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学科网（北京）股份有限公司 1 / 25.3 实际问题与一元二次方程 课标要点 课标要点 1.能分析实际问题中的数量关系，设未知数，列一元二次方程求解，检验结果是否符合实际 意义。 2.掌握四类典型模型：利润问题、传播问题、增长率问题、循环问题，识别题型，记忆对应 等量关系式。 3.会对方程的根进行实际意义检验：舍去负数、超出现实情境的不合理解。 ①利润问题：总利润=单件利润×销售数量；单件利润=单件售价-单件进价 ②传播问题：初始传染源1 个，每轮每人传染x 人，两轮后总数量：(1+x)2 ③增长率问题：基础量a，平均增长率x，经过n 次增长后总量：a(1+x)n；下降率：a(1−x)n ④循环问题：单循环（每两者只发生1 次） 1 2n(n−1)；双循环（每两者发生2 次）n(n−1) 学习重难点 重点： 1.识别四类实际问题的题型特征，找准等量关系，正确列出一元二次方程。 2.分清循环问题中单循环、双循环公式的区别；分清增长、下降的公式。 3.利润问题：分清单价变化带来销量的变化，准确写出单件利润、销售量代数式。 难点： 1.传播问题混淆总数量和新增被传染数量，分不清“两轮后总共有”和“第二轮新增”。 2.循环问题分不清单循环、双循环，忘记单循环的 1 2系数。 3.解出方程两个根之后，忽略实际意义检验，保留负数、不符合题意的解。 4.利润问题：价格上涨/下降，销量增减关系写反，单件利润计算出错。 5.增长率问题：审题看错是“增长到”还是“增长了”。 第二十五章 一元二次方程 学科网（北京）股份有限公司 2 / 知识点 一元二次方程中常见的题型 核心思路：审题→设未知数→找等量关系→列一元二次方程→解方程→检验根的合理性→作答 一元二次方程一般形式：𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，解完应用题一定要检验，舍去负数、不符合实际意义的 根。 四大常考模型(中考高频) 模型1：传播问题(病毒、传染、分裂) 公式推导 第一轮：1 个传染源，每人传染x 人，第一轮后共有1 + 𝑥人患病 第二轮：每个人继续传染x 人，新增(1 + 𝑥)𝑥，两轮后总人数： (1 + 𝑥)2=两轮后总患病数 注意：n 轮传播：(1 + 𝑥)𝑛= 总数量 模型2：增长率/降低率问题(产量、利润、销量) 平均增长率：基数a，增长率x，经过n 次增长后总量b 学科网（北京）股份有限公司 3 / 𝑎(1 + 𝑥)𝑛= 𝑏 平均降低率：基数a，降低率x，n 次降低后总量b 𝑎(1 −𝑥)𝑛= 𝑏 a：初始量；b：变化之后量；n:增长/降低次数；x：增长率(百分数，列式直接写小数) 模型3：销售利润问题(中考必考) 基础关系式：①单件利润=单件售价-单件进价(成本)；②总利润=单件利润×销售数量 涨价：价格涨x 元，销量会减少；降价：价格降x 元，销量会增加。 典型模板： 进价m 元，原售价n 元，每涨价1 元，少卖k 件，涨价x 元，总利润：[(𝑛+ 𝑥) −𝑚] ⋅(原销量−kx) = 总利润 模型4：循环握手、互送礼物问题 1.握手、单循环球赛(两两发生一次，不计顺序) n 个人，每两个人握手一次，总次数： 𝑛(𝑛−1) 2 = 总次数 例：聚会一共握手28 次，求人数： 𝑛(𝑛−1) 2 = 28 2.互送贺卡、互发短信(互相都送，双向) n 个人，每个人给其他人送一张贺卡，总贺卡数：𝑛(𝑛−1) = 总数 随学随练 1．（25-26 九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150 台学生电脑和1 台教师电脑，现在教师电 脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1 台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25 台电 脑被感染． 解题步骤 1.审：读懂题意，分清已知量、未知量，找出题目等量关系(应用题最重要一步) 2.设：设未知数，可以直接设，也可以间接设。 3.列：根据等量关系列出一元二次方程。 4.解：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程。 5.验(重中之重) 检验是否是方程的根； 检验结果是否符合实际意义：人数、长度、增长率不能为负数；降价不能低于0 等，不符合直接舍去。 6.答：写出完整答案。 学科网（北京）股份有限公司 4 / (1)每轮感染中平均1 台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 2．（25-26 九年级上·贵州贵阳·阶段检测）某校将开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两 个队之间赛一场），现计划一共安排15 场比赛，设有𝑥个足球队参赛，根据题意，请列出方程__________． 3．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒．本地茶农 线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40 元/盒，售价为70 元/盒．已知该礼盒4 月份销售100 盒，受端午 节日氛围带动，6 月份销量增至144 盒． (1)若4 月份到6 月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； (2)为了延续端午销售热度，茶农计划在7 月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：以6 月份的销量 144 盒为基数，售价每降低1 元，月销售量就会增加8 盒．若要使7 月份这款礼盒的总利润达到4600 元， 且降价后的单盒利润不低于24 元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 4．（25-26 九年级上·江西宜春·期中）2025 年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本 次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6 个队，北区n 个队，每个区进行双循环小组积分 赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20 场，求 n 的值． 拓展 一元二次方程实际应用与物理综合 模型1：运动学一匀变速直线运动(抛物体、竖直上抛) 物理公式：竖直上抛物体高度 ℎ= 𝑣0𝑡−1 2 𝑔𝑡2 h：高度；v0 初速度；t 时间；g 重力加速度，题目一般给取值，如𝑔= 10m/s2。 模型2：路程、速度、时间综合(追击、运动、匀变速) 基础：𝑠= 𝑣𝑡，如果是变速，就会出现t²项，构成一元二次方程。 关系式：路程=速度×时间，当速度随时间变化，方程出现二次项。 常见题型：汽车刹车! 汽车刹车是单向减速，车停下之后就不再动。 学科网（北京）股份有限公司 5 / 解方程得到两个正根，大于刹车总时间的根必须舍去。 三、其他综合场景 1.力学：压强、面积 F 压强𝑝= 𝐹 𝑆，压力F 不变，改变受力面积S，求边长。得到关于边长的一元二次方程，边长负数舍去。S 2.功、功率 𝑊= 𝑃𝑡，结合时间关系，构造二次方程。 活学活用 1．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）芯片是我国“十五五”核心攻关项目，MOS场效应晶体管（MOS管） 是基本单元．MOS管饱和区工作电流𝐼（单位：A）由栅源电压𝑈（单位：V）调节控制，满足公式：𝐼= 𝑘(𝑈−𝑏)2， 其中𝑘和𝑏为常数，𝑈≥0．已知某S 型MOS管满足𝐼1 = (𝑈1 −2)2，某R 型MOS管满足𝐼2 = 1 4 (𝑈2 −1)2． (1)当𝑈1 = 3V时，𝐼1 = A，当𝐼2 = 4A时，𝑈2 = V． (2)只要控制MOS管电流相同，不同型号的MOS管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该S和R两型号MOS 管串联在饱和区工作，若两款MOS管的安全电压都为2 ∼20 V， ①将S型MOS管𝑈1调整为10 V，通过计算判断该R型MOS管是否安全工作； ②在两款MOS管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断𝑈1和𝑈2的关系，并说明理由． 2．（2026·广东梅州·二模）某中学光影社团计划利用光学原理，设计一款可变换的灯光投影装置． (1)基础支架的搭建：社团有两种长度不同的金属杆，分别记为A 杆和B 杆．已知A 杆长度的2 倍比B 杆长 度多70 厘米；A 杆长度比B 杆长度的2 倍少10 厘米．求A 杆和B 杆各自的长度； (2)投影布的尺寸限制：社团决定选用两根A 杆作为投影装置的主干竖直固定在地面，一根B 杆两头固定于 A 杆顶部作为横杆．现有一块矩形的投影布，用两挂钩将其水平悬挂在横杆上（投影布竖直向下垂落）．设 投影布上边缘与水平横杆的距离为x 厘米．要求：x 不大于5 厘米；投影布下边缘距离地面不小于26 厘米．已 知投影布自身高度为20 厘米，求x 的取值范围； (3)光影图形的缩放：若（2）中投影布正好形成一个特定的矩形光屏，经测量此时投影布另一边长为25 厘 米．现在，社团利用凸透镜成像原理，将这个矩形光屏上的影像投射到远处的另一块幕布上．已知成像存 在一个缩放比例因子k．由于光学畸变，实际成像的长与宽的缩放比例不同，遵循规律：长边的缩放倍率为 k，宽边的缩放倍率为𝑘+ 2．若最终的成像面积为1920 平方厘米，求缩放比例因子k 的值． 3．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作 匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一 学科网（北京）股份有限公司 6 / 个时间段内，初速度为10 米/秒，末速度为30 米/秒，则这个时间段的平均速度为𝑣̅ = 10+30 2 = 20（米/秒）．运 动路程等于时间与平均速度的乘积（即𝑠= 𝑣̅𝑡）．若一个小球以10 米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动， 并且均匀减速，5 秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了𝑡秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21 米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 题型一 传播问题 ▌例1 （25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120 个人患了流感， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．15 ▌对点练1-1．（25-26 九年级上·广东广州·阶段检测）两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究 凸透镜成像规律的实验，回到班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实 验的每位同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班50人恰好都会做这个实验了．求每位同学每节课能 教会多少名同学？ ▌对点练1-2．（25-26 九年级上·广东揭阳·阶段检测）新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明， 易错提示 易错点1：混淆「两轮后总患病数」和「第二轮新增患病数」 1. (1+x)2：两轮结束之后，一共患病的总人数(包含原来的病人) 2.第二轮新增被传染的人数：x(1+x) 易错点2：初始传染源不是1 易错点3：轮数搞错，不要无脑写平方 ①轮后总人数：1 + 𝑥 ②轮后总人数：(1 + 𝑥)2 ③轮后总人数：(1 + 𝑥)3 n 轮：𝑎(1 + 𝑥)𝑛，𝑎初始传染源。 学科网（北京）股份有限公司 7 / 新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染 后共有25 人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 题型二 增长率问题 ▌例2 （25-26 八年级下·吉林松原·期末）松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国 家级5A 旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026 年5 月1 日当天查干湖景区累计客流量为1.6 万 人次，第三天客流量达到2.5 万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ ▌对点练2-1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年 降低．2024年这种药剂价格为100元，2026年该药剂价格为49元． (1)求2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划2027年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与2024年到2026年的平均下降率相同，求该 药剂在2027年的价格． ▌对点练2-2．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王 大伯第一周行走的总路程为10000 米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增 易错题型 易错点1:分不清“增长到”与“增长了”(最高频坑) ①增长到b：最后结果就是b，直接𝑎(1 + 𝑥)2 = 𝑏 ②增长了b：指增加的部分是b，最终总量是𝑎+ 𝑏，方程：𝑎(1 + 𝑥)2 = 𝑎+ 𝑏 易错点2：把两年总和当成第二年的量 ▲审题一定要圈：是第n 年的量，还是几年的总和! a(1 + x)2：第二年（经过2 次增长后）当年的数值，不是两年相加。 易错点3：解出来两个根，不会取舍 1.增长率x > 0；降低率：0 < x < 1 如果解出负数根：直接舍去； 如果降低率算出来x>1(大于100%),不符合实际，舍去 学科网（北京）股份有限公司 8 / 长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100 米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 题型三 与图形有关的问题 ▌例3 为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30 平方米的快递投放点．如图 是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形𝐴𝐵𝐶𝐷且一边靠墙；这堵墙长10 米，在垂直于墙的两边分别 开设“进口”和“出口”两道1.5 米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当 的板材14 米．请求出这个快递投放点的边𝐴𝐵和𝐵𝐶的长． ▌对点练3-1．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车 车棚，一边利用教学楼10 米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21 米的铁栏围成（墙的厚度忽略 不计）． (1)若围成的车棚面积为54 平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60 平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． ▌对点练3-2．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙𝑀𝑁， 小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场𝐴𝐵𝐶𝐷，已知木栏总长为20米，与墙相对的一面木栏需开一扇 宽为2米的门，门不消耗木栏，设𝐴𝐵长为𝑥米． 学科网（北京）股份有限公司 9 / (1)如图①，当𝐴𝐷≤𝑀𝑁时， ①𝐴𝐷=___________米（用含𝑥的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为56平方米，求𝐴𝐵的长． (2)如图②，当𝐴𝐷> 𝑀𝑁时，养蜂场的面积是否可以达到70平方米？请说明理由． 题型四 数字问题 ▌例4 （25-26 九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数 的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． ▌对点练4-1．（2025·广东深圳·二模）2025 年6 月26 日−28 日是深圳市中考的日子，在本月日历表上 可以用一个方框圈出4 个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小 数（请用方程知识解答）． ▌对点练4-2．（24-25 九年级上·广东·开学考试）有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换 数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大38，求这个两位数． 学科网（北京）股份有限公司 10 / 题型五 营销问题 ▌例5（25-26 八年级下·陕西西安·期末）西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒： 礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵100元．上一周，礼盒甲销售总额为9000元，礼盒乙销售 总额为6000元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价12元，销量增加1件；礼盒乙每件提价40元，销量和上周一样．调整价 格后，两款礼盒总销售额比上周多600元，求礼盒甲每件降价多少元？ ▌对点练5-1．（25-26 九年级上·江西九江·阶段检测）某水果商店销售一种进价为40 元/kg的优质水果．若 售价为50 元/kg，则一个月可售出500kg；若售价在50 元/kg的基础上每上涨1 元，则月销售量就减少10kg．已 知这种水果的售价不得超过70 元/kg． (1)当售价为55 元/kg时，每月可以销售该种水果多少千克？ (2)当月利润为8750 元时，每千克该种水果的售价为多少元？ ▌对点练5-2．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30 元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50 元时，每天可卖出100 个，在此基础上，售价每降低1 元，该玩偶每天可多卖出10 个． 易错提醒 易错点1：涨价、降价后，销售量变化写反(最高频错误) 涨价：价格越高，卖得越少→原销量—kx 降价：价格越低，卖得越多→原销量+kx 易错点2:两个根全部保留，忽略题干附加条件 解方程经常得到两个正数根，数学都成立，但题目有限制条件，要取舍： 1.条件①：尽量减少库存→库存少就要多卖，优先选降价更多(销量更大)的x 2.条件②：售价不能高于某个上限(如售价不超过70 元),要检验涨价之后的实际售价 3.条件③：售价不能低于成本，不能亏本销售，算出降价后售价<进价的根舍去。 学科网（北京）股份有限公司 11 / 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40 元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240 元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500 元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 题型六 工程问题 ▌例6（25-26 八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240 米的河 堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20 米，因而完成此段加固 工程所需天数将比原计划缩短2 天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224 米，那么 在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ ▌对点练6-1．（25-26 八年级下·浙江温州·期中）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极 地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1 条口罩生产线最大产能是78000 个/天，每增加1 条生产线，每条 生产线减少2000 个/天，工厂的产线共x 条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x 的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000 个，该工厂引进了多少条生产线？ ▌对点练6-2．（25-26 八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000 米的下水管道， 由于采用新的施工方式，________________，提前2 天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多25%； （2）原计划每天修建的长度比实际少75 米． 在上述的2 个条件中选择1 个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 题型七 行程问题 学科网（北京）股份有限公司 12 / ▌例7 一辆汽车以30 米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30 米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20 米时用了多长时间？ ▌对点练7-1．（2026·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 𝑡𝑠 ⁄ 0 1 2 3 4 滑行速度 𝑦m/s ⁄ 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：m/s）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关 系．而滑行距离=平均速度𝑣̅ ×时间t，𝑣̅ = 𝑣0+𝑣𝑡 2 ，其中𝑣0是初始速度，𝑣𝑡是t 秒时的速度． (1)直接写出y 关于t 的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了450m，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方300m有一辆通勤车正以54km/h的速度匀速同向行驶，试问 飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ ▌对点练7-2．（25-26 九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动， 叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等 解题思路 常见情景：赶路、开车、轮船顺水逆水。 条件一般给出：路程固定；速度变化，导致时间变化；或者时间固定，速度变化。 典型句式 1.速度每提高多少，时间就减少多少小时； 2.速度减慢，时间增加； 3.顺水逆水：顺水速度=静水速度+水流速度逆水速度=静水速度-水流速度 学科网（北京）股份有限公司 13 / 于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5 米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4 秒后小球停止运 动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5 米用了多少秒？（精确到0.1，√2 ≈1.41，√3 ≈1.73） 题型八 握手，循环比赛问题 ▌例8（25-26 九年级上·河南驻马店·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次， 有多少人参加聚会？ ▌对点练8-1．（25-26 九年级上·河南驻马店·期中）九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行 一场比赛）． (1)若参赛者有6 人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100 之间，则应该安排___________名 参赛者． 题型九 其他实际问题 ▌例9（25-26 八年级下·浙江绍兴·期末）某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20 人，人均票价为50 元； 如果人数超过20 人，每增加1 人，人均票价降低2 元，但人均票价不得低于28 元． 解题思路 两个核心模型：单循环(握手、单循环球赛)、双循环(互送贺卡、主客场比赛)设总人数/队伍数为n 1.单循环(每两者只发生1 次)：握手、两两下棋、单循环球赛每两个人只握手一次，A 与B 握手=B 与A 握手，只算1 次 𝑛(𝑛−1) 2 =总次数 2.双循环(两两之间发生2 次):互送贺卡、发短信、主客场比赛A 给B 送贺卡，B 也要给A 送；主客场： 甲主场对乙，乙主场对甲，算两场𝑛(𝑛−1) = 总次数=总次数 学科网（北京）股份有限公司 14 / (1)如果某公司组织25 人观影，那么人均需支付电影票 元； (2)现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008 元，请问该公司有多少名员工参加观影？ ▌对点练9-1．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设 等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营， 团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超10人，人均费用为300元； ②如果参加人数超过10人，每增加1 人，人均费用降低5 元，直到人均费用200元时不再下降． (1)若有𝑥(10 ≤𝑥≤30)人参加活动，则人均费用是_______元（用含x 的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付5000元的团体票费用，求研学团的人数． ▌对点练9-2．（2025·福建泉州·模拟预测）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗．公司 规定：若购买树苗不超过60 棵，则每棵树售价120 元；若购买树苗超过60 棵，则每增加1 棵，每棵树售 价均降低0.5 元，且每棵树苗的售价降到100 元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100 元． (1)若该学校购买50 棵树苗，这所学校需向园林公司支付的树苗款为______元； 若该学校购买100 棵树苗，这所学校需向园林公司支付的树苗款为______元； (2)若该学校向园林公司支付树苗款8800 元，求这所学校购买了多少棵树苗． 基础通关 1．（26-27 九年级上·全国·课后作业）随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管 理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某 果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为2吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多0.5 吨．设每亩产量的年平均增长率为𝑥，根据题意，下列方程正确的是（ ）． A．2(1 + 𝑥2) = 2 + 0.5 B．2(1 + 𝑥)2 = 2 + 0.5 C．2(1 + 𝑥) = 2 + 0.5 D．2(1 + 2𝑥) = 2 + 0.5 2．（26-27 九年级上·全国·课后作业）根据小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答 案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3 倍，最后加上4，运算结果是这 个数的2 倍？ 学科网（北京）股份有限公司 15 / A．1 B．4 C．−1 D．1 或4 3．（25-26 八年级下·四川德阳·期中）如图是由三个边长分别为6、9、x 的正方形所组成的图形，若直 线𝐴𝐵将它分成面积相等的两部分，则x 的值是（ ） A．1 或9 B．3 或5 C．4 或6 D．3 或6 4．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题： 直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为864 平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为𝑥步，则可列方程（ ） A．𝑥(𝑥−12) = 864 B．𝑥(𝑥+ 12) = 864 C．(𝑥+ 12)(𝑥−12) = 864 D． 𝑥(𝑥−12) 2 = 864 5．（25-26 八年级下·山东威海·期末）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21 cm，正中央是 一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、 下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为7𝑥 cm，左、右边衬 的宽均为9𝑥 cm．那么𝑥满足的方程是（ ） A．(27 −9𝑥)(21 −7𝑥) = 1 4 × 27 × 21 B．(27 −9𝑥)(21 −7𝑥) = 3 4 × 27 × 21 C．(27 −18𝑥)(21 −14𝑥) = 1 4 × 27 × 21 D．(27 −18𝑥)(21 −14𝑥) = 3 4 × 27 × 21 6．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛 制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56 场，则参加小组赛的球队有______支． 7．用一根长24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________cm2． 8．（25-26 八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为𝑎cm的矩形卡纸 剪成如图1 所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2 所示的正方形，且正方形的边长比矩形 的宽多1，则该矩形卡纸的宽𝑎=______cm． 学科网（北京）股份有限公司 16 / 9．（25-26 八年级下·山西大同·期末）如图1 为一矩形纸板，长12cm，宽6cm．在它的四角各切去一个 同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒 的底面积为40cm2，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______cm． 10．（26-27 九年级上·全国·课后作业）凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、 阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥 塑的制作成本为30 元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40 元/件时，月销售量为400 件．若 在此基础上每件泥塑的售价每上涨1 元，则该泥塑月销售量将减少10 件，设该泥塑的售价上涨x 元/件．该 店为使月销售利润达到6000 元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 11．（25-26 八年级下·云南临沧·期末）某商店销售一种商品，每件进价40 元．当售价定为50 元时，每 天可售出100 件；售价每提高1 元，日销售量减少2 件．设售价为x 元(𝑥> 50)，日销售量为y 件． (1)求y 与x 的函数关系式； (2)若日利润为1800 元，求售价x 的值． 12．（2026·江西南昌·模拟预测）健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部 2020 年有会员200 人，其中男、女会员人数之比为4: 1． (1)求该健身俱乐部2020 年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k 人和（𝑘+ 4）人递增，这样到2026 年该俱乐部男、 女人数之比将变为3: 1． ①求k 的值； ②2020 年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000 元和900 元，若每个男会员的年会费每年增加300 元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2026 年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到 2020 年全体男会员年会费总量的56%．问2026 年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相 等？ 学科网（北京）股份有限公司 17 / 素养提升 1．（25-26 九年级上·四川德阳·开学考试）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐵= 8cm，𝐵𝐶= 6cm， 动点P，Q 分别从点A，B 同时开始移动（移动方向如图所示），点P 的速度为1cm/s，点Q 的速度为2cm/s， 点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动，若使△𝑃𝐵𝑄的面积为15cm2，则点P 运动的时间是（ ） A．2s B．3s C．4s D．5s 2．（25-26 八年级下·广西百色·期末）为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同 学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中 间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3 米．水池以外的区域全部种植 绿植．已知绿植部分的面积为72 平方米，设正方形水池的边长为𝑥米．下列方程中，能正确表示圆面积、 正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ） A．π(𝑥+ 3)2 −𝑥2 = 72 B．π ( 𝑥 2 + 3) 2 −𝑥2 = 72 C．π(𝑥+ 6)2 −𝑥2 = 72 D．π ( 𝑥 2 + 6) 2 −𝑥2 = 72 3．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的 个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是𝑥，乙品牌智能机器 人一次性提速的百分率是2𝑥．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平 均每分钟采摘的苹果个数的 9 8倍，则𝑥的值为（ ）． A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．1 4．（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的 直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则 学科网（北京）股份有限公司 18 / 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）图①是边长为𝑚，𝑛的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若 𝑚，𝑛是关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑘𝑥+ 21 = 0的两个实数根，则𝑘=______． 6．（25-26 八年级下·浙江温州·阶段检测）阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地 上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7 倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积 与正方形休闲广场的面积相等，如图1 所示，设步道的宽为𝑎(m)．则步道的宽为_____；方便市民进行跑步 健身，现按如图2 所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙 大441m2，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为____m2． 7．（25-26 九年级·重庆巴南·自主招生）一个三位数，若满足百位数字与个位数字之和为10，则称它为 “合十数”．例如，因为2 + 8 = 10，所以258是“合十数”．在“合十数”n 中，十位数字的2倍与个位数 字之和再减去百位数字的差记为𝐹(𝑛)，百位数字与十位数字之和再减去个位数字的差记为𝐺(𝑛)，若“合十 数”n 满足𝐹2(𝑛) −𝐺2(𝑛) = 144，则满足条件的“合十数”n 的值为 ___． 8．（2026·安徽安庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．现规定对于一个整数n，若它为 学科网（北京）股份有限公司 19 / 正偶数，则它对应的点的坐标为( 𝑛 2 , 𝑛 2)；若它为正奇数，则它对应的点的坐标为(− 𝑛−1 2 , 𝑛+1 2 )；若它为负偶数， 则它对应的点的坐标为(− 𝑛 2 , 𝑛 2)；若它为负奇数，则它对应的点的坐标为( 𝑛−1 2 , 𝑛+1 2 )；若它为0，则对应的点 为坐标原点．例如，𝑛= 6，则它对应的点的坐标为(3,3)；𝑛= −9，则它对应的点的坐标为(−5, −4)． （1）若𝑛= 13，它对应的点为A，则点A 的坐标为__________； （2）若𝑛= −10，它对应的点为B，若存在点C，使得√2𝑂𝐶= 𝑂𝐵，则点C 对应的整数m 为__________． 9．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙𝐴𝐵建造面积为450m2的矩形区域来养鹌 鹑，该单位准备修建长为65m的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙𝐴𝐵的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙𝐴𝐵上借用的𝐶𝐹的长度为多少? (2)如图2，若全部借用𝐴𝐵的长度，并在𝐴𝐵的延长线上拓展𝐵𝐹，构成矩形𝐴𝐷𝐸𝐹，篱笆由𝐵𝐹、𝐸𝐹、𝐷𝐸和𝐴𝐷构 成，求𝐵𝐹的长． 10．（25-26 八年级下·浙江宁波·阶段检测）目前，瓜沥镇正在为小城市建设做着不懈努力，镇政府决定 在新城区政府大楼前建设一块长a 米，宽b 米的长方形草坪，并计划在该草坪场地上修筑宽都为2 米的两条 互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b 的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若a，b 满足代数式 𝑎−𝑏 √𝑎−√𝑏= √6 × √𝑏− 𝑎−𝑏 √𝑎+√𝑏，求𝑎: 𝑏； (3)若已知𝑎: 𝑏值满足（2）的条件，并且四块草坪的面积之和为2204 平方米，试求原长方形的长与宽各为多 少米？ 11．（25-26 八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理， 结果如下： 学科网（北京）股份有限公司 20 / 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是30 ≤𝑥≤120． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本𝑦1（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价𝑦2（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：𝑦2 = − 1 3 𝑥+ 90． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本𝑦1（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本𝑦1是x 的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价𝑦2的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200 元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应 该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500 元，能否实现？请通过计算说明理由． 迁移创新 1．（25-26 八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程𝑥2 + 2𝑥− 35 = 0为例：将原方程整理可得：𝑥(𝑥+ 2) = 35，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1 所示的图形， 此时大正方形的面积是(𝑥+ 𝑥+ 2)2，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以 (𝑥+ 𝑥+ 2)2 = 4𝑥(𝑥+ 2) + 22 = 4 × 35 + 4 = 144，由此得原方程的一个正根为𝑥= 5． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程2𝑥2 + 3𝑥−2 = 0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为𝑥2 + 3 2 𝑥−1 = 0，即𝑥（ ）= 1； 学科网（北京）股份有限公司 21 / 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如𝑥2 + 𝑎𝑥= 𝑏（𝑎> 0，𝑏> 0）的一元二次方程可以构造图2 来解．已知图2 是由四个 面积为3 的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于𝑥的方程𝑥(3𝑥−𝑛) = 24，其中3𝑥−𝑛> 𝑥，他以3𝑥−𝑛和𝑥作为矩形的两邻边构造出 如图2 同样的图形，已知小正方形的面积为4，则𝑛的值为_________． 2．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6cm，𝐵𝐶= 8cm，点𝑃从𝐴开始沿𝐴𝐵边 向点𝐵以1cm/s的速度移动，点𝑄从点𝐵开始沿𝐵𝐶边向点𝐶以2cm/s的速度移动，𝑃，𝑄两点分别从𝐴，𝐵同时 出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，△𝑃𝐵𝑄的面积等于8cm2？ ②△𝑃𝐵𝑄的面积能否等于10cm2？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点𝑃到达𝐵后不停止，立即以原速沿𝐵𝐴返回；点𝑄到达𝐶后不停止，继续以原速沿射线𝐵𝐶方向运动，直 到点𝑃第一次回到𝐴时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒△𝑃𝐵𝑄的面积等于6cm2？ 学科网（北京）股份有限公司 22 /
