质， 通过代入x 值计算y 值，然后比较大小．
【详解】∵点(2,𝑦1)在𝑦= −2𝑥2上，
∴𝑦1 = −2 × 22 = −8；
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15 /
∵点(−1, 𝑦2)在𝑦= −2𝑥2上，
∴𝑦2 = −2 × (−1)2 = −2；
∵−8 < −2，
∴𝑦1 < 𝑦2．
故选：A．
题型四 根据函数的增减性求参数
▌例4（25-26 九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数𝑦= 𝑚𝑥2，当𝑥< 0时，𝑦随𝑥增大而减小，则
实数𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚< 0
B．𝑚≤0
C．𝑚> 0
D．𝑚≥0
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数图象的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左
侧𝑦随𝑥增大而减小，结合条件即可求解．
【详解】解：∵二次函数𝑦= 𝑚𝑥2，当𝑥< 0时，𝑦随𝑥增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴𝑚> 0．
故选：C．
▌对点练4-1．（25-26 九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形𝑂𝐴𝐵𝐶是边长为2√2的正方形，𝑂𝐶与x 轴
解题贴士
考法1：直接告知某一侧增减性，求a 取值范围
核心逻辑：
若x > 0 时，y 随x 增大而增大→a > 0
若x > 0 时，y 随x 增大而减小→a < 0
若x < 0 时，y 随x 增大而增大→a < 0
若x < 0 时，y 随x 增大而减小→a > 0
考法2：给两个点，结合增减性求参数范围(中考高频难点)
题干形式：
在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2上，当𝑥1 < 𝑥2时，𝑦1 > 𝑦2(或𝑦1 < 𝑦2)，求a 的范围。
▲关键：要先看两个点是同在对称轴左边/同在右边/分居两侧。
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正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎< 0)的图象上，则a 的值为（ ）
A．−
1
6
B．−
1
4
C．−
1
3
D．−
1
2
【答案】A
【分析】连接𝑂𝐵，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠𝐵𝑂𝐶= 45°，过点B 作𝐵𝐷⊥𝑥轴于D，然后
求出∠𝐵𝑂𝐷= 30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得𝐵𝐷=
1
2 𝑂𝐵，再利用勾股定理列
式求出𝑂𝐷，从而得到点B 的坐标，再把点B 的坐标代入抛物线解析式求解即可．
【详解】解：如图，连接𝑂𝐵，
∵四边形𝑂𝐴𝐵𝐶是边长为2√2的正方形，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 45°，𝑂𝐵= √(2√2)
2 + (2√2)
2 = 4，
过点B 作𝐵𝐷⊥𝑥轴于D，
∵𝑂𝐶与x 轴正半轴的夹角为15°，
∴∠𝐵𝑂𝐷= 45° −15° = 30°，
∴𝐵𝐷=
1
2 𝑂𝐵= 2，𝑂𝐷= √𝑂𝐵2 −𝐵𝐷2 = 2√3，
∴点B 的坐标为(2√3,−2)，
∵点B 在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎< 0)的图象上，
∴(2√3)
2𝑎= −2，
解得：𝑎= −
1
6．
故选：A．
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17 /
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边
的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出𝑂𝐵与x 轴的夹角
为30°，然后求出点B 的坐标是解题的关键．
▌对点练4-2．（25-26 九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦= 2分别交抛
物线𝑦= 𝑥2(𝑥≥0)，𝑦= 𝑎𝑥2(𝑥≥0)于点𝐴, 𝐵，且𝐴𝐵= 1，则𝑎的值为（ ）
A．0.5
B．1.5
C．6 −4√2
D．6 + 4√2
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，先求出𝐴点坐标，进而求出𝐵点坐标，
待定系数法求出𝑎的值即可．
【详解】解：∵直线𝑦= 2分别交抛物线𝑦= 𝑥2(𝑥≥0)，𝑦= 𝑎𝑥2(𝑥≥0)于点𝐴, 𝐵，
∴𝐴, 𝐵的纵坐标均为2，
当𝑦= 𝑥2 = 2时，解得𝑥= ±√2，
∴𝐴(√2, 2)，
∵𝐴𝐵= 1，
∴𝐵(√2 + 1,2)，
把𝐵(√2 + 1,2)代入𝑦= 𝑎𝑥2(𝑥≥0)，得2 = 𝑎(√2 + 1)
2，
解得𝑎=
2
3+2√2 = 2 × (3 −2√2) = 6 −4√2；
故选C．
题型五 y=ax2 的性质与图象综合（选择）
▌例5（25-26 九年级上·上海·期中）下列关于抛物线𝑦=
1
2 𝑥2和𝑦= −
1
2 𝑥2的关系的说法中，正确的是（ ）
A．它们的形状相同，开口方向也相同；
B．它们都关于y 轴对称；
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18 /
C．它们的顶点不相同；
D．点(−2,2)既在抛物线𝑦=
1
2 𝑥2上也在𝑦= −
1
2 𝑥2上．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两
条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可．
【详解】解：∵抛物线𝑦=
1
2 𝑥2和𝑦= −
1
2 𝑥2中二次项系数的绝对值相等，
∴它们的形状相同，开口方向相反，故A 错误；
它们的对称轴都是y 轴，故B 正确；
它们的顶点都是(0,0)，故C 错误；
把𝑥= −2代入𝑦=
1
2 𝑥2得：𝑦=
1
2 × (−2)2 = 2，
∴点(−2,2)在抛物线𝑦=
1
2 𝑥2上，
把𝑥= −2代入𝑦= −
1
2 𝑥2得：𝑦= −
1
2 × (−2)2 = −2，
∴点(−2,2)不在抛物线𝑦= −
1
2 𝑥2上，故D 错误．
故选：B．
▌对点练5-1．（25-26 九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数𝑦= 4𝑥2与𝑦= −4𝑥2，下列说法错误的是
（ ）
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．顶点坐标相同
D．两函数图象关于x 轴对称
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质．通过比较二次函数𝑦= 4𝑥2和𝑦= −4𝑥2的开口方向、对称轴、顶点坐
标和对称性，判断各选项正误，即可作答．
【详解】解：∵𝑦= 4𝑥2，4 > 0
∴开口方向向上，对称轴为直线𝑥= −
0
2×4 = 0，
当𝑥= 0时，则𝑦= 4𝑥2 = 4 × 0 = 0，即顶点坐标为(0,0)，
∵𝑦= −4𝑥2，−4 < 0
∴开口方向向下，对称轴为直线𝑥= −
0
2×(−4) = 0，
当𝑥= 0时，则𝑦= −4𝑥2 = −4 × 0 = 0，即顶点坐标为(0,0)，
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19 /
∴二次函数𝑦= 4𝑥2与𝑦= −4𝑥2的开口方向不相同，故A 选项符合题意；
∴二次函数𝑦= 4𝑥2与𝑦= −4𝑥2的对称轴相同，顶点坐标相同，两函数图象关于x 轴对称，故B、C、D 选项
不符合题意；
故选：A
▌对点练5-2．（25-26 九年级上·上海·课后作业）对于函数𝑦= 4𝑥2，下列说法正确的是（ ）
A．当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而减小
B．当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大
C．𝑦随𝑥的增大而减小
D．𝑦随𝑥的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及
开口方向，即可判断二次函数的增减性．
【详解】解：∵𝑎= 4 > 0，对称轴为直线𝑥= 0，
∴抛物线开口向上，当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大
当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小，故B 正确．
故选：B．
▌对点练5-3．（25-26 九年级上·浙江衢州·阶段检测）关于函数𝑦=
1
2 𝑥2，𝑦= 𝑥2，𝑦= 2𝑥2的图象，下列
说法中不正确的是（ ）
A．顶点坐标相同
B．对称轴相同
C．图象形状相同
D．最低点相同
【答案】C
【分析】本题考查了𝑦= 𝑎𝑥²的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据𝑦= 𝑎𝑥²的性质求解即可．
【详解】解：函数𝑦=
1
2 𝑥2，𝑦= 𝑥2，𝑦= 2𝑥2都是𝑦= 𝑎𝑥²形式，
二次函数𝑦= 𝑎𝑥²，
顶点坐标均为(0,0)，对称轴均为y 轴，最低点均为(0,0)，
但a 值分别为
1
2，1，2，不相等，
∴图象开口大小不同，形状不同，
故选：C．
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20 /
题型六 y=ax2 的性质与图象实际应用
▌例6（25-26 九年级上·安徽亳州·期中）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数
𝑦= −
1
25 𝑥2，在正常水位时水面宽𝐴𝐵= 30m，当水位上升5m 时，水面的宽𝐶𝐷为（ ）
A．16m
B．18m
C．20m
D．24m
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A 的横坐标为−15，据此求出𝐴(−15,−9)，
进而得到点C 的纵坐标为−4，再求出𝐶(−10, −4)，𝐷(10, −4)即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点A 的横坐标为−15，
在𝑦= −
1
25 𝑥2中，
当𝑥= −15时，𝑦= −
1
25 × (−15)2 = −9，
∴𝐴(−15, −9)，
∴点C 的纵坐标为−9 + 5 = −4，
在𝑦= −
1
25 𝑥2中，
解题贴士
模型1：拱桥、隧道、拱门(开口向下，a<0)
一般建系方式：
方案①：以拱顶(最高点)为原点(0，0)，水平向右为x 轴，竖直向下为y 轴；
方案②：以拱顶为原点，x 轴水平向右，y 轴竖直向上，此时a<0，拱顶(0，0)是最高点。
已知桥宽、高度，求解析式；或已知位置求高度；或已知高度求水平宽度。
模型2：抛射运动(喷水、小球下落，a≠0)
1.喷水：喷头放在原点(0，0)，水流向外向上抛出，开口向下a<0。
2.自由下落：物体从原点由静止下落，向下为y 轴正方向，开口向上a>0,y=ax2，时间x，下落距离y。
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21 /
当𝑦= −
1
25 𝑥2 = −4时，
解得𝑥= −10或𝑥= 10，
∴𝐶(−10, −4)，𝐷(10, −4)，
∴𝐶𝐷= 10 −(−10) = 20（m），
故选：C．
▌对点练6-1．（25-26 九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶
部离水面的距离为4m．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点𝑂为坐标原点，水平方向为𝑥轴，以过点𝑂垂
直于𝑥轴的直线为𝑦轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A．𝑦= −
1
9 𝑥2
B．𝑦= −
1
6 𝑥2
C．𝑦= −
2
9 𝑥2
D．𝑦=
1
4 𝑥2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解．
根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为(0,0)，则可设该函数解析式为𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)，将点(6, −4)代
入函数解析式求解即可．
【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为(0,0)，
设该函数解析式为𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)，
∵当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距离为4m．
则点𝐵(6,−4)，
将点𝐵(6,−4)代入可得，−4 = 𝑎× 62，
解得𝑎= −
1
9，
∴抛物线的表达式为𝑦= −
1
9 𝑥2．
故选：A ．
▌对点练6-2．（25-26 九年级上·广东江门·期中）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当
水面宽𝐴𝐵= 18m时，涵洞顶点与水面的距离为9m．当水面宽𝐶𝐷= 6m时，水位上升___________
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22 /
【答案】8m/8 米
【分析】本题考查了𝑦= 𝑎𝑥²的图象和性质，拱桥问题(实际问题与二次函数)等知识，解题关键是掌握上述
知识点并能熟练运用求解．
先求得抛物线的解析式，再求出𝐷的纵坐标，从而可求得水位上升的距离．
【详解】解：设抛物线的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎< 0)，
∵当水面宽𝐴𝐵= 18m时，涵洞顶点与水面的距离为9m，
∴𝐴(−9,−9)，𝑏(9,−9)，
∴−9 = 92𝑎，
解得：𝑎= −
1
9，
∴抛物线的解析式为𝑦= −
1
9 𝑥2，
当水面宽𝐶𝐷= 6m时，
𝐷的横坐标为3，
∴𝐷的纵坐标为𝑦= −
1
9 × 32 = −1，
∴水位上升−1 −(−9) = 8 (m)，
故答案为：8m．
▌对点练6-3．（25-26 九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为
𝑦= −
1
4 𝑥2，当水面离桥顶的高度𝑂𝐻为4m时，水面的宽度𝐴𝐵为______m．
【答案】8
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．根据题意，把𝑦= −4
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23 /
直接代入解析式即可解答．
【详解】解：根据题意𝐵的纵坐标为−4，
把𝑦= −4代入𝑦= −
1
4 𝑥2，
得−4 = −
1
4 𝑥2
𝑥= ±4，
∴𝐴(−4,−4)，𝐵(4,−4)，
∴𝐴𝐵= 4 −(−4) = 8m．
故答案为：8．
题型七 y=ax2 的性质与图象中规律探索类
▌例7（25-26 九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水
面的距离为4m．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点𝑂为坐标原点，水平方向为𝑥轴，以过点𝑂垂直于𝑥
轴的直线为𝑦轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A．𝑦= −
1
9 𝑥2
B．𝑦= −
1
6 𝑥2
C．𝑦= −
2
9 𝑥2
D．𝑦=
1
4 𝑥2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解．
根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为(0,0)，则可设该函数解析式为𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)，将点(6, −4)代
入函数解析式求解即可．
【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为(0,0)，
设该函数解析式为𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)，
∵当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距离为4m．
则点𝐵(6,−4)，
将点𝐵(6,−4)代入可得，−4 = 𝑎× 62，
解得𝑎= −
1
9，
∴抛物线的表达式为𝑦= −
1
9 𝑥2．
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24 /
故选：A ．
▌对点练7-1．（25-26 九年级上·广东江门·期中）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当
水面宽𝐴𝐵= 18m时，涵洞顶点与水面的距离为9m．当水面宽𝐶𝐷= 6m时，水位上升___________
【答案】8m/8 米
【分析】本题考查了𝑦= 𝑎𝑥²的图象和性质，拱桥问题(实际问题与二次函数)等知识，解题关键是掌握上述
知识点并能熟练运用求解．
先求得抛物线的解析式，再求出𝐷的纵坐标，从而可求得水位上升的距离．
【详解】解：设抛物线的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎< 0)，
∵当水面宽𝐴𝐵= 18m时，涵洞顶点与水面的距离为9m，
∴𝐴(−9,−9)，𝑏(9,−9)，
∴−9 = 92𝑎，
解得：𝑎= −
1
9，
∴抛物线的解析式为𝑦= −
1
9 𝑥2，
当水面宽𝐶𝐷= 6m时，
𝐷的横坐标为3，
∴𝐷的纵坐标为𝑦= −
1
9 × 32 = −1，
∴水位上升−1 −(−9) = 8 (m)，
故答案为：8m．
▌对点练7-2．（25-26 九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为
𝑦= −
1
4 𝑥2，当水面离桥顶的高度𝑂𝐻为4m时，水面的宽度𝐴𝐵为______m．
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【答案】8
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．根据题意，把𝑦= −4
直接代入解析式即可解答．
【详解】解：根据题意𝐵的纵坐标为−4，
把𝑦= −4代入𝑦= −
1
4 𝑥2，
得−4 = −
1
4 𝑥2
𝑥= ±4，
∴𝐴(−4,−4)，𝐵(4,−4)，
∴𝐴𝐵= 4 −(−4) = 8m．
故答案为：8．
题型八 y=ax2 的性质与图象作图题
▌例8（26-27 九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系内画出二次函数𝑦= 2𝑥2与𝑦= −
1
2 𝑥2的
图象．
(1)列表
x
…
−2
−1
0
1
2
…
𝑦= 2𝑥2
…
________
________
________
________
________
…
𝑦
= −1
2 𝑥²
…
________
________
________
________
________
…
(2)描点、连线
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【答案】(1)8，2，0，2，8，−2，−
1
2，0，−
1
2，−2
(2)
【分析】（1）求出函数值即可；
（2）描点连线即可．
【详解】（1）解：当𝑥= −2时，𝑦= 2𝑥2 = 2 × (−2)2 = 8，
当𝑥= −1时，𝑦= 2𝑥2 = 2 × (−1)2 = 2，
当𝑥= 0时，𝑦= 2𝑥2 = 2 × 02 = 0，
当𝑥= 1时，𝑦= 2𝑥2 = 2 × 12 = 2，
当𝑥= 2时，𝑦= 2𝑥2 = 2 × 22 = 8，
当𝑥= −2时，𝑦= −
1
2 𝑥² = −
1
2 × (−2)2 = −2，
当𝑥= −1时，𝑦= −
1
2 𝑥² = −
1
2 × (−1)2 = −
1
2，
当𝑥= 0时，𝑦= −
1
2 𝑥² = −
1
2 × 02 = 0，
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27 /
当𝑥= 1时，𝑦= −
1
2 𝑥² = −
1
2 × 12 = −
1
2，
当𝑥= 2时，𝑦= −
1
2 𝑥² = −
1
2 × 22 = −2．
（2）略
▌对点练8-1．
（25-26 九年级下·全国·课堂例题）在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数𝑦= 2𝑥2
和𝑦= −
1
2 𝑥2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)：
(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)抛物线𝑦= 2𝑥2，当𝑥______时，抛物线上的点都在𝑥轴的上方，它的顶点是图象的最______点；
(3)函数𝑦= −
1
2 𝑥2，对于一切𝑥的值，总有函数𝑦______0；当𝑥______时，𝑦有最______值是______．
【答案】(1)
图象如图：
二次函数𝑦= 2𝑥2的图象开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)；二次函数𝑦= −
1
2 𝑥2的图象开口向下，
对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)．
(2)≠，低．
(3)≤，=，大，0．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键．
（1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标；
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28 /
（2）根据函数𝑦= 2𝑥2的图象解答即可；
（3）根据函数𝑦= −
1
2 𝑥2的图象解答即可．
【详解】（1）
由图可得：二次函数𝑦= 2𝑥2的图象开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)；二次函数𝑦= −
1
2 𝑥2的图
象开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)．
（2）解：抛物线𝑦= 2𝑥2，当𝑥≠0时，抛物线上的点都在𝑥轴的上方，它的顶点是图象的最低点(0,0)．
故答案为：≠，低．
（3）解：函数𝑦= −
1
2 𝑥2，对于一切𝑥的值，总有函数𝑦≤0；当𝑥= 0时，𝑦有最大值是0．
故答案为：≤，=，大，0．
▌对点练8-2．（2025 九年级·全国·专题练习）在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数𝑦=
3
2 𝑥2的
图象，并回答下列问题：
（1）当x 取何值时，y 有最小值？最小值是多少？
（2）当𝑥> 0时，y 随x 的增大怎样变化？当𝑥< 0时呢？
【答案】函数𝑦=
3
2 𝑥2的图象如图所示．
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（1）当𝑥= 0时，y 有最小值，最小值是0．
（2）当𝑥> 0时，y 随x 的增大而增大；当𝑥< 0时，y 随x 的增大而减小．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
根据𝑦=
3
2 𝑥2可知，点(0,0),(1,
3
2) ,(2,6), (−1,
3
2) ,(−2,6)均在函数图象上，描点后相连即可；
（1）根据图象知当𝑥= 0时，𝑦有最小值；
（2）根据图象即可判断𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大；𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小．
【详解】解：作函数𝑦=
3
2 𝑥2的图象如图所示．
（1）根据图象可知，当𝑥= 0时，𝑦有最小值，最小值是0．
（2）解：根据图象可判断，
当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而增大；
当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小．
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▌对点练8-3．（2025 九年级·全国·专题练习）已知圆柱的高为
1
3，底面半径为𝑟，体积为𝑉（π取3）．
(1)𝑉与𝑟之间的函数关系式为______，并在图中画出图象．
(2)根据图象，当𝑟= 1时，圆柱的体积为______．
(3)根据图象，求出当𝑟为何值时，𝑉≥4．
【答案】(1)
𝑉= 1
3 𝜋𝑟2 ≈𝑟2(𝑟> 0)
(2)1
(3)当𝑟≥2时，𝑉≥4
【分析】（1）由圆柱体积公式直接可得；
（2）将𝑟= 1代入（1）中公式即可；
（3）观察图像可知，在第一象限内𝑉随𝑟的增大而增大，当𝑟≥2时，𝑉≥4．
【详解】（1）解：由圆柱的体积公式可得，
𝑉= 1
3 𝜋𝑟2 ≈𝑟2(𝑟> 0)
画图如下：
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（2）解：将𝑟= 1代入（1）中公式可得，
𝑉= 1
3 × 3 × 12 = 1
故答案为：1．
（3）解：由图像可知，当𝑟= 2时，𝑉= 4，在第一象限内𝑉随𝑟的增大而增大，
∴当𝑟≥2时，𝑉≥4．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解
答．
题型九 y=ax2 的性质与图象综合解答
▌例9（25-26 九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)的图象与直线𝑦= 2𝑥−3交于
点𝐴(1,𝑏)．
(1)求a 和b 的值；
(2)当x 取何值时，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2中的函数值y 随x 值的增大而增大？
(3)求抛物线𝑦= 𝑎𝑥2与直线𝑦= 2𝑥−3的另一个交点 B 的坐标．
【答案】(1)𝑎= −1，𝑏= −1．
(2)当𝑥< 0时，二次函数𝑦= −𝑥2的函数值𝑦随𝑥的增大而增大．
(3)点𝐵的坐标为(−3,−9)．
【分析】（1）先求出点A 的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
（3）联立两函数解析式，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：在𝑦= 2𝑥−3中，当𝑥= 1时，𝑦= 2 × 1 −3 = −1，
∴𝐴(1,−1)，即𝑏= −1，
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把点A 的坐标代入𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)得−1 = 𝑎⋅12，
∴𝑎= −1；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为𝑦= −𝑥2，
∴对称轴为y 轴，函数图象开口向下，
∴当𝑥< 0时，二次函数𝑦= −𝑥2的函数值𝑦随𝑥的增大而增大；
（3）解：联立{ 𝑦= −𝑥2
𝑦= 2𝑥−3
，解得{𝑥= −3
𝑦= −9
或{ 𝑥= 1
𝑦= −1
，
∴点B 的坐标为(−3, −9)．
▌对点练9-1．（2025 九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B 在抛物线𝑦=
1
4 𝑥2上．已知点A，B 的横
坐标分别为−2，4，直线𝐴𝐵与y 轴交于点𝐶．
(1)求直线𝐴𝐵的函数解析式；
(2)在x 轴上找一点P，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐶的值最小，请求出此时点P 的坐标及𝑃𝐴+ 𝑃𝐶的最小值．
【答案】(1)𝑦=
1
2 𝑥+ 2
(2)𝑃(−
4
3 , 0)，𝑃𝐴+ 𝑃𝐶的最小值为√13
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质
是解题关键．
（1）先根据二次函数的解析式求出𝐴(−2,1)，𝐵(4,4)，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出𝐶(0,2)，再作点𝐶关于𝑥轴的对称点𝐶′(0, −2)，连接𝐴𝐶′，交𝑥轴于点𝑃，则点𝑃即为所求，利用
待定系数法求出直线𝐴𝐶′的解析式，则可得点𝑃的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值．
【详解】（1）解：将𝑥= −2代入𝑦=
1
4 𝑥2得：𝑦=
1
4 × (−2)2 = 1，
∴𝐴(−2,1)，
将𝑥= 4代入𝑦=
1
4 𝑥2得：𝑦=
1
4 × 42 = 4，
∴𝐵(4,4)，
设直线𝐴𝐵的函数解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，
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将点𝐴(−2,1)，𝐵(4,4)代入得：{−2𝑘+ 𝑏= 1
4𝑘+ 𝑏= 4
，解得{𝑘=
1
2
𝑏= 2
，
∴直线𝐴𝐵的函数解析式为𝑦=
1
2 𝑥+ 2．
（2）解：将𝑥= 0代入𝑦=
1
2 𝑥+ 2得：𝑦= 2，
∴𝐶(0,2)，
如图，作点𝐶关于𝑥轴的对称点𝐶′(0, −2)，连接𝐴𝐶′，交𝑥轴于点𝑃，
由轴对称的性质得：𝑃𝐶′ = 𝑃𝐶，
∴𝑃𝐴+ 𝑃𝐶= 𝑃𝐴+ 𝑃𝐶′，
由两点之间线段最短可知，当点𝐴, 𝑃, 𝐶′共线时，𝑃𝐴+ 𝑃𝐶′的值最小，即𝑃𝐴+ 𝑃𝐶的值最小，最小值为𝐴𝐶′ =
√(−2 −0)2 + (1 + 2)2 = √13，
∴𝐴𝐶′与𝑥轴的交点𝑃即为所求，
设直线𝐴𝐶′的函数解析式为𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛(𝑚≠0)，
将点𝐴(−2,1)，𝐶′(0,−2)代入得：{−2𝑚+ 𝑛= 1
𝑛= −2
，解得{𝑚= −
3
2
𝑛= −2
，
∴直线𝐴𝐶′的函数解析式为𝑦= −
3
2 𝑥−2，
将𝑦= 0代入𝑦= −
3
2 𝑥−2得：−
3
2 𝑥−2 = 0，解得𝑥= −
4
3，
∴此时点𝑃的坐标为(−
4
3 , 0)，
综上，此时点𝑃的坐标为(−
4
3 , 0)，𝑃𝐴+ 𝑃𝐶的最小值为√13．
▌对点练9-2．（24-25 九年级上·广东广州·期中）如图，已知点𝐴(−2, 4)在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)上，过
点𝐴且平行于𝑥轴的直线交抛物线于点𝐵．
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(1)求𝑎的值；
(2)若点𝑃是抛物线上一点，且𝑃的横坐标为1，求△𝐴𝐵𝑃的面积．
【答案】(1)𝑎= 1
(2)6
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）把点𝐴(−2, 4)代入抛物线解析式进行求解即可；
（2）由（1）可得点𝐵的坐标，然后代入𝑥= 1得出点𝑃的坐标，进而问题可求解．
【详解】（1）解：把𝐴(−2, 4)代入抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)得：
𝑎⋅(−2)2 = 4，
解得：𝑎= 1；
（2）解：由（1）可知抛物线的解析式为𝑦= 𝑥2，
∴当𝑦= 4时，则有𝑥2 = 4，解得：𝑥= ±2，
当𝑥= 1时，则有𝑦= 1，
∴𝐵(2,4),𝑃(1,1)，
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃=
1
2 𝐴𝐵⋅(𝑦𝐵−𝑦𝑃) =
1
2 × 4 × (4 −1) = 6．
▌对点练9-3．（25-26 九年级上·山东济南·期中）如图，已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)与一次函数𝑦= 𝑥+ 2
的图象相交于𝐴(−1, 𝑚)、𝐵(𝑛, 4)两点．
(1)求𝑎, 𝑚, 𝑛的值；
(2)观察图象，直接写出不等式𝑎𝑥2 −𝑥−2 < 0的解集．
【答案】(1)𝑎= 1, 𝑚= 1, 𝑛= 2
(2)−1 < 𝑥< 2
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，图像法求不等式解集是关键．
（1）把点A 代入一次函数得到m 的值，把点B 代入一次函数得到n 的值，把点A 代入二次函数得到a 的值；
（2）根据图象解不等式即可．
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【详解】（1）解：二次函数𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)与一次函数𝑦= 𝑥+ 2的图象相交于𝐴(−1, 𝑚)、𝐵(𝑛, 4)两点，
∴𝑚= −1 + 2 = 1，则𝐴(−1,1)，
𝑛+ 2 = 4，
解得，𝑛= 2，则𝐵(2,4)，
把点𝐴(−1,1)代入二次函数解析式得，𝑎· (−1)2 = 1，
解得，𝑎= 1；
（2）解：不等式𝑎𝑥2 −𝑥−2 < 0变形得，𝑎𝑥2 < 𝑥+ 2，
即二次函数图象在一次函数图象的下方，
∴当−1 < 𝑥< 2时，𝑎𝑥2 < 𝑥+ 2，
即当−1 < 𝑥< 2时，𝑎𝑥2 −𝑥−2 < 0．
基础通关
1．（2026·广东广州·二模）给出下列函数： ①𝑦= 3𝑥， ②𝑦= −3𝑥+ 2， ③𝑦=
3
𝑥， ④𝑦= 2𝑥2，其中
符合条件“当𝑥> 1时，函数值𝑦随自变量𝑥增大而增大”的是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③
【答案】C
【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在𝑥> 1时的增减性即可得
到答案.
【详解】解：①对于𝑦= 3𝑥，是一次函数，∵𝑘= 3 > 0，∴𝑦随𝑥增大而增大，当𝑥> 1时符合条件；
②对于𝑦= −3𝑥+ 2，是一次函数，∵𝑘= −3 < 0，∴𝑦随𝑥增大而减小，不符合条件；
③对于𝑦=
3
𝑥，是反比例函数，∵𝑘= 3 > 0，∴𝑥> 0时𝑦随𝑥增大而减小，当𝑥> 1时不符合条件；
④对于𝑦= 2𝑥2，是二次函数，开口向上，对称轴为𝑥= 0，∴𝑥> 0时𝑦随𝑥增大而增大，故当𝑥> 1时符合条
件；
因此符合条件的是①④，故选C.
2．（25-26 九年级下·吉林长春·期中）若点𝐴(2,𝑦1)和点𝐵(3, 𝑦2)都在抛物线𝑦= −𝑥2上，则𝑦1和𝑦2的大小
关系是（ ）
A．𝑦1 > 𝑦2
B．𝑦1 = 𝑦2
C．𝑦1 < 𝑦2
D．无法确定
【答案】A
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【详解】解：∵抛物线𝑦= −𝑥2的二次项系数为−1 < 0，
∴抛物线开口向下，对称轴为𝑦轴，
∴当𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而减小，
∵0 < 2 < 3，
∴𝑦1 > 𝑦2．
3．（25-26 九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑐的顶点坐标是(0,2)，且形状及开口方向与
抛物线𝑦= −
1
2 𝑥2相同，则a，c 的值分别为（ ）
A．−
1
2，2
B．−
1
2，−2
C．
1
2，2
D．
1
2，−2
【答案】A
【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a 决定，形状与
开口方向相同的抛物线二次项系数a 相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c．
【详解】∵抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑐的形状及开口方向与𝑦= −
1
2 𝑥2相同，
∴𝑎= −
1
2，
∵抛物线的顶点坐标是(0,2)，
∴将𝑥= 0，𝑦= 2代入解析式𝑦= −
1
2 𝑥2 + 𝑐得：
2 = −
1
2 ⋅02 + 𝑐，
∴𝑐= 2．
4．（25-26 九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(−2,3)，𝐵(3,4)，𝑦= 𝑎𝑥2的图象如
下图所示，则𝑎的值可以为（ ）
A．3
B．2
C．1.7
D．0.5
【答案】D
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【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题．
分别将𝐴，𝐵两点的横坐标代入𝑦= 𝑎𝑥2，由图像知，𝑥= −2时，𝑦= 4𝑎< 3，当𝑥= 3时，𝑦= 9𝑎> 4，列
出不等式组，即可求解．
【详解】解：将𝑥= −2代入𝑦= 𝑎𝑥2中时，得
𝑦= 4𝑎，
将𝑥= 3代入𝑦= 𝑎𝑥2中时，得
𝑦= 9𝑎，
根据图像可知，𝑥= −2时，𝑦= 4𝑎< 3，当𝑥= 3时，𝑦= 9𝑎> 4，
则有：{4𝑎< 3
9𝑎> 4
，
解得：
4
9 < 𝑎<
3
4，
∴只有0.5满足，
故选D．
5．（25-26 九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线𝑦= 3𝑥2时，将系数“3”误认为“
1
3”，得
到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（ ）
A．开口大小
B．开口方向
C．对称轴
D．顶点坐标
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，比较原抛物线𝑦= 3𝑥2与新抛物线𝑦=
1
3 𝑥2的系数a，分析开口方
向、开口大小、对称轴和顶点坐标的变化即可求解．
【详解】解：在二次函数𝑦= 3𝑥2和𝑦=
1
3 𝑥2中，对称轴均为直线𝑥= 0，顶点坐标为(0,0)，
故选项C、D 不符合题意；
∵原函数𝑎= 3 > 0，新函数𝑎=
1
3 > 0，
∴开口方向均向上，未改变，故选项B 不符合题意；
∵3 >
1
3，
∴开口大小改变，故选项A 符合题意，
故选：A．
6．（25-26 九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，Rt △𝑂𝐴𝐵的顶点𝐴(−2,4)在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2上，将Rt △𝑂𝐴𝐵
绕点𝑂顺时针旋转90°，得到△𝑂𝐶𝐷，边𝐶𝐷与该抛物线交于点𝑃，则点𝑃的坐标为（ ）
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A．(2,2)
B．(2,√2)
C．(√2, 2)
D．(1,2)
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、图形的旋转变换，解题的关键是利用旋转的坐标变化规律确
定线段𝐶𝐷的位置，再结合抛物线解析式求交点坐标．
1． 代入点𝐴坐标求出抛物线解析式；
2． 根据旋转规则确定点𝐶、𝐷的坐标，得到𝐶𝐷的纵坐标；
3． 将𝐶𝐷的纵坐标代入抛物线解析式，求出点𝑃的横坐标，得到点𝑃坐标．
【详解】解：将𝐴(−2,4)代入𝑦= 𝑎𝑥2，
得4 = 𝑎× (−2)2，
解得𝑎= 1，
故抛物线解析式为𝑦= 𝑥2．
Rt △𝑂𝐴𝐵绕点𝑂顺时针旋转90°得到△𝑂𝐶𝐷，
则𝐴(−2,4)旋转后对应𝐶(4,2)
且𝐶𝐷∥𝐴𝐵，
故𝐶𝐷的纵坐标为2．
点𝑃在𝐶𝐷上，故其纵坐标为2；
将𝑦= 2代入抛物线𝑦= 𝑥2，得𝑥= √2（舍去负根，因𝑃在第一象限），
𝐵(−2,0)旋转后对应𝐷(0,2)，
故𝐶𝐷是从𝐶(4,2)到𝐷(0,2)的线段，
纵坐标恒为2．
代入𝑦= 𝑥2得𝑥= √2（𝑥= −√2舍去），
故𝑃(√2, 2)．
故选：C．
7．（25-26 九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形𝑂𝐴𝐵𝐶是正方形，且点𝐴, 𝐶恰好在抛物线𝑦=
1
2 𝑥2上，
点𝐵在𝑦轴上，则𝑂𝐵的长为（ ）．
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A．2
B．2√2
C．4
D．√2
2
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数和正比例函数的结合，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握二
次函数的性质．
根据正方形的性质求出直线𝑂𝐴的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：根据正方形的性质可得∠𝐴𝑂𝐵= 45°，
∴直线𝑂𝐴的解析式为𝑦= 𝑥，
联立{𝑦=
1
2 𝑥2
𝑦= 𝑥
得，
解得{𝑥= 2
𝑦= 2
或{𝑥= 0
𝑦= 0
，
∴𝐴(2,2)，
由勾股定理得𝑂𝐴= √22 + 22 = 2√2，
∴𝑂𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝐴𝐵2 = √8 + 8 = 4，
故选：C．
8．（25-26 八年级下·福建福州·期末）二次函数𝑦= −4𝑥2的图象开口向___________．（填“上”或“下”）
【答案】下
【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向；
【详解】解：∵二次函数𝑦= −4𝑥2中，𝑎= −4 < 0，
∴二次函数𝑦= −4𝑥2的图象开口向下；
9．
（25-26 九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(−1,1)，𝐵(2,1)，若抛物线𝑦＝𝑎𝑥2(𝑎≠0)
与线段𝐴𝐵有公共点，则𝑎的取值范围是____．
【答案】𝑎≥
1
4/
1
4 ≤𝑎
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
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分别把𝐴、𝐵点的坐标代入得𝑎的临界值，根据二次函数的性质可得到𝑎的取值范围．
【详解】解：因为抛物线𝑦＝𝑎𝑥2(𝑎≠0)与线段𝐴𝐵有公共点，则抛物线开口必须向上，
𝑦＝𝑎𝑥2(𝑎≠0)的顶点坐标为(0,0)，对称轴为𝑦轴，
把𝑥= −1代入解析式，得𝑎(−1)2 = 1，解得𝑎= 1，
把𝑥= 2代入解析式，得22𝑎= 1，解得𝑎=
1
4，
因为抛物线𝑦＝𝑎𝑥2(𝑎≠0)与线段𝐴𝐵有公共点，
则𝑎≥
1
4
故答案为：𝑎≥
1
4．
10．（25-26 九年级上·四川广元·期中）已知点(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)是函数𝑦= (𝑚−3)𝑥2的图象上的两点，
且当0 < 𝑥1 < 𝑥2时，有𝑦1 > 𝑦2，则𝑚的取值范围是______
【答案】𝑚< 3
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由函数形式可知其为二次函数，根据当0 < 𝑥1 < 𝑥2时，
有𝑦1 > 𝑦2，判断函数在𝑥> 0时递减，故𝑚−3 < 0，解不等式可得𝑚的取值范围．
【详解】解：当𝑚−3 = 0时，
可得：𝑦= 0，
无论𝑥为何值，均有𝑦1 = 𝑦2 = 0，
∴不符合题意；
当𝑚−3 ≠0时，函数𝑦= (𝑚−3)𝑥2是二次函数，
∴其图象为抛物线，
当0 < 𝑥1 < 𝑥2时，有𝑦1 > 𝑦2，
∴𝑚−3 < 0，
解得：𝑚< 3．
故答案为：𝑚< 3．
11．（2025·山东东营·中考真题）二次函数𝑦= 𝑥2的图象如图所示，点𝐵0位于坐标原点，点𝐵1，𝐵2，…，
𝐵𝑛在y 轴的正半轴上，点𝐴1，𝐴2，…，𝐴𝑛，点𝐶1，𝐶2，…，𝐶𝑛在二次函数的图象上，四边形𝐵0𝐴1𝐵1𝐶1，四
边形𝐵1𝐴2𝐵2𝐶2，…，四边形𝐵𝑛
－1𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛都是正方形，则正方形𝐵𝑛
－1𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛的周长为______．
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【答案】4√2𝑛
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律
是解题的关键．
根据正方形性质得∠𝐵0𝐴1𝐵1 = 90°和△𝐵0𝐴1𝐵1是等腰直角三角形．设△𝐵0𝐴1𝐵1的直角边长为𝑚1，则
𝐴1 (√2
2 𝑚, √2
2 𝑚)，代入抛物线的解析式中解得𝑚1 = √2，则△𝐵0𝐴1𝐵1的直角边长为√2，同理可求得等腰直角
△𝐵1𝐴2𝐵2的直角边长为2√2，依此类推，等腰直角△𝐵𝑛
﹣1𝐴𝑛𝐵𝑛的直角边长为√2𝑛，即可求得其周长．
【详解】解：∵四边形𝐵0𝐴1𝐵1𝐶1是正方形，，
∴∠𝐵0𝐴1𝐵1 = 90°，△𝐵0𝐴1𝐵1是等腰直角三角形．
设△𝐵0𝐴1𝐵1的直角边长为𝑚1，则𝐴1 (√2
2 𝑚, √2
2 𝑚)；
代入抛物线的解析式中得： (√2
2 𝑚)
2
= √2
2 𝑚，
解得𝑚1 = 0（舍去），𝑚1 = √2；
故△𝐵0𝐴1𝐵1的直角边长为√2，
同理可求得等腰直角△𝐵1𝐴2𝐵2的直角边长为2√2，
…
依此类推，等腰直角△𝐵𝑛
﹣1𝐴𝑛𝐵𝑛的直角边长为√2𝑛，
故正方形𝐵𝑛
﹣1𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛的周长为4√2𝑛．
故答案是：4√2𝑛．
12．（2025 九年级上·河南信阳·专题练习）已知函数𝑦= (𝑚+ 2)𝑥𝑚2+𝑚−4是𝑦关于𝑥的二次函数.
(1)求满足条件𝑚的值；
(2)当𝑚为何值时，此抛物线有最低点？这时，当𝑥取何值时，𝑦随𝑥的增大而减小；
(3)当𝑚为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当𝑥取何值时，𝑦随𝑥的增大而增大.
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【答案】(1)𝑚= 2或𝑚= −3
(2)当𝑚= 2时，抛物线有最低点，当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小
(3)当𝑚= −3时，抛物线有最高点，最高点坐标为(0,0)，当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而增大
【详解】（1）解：∵函数𝑦= (𝑚+ 2)𝑥𝑚2+𝑚−4是𝑦关于𝑥的二次函数，
∴{𝑚2 + 𝑚−4 = 2
𝑚+ 2 ≠0
，
解得：𝑚= 2或𝑚= −3，
∴满足条件𝑚的值为2, −3．
（2）解：当𝑚= 2时，函数为𝑦= 4𝑥2，开口向上，此时抛物线有最低点，当𝑥< 0时，𝑦随𝑥的增大而减小．
（3）解：当𝑚= −3时，函数为𝑦= −𝑥2，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为(0,0)，当𝑥< 0时，
𝑦随𝑥的增大而增大．
13．（2025 九年级·全国·专题练习）如图，梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点都在抛物线𝑦= −𝑥2上，且𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝑥轴．点
𝐴的坐标为(𝑎, −4)，点𝐶的坐标为(3,𝑏)．
(1)求a，b 的值．
(2)求𝐵，𝐷两点的坐标．
【答案】(1)𝑎= −2，𝑏= −9
(2)点𝐵的坐标为(2, −4)，点𝐷的坐标为(−3, −9)
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题
关键．
（1）分别将𝐴和𝐶的坐标代入解析式即可；
（2）由抛物线的对称性和𝐴、𝐶的坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：当𝑦= −4时，−4 = −𝑎2，
∴𝑎= ±2．
∵点𝐴在第三象限，
∴𝑎= −2．
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当𝑥= 3时，𝑦= −9，
∴𝑏= −9．
综上：𝑎= −2，𝑏= −9．
（2）解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷//𝑥轴，
∴点𝐴与点𝐵，点𝐶与点𝐷的纵坐标相同．
∵𝑦= −𝑥2关于𝑦轴对称，
∴点𝐵的坐标为(2, −4)，点𝐷的坐标为(−3, −9)．
素养提升
1．（26-27 九年级上·全国·课后作业）如图所示，从𝑦= −𝑥2的图象上可看出当−3 < 𝑥≤1时，函数y 的
取值范围是（ ）
A．−9 < 𝑦≤−1
B．−9 ≤𝑦< −1
C．−9 ≤𝑦≤0
D．−9 < 𝑦≤0
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答．
【详解】解：由图知顶点坐标为(0,0)，开口向下，
∴当−3 < 𝑥≤1时，𝑦可取最大值为0，
当𝑥= −3时，𝑦= −(−3)2 = −9，
当𝑥= 1时，𝑦= −12 = −1，
∴当−3 < 𝑥≤1时，结合图象知函数y 的取值范围是−9 < 𝑦≤0．
2．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形𝑂𝐴𝐵𝐶是正方形，且点𝐴、𝐶恰好在抛物线𝑦= 𝑥2上，点𝐵在𝑦轴
上，则𝑂𝐵的长为（ ）
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A．2
B．2√2
C．4
D．√2
2
【答案】A
【分析】根据正方形的性质求出直线𝑂𝐴的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：根据正方形的性质可得∠𝐴𝑂𝐵= 45°，
∴直线𝑂𝐴的解析式为𝑦= 𝑥，
联立{𝑦= 𝑥2
𝑦= 𝑥
，
解得{𝑥= 1
𝑦= 1
或{𝑥= 0
𝑦= 0
，
∴𝐴(1,1)，
∴𝑂𝐴= √12 + 12 = √2，
在正方形𝑂𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°,𝑂𝐴= 𝐴𝐵
∴𝑂𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝐴𝐵2 = √2 + 2 = 2．
3．（25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知𝑃(𝑡, 𝑦1)，𝑄(𝑡+ 4, 𝑦2)两点在二次函数𝑦= 𝑥2的图象上，
下列判断错误的是（ ）
A．若𝑡= −2，则𝑦1 = 𝑦2
B．若𝑦1 = 𝑦2，则𝑡= −2
C．若𝑡> 0，则𝑦1 < 𝑦2
D．若𝑦1 < 𝑦2，则𝑡> 0
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是关键．
通过计算点P 和点Q 的纵坐标，结合二次函数性质，判断各选项正误．
【详解】解：根据题意，𝑦1 = 𝑡2,𝑦2 = (𝑡+ 4)2，
A、若𝑡= −2，则𝑦1 = (−2)2 = 4, 𝑦2 = 22 = 4，
∴𝑦1 = 𝑦2，正确；
B、若𝑦1 = 𝑦2，则𝑡2 = (𝑡+ 4)2，𝑡2 = 𝑡2 + 8𝑡+ 16， 8𝑡+ 16 = 0，
解得𝑡= −2，正确；
C、若𝑡> 0，则𝑡+ 4 > 𝑡> 0，
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∴ (𝑡+ 4)2 > 𝑡2，即𝑦2 > 𝑦1，
∴ 𝑦1 < 𝑦2，正确；
D、若𝑦1 < 𝑦2，则𝑡2 < (𝑡+ 4)2，𝑡2 < 𝑡2 + 8𝑡+ 16，0 < 8𝑡+ 16，
解得，𝑡> −2，
但𝑡> −2不一定𝑡> 0，如𝑡= −1时𝑦1 = 1 < 𝑦2 = 9，但𝑡= −1 < 0，
∴ 错误；
故选：D．
4．（2025 九年级·全国·专题练习）已知(𝑥1, 𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)是函数𝑦= (𝑚−2026)𝑥2的图象上的两点，且
当0 < 𝑥1 < 𝑥2时，有𝑦1 > 𝑦2，则m 的取值范围是（ ）
A．𝑚> 2026
B．𝑚≥2026
C．𝑚≤2026
D．𝑚< 2026
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质 ．当二次项系数小于零时，抛物线开口向下，在对称轴右侧函
数递减．
由条件当0 < 𝑥₁ < 𝑥₂时𝑦₁ > 𝑦₂，可知函数在𝑥> 0时递减，故二次项系数𝑚−2026 < 0，即𝑚< 2026 ．
【详解】解：∵函数𝑦= (𝑚−2026)𝑥²的二次项系数𝑎= 𝑚−2026，
当𝑎< 0时，抛物线开口向下，在𝑥> 0时函数递减，
即当0 < 𝑥₁ < 𝑥₂时，有𝑦₁ > 𝑦₂，
由题设条件，当0 < 𝑥₁ < 𝑥₂时，有𝑦₁ > 𝑦₂，
∴𝑎< 0，即𝑚−2026 < 0，
∴𝑚< 2026，
故选：D ．
5．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为√2的正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴在𝑥轴正半轴上，顶点𝐶在𝑦轴正半轴上．如
图将正方形𝑂𝐴𝐵𝐶绕顶点𝑂逆时针旋转75°，使点𝐵恰好落在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2上，则𝑎的值是（ ）
A．−√2
2
B．−√3
C．√3
3
D．√3
【答案】D
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【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，连接𝑂𝐵，作𝐵𝐷⊥𝑦轴于点𝐷，正方形的性质求出𝑂𝐵的长，
旋转结合角的和差关系，求出∠𝐵𝑂𝐷= 30°，根据含30 度角的直角三角形的性质，求出𝐵点坐标，即可得出
结果．
【详解】解：连接𝑂𝐵，作𝐵𝐷⊥𝑦轴于点𝐷，
∵正方形𝑂𝐴𝐵𝐶，边长为√2，
∴𝐵𝐶= 𝑂𝐶= √2, ∠𝑂𝐶𝐵= 90°, ∠𝐴𝑂𝐵= 45°，
∴𝑂𝐵= √2𝑂𝐶= 2，
∵旋转，
∴𝑂𝐴与𝑥轴正半轴的夹角为75°，
∴∠𝐴𝑂𝐷= 90° −75° = 15°，
∴∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐵−∠𝐴𝑂𝐷= 30°，
∴𝐵𝐷=
1
2 𝑂𝐵= 1，𝑂𝐷= √3𝐵𝐷= √3，
∴𝐵(−1, √3)，
∵点𝐵落在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2上，
∴√3 = 𝑎× (−1)2，
∴𝑎= √3；
故选：D．
6．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知点𝐴(1, 𝑡)在抛物线𝑦= 𝑥2上，则点𝐴的坐标为__________；若在𝑥轴
上存在点𝑃，使△𝑂𝐴𝑃是等腰三角形，请写出点𝑃的坐标__________．
【答案】 (1,1) (1,0)或(2,0)或(√2, 0)或(−√2,0)
【分析】将𝐴(1,𝑡)代入𝑦= 𝑥2求出点𝐴的坐标；根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，然后分别根据等腰
三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵点𝐴(1, 𝑡)在抛物线𝑦= 𝑥2上，
∴𝑡= 1
∴点𝐴的坐标为(1,1)；
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∵△𝑂𝐴𝑃是等腰三角形，
∴如图，当𝑃1𝐴= 𝑃1𝑂时，
∵𝐴(1,1)
∴𝑃1(1,0)；
当𝐴𝑂= 𝐴𝑃3时，
∴𝑂𝑃3 = 2𝑂𝑃1 = 2
∴𝑃3(2,0)；
当𝑂𝐴= 𝑂𝑃2或𝑂𝐴= 𝑂𝑃4时，
∵𝐴(1,1)
∴𝑂𝐴= √12 + 12 = √2
∴𝑂𝑃4 = 𝑂𝑃2 = 𝑂𝐴= √2
∴𝑃2(√2, 0)，𝑃4(−√2,0)
综上所述，点𝑃的坐标为(1,0)或(2,0)或(√2,0)或(−√2,0)．
7．（25-26 九年级上·湖南岳阳·阶段检测）定义：平面内任意两点𝑃(𝑥1，𝑦1)，𝑄(𝑥2，𝑦2)，𝑑𝑃𝑄= |𝑥1 −𝑥2| +
|𝑦1 −𝑦2|称为这两点之间的曼哈顿距离，例如𝑃(1,2)，𝑄(3,−4)，𝑑𝑃𝑄= |𝑥1 −𝑥2| + |𝑦1 −𝑦2| = |1 −3| +
|2 −(−4)| = 2 + 6 = 8．若点𝐴为抛物线𝑦= 𝑥2上的动点，点𝐵为直线𝑦=
1
2 𝑥+ 𝑏上的动点，且抛物线与直
线没有交点，𝑑𝐴𝐵的最小值为1，则𝑏的值为___________．
【答案】−
17
16/−1
1
16
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值．根据定义表示出曼哈顿距离𝑑𝐴𝐵，
可证明𝑑𝐴𝐵的最小值在𝐴, 𝐵两点横坐标相等时取得，𝑑𝐴𝐵取得最小值1，求解即可．
【详解】解：设点𝐴的坐标为(𝑚, 𝑚2)，点𝐵的坐标为(𝑛,
1
2 𝑛+ 𝑏)，
对于抛物线上任意一点𝐴(𝑚, 𝑚2)，其到直线𝑦=
1
2 𝑥+ 𝑏的曼哈顿距离在𝑥坐标相等的点𝐵(𝑚,
1
2 𝑚+ 𝑏)处取得
最小值，
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因为𝑘=
1
2的绝对值小于1,因此，问题转化为求|𝑚2 −(
1
2 𝑚+ 𝑏)|的最小值，
则𝑑𝐴𝐵= |𝑚−𝑛| + |𝑚2 −
1
2 𝑛−𝑏|．
当𝑚= 𝑛时，𝑑𝐴𝐵= |𝑚2 −
1
2 𝑚−𝑏|．
令𝑓(𝑚) = 𝑚2 −
1
2 𝑚−𝑏，
该二次函数的最小值在顶点处取得，顶点横坐标𝑚=
1
4，
此时𝑓(
1
4) = (
1
4)
2
−
1
2 ⋅
1
4 −𝑏=
1
16 −
1
8 −𝑏= −
1
16 −𝑏，
故|𝑓(𝑚)|的最小值为|−
1
16 −𝑏|=| 1
16 + 𝑏| = 1，
即
1
16 + 𝑏= 1或
1
16 + 𝑏= −1，
解得𝑏=
15
16或𝑏= −
17
16．
由于抛物线与直线没有交点，方程𝑥2 =
1
2 𝑥+ 𝑏无实数根，
即𝑥2 −
1
2 𝑥−𝑏= 0的判别式Δ < 0，
Δ = (−
1
2)
2
−4 ⋅1 ⋅(−𝑏) =
1
4 + 4𝑏< 0，
解得𝑏< −
1
16．
因此𝑏=
15
16不满足条件，𝑏= −
17
16满足条件．
故答案为：−
17
16．
8．（25-26 九年级上·上海·课后作业）根据条件，求下列各题中𝑚的取值或取值范围．
(1)函数𝑦= (2𝑚−1)𝑥2有最小值；
(2)函数𝑦= (𝑚−2)𝑥2，当𝑥< 0时，𝑦随着𝑥的增大而增大；
(3)𝑦= (𝑚+ 1)𝑥2与𝑦= 2𝑥2的函数图象形状相同；
(4)函数𝑦= 𝑚𝑥𝑚2+𝑚的图象是开口向下的抛物线．
【答案】(1)𝑚>
1
2
(2)𝑚< 2
(3)𝑚= 1或−3
(4)𝑚= −2
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【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
（1）根据二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的性质：当𝑎> 0时，有最小值，可得2𝑚−1 > 0，解不等式即可；
（2）根据二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的性质：当𝑎< 0时，在对称轴的左侧，𝑦随𝑥的增大而增大，得出𝑚−2 <
0，解不等式即可；
（3）根据二次函数𝑦= 𝑎𝑥2的性质：|𝑎|相等时，函数图象形状相同，得出|𝑚+ 1| = |2|，解方程即可；
（4）根据二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的性质：当𝑎< 0时，抛物线开口向下，得出𝑚2 + 𝑚= 2，解方程，求
出负数𝑚即可．
【详解】（1）解：∵函数𝑦= (2𝑚−1)𝑥2有最小值，
∴2𝑚−1 > 0，
∴𝑚>
1
2；
（2）解：∵当𝑥< 0时，函数𝑦= (𝑚−2)𝑥2的函数值𝑦随着𝑥的增大而增大，
∴𝑚−2 < 0，
∴𝑚< 2；
（3）解：∵𝑦= (𝑚+ 1)𝑥2与𝑦= 2𝑥2的函数图象形状相同，
∴|𝑚+ 1| = |2|，
∴𝑚= 1或−3；
（4）解：∵函数𝑦= 𝑚𝑥𝑚2+𝑚的图象是开口向下的抛物线，
∴𝑚2 + 𝑚= 2且𝑚< 0，
∴𝑚= −2或𝑚= 1，
∵𝑚< 0，
∴𝑚= −2．
9．（2025 九年级·全国·专题练习）抛物线𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎≠0)与直线𝑦= 2𝑥−3相交于点(1,𝑏)．
(1)求a 与b 的值．
(2)二次函数𝑦= 𝑎𝑥2中，当−1 < 𝑥< 3时，求y 的取值范围．
(3)求抛物线与过点(0,−2)且平行于x 轴的直线的两个交点与抛物线顶点所围成的三角形的面积．
【答案】(1)𝑎= −1；𝑏= −1
(2)−9 < 𝑦≤0
(3)2√2
【分析】（1）利用函数图象上的点满足解析式，先将𝑥= 1代入直线𝑦= 2𝑥−3求𝑏，再将点(1,𝑏)代入抛物
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线𝑦= 𝑎𝑥2即可求出𝑎；
（2）先分析二次函数的性质，再分别计算−1 < 𝑥< 3内的最大值和端点值，从而确定𝑦的取值范围；
（3）先确定过(0, −2)且平行于𝑥轴的直线的表达式，联立抛物线解析式求出交点坐标，结合顶点，以两交
点距离为底、顶点到直线的距离为高，用面积公式即可计算面积．
【详解】（1）解：将(1,𝑏)代入𝑦= 2𝑥−3，得：𝑏= −1，
交点坐标为(1, −1)，
将(1, −1)代入𝑦= 𝑎𝑥2，
得：𝑎= −1．
（2）解：由（1）知，二次函数的表达式为𝑦= −𝑥2，
此时抛物线开口向下，顶点坐标为(0,0)，
∵当𝑥= 0时，𝑦= 0，当𝑥= 3时，𝑦= −9，
∴当−1 < 𝑥< 3时，−9 < 𝑦≤0．
（3）解：当𝑦= −2时，
−𝑥2 = −2，解得：𝑥= ±√2，
∴两个交点的坐标分别为(−√2,−2)，(√2, −2)，
∴两个交点与抛物线顶点(0,0)所围成的三角形的面积为
1
2 × 2√2 × 2 = 2√2．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是掌握函数图象上的点的坐标满足函数解
析式、二次函数的性质以及平面图形的面积计算方法．
10．（2025 九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎> 0)的图像和直线𝐴𝐵相交
于𝐵、𝐶两点，且点𝐴的坐标是(2,0)，点𝐵的坐标是(1,1)．
(1)𝑎=________，并直接写出将二次函数的图像向左平移2个单位长度所得的图像的函数表达式__________．
(2)求△𝑂𝐵𝐶的面积．
(3)在二次函数𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎> 0)的图像上是否存在点𝐷，使得的△𝑂𝐴𝐷面积等于△𝑂𝐵𝐶的面积，若存在，请求
出所有符合题意的点𝐷的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1，𝑦= (𝑥+ 2)2；
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(2)3；
(3)(√3,3)或(−√3, 3)．
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、三角形面积的计算，掌握相关知识是解题的关键．
（1）将𝐵(1,1)代入二次函数即可求出𝑎，根据二次函数的图像性质即可得出平移后的图像的函数表达式；
（2）设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，将𝐴(2，0)和𝐵(1，1)代入即可求出解析式，再求出交点C
坐标，根据𝑆△𝑂𝐵𝐶= 𝑆△𝑂𝐴𝐶−𝑆△𝑂𝐴𝐵即可求解；
（3）设𝐷(𝑥, 𝑥2)，根据△𝑂𝐴𝐷面积等于△𝑂𝐵𝐶的面积为3求出𝑥，再代入抛物线求解即可．
【详解】（1）解：𝐵(1,1)代入二次函数𝑦= 𝑎𝑥2(𝑎> 0)得1 = 𝑎× 12，
解得𝑎= 1，
向左平移2个单位长度所得的图像的函数表达式为：𝑦= (𝑥+ 2)2；
（2）设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，
将𝐴(2，0)和𝐵(1，1)代入直线𝐴𝐵的解析式得{0 = 𝑘× 2 + 𝑏
1 = 𝑘× 1 + 𝑏
，
解得{𝑘= −1
𝑏= 2
，
直线𝐴𝐵的解析式为𝑦= −𝑥+ 2，
联立直线𝐴𝐵与抛物线𝑦= 𝑥2得{𝑦= −𝑥+ 2
𝑦= 𝑥2
，
解得{ 𝑥1 = 1, 𝑦1 = 1
𝑥2 = −2, 𝑦2 = 4
，
∴交点C 坐标为(−2，4)，
∴ 𝑆△𝑂𝐵𝐶= 𝑆△𝑂𝐴𝐶−𝑆△𝑂𝐴𝐵=
1
2 × 2 × 4 −
1
2 × 2 × 1 = 3；
（3）设𝐷(𝑥, 𝑥2)，要求△𝑂𝐴𝐷面积等于△𝑂𝐵𝐶的面积为3，
得
1
2 × 2 × 𝑥2 = 3，
解得：𝑥1 = √3，𝑥2 = −√3，
代入抛物线𝑦= 𝑥2得{𝑦1 = 3
𝑦2 = 3
，
∴点𝐷的坐标为(√3, 3)或(−√3, 3)．
迁移创新
1．（25-26 九年级上·河南许昌·期末）有五张相同的小纸条，分别写有语句：①函数表达式为𝑦=
1
𝑥；②
函数表达式为𝑦= 𝑥2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y 轴对称；⑤函数值y 随自变量x 增
大而增大．将这五张小纸条做成五支签，①②放在不透明的盒子A 中搅匀，③④⑤放在不透明的盒子B 中
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搅匀．
(1)从盒子A 中任意抽出1 支签，抽到①的概率是________；
(2)先从盒子A 中任意抽出1 支签，再从盒子B 中任意抽出1 支签．求抽到的两支签上的语句对函数的描述
相符合的概率．
【答案】(1)
1
2
(2)
1
3
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）用树状图画出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式，即可求解．
【详解】（1）解：从盒子A 中任意抽出1 支签，抽到①的概率是
1
2．
（2）解：根据题意，画树状图如下，
由树状图可知共有6种等可能结果，抽到的两支签上的语句对函数的描述相符合的有①和③，②和④，共2种，
∴抽到的两支签上的语句对函数的描述相符合的概率为𝑃=
2
6 =
1
3．
2．（25-26 九年级下·全国·单元复习）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字−2，−1，1，4
的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小华先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒
子摇匀后，再由小夏随机取出一个小球，记下数字为b．
(1)用列表法或画树状图表示出(𝑎, 𝑏)的所有可能出现的结果；
(2)求小华、小夏各取一次小球所确定的点(𝑎, 𝑏)落在二次函数𝑦= 𝑥2的图象上的概率；
(3)求小华、小夏各取一次小球所确定的数a，b 满足直线𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏经过一、二、三象限的概率．
【答案】(1)
画树状图如下：
共有16 种等可能的结果，它们为(−2, −2)、(−2, −1)、(−2,1)、(−2,4)、(−1, −2)、(−1,−1)、(−1,1)、(−1,4)、
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(1,−2)、(1,−1)、(1,1)、(1,4)、(4,−2)、(4, −1)、(4,1)、(4,4)．
(2)
3
16
(3)
1
4
【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，一次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的
坐标特征．
（1）画树状图可得所有16 种等可能的结果；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到点(−2,4)，(−1,1)，(1,1)落在二次函数𝑦= 𝑥2的图象上，然后
根据概率公式求解即可；
（3）根据一次函数图象与系数的关系可得到𝑎> 0，𝑏> 0，则(1,1)，(1,4)，(4,1)，(4,4)满足直线𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏
经过一、二、三象限，然后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：落在二次函数𝑦= 𝑥2的图象上的点有(−2,4)，(−1,1)，(1,1)，
∴落在二次函数𝑦= 𝑥2的图象上的概率=
3
16；
（3）解：满足直线𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏经过一、二、三象限的结果有(1,1)，(1,4)，(4,1)，(4,4)，
∴满足直线𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏经过一、二、三象限的概率=
4
16 =
1
4．
