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第二十三章 旋转 单元测试
总分：120分
考生姓名：
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第二十三章（旋转）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．在我国传统的房屋建筑中，窗棂是门窗重要的组成部分，它们不仅具有功能性作用，而且具有
高度的艺术价值．下列关于窗棂的图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的特点是解题关键．中心对称
图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那
么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义进行解答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选A．
2．在直角坐标系中，与点 是原点对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于原点对称的点的特点，根据关于原点对称的点的横
纵坐标均为相反数即可求解．【详解】解：与点 是关于原点对称的点是 ，
故选：C ．
3．如图，在 中，已知 ，将 绕点A 顺时针旋转 得到
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵将 绕点A 顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
故选：B．
4．在如图 的正方形网格中， 绕某点旋转一定的角度，得到 ，则其旋转中心
可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂
直平分线上，则连接 ， ，分别作出 ， 的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，
熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接 ， ，分别作出 ， 的垂直平分线，， ， 的垂直平分线的交点为 ，
旋转中心是点 ，
故选：B．
5．如图，将木条 ， 与 钉在一起，且木条 与木条 交于点 ， ， ，要使木
条 与 平行，木条 绕点 顺时针旋转的度数至少是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后 的同
位角的度数是解题的关键．根据同位角相等两直线平行，求出旋转后 的同位角的度数，然后用
减去即可得到木条 绕点 顺时针旋转的度数．
【详解】解：如图．
时， ，
要使木条 与 平行，木条 绕点 顺时针旋转的度数至少是 ．
故选：C
6．如图，在正方形 中， 为CD上的一点，连接 ，若 ，将 绕点 按顺
时针方向旋转 得到 ，连接 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等，先
由正方形的性质和三角形内角和定理得到 ， ，再由旋转的性质得到
，则 ，据此根据角的和
差关系求解即可．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由旋转的性质得到 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
7．如图，直角梯形 中， ，将腰 绕点D逆时针方向
旋转 至 ，连接 ，则 的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求 的面积，已知底 ，过E作 垂直于 交 的延长线于F， 就是高，
然后再找和高相等的等量关系，三角形 全等于三角形 ， ，则 的面积
就能求出来．
本题需要把旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式结合求解，掌握相关知识
是解题的关键．【详解】解：过点D作 垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，如图：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
8．如图，边长为1的正方形 绕点C逆时针旋转 后得到正方形 ，边 与 交
于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接 ，证明 三点共线，勾
股定理求出 的长，进而求出 的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可．
【详解】解：连接 ，∵边长为1的正方形 绕点C逆时针旋转 后得到正方形 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 三点共线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
9．如图， 为等腰直角三角形， ，点D为 上一动点，连接 ，
将 绕点D逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 面积的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、二次
函数的性质等知识点，得到三角形的面积关于x的函数解析式是解题的关键．
如图：过点E作 交 的延长线于N，根据 证得 ，得出 ，根据
三角形三边关系可得 ，设 ，则 ，根据三角形面积公式得到二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：如图：过点E作 交 的延长线于N，
∴ ，
由旋转可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值为 ．
故选：D．
10．如图，四边形 是边长为1的正方形，E是射线 上的动点(点E不与点A，B重合)，点
F在线段 的延长线上，且 ，连接 ，将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ，
连接 ．设 ，四边形 的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系
的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，全等三角形的判定与性质，结合图形分析题意
并解答是解题关键．
当点 在 上时，作 于 ，证明 与 全等，得出 ，根据
四边形面积公式计算即可；当点 在 延长线上时，作 于 ，证明 与 全
等，得出 ，根据四边形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，当点 在 上时，作 于 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
四边形 的面积为 ；
如图，当点 在 延长线上时，作 于 ，同理可证： ， ，
，
四边形 的面积为 ；
综上可知，当 时，函数图象是开口向下的抛物线；当 时，函数图象是开口向上的抛物
线，符合上述特征的只有B，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．点 关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点横纵坐标都互为
相反数”即可求解．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故答案为： ．
12．如图所示的图形是中心对称图形， 是它的对称中心， ， 是两个对称点，则点 ， 到
点 的距离 ， 的大小关系是： （填“ ”，“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查的是中心对称图形的性质，根据中心对称图形的一组对应点的连线被对称中心
平分可得答案．
【详解】解：如图所示的图形是中心对称图形， 是它的对称中心， ， 是两个对称点，则点
， 到点 的距离 ， 的大小关系是 ，故答案为： ．
13．如图是一台水泵的叶轮平面示意图，它绕着圆心 旋转最小度数为 后可以与自身重
合．
【答案】 /45度
【分析】本题主要考查了旋转对称图形，理解旋转对称图形的定义是解题的关键．根据旋转对称
图形的概念进行判断即可：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图
形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【详解】解：把图形中的每个阴影部分与相邻的一个部分当作一个部分，因而整个圆周被分成
个完全相同的部分，
每个部分对应的圆心角是 ，因而最少旋转的度数是 ，
故答案为： ．
14．如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转 角度
得到 ，若 ，则 度．
【答案】60
【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质．先根据旋转的性质可得 ，再根据
平行线的性质可得 ，然后根据角的和差可得 ，由此即可得．
【详解】解：由旋转的性质得： ，
，
，
，
，即旋转角为 ，，
故答案为：60．
15．如图，将 绕点B顺时针旋转一定的角度得到 ，此时点C在边 上，若 ，
，则 的长是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质可得 ， ，即可求解．理
解旋转前后的对应线段相等是解题的关键．
【详解】解： 将 绕点 顺时针旋转一定的角度得到 ，
， ，
．
故答案为：3．
16．如图，在 中， ， ，将 沿 折叠，点A落在点 处，
，再将 绕点D逆时针旋转，旋转角为 ，当 旋转至与
的一边平行时，α的度数为 ．
【答案】 或 ．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，先求出图1中
，再 和 分两种情况，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，由折叠的性质可得 ，
∴ ；如图所示，当 时，
∴
∴ ；
如图所示，当 时，
∴
∴
综上所述， 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
17．如图， 是等腰 内的一点， ， ， ， ， 的度
数是 ．【答案】 /135度
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性
质， 如图，将 绕 点顺时针旋转 得到 ，连接 ．可求 ， ，
由勾股定理的逆定理可求 ，即可求解．灵活运用旋转的性质是本题的关键．
【详解】解：将 绕 点顺时针旋转 得到 ，连接 ，如图所示：
， ，
， ， ，
是等腰直角三角形，且 ，
， ，
在 中， ， ， ，则 ，
是直角三角形，且 ，
，
，
故答案为： ．
18．如图，在平面直角坐标系中，将正方形 绕点 逆时针旋转 后得到正方形 ，
依此方式，绕点 连续旋转 次得到正方形 ，如果点 的坐标为(1,0)，那么点
的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点 对应点的坐标，发现规律即可解
决问题．能根据正方形的运动发现点 的对应点的坐标按 ， ， ， ，
， ， ， 循环出现是解题的关键．
【详解】解： 四边形 是正方形，且 ，
点 的坐标为 ，则 ，
点 的坐标为 ，
依次类推，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
，
由此可见，旋转后点 的对应点的坐标按 ， ， ， ， ， ，
， 循环出现，
由 ，得到点 的坐标为 ，
故答案为： ．
三、解答题：本题共8小题，共66分．
19．如图，在平面直角坐标系中有一个 ．(1)作出 关于原点O对称的 ，并写出 各顶点的坐标；
(2)求出 的面积．
【答案】(1)见解析， ， ，
(2)11.5
【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到 关于原点O成中心对称的 ；进而得
出的 坐标；
（2）依据三角形面积计算公式，利用割补法即可得到 的面积．
【详解】（1） 中， ， 中各点的坐标分别是 ，
， ,作图如下：（2）
【点睛】本题主要考查了利用中心对称变换作图，根据中心对称的性质可知，关于原点中心对称
的两个图形各对应点的横、纵坐标互为相反数，先读出已知点的坐标，再找到各自的对应点，顺
次连接得出要作的图形．求面积用割补法最常用.
20．下列 网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，
请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
(1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；
(3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成既是一个中心对称图形，又是轴对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）轴对称图形定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互
相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此涂上阴影即可；
（2）中心对称图形定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此涂上阴影即可；
（3）根据中心对称图形和轴对称图形定义涂上阴影即可．
【详解】（1）解：画出下列一种即可：
（2）解：画出下列一种即可：
（3）解：画出下列图形即可：
【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题
的关键．
21．下面是由半径相同的圆组成的花瓣，观察图形，回答下列问题：
(1)是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 （分别用图形的代码填空）．
(2)若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据（1）小题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的
对称性（轴对称或中心对称）之间的规律．
【答案】(1)①②③④⑤，①③⑤
(2)见解析
【分析】（1）中心对称图形：图形绕某一点旋 后与原来的图形重合；轴对称图形：沿某直线
折叠后直线两旁的部分互相重合；
（2）花瓣个数的奇偶性影响了图形的对称性．
【详解】（1）解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知：是轴对称图形的有①②③④⑤，是中心对称图形的有①③⑤．
故答案为：①②③④⑤；①③⑤．
（2）解：规律：当“花瓣”是偶数个，既是中心对称图形，也是轴对称图形；
若花瓣是奇数个，则是轴对称图形．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．掌握相关定义是解题关键．
22．如图， 是等边三角形 内一点，将线段AD绕点 顺时针旋转60°，得到线段 ，连接
．
(1)求证： ；
(2)连接DE，若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出 ，根据旋转的性质得出
，求出 ，证 即可；
（2）求出 ，进而求出 ，即可得出答案．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
，
线段AD绕点 顺时针旋转60°，得到线段 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：如图，连接DE，，
为等边三角形，
，
又 ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵
活运用性质定理进行推理是解此题的关键．
23．如图，在正方形 中，点 在 边上，且 与 关于 所在的直线对称，
将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据翻折和旋转的性质即可解决问题．
（2）连接 ，证明出 和 全等，将 长转化为 长，再利用勾股定理求出 长
即可解决问题．
【详解】（1）证明： 与 关于 所在的直线对称，
．
由 绕点 按顺时针方向旋转 得到，
，
．
（2）解：连接 ，与 关于 所在的直线对称，
．
四边形 是正方形，
，
．
，
，
即 ．
由 绕点 按顺时针方向旋转 得到，
．
在 和 中，
，
，
．
， ，
，
．
在 中，
，
．
【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟知图形
旋转的性质是解题的关键．
24．如图， 在 中， ，把 绕 边的中点O旋转后得
，A的对应点为D，B的对应点为E，若直角顶点E恰好落在 边上，连接 ，且 边交
边于点G．(1)证明： ；
(2)判断 的形状并说明理由；
(3)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) 是直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意得到 ，由旋转的性质得到
，推出 ，得到 ，进而得到
，即可证明结论；
（2）利用三角形外角的性质及三角形内角和定理先证明 ，再利用等腰三角形等边对
等角推出 ，进而得到 ，即可证明 ，即可判断
的形状；
（3）勾股定理先求出 ，由（2）知 ，利用三角形面积公式求出 ，再利用勾
股定理即可求出 ，由旋转的性质得到 ，证明 ，推出点G是 中
点，得到 ，求出 ，再求出 ，即可计算 的面积．
【详解】（1）证明：∵点O是 边的中点，
∴ ，
由旋转的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（2）解： 是直角三角形，理由如下：
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
（3）∵在 中， ，
∴ ，
由（2）知 ，
，
，
，
，
由旋转的性质得到 ，
， ，
，
，
，
，
点G是 中点，
，，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知
识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
25．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①，等边 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1， ， ，求
的度数．
为了解决本题，我们可以以 为一边在 右侧做等边三角形 ，连接 ，此时可证
，这样就可以将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出
；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题．
已知，如图②，点P为等边 外一点， ， ， ，求 长．
（3）能力提升
如图③，在 中， ， ， ，点D是 上一点，线段 绕点D
顺时针旋转 ，点B的对应点为点E，当 为直角三角形时，求 面积．
【答案】（1） ；（2） ；（3）4
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ， ，由勾股定理
的逆定理可求 ，即可求解；
（2）由旋转的性质可得 ， ， ，可求 ，由勾股定理
可求解；
（3）由 ，可得 ， ， ，即可求解．
【详解】解：（1） 和 都是等边三角形，， ， ，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
；
（2）如图②，将 绕点 顺时针旋转60度，得到 ，连接 ， ，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
；
（3）当点 与点 重合时， 线段 绕点 顺时针旋转 ，
， ，
是等边三角形，
，
， ，
为直角三角形，
，
， ， ，，
如图③，延长 至 ，使 ，连接 ， ，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
， ， ，
又 ，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等边
三角形的性质，旋转的性质，利用旋转的性质添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．对于平面直角坐标系 内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转
得到点 ，点 落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随
点”．已知点 ．(1)在点 中，点______是线段 关于原点O的“伴随点”；
(2)如果点 是 关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
(3)已知抛物线 的顶点坐标为 ，其关于原点对称的抛物线上存在 关于原
点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
【答案】(1) 和
(2)
(3)最大值 ，最小值
【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点 旋转后的对应点，进行判断即可；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，证明 ，求出 的坐
标，再求出点 在线段 上和在线段 上时， 的值，即可得出结论；
（3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将
绕点O逆时针旋转 得到 ，根据抛物线上存在 关于原点O的“伴随点”，得
到当抛物线过点 时 有最大值，当抛物线过点 时 有最小值，即可得解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 轴，
如图所示，点 绕点 顺时旋转 得到的对应点分别为：
，其中点 ，在线段 上，
∴ 和 是线段 关于原点O的“伴随点”；
故答案为： 和 ．
（2）∵ ，
∴ 在第一象限，
∵点 是 关于原点O的“伴随点”；
∴点 在第二象限，
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
则： ，
∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ 在第一象限，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，则：
，解得： ，
∴ ，
当 在 上时， ，解得： ；
当 在 上时， ，解得： ；
∴当 时，点 是 关于原点O的“伴随点”；
（3）∵抛物线 的顶点坐标为 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
∴其关于原点对称的抛物线解析式为 ．
如图： 绕点O逆时针旋转 得到 ，其中 ．∵抛物线上存在 关于原点O的“伴随点”，
∴当 过 ，得到n的最大值 ．
当 过 ，得到n的最小值 ．
【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键是理
解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解．
