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23.2.3 关于原点对称的点的坐标 分层作业
基础训练
1．如图，菱形 对角线交点与坐标原点 重合，点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为 ，
故选C．
2．如果点 在第三象限，点 关于原点的对称点在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【详解】解：∵点 在第三象限，
∴ ，
∵点 关于原点的对称点为 ，
∴ ， ，
∴点 在第二象限；
故选择：B
3．在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是（ ）A． B． C． D．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是 ．
故选D．
4．在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点成中心对称，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
详解】解：∵点 与点 关于原点成中心对称，
∴ ，
，
故选C．
5．若点P（2， ）与点Q（ ， ）关于原点对称，则m＋n的值分别为（ ）
A． B． C．1 D．5
【详解】解：∵P（2，-n）与点Q（-m，-3）关于原点对称，
∴2=-（-m），-n=-（-3），
∴m=2，n=-3,
∴ ．
故选：B．
6．如图，在 中，顶点 ， ， ，将 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时
针旋转，每次旋转 ，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． ） D．
【详解】解： ， ，，
四边形ABCD为正方形，
，
，
，
每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，
每次旋转 ，
点D的坐标为 ．
故选D．
7．已知点 在第二象限，且 ，则点M关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵点 在第二象限，
∴ ，
∴点 ，
∴点M关于原点对称的点的坐标是 ；
故选：D
8．在平面直角坐标系中，点 关于原点对称点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【详解】解：∵ ，∴点 在第二象限，
∴点 关于原点对称点在第四象限.
故选D．
9．如图所示，在直角坐标系内，原点O恰好是▱ABCD对角线的交点，若A点坐标为(2，3)，则C点坐标
为( )A．(－3，－2) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
详解】解：由题可知▱ABCD关于点O中心对称，
∴点A和点C关于点O中心对称，
∵A(2，3)，
∴C(－2，－3)，
故选：C．
10．若点P（a，2）点Q（﹣4，b）关于原点对称，则点M（a，b）在第 象限．
详解】解：∵点P（a，2）点Q（﹣4，b）关于原点对称，
∴a＝4，b＝﹣2，
则点M（4，﹣2）在第四象限．
故答案为：四．
11．如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转 到乙位置，
再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点 的坐标为 ．
【详解】根据图示可知A点坐标为（-3，-1），
根据绕原点O旋转180°横纵坐标互为相反数
∴旋转后得到的坐标为（3，1），
根据平移“上加下减”原则，
∴向下平移2个单位得到的坐标为（3，-1），
12．若点P（﹣m，3﹣m）关于原点的对称点在第四象限，则m满足 ．
【详解】解：∵点P（﹣m，3﹣m）关于原点的对称点在第四象限，
∴点P在第二象限，∴ ，
解得：0＜m＜3，
故答案为0＜m＜3．
13．如图， 的顶点坐标分别为 、 、 ．
(1)画出 关于点 的中心对称图形 ．
(2)画出 绕原点 逆时针旋转 的 ，写出点 的坐标__________．
(3)若 内一点 绕原点 顺时针旋转 的对应点为 ，则 的坐标为__________．
【详解】（1）解： 、 、 ，
、 、 ，
关于点 的中心对称图形 如下：（2）解：如图： 即为所求，
点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（3）解： 绕原点 顺时针旋转 后的图形如下：故 内一点 绕原点 顺时针旋转 的对应点为 ，则 的坐标为 ．
故答案为： ．
14．已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．
(1)二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；
(2)二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．
【详解】（1）解：抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，
∴y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7；
（2）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数，
∴﹣y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7，
即y＝2x2+8x+7
∴二次函数y＝ax2+bx+c中的a＝2，b＝8，c＝7．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
能力提升
1．已知抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的顶点与
原抛物线的顶点关于原点对称，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【详解】解：∵ ，∴抛物线的顶点坐标为： ，
将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，新的抛物线的顶点坐标为：
，
∵所得新抛物线的顶点与原抛物线的顶点关于原点对称，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
2．如图，在直角坐标平面内，△ABC的顶点 ，点B与点A关于原点对称，AB＝BC，∠CAB＝
30°，将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处，那么BE所在直线的解析式为
．
详解】如图，过点C作CF⊥x轴于点F，
∵△ABC的顶点 ，点B与点A关于原点对称，
∴ ，
∴AB＝BC=2．
∵∠CAB＝30°，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
∴∠CBF=∠CAB+∠ACB=60°，∠BCF=30°，
∴BF= BC=1，CF= ，
∴ ．
∵将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处，∴AB＝CE＝2，AC=CD，∠CDA=∠CAD=30°，∠ECD=∠ACB=30°，
∴CE//AD，
∴ ．
设直线BE的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴BE所在直线的解析式为： ．
故答案为：
拔高拓展
1．定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，
函数 与 关于原点O互为“对称函数”．
(1)函数 关于原点O的“对称函数”的函数解析式为______，
函数 关于原点O的“对称函数”的函数解析式为______；(2)已知函数 与函数G关于点 互为“对称函数”，若函数 与函数G的函数值y
都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；
(3)已知点 ，点 ，点 ，二次函数 与函数N关于点C互为“对称
函数”，将二次函数 与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段 恰
有2个公共点，直接写出a的取值范围．
【详解】（1）解：∵两个函数是关于原点O的“对称函数”，
∴两个函数的点分别关于原点中心对称，
设函数 上的任一点为 ，则它的对称点为 ，
将 代入函数 得：
，
∴ ．
函数 关于原点O的“对称函数”的函数解析式为： ；
同理，设函数 上的任一点为 ，则它的对称点为 ，
将 代入函数 得： ；
∴关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 ，
故答案为： ； ；
（2）解：由题意得：函数G的解析式为 ，
如图，函数 与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，∵函数G的开口方向向下，
∴在对称轴的右侧y随自变量x的增大而减小，函数 在对称轴的左边y随自变量x的增大而减小，
∴函数 与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，自变量x的取值范围为 ；
（3）解：①当“对称函数”的顶点在 上时，如图，
∵ ，
∴二次函数 的对称轴为直线 ，
∵点C 为对称中心，
∴函数N的对称轴为直线 ，
∴函数N的顶点坐标为 ，
∵ 关于点C 对称的点为 ，∴将 代入 得：
，
∴ ；
②当两个函数图像的交点在 上时，如图，
∵二次函数 与x轴的交点为 和 ，
∵点C 为对称中心，
∴函数N与x轴的交点为 和 ，
∴函数N的解析式为 ，
当y=1时，
，
解得： ；
③当“对称函数”经过点B时，如图，∵点B ，
∴ ，
解得： ．
综上，图形W与线段 恰有2个公共点，a的取值范围为 或 或 ．
2．如图，抛物线 经过A（ ），B（ ）两点，直线AB与 轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在抛物线上，点N在直线AB上，当M，N关于原点O成中心对称时，求点N的坐标；
(3)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A，B，P，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？
若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过A（-1，0），B（ ）两点,
∴ 解得
∴抛物线的解析式 .（2）设直线AB的解析式为 ，
∵A（-1，0）,B（ ）两点在直线AB上，
∴ ， 解得
∴ .
设N（ ），则M（ ）
将M（ ）代入 ，得
，
解得 ，∴ ，
∴N的坐标为（ ， ）或（ ， ）
（3）解：设点Q（m，n），n=- m2+m+ 2，点P(1，s)，点A、B的坐标分别为(-1，0)、(4，- )，
①当AB是平行四边形的边时，
i)点B向右平移3个单位，点B在直线x=1上，
同样点A向右平移3个单位，此时横坐标为-4，
当x=-4时，y=- ×(-4)2-4+ =-10 ，
所以点A向上平移10 个单位得到点Q，同样点B向上平移10 个单位得到P，
∴s=-(10 + )=-13，
∴点p坐标为(1，-13)；
ii) 点A向右平移2个单位，点A在直线x=1上，同样点B向右平移2个单位，此时横坐标为6，当x=6时，
y=- ×62+6+ =-10 ，所以点B向上平移-10 - =8个单位得到点Q，同样点A向上平移8个单位得到P，则s=8，此时点P坐标
为(1，-8)；
②当AB是平行四边形的对角线时，AB中点坐标为( ，- )，
∴ ，∴m=2，
∴n=- ×22+2+ = ，
∴ ，
解得：s=-4，
故点P（1，-4）
综上，故点P的坐标为：(1，-4)或(1，-8)或(1，-13)．
