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第二十三章 旋转 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解
答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称
能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过
轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选D．
2．（22-23九年级上·西藏拉萨·阶段练习）已知点 的坐标是 ，点 关于原点对称的点 的坐标
是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求
解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵点 的坐标是
∴点 关于原点对称的点 的坐标是 ，
故选： ．3．（23-24八年级下·贵州毕节·期中）如图，将 绕点O按顺时针方向旋转 得到 ，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．根据旋转变换的性质
求出 ，结合 ，即可解决问题．
【详解】解：根据题意可得 ，且 ，
．
故选B．
4．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是(1,0)，若点 的坐标为
，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，分别过点A和点 作x轴的
垂线，垂足分别为C、D，则 ， ，证明 得到
，则 ，据此可得答案．
【详解】解：如图所示， 分别过点A和点 作x轴的垂线，垂足分别为C、D，∴ ，
∵点 的坐标是(1,0)，若点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
5．（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在 中， ，在同一平面内，将
绕点A旋转到 的位置，使得 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握旋转
的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．先利用平行线的性质得 ，再由旋转性质得
， ，然后利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理求得 即可．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
由旋转性质得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
6．（22-23九年级上·天津东丽·期末）如图，在 中， ，将 绕点A
顺时针旋转90°得到 ，则 的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转变换和勾股定理，在 中，由勾股定理解得 的长，再根据旋转的性质得
到， ，在 中再利用勾股定理解得 的长即可．
【详解】解： ，
在 中，
由旋转的性质得
在 中，
故选：B．
7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图， 为等腰直角三角形， ，点D
为 上一动点，连接 ，将 绕点D逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 面积的最大值
为（ ）A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、二次函数的性
质等知识点，得到三角形的面积关于x的函数解析式是解题的关键．
如图：过点E作 交 的延长线于N，根据 证得 ，得出 ，根据三角形
三边关系可得 ，设 ，则 ，根据三角形面积公式 得到二次函
数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：如图：过点E作 交 的延长线于N，
∴ ，
由旋转可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值为 ．
故选：D．8．（23-24八年级下·贵州毕节·期中）如图，在等边三角形 中， ，D是 的中点，将
绕点A逆时针旋转一定角度得到 ，则线段 的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理．应用旋转的性质与等边三角形的
性质是解题的关键．先由等边三角形的性质得出 ，利用勾股定理求出 ．再根
据旋转的性质得出 ， ，那么 是等边三角形，从而得到DE的长．
【详解】解：∵在等边 中， ，D是 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
∵将 绕点A旋转后得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故选：A．
9．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图， 直线 于点 ， ，点 是直线 上一动点，以为边向上作等边 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟
练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．以 为边作等边三角形 ，连接 ，过点 作
于点 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ， ，
由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：如图，以 为边作等边三角形 ，连接 ，过点 作 于点 ，
和 为等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
是直线 的动点，
在直线 上运动，
的最小值为 ，
，．
故选：B
10．（22-23九年级下·山东威海·期中）如图，正方形 的顶点 ， 在坐标轴上，将正方形绕点 第
1次逆时针旋转 得到正方形 ，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形 ．若
点 的坐标为(1,0)，则点 的坐标为（ ）
A． B． C．(1,0) D．(−1,1)
【答案】B
【分析】由点 的坐标可得 ，由正方形的性质可得 ， ，从而得到 ，
连接 ，由勾股定理可得 ，由旋转的性质可得 ，由将正方形
绕点 逆时针旋转 后得到正方形 ，得到相当于线段 绕点 逆时针旋转 ，依次得到
，由 可得点 的坐标每8次一个循环，再由
可得点 和 重合，从而得解．
【详解】解： 点 的坐标为 ，
，
四边形 是正方形，
， ，，
如图，连接 ，
由勾股定理得： ，
由旋转的性质得： ，
将正方形 绕点 逆时针旋转 后得到正方形 ，相当于线段 绕点 逆时针旋转 ，依次
得到 ，
，
点 的坐标每8次一个循环，
，
点 和 重合，
由图可得： ，
点 的坐标为 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理、点的坐标规律的探索，熟练掌握以上知
识点，得到点 的坐标每8次一个循环是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）若点 在 轴上，则点 关于原点对称点的坐
标是 ．
【答案】(−1,1)
【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点以及原点对称的点的坐标，根据在y轴的对点的坐标特点横坐
标为零，可得a的值，然后再根据关于原点对称，横纵坐标都相反可求出答案.
【详解】解：点 在 轴上，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ,
∴点 关于原点对称点的坐标是 ，
故答案为： .
12．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要
从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小
方格有 个．
【答案】3
【分析】此题考查的是利用中心对称设计图案，根据中心对称图形的概念分别找出各个能成中心对称图形
的小方格即可．
【详解】如图所示，
∴这样的白色小方格有3个．
故答案为：3．13．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）将直角坐标系中的点 绕原点O沿顺时针方向旋转90°，最终
得到的点的坐标为 ．
【答案】(3,−4)
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．把点绕原点旋转的问题转
化为直角三角形旋转的问题，画出图形，利用全等三角形的判定与性质可解决问题．
【详解】解：过A点作 轴，过B点作 轴，
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ,
∴点B的坐标为(3,−4)，
故答案为：(3,−4)．14．（2024·北京·模拟预测）小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设
计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度 的最小值为 ．
【答案】60°/60度
【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识．根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与 点
连线的夹角即可求得旋转角度．
【详解】解：如下图，当经过一次循环后点 旋转至点 的位置上，
∴ ．
故答案为： ．
15．（24-25九年级上·四川绵阳·开学考试）已知 的顶点A在第三象限，对角线 的中点在坐标
原点，一边 与x轴平行且 ，若点A的坐标为 ，则点D的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，注意分类讨
论思想的应用．
根据平行四边形的性质得到 ，根据已知条件得到 ，或 ，由于点D与
点B关于原点对称，即可得到结论．
【详解】解：当B点在A点的右边时，如图1，∵ 与x轴平行且 ， ，
∴ ，即 ，
∵对角线 的中点在坐标原点，
∴点A、C关于原点对称，
∵四边形 为平行四边形，
∴点B、D关于原点对称，
∴ ；
当B点在A点的左边，如图2，
同理可得 ，则 ．
故点D的坐标为(0,3)或 ．
故答案为：(0,3)或 ．
16．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形 的边长为 ， 为 边上一点， ．
绕着点 逆时针旋转后与 重合，连结 ，则 ．【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，根据正方形的性质、勾股定理，计算
，根据旋转的性质，得出 ， ，推出 ，
根据勾股定理计算 即可，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵正方形 的边长为 ， 为 边上一点， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 绕着点 逆时针旋转后与 重合，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
17．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在等腰 中， ，点 、 是斜边
上的两点 不包括端点 ，且 ，若 ， ，则【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，难度适
中．准确作出旋转后的图形是解题的关键．将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，根据
旋转的性质可得 ， ， ， ，然后求出 ，从而
得到 ，再利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得
，再求出 是直角三角形，然后由勾股定理得出 ，求出DE、AB的长度，
即可解决问题．
【详解】解：如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ．
由旋转的性质得， ， ， ， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是直角三角形，
，
，，
，
，
∴
．
故答案为： ．
18．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名
的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，
费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转
得到 ，连接 ，可得 为等边三角形，故 ，由旋转可得 因
，由两点之间线段最短可知， 的最小值与线段 的长度相等．
【解决问题】如图2，在直角三角形 内部有一动点 ， ， ，连接 ， ，
，若 ，求 的最小值 ．
【答案】
【分析】将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ， ，作 交 的延长线于点 ，
首先证明 ，求出 的值即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了费马点求最值
问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知
识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
【详解】解：将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ， ，作 交 的延长线于
点 ，在 中， ， ，
，
由旋转的性质可知： ， 、 是等边三角形，
，
，
，
当 、 、 、 共线时， 的值最小，
， ，
，
， ，
， ，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（22-23九年级上·山东·开学考试） 如图，在 中， ， ， ，将 绕
点 按顺时针旋转一定角度得到 ，当点 的对应点 恰好落在 边上时，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出 是等边三角形，进而根据 即可求解．
【详解】解： 将 绕点 按顺时针旋转一定角度得到 ，
，
又 ，
是等边三角形，
，
．
20．（22-23九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为
， ， ．
(1)画出 关于点 对称的 ．
(2)平移 ，使点 的对应点 坐标为 ，请画出平移后对应的 ；
(3)若将 绕某一点旋转某个角度可得到 ，则这个旋转中心的坐标是______ ．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】 根据中心对称的性质即可得到结论；根据平移的性质即可得到结论；
(3)根据旋转的性质即可得到结论．
本题考查了作图 旋转变换，作图 平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）如图所示， 即为所求；
（3）由图可知：这个旋转中心的坐标是 ．
故答案为： ．
21．（2024·贵州贵阳·一模）已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有
5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影：
(1)在图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
(2)在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及利用旋转设计图案，正确掌握相关图形的性质是解题关
键．
（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】（1）解：轴对称图形如图1所示；（答案不唯一）
（2）解：中心对称图形如图2所示（答案不唯一）
22．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图， ， ， 可以看做是由 绕点
顺时针旋转 度得到的，且点 是点 的对应点，点 在AB上．
(1) ________ ；
(2)线段 的长一定等于哪条线段？为什么？
(3)求旋转角 的大小（给出推理过程）．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理：
（1）根据旋转的性质求解即可；
（2）先求出 ，再由旋转的性质得到 ，则 是等边三角形，进而可得 ；
（3）根据等边三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ 可以看做是由 绕点 顺时针旋转 度得到的， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
∵在 ， ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（3）解：∵ 是等边三角形，
∴ ．
23．（22-23八年级上·江西·阶段练习）问题
（1）如图1，在 中， ，D为 上一点（不与端点重合），将线段AD绕点A逆时针旋
转90°得到 ，连接 ．证明： ．
探索
（2）如图2， 和 中， ，将 绕点A旋转，使点D落在 边上，
试探 之间的数量关系，并证明你的结论．
应用
（3）如图3，在四边形 中， ，若 ，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）AD的长为4
【分析】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，
掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）根据题意推出 即可求证；
（2）连接 ，由（1）可得 ，进而得 ， ，可推出 ，
；结合 即可求证；
（3）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到 ，连接 ．可证 ，根据
求出 即可求解．
【详解】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
即： ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：；连接 ，如图所示：
由（1）可得： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到 ，连接 ．则 是等腰直角三角形，
由题意得： ，
∴ ，
即： ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
24．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）感知：如图①， 和 都是等腰直角三角形，
，点 在线段 上，点 在线段 上，我们很容易得到 ，不需证明．
探究：将 绕点 逆时针旋转 ，如图②，连接 和 ，此时 是否依然成立？
若成立，写出证明过程：若不成立，说明理由．
应用：如图③，当 绕点 逆时针旋转，使得点 落在 的延长线上，连接 ．
① 的度数是______．
②若 ，求线段 的长是多少？【答案】探究： 成立；应用：① ；②
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质；
探究：只需要利用 证明 即可证明 ；
应用：①由等腰直角三角形的性质得到 ，再证明 即可得到
；
②先由勾股定理得到 ，由全等三角形的性质得到 ， ，则 ，
，则根据 计算即可．
【详解】探究： 成立，证明如下：
和 都是等腰直角三角形，
， ，
由旋转的性质可得 ，
，
；
应用：① 和 都是等腰直角三角形，
， ，
，
， ， ，
，
；
故答案为： ；
② ，，
，
， ，
， ；
．
25．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）如图1，在 中， ， ，点 、 分别
在边 、 上， ，连接 ，点 、 、 分别为 、 、 的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段 与 的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明：把 绕点 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，
并说明理由；
(3)拓展延伸：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，直接写出 面积的最大值．
【答案】(1) ，
(2) 是等腰直角三角形
(3)
【分析】（1）根据三角形中位线定理得 ， ， ， ，从而得出
， ；
（2）首先利用 证明 ，得 ， ，再由（1）同理说明结论成立；
（3）先判断出 最大时， 的面积最大，进而求出 ， ，即可得出 最大 ，最
后用面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解： 点 ， 是 ， 的中点，
， ，
点 ， 是 ， 的中点，， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）解： 是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转知， ，
， ，
，
， ，
利用三角形的中位线得， ， ，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得， ，
，
同（1）的方法得， ，
，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形；
（3）解：如图，同（2）的方法得， 是等腰直角三角形，连接 ，
∵ ，
∴当点 三点共线时， 最大，
如图：
最大时， 的面积最大，
最大 ，
在 中， ， ，
∴由勾股定理得： ，
∵点M为 中点，
，
在 中， ，同上可求 ，
，
同上可得： ，
∴ ，．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
三角形中位线定理，三角形的三边关系等知识，证明 是等腰直角三角形是解题的关键．
26．（2024·四川眉山·一模）问题：如图①，在 中， ，D为 边上一点（不与点B，重
合），将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，则线段 之间满足的等量关系式
为 ．
探索：如图②，在 与 中， ，将 绕点A旋转，使点D落在
边上，试探索线段 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形 中， ．若 ， ，求 的长．
【答案】问题： ；探索： ，理由见解析；应用：6
【分析】（1）问题：证明 ，根据全等三角形的性质解答；
（2）探索：连接 ，根据全等三角形的性质得到 ，得到 ，根据勾股
定理计算即可；
（3）应用：过点A作 ，使 ，连接 ，证明 ，得到 ，
根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）问题： ，
理由如下：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ；
（2）探索： ，
理由如下：连接 ，
由（1）得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，又 ，
∴ ；
（3）应用：过点A作 ，使 ，连接 ，
∵ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，掌握全
等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
