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分层作业
26.2.2 y=a(x-h)²+k 的图象性质
题型01
y=ax²+k 的图象和性质
1．B
2．D
3．
4．【详解】（1）解：
2
2
3
7
3
4
2
4
y
x
x
x
，且1
0
，
则抛物线的开口向上，对称轴为直线
3
2
x
，顶点坐标为3 7
,
2 4
；
（2）解：
2
2
2
1 2
2
1
1
2
y
x
x
x
x
x
，且1
0
，
则抛物线的开口向下，对称轴为直线
1
x ，顶点坐标为
1,2
；
（3）解：
2
2
3
7
1
7
2 7
7
2
7
2
y
x
x
x
，且7
0
，
则抛物线的开口向上，对称轴为直线
7
7
x
，顶点坐标为
7 1
,
7
2
；
（4）解：
2
2
100
5
5
100
y
x
x
，且5
0
，
则抛物线的开口向下，对称轴为直线
0
x
（y 轴），顶点坐标为
0,100 ；
（5）解：
2
2
6
12
6
1
6
y
x
x
x
，且6
0
，
则抛物线的开口向下，对称轴为直线
1
x ，顶点坐标为
1,6 ；
（6）解：
2
2
3
3
4
11
4
1
2
2
3
3
y
x
x
x
，且
3
0
2
，
则抛物线的开口向下，对称轴为直线
4
3
x
，顶点坐标为
4 11
,
3 3
．
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5．【详解】解：画出这两个函数的图象如图所示．
相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y 轴．
不同点：①开口方向不同，函数
2
1
1
1
4
y
x
的图象开口向上，函数
2
2
1
1
4
y
x
的图象开口向下；
②增减性不同，当
0
x
时，1y 随x 的增大而增大，
2y 随x 的增大而减小，当
0
x
时，1y 随x 的增大而减小，
函数
2y 随x 的增大而增大；
③顶点不同，函数
2
1
1
1
4
y
x
的图象的顶点坐标为
0,1 ，函数
2
2
1
1
4
y
x
的图象的顶点坐标为
0, 1
．
题型02
y=a(x-h)²的图象和性质
6．A．
7．B．
8．D．
9．
3
1
2
y
y
y
．
10．
5
2
2
m
题型03
y=a(x-h)²+k 的图象和性质
11．D
12．B
13．A
14．B
题型04
待定系数法求解析式
15．2
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16．【详解】解：
抛物线
2
y
a x
h
的对称轴是直线
1
x ，
1
h
，
抛物线解析式为
2
1
y
a x
，
抛物线经过
1, 4
，
4
4a
，
解得
1
a ，
抛物线解析式为
2
1
y
x
．
17．【详解】（1）解：把
3 2
M ，代入解析式得：
2
3
4
2
a
，
解得
2
a
，
∴此抛物线的解析式为：
2
4 ²
y
x
；
（2）①∵
2
0
a ＞，
∴所以此抛物线开口向上；
∵
²
y
a x
h
顶点为
,0
h
，对称轴为x
h
，
∴此抛物线顶点坐标是
4,0
；对称轴是
4
x ；
②∵此抛物线开口向上，对称轴是
4
x ，
∴当
4
x
＜
时，y 随x 的增大而减小；
③∵
2
0
a ＞，顶点坐标是
4,0
，
∴当
4
x
时，函数有最小值为0 ；
故答案为：①向上；
4,0
；
4
x ；②
4
＜
；③
4
，小，0 ．
18．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为
3, 1
，
∴设抛物线的顶点式为
2
3
1
0
y
a x
a
，
∵抛物线与y 轴的交点是
0, 4
，
∴
2
0
3
1
4
a
，
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解得：
1
3
a
，
∴
2
1
3
1
3
y
x
；
（2）解：∵抛物线与x 轴交于点
1,0
M
，
2,0
N
，
∴设抛物线的解析式为
1
2
0
y
a x
x
a
，
∵抛物线过点
1,2 ，
∴
1 1
1 2
2
a
，
∴
1
a ，
∴
2
1
2
2
y
x
x
x
x
；
（3）解：∵所求抛物线与抛物线
2
3
y
x
形状相同，开口方向相反，
∴所求抛物线
3
a
，
∵所求抛物线顶点坐标是
5,0
，
∴
2
3
5
y
x
；
（4）解：∵
2
2
2
1
1
2
y
x
x
x
，
∴将抛物线
2
2
1
y
x
x
先绕原点旋转180，得到的抛物线的解析式为
2
1
2
y
x
，
∴再向下平移5 个单位长度得到的新抛物线为
2
1
3
y
x
；
（5）解：将抛物线
2
y
x
先向下平移2 个单位长度，得到的抛物线的解析式为
2
2
y
x
，
∵抛物线
2
2
y
x
的顶点坐标为
0, 2
，
∴抛物线
2
2
y
x
沿直线=
3
y
翻折后的顶点坐标为
0, 4
，开口方向相反，
∴翻折后的抛物线的解析式为
2
2
0
4
4
y
x
x
．
19．【详解】（1）解：
抛物线
2
y
x
bx
c
过
3,0
A
、
2, 3
D
，
9
3
0
4
2
3
b
c
b
c
，
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解得
2
3
b
c
，
∴抛物线的表达式为
2
2
3
y
x
x
；
（2）解：
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
，
∴顶点为
1, 4
，对称轴为直线
1
x ．
题型05
二次函数的图象平移问题
20．C
21．B
22．【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式：
2
2
2
2
1
1
1
1
1
7
3
2
3
(
1)
3
(
1)
2
2
2
2
2
2
y
x
x
x
x
x
x
抛物线平移不改变二次项系数，因此平移后二次项系数仍为
1
0
2
，开口方向向下．
根据平移规则，向下平移1 个单位，再向右平移4 个单位后，顶点坐标变化为：横坐标1 4
3
，纵坐标
7
5
1
2
2
，即新顶点坐标为
5
3, 2
．
平移后抛物线的顶点式为
2
1
5
(
3)
2
2
y
x
，可得对称轴为直线
3
x
．
因此所得抛物线开口向下，对称轴为直线
3
x
，顶点坐标为
5
3, 2
．
题型06
与几何的综合问题
23．D
24．B
25．D
26．【详解】（1）解：将二次函数
2
(
)
y
x
m
n
的图象向右平移4 个单位后得到函数
2
(
4)
y
x
m
n
，
点
(3,2)
A
平移后对应点的坐标为
7,2 ，
新图象对称轴是直线
3
7
5
2
x
，顶点坐标是
5,n ；
4
5
m
，
1
m ，
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故答案为：1；
（2）当0
2
m
时，
0
m
时，
2
y
x
n
，
将
(3,2)
A
代入，2
9
n
，
7
n
，
2
m
时，
2
2
y
x
n
，
将
(3,2)
A
代入，
2
2
3
2
n
，
1
n
，
n 的取值范围为7
1
n
；
（3）解：因为函数
2
y
x
m
n
的对称轴为直线x
m
且开口向上，
所以当0
2
x
时，函数的最大值为离对称轴较远点的坐标．
当
1
m 时，
2
2
M
m
n
；
当
1
m 时，
2
0
M
m
n
，
又因为
2
2
3
n
m
，
所以当
1
m 时，
2
2
2
2
3
2
3
M
m
m
m
，
则M 随m 的增大而增大；
当
1
m 时，
2
2
2
3
6
7
M
m
m
m
，
所以M 随m 的增大而增大，所以A 选项符合题意．
故答案为：A．
27．【详解】（1）解：将点
01, 代入
2
2
1
y
a x
得：
2
1
0
2
1
4
1
a
a
解得
1
2
a
，
所以二次函数解析式为
2
1
1
2
2
x
y
；
（2）解：①点
1
,
M m y
和
2
3,
N m
y
在图象上，则：
2
2
1
2
2
1
1
1
y
a m
y
a m
，
，
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由
1
2
y
y
得：
2
2
2
1
1
1
a m
a m
，
两边消去1
并除以正数a 得：
2
2
2
1
m
m
，
展开得
2
2
4
4
2
1
m
m
m
m
，化简得：4
4
2
1
m
m
，
6
3
m
，
1
2
m
，
所以m 的取值范围是
1
2
m
；
②因为点M 和N 在对称轴
2
x
的两侧，所以：
2
3
m
m
，
解得1
2
m
．
在
3
m
x
m
上，函数在
2
x
处取得最小值1
．最大值与最小值之差为1，
所以最大值为0，且最大值在端点x
m
或
3
x
m
处取得．
情况一：当x
m
时取得最大值0 则：
2
2
1
0
a m
，
解得
2
1
2
a
m
．同时，当
3
x
m
时函数值不超过0：
2
1
1
0
a m
，
代入a 得：
2
2
1
1
2
m
m
，
因为
2
2
0
m
，两边乘以
2
2
m
得：
2
2
1
2
m
m
展开化简得6
3
m
，
即
1
2
m
．
结合1
2
m
，得
1
1
2
m
．
此时
2
1
2
a
m
，当m 从1
增大到1
2 时，a 从1
9 增大到4
9 （因为
1
m
且
1
2
m
可取），
所以1
4
9
9
a
．
情况二：当
3
x
m
时取得最大值0 则：
2
1
1
0
a m
，
解得
2
1
1
a
m
．
同时，当x
m
时函数值不超过0：
2
2
1
0
a m
，
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代入a 得：
2
2
2
1
1
m
m
，
因为
2
1
0
m
，两边乘以
2
1
m
得：
2
2
2
1
m
m
，
展开化简得6
3
m
，
即
1
2
m
．
结合1
2
m
，得1
2
2
m
．
此时
2
1
1
a
m
，当m 从1
2 增大到2 时，a 从4
9 减小到1
9 （因为
2
m
且
1
2
m
可取），
所以1
4
9
9
a
．
综合两种情况，a 的取值范围是1
4
9
9
a
．
故答案为：1
4
9
9
a
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论
是解答本题的关键．
33．C
34．D
35．
36．【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为
2
4
y
x
，
该抛物线的顶点坐标为
0,4 ，开口向下，
令
0
y
，则
2
x ，即该抛物线经过点
2,0
和点
2,0 ，
令
3
y
，则
1
x ，即该抛物线经过点
1,3
和
1,3 ，
∴此抛物线的大致图象如下图所示：
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（2）解：抛物线
2
4
y
x
可由抛物线
2
y
x
向上平移4 个单位可得到．
故答案为：上，4．
（3）解：∵抛物解析式为
2
4
y
x
，
∴抛物线开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为
0,4 ，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵
2
0
2
0
1
1
，
∴当1
2
x
，且
2
x
时，函数有最小值，最小值为
2
2
4
0
，
又∵顶点坐标为
0,4 ，即当
0
x
时，函数有最大值，最大值为4，
∴当1
2
x
时，0
4
y
．
37．【详解】（1）解：∵抛物线
2
2
1
y
x
的顶点为A ，
∴点
1,0
A
，
当
0
x
时，
2
2 0 1
2
y
，
∴点
0,2
B
；
（2）设点P 的坐标为
,
,
0,
0
p
p
p
p
x
y
x
y
，
∵
2
2
1
y
x
，
∴抛物线的对称轴为直线
1
x ，
∵点C 为点B 关于对称轴对称的点，点
0,2
B
，
∴点
2,2
C
，
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∴
2
BC
，
∵
8
PBC
S
，
∴
1
2
8
2
p
BC
y
，
即
1
2
2
8
2
p
y
，
解得：
10
p
y
，
∵点P 在抛物线上，将
10
p
y
代入抛物线
2
2
1
y
x
得，
2
2
1
10
x
，
解得：
1
5
x
，
∵在第一象限内，
∴
1
5
x
，
∴点P 的坐标为
1
5,10
．
38．D
39．2 或
5
2
40．1
41．
2
2
4
1
y
x
x
（答案不唯一）
42．【详解】（1）解：∵点
,
P m a 在抛物线
2
1
y
a x
上，且在第一象限，
∴
0
m
，
∴
2
1
a
a m
可得
2
1
1
m
，解得
2
m
或
0
m
，
∴
2
m
．
（2）解：∵
3
a
，
∴
2,3
P
，抛物线的解析式为
2
3
1
y
x
，
∵PQ
x
∥轴，
∴点Q 的纵坐标为3，
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将
3
y
代入
2
3
1
y
x
，得
2
3
3
1
x
，
解得
2
x
或
0
x
，
∴点Q 的坐标为
0,3 ，
∴
2
PQ
，
∴
1
3
2
3
2
PQO
S
△
．
43．
【详解】解：（1）将
0
y
代入
2
0.25(
1)
0.64
y
x
，得，
2
0.25(
1)
0.64
0
x
，
解得
1
2.6
x
，
2
0.6
x
（负值舍去），
∴
2.6,0
M
；
（2）设反弹后抛物线解析式为
2
(
3.6)
y
a x
h
，
由题意可知，反弹后的抛物线过点
2.6,0 ，
3.2,0.42 ，
将
2.6,0 ，
3.2,0.42 代入解析式，得，
2
2
0.42
(3.2
3.6)
0
(2.6
3.6)
a
h
a
h
，
解得，
0.5
0.5
a
h
，
∴
2
0.5(
3.6)
0.5
y
x
，顶点坐标为
3.6,0.5 ，
∴
0.5
h
；
（3）能．理由如下：
由题意可知，反弹后最高点为(3.6,0.5) ，球擦网点为
1.5,0.15 ，
设过这两点的直线解析式为y
kx
b
，依题意得，
3.6
0.5
1.5
0.15
k
b
k
b
，
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解得，
1
6
1
10
k
b
，
∴
1
1
6
10
y
x
，
令
0
y
，得1
1
0
6
10
x
，
解得，
0.6
x
，
∴球能落到对方台面上，落球点为
0.6,0 ．
44．【详解】（1）解：∵
2
y
ax
bx
c
，
2
a
，
4
b ，
3
c ，
∴
2
2
2
4
3
2
1
5
y
x
x
x
，
∴该抛物线顶点P 的坐标为
1, 5
；
（2）解：①如图1，过M 点作MN
x
轴于点N，过P 点作PE
x
轴于点E．
∵2
0
a
b
，
∴
2
b
a
，
∴
2
2
y
ax
ax
c
，
∴抛物线的对称轴为直线
1
x ，
∵MN
ON
PE
ON
，
，
∴
90
MNO
OEP
，
∴
90
90
OMN
MON
MON
EOP
，
∴
OMN
POE
，
在
MON
△
和OPE 中，
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OMN
POE
MNO
OEP
OM
OP
，
∴
AAS
MON
OPE
≌
，
∴MN
OE
ON
PE
，
，
∵
2,
M
m ，
∴
,
2
MN
OE
m ON
PE
，
∴P 点坐标为
, 2
m
，
∵P 为抛物线的顶点，
∴P 点坐标为
1, 2
P
，
∴
1
m ，
∴M 点坐标为
2,1
M
，
将
1, 2
P
，
2,1
M
代入
2
2
y
ax
ax
c
，得：
2
2
4
4
1
a
a
c
a
a
c
，
解得：
3
1
a
c
，
∴c 的值为1；
②∵
1
2
2
2
DC
DP
DC
DP
，
∴当
1
2
DC
DP
取得最小值时，2DC
DP
的值最小．
由①知
2
b
a
，抛物线的对称轴为直线
1
x ，
∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为
3,0 ，
∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为
1,0
，
∴抛物线的解析式为
2
1
3
2
3
y
a x
x
ax
ax
a
，
∴C 点坐标为
0, 3a
，顶点P 坐标为
1, 4a
，
∵
0
a
，
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∴3
0
4
0
3
a
a
OC
a
，
，
，
如图2，过点P 作直线PG 与直线
1
x 成30角，与抛物线的交点为G，交y 轴于点H，过点D 作DQ
PG
，
垂足为Q，连接CD．
在Rt PDQ 中，
1
sin30
2
DQ
PD
PD
，
∴
1
2
DC
DP
DC
DQ
CQ
，
∴当C，D，Q 三点共线，且CQ
PG
时，
1
2
DC
DP
取得最小值，即2DC
DP
取得最小值，
在Rt
CHQ
△
中，
30
CHQ
DPQ
，
∴
1
3
2
2
1
3
2
CH
CQ
，即
1
3
OH
OC
，
过点C 作CF
PG
∥
交x 轴于F，
∴
30
OCF
，
在Rt
OCF
△
中，tan
OF
OCF
OC
，即
3
3
3
OF
a
，
∴
3
OF
a
，即F 点坐标为
3 ,0
a
，
设直线CF 的解析式为
3
y
kx
a
，
∴0
3
3
ak
a
，
∴
3
k
，
∴直线CF 的解析式为
3
3
y
x
a
，
∵PG
CF
‖
，
∴设直线PG 的解析式为
3
y
x
m
，
把
1, 4
P
a
代入得：4
3
a
m
，
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解得：
4
3
m
a
，
∴直线PG 的解析式为
3
4
3
y
x
a
，
∴
4
3
OH
a
，
∴
4
3
3
3
CH
OH
OC
a
a
a
，
∴1
3
3
a
，
∴
1
a ．
45．【详解】（1）解：由
2
3
3
4
y
x
可知：自变量为全体实数；
故答案为全体实数；
（2）解：①当
1
x 时，则有
2
3
9
1
3
4
4
m
；
当
1
x 时，则有
2
3
9
1
3
4
4
n
；
故答案为9
4 ，9
4 ；
②所描点
1,m
，
1,n 如图所示；
③所作函数图象如图所示：
（3）解：由（2）中函数图象可知：当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围为2
0
x
或
2
x
；
故答案为2
0
x
或
2
x
；
（4）解：∵点
,
A e p ，
,
B f q 均在该函数图象上，且|
| | | 2
f
e
，
∴根据（2）中函数图象可知：点A、B 在2
2
x
之间的函数图象上，
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由图象可知在2
2
x
之间的函数图象开口向下，对称轴为直线
0
x
，
∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大，
∴当0 |
| | | 2
f
e
时，p 与q 的大小关系是p
q
；
故答案为p
q
．
46．【详解】（1）解：由题意得
2
1
2
y
x
，
列表
x
3
2
1
0
1
y
6
3
2
3
6
描点、连线，函数图像如图所示：
观察图像得：图像关于直线
1
x 对称．
②处的空格为直线
1
x ；
（2）解：∵
2
1
2
y
x
图像是任意两点
1
1
,
x y
，
2
2
,
x y
，
∴
2
1
1
1
2
y
x
，
2
2
2
1
2
y
x
，
∴
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
y
y
x
x
x
x
x
x
，
∵
1
2
1
x
x
，
∴
2
1
0
x
x
，
1
2
2
x
x
，
∴
2
1
0
y
y
，即
2
1
y
y
，
∴当
1
2
1
x
x
时，y 随x 的增大而减小；
（3）证明：任取一个点的横坐标
1
x
t
，对应点的坐标为
1
,
P
t y
，
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∴
2
2
1
1
2
2
y
t
t
，
而
1
x
t
时，
2
2
2
1
1
2
2
2
y
t
t
t
，
∴点
1
,t y
和
1
,t y
关于直线
1
1
1
2
t
t
x
对称，
∴
2
1
2
y
x
的图像关于直线
1
x 对称．
47．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
1
2
2
1
3
C
y
x
：
的顶点是点P ，
∴点P 的坐标为
2,1
，
∵抛物线
2
1
2
2
1
3
C
y
x
：
的共生抛物线
2
C 的顶点是Q ，
∴
2, 1
Q
，且抛物线
2
C 的二次项系数为
1
3
2
2
3
，
∴抛物线
2
C 的解析式为
2
3
2
1
2
y
x
；
（2）解：∵抛物线
1
C 的解析式为
2
2
2
1
3
y
x
，且
2
0
3
，
∴抛物线
1
C 的开口向下，对称轴为直线
2
x ，
∴当
2
x ，
1
C 的函数值随着x 的增大而减小；
∵抛物线
2
C 的解析式为
2
3
2
1
2
y
x
，且3
0
2
，
∴抛物线
2
C 的开口向上，对称轴为直线
2
x
，
∴当
2
x
，
2
C 的函数值随着x 的增大而减小；
综上所述，当2
2
x
时，抛物线
1
C 与
2
C 的函数值都随x 的增大而减小；
（3）解：①如图所示，
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当直线y
m
恰好经过点P 时，则
1
m ，
当直线y
m
恰好经过点Q 时，则
1
m ，
由函数图象可知，当1
1
m
时，直线y
m
与抛物线
1
2
C
C
、
分别有两个不同的交点；
②如图所示，当点P 为直角顶点时，
过点P 作RT
y
∥轴，过点K 作KR
TR
⊥
，过点Q 作QT
TR
⊥
，
∴
90
PRK
QTP
∠
∠
，
由题意得，
90
PK
PQ
KPQ
，∠
，
∴
90
RPK
TPQ
RPK
RKP
∠
∠
∠
∠
，
∴
TPQ
RKP
∠
∠
，
∴
AAS
TPQ
RKP
≌
，
∴RK
PT
RP
QT
，
，
∵
2,1
2, 1
P
Q
，
，
∴
1
1
2
2
2
4
RK
PT
RP
QT
，
，
∴
0,5
K
，
在
2
3
2
1
2
y
x
中，当
0
x
时，
2
3 0
2
1
5
2
y
，
∴点
0,5
K
在抛物线
2
3
2
1
2
y
x
上，此时符合题意；
如图所示，当点Q 为直角顶点时，同理可得
4,3
K
，
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在
2
3
2
1
2
y
x
中，当
4
x
时，
2
3 4
2
1
5
2
y
，
∴点
4,3
K
不在抛物线
2
3
2
1
2
y
x
上，此时不符合题意；
综上所述，点K 的坐标为
0,5 ．
48．A
49．B
50．26
