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分层作业
26.2.3 y=ax²+bx+c 的图象和性质
目录
A 组巩固过关
题型01 一般式化成顶点式
题型02 画二次函数的图象
题型03y=ax²+bx+c 图象和性质
题型04 待定系数法求二次函数解析式
题型05 二次函数的图象与字母参数的关系
题型06 一次函数与二次函数图象的综合判断
题型07 二次函数的字母参数问题
题型08 二次函数临界点问题
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
一般式化成顶点式
1．（25-26 九年级上·广西百色·期中）将二次函数
2
2
4
1
y
x
x
配成
2
y
a x
h
k
的形式，正确的是
（
）
A．
2
2(
1)
1
y
x
B．
2
1
2(
1)
2
y
x
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C．
2
2(
1)
1
y
x
D．
2
1
2(
1)
2
y
x
【答案】A
【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可.
【详解】解：
2
2
4
1
y
x
x
，
2
2
2
1
x
x
2
2 (
1)
1
1
x
2
2(
1)
2 1
x
2
2(
1)
1
x
；
故选A.
2．（25-26 九年级上·陕西榆林·期末）求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
2
2
4
13
y
x
x
【答案】开口向上，对称轴为直线
1
x ，顶点坐标为(1,11)
【分析】本题主要考查了把一般式化成顶点式，再根据二次函数
2
y
a x
h
k
的图象和性质求解即可．
【详解】解：
2
2
2
4
13
2
1
11
y
x
x
x
，
∴二次函数对称轴为直线
1
x ，顶点坐标为(1,11) ，
∵2
0
，
∴二次函数图象的开口向上．
3．（25-26 九年级上·四川广安·期末）已知抛物线
2
4
6
y
x
x
．
(1)将
2
4
6
y
x
x
配方成
2
(
)
y
a x
h
k
的形式；
(2)写出该抛物线的开口方向和对称轴；
(3)当1
4
x
时，求y 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
2
y
x
(2)开口向上，对称轴为直线
2
x
(3)当1
4
x
时，y 的取值范围为2
11
y
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求最值，化为顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图
象与性质．
（1）利用配方法即可化为顶点式；
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（2）根据顶点式即可写出对称轴，根据
0
a
即可判断开口方向；
（3）二次函数的图象与性质求解y 的取值范围．
【详解】（1）解：
2
2
2
4
6
4
4
2
(
2)
2
y
x
x
x
x
x
（2）解：由
2
(
2)
2
y
x
，得
1
0
a
，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线
2
x
（3）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为(2,2) ，
∴当
2
x
时，y 取最小值2
将
1
x 代入
2
4
6
y
x
x
，得
11
y
将
4
x
代入
2
4
6
y
x
x
，得
6
y
∵1
4
x
，且函数在
2
x
时y 随着x 的增大而减小，在
2
x
时y 随着x 的增大而增大
∴y 的取值范围为2
11
y
．
题型02
画二次函数y=ax²+bx+c 的图象
4．（25-26 九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
自变量x 与函数y 的部分对应值如表：
x
2
1
0
1
2
3
4
y
5
0
3
4
3
0
m
(1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，m 的值为___________；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象回答：当2
2
x
时，y 的取值范围是___________．
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【答案】(1)
1, 4
，5
(2)二次函数的图象见详解
(3) 4
5
y
【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用
是解题的关键．
（1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果；
（2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可；
（3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可．
【详解】
（1）解：根据表格数据可得：顶点坐标为
1, 4
，对称轴为直线
1
x ，根据抛物线的对称性可知
5
m
．
故答案为：
1, 4
，5；
（2）解：二次函数的图象如图所示：
（3）解：根据函数图象，当2
2
x
时，y 的取值范围是4
5
y
．
故答案为：4
5
y
．
5．（25-26 九年级上·北京门头沟·期末）已知二次函数
2
y
x
bx
的图象经过点
2,0
A
．
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(1)求此二次函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系xOy 中，画出此函数的图象；
(3)当0
3
x
时，结合图象，直接写出y 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
y
x
x
(2)见解析
(3) 1
3
y
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图
象上点的坐标特征．
（1）把A 点坐标代入
2
y
x
bx
中求出b，从而得到抛物线解析式；
（2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，再利用配方法得到顶点式，从而确定顶点坐标，然后利用描点法
画出二次函数图象；
（3）结合（2）得抛物线与x 轴的交点坐标为
0,0 , 2,0 ，抛物线的顶点坐标为
1, 1
，再把
3
x
代入
2
2
y
x
x
，得
3
y
，即可作答．
【详解】（1）解：∵二次函数
2
y
x
bx
的图象经过点
2,0
A
．
∴把
2,0
A
代入
2
y
x
bx
得4
2
0
b
，
解得
2
b
，
∴抛物线解析式为
2
2
y
x
x
；
（2）解：由（1）得
2
2
y
x
x
，
当
0
y
时，
2
2
0
x
x
，
解得
1
2
0,
2
x
x
，
∴抛物线与x 轴的交点坐标为
0,0 , 2,0 ，
则
2
2
2
1
1
y
x
x
x
，
∴抛物线的顶点坐标为
1, 1
，
如图，
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（3）解：结合（2）得抛物线与x 轴的交点坐标为
0,0 , 2,0 ，抛物线的顶点坐标为
1, 1
，
依题意，把
3
x
代入
2
2
y
x
x
，得
23
2 3
9
6
3
y
，
∴当0
3
x
时，y 的取值范围为1
3
y
．
6．（25-26 九年级上·北京·期中）已知二次函数
3
1
y
x
x
．
(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)填表，并画出此函数的图象；
x
…
…
y
…
…
(3)若点
1
0,
A
y
和
2
,
B n y
都在此函数的图象上，且
1
2
y
y
，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线
2
x ，顶点坐标为
2, 1
(2)见解析
(3)
4
n
或
0
n
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟知二次
函数的相关知识是解题的关键．
（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可；
（2）先列表，然后描点，最后连线即可；
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（3）根据函数图像求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
3
1
y
x
x
2
4
3
x
x
2
2
1
x
，
∴抛物线对称轴为直线
2
x ，顶点坐标为
2, 1
；
（2）解：列表如下：
x
…
4
3
2
1
0
…
y
…
3
0
1
0
3
…
函数图像如下所示：
（3）解：由函数图像可知，当
1
2
y
y
时，
4
n
或
0
n
．
题型03
y=ax²+bx+c 图象和性质
7．（25-26 八年级下·北京·期末）二次函数
2
y
ax
bx
c
（a，b，c 为常数，
0
a
）中，x 与y 的部分对应
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值如表：
x
…
1
0
3
…
y
…
n
2
n
…
若
0
m
，且点
1
,
A m y
，
2
2,
B m
y
在该二次函数的图象上，则
1y _______
2y ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】先根据表格中
1
x 与
3
x
的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合
0
a
判断开口方向，通
过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断
1y 与
2y 的大小关系．
【详解】解：由表格可知，当
1
x 和
3
x
时，y 值相等，
因此二次函数
2
y
ax
bx
c
的对称轴直线为
1
3
1
2
x
．
因为
0
a
，
所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小．
点
1
,
A m y
到对称轴直线
1
x 的距离为
1
m
，点
2
2,
B m
y
到对称轴直线
1
x 的距离为
2 1
1
m
m
．
因为
0
m
，
所以
1
1
0
m
m
．
当0
1
m
时，
1
1
m
m
，则
1
1
1
1
2
0
m
m
m
m
m
，即
1
1
m
m
．
当
1
m 时，
1
1
m
m
，则
1
1
1
1
2
0
m
m
m
m
，即
1
1
m
m
．
因此点A 到对称轴的距离小于点B 到对称轴的距离，可得
1
2
y
y
．
8．
（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数
2
2
2
2
3
y
x
mx
m
m
的图像不经过第三、四象限，且当
1
x
时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是（
）
A．
3
2
m
B．
1
m
C．
3
1
2
m
D．
3
1
2
m
【答案】D
【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x 轴最多有一个交点，可得判别式
Δ
0
，再根据当
1
x 时y 随x 增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到m 的
取值范围．
【详解】解：
二次函数
2
2
2
2
3
y
x
mx
m
m
中，
1
0
a
，
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∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限，
抛物线与x 轴最多有一个交点，即判别式Δ
0
∴
2
2
Δ
(
2 )
4 1 (
2
3)
8
12
0
m
m
m
m
解得
3
2
m
，
又
二次函数的对称轴为直线
2
2 1
m
x
m
，且当
1
x 时，y 随x 的增大而增大，
对称轴满足
1
m
，
综上，实数m 的取值范围是
3
1
2
m
．
9．（2026·河南平顶山·三模）已知点
1
2,
A
y
，
2
1,
B
y
，
3
2,
C
y
都在抛物线
2
2
1
y
x
mx
上．若
2
1
3
y
y
y
，则m 的取值范围为（
）
A．
5
2
m
B．
3
0
2
m
C．
0
m
D．
3
2
m
【答案】B
【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的增减性进行解答即可．
【详解】解：抛物线
2
2
1
y
x
mx
的对称轴为直线
2
2 1
m
x
m
，
1
0
a
，则抛物线开口向上．
∵
1
3
y
y
，
∴点A 到对称轴的距离小于点C 到对称轴的距离，即
2
2
m
m
，两边平方，可得
2
2
4
4
4
4
m
m
m
m
，
解得
0
m
；
∵
2
1
y
y
，
∴点B 到对称轴的距离小于点A 到对称轴的距离，即
1
2
m
m
，
两边平方，可得
2
2
2
1
4
4
m
m
m
m
，
解得
3
2
m
．
综上所述，m 的取值范围是
3
0
2
m
．
10．（25-26 九年级上·浙江衢州·期末）二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的部分对应值如下表：
x
2
1
0
1
2
y
m
0
4
n
0
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则m ，n 的大小关系为m _________ n （填“ ”“”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．根据二次函数与x 轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小．
【详解】解：由表格知：二次函数与x 轴交于点
1,0
和
2,0 ，故图象对称轴为：直线
1
2
0 5
2
.
x
，
∵当1
0
x
时，4
0
y
，
∴当1
0
x
时，y 随x 的增大而减小，
∴
0
a
，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大，
∵
2
0.5
2.5
，1 0.5
0.5
，2.5
0.5
，
∴m
n
．
故答案为：．
11．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数
2
4
5
y
x
x
，当3
0
x
时，y 的取值范围为
________．
【答案】1
5
y
【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线
2
x ，距离对称轴越远函数值越大，即可
求解．
【详解】解：
2
2
4
5
2
1
y
x
x
x
，
开口向上，对称轴为直线
2
x ，距离对称轴越远函数值越大，
当
2
x 时，y 有最小值为1，
0
2
2
3
，
当
0
x
时，y 有最大值为5，
y 的取值范围为1
5
y
．
题型04
待定系数法求二次函数解析式
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12．已知抛物线的对称轴为直线
3
x
，且经过点
1,0
A
，
2, 6
B
，求抛物线的解析式．
【答案】
2
2
12
10
y
x
x
【分析】先利用抛物线对称轴求出点A 的对称点，得到抛物线与x 轴两个交点，设交点式解析式；将点B 坐
标代入求出a 的值，再展开整理为一般式．
【详解】解:
点
1,0
A
关于直线
3
x
的对称点是
5,0
C
，
设抛物线的解析式为
1
5
y
a x
x
.
把点
2, 6
B
的坐标代入解析式，得
2 1
2
5
6
a
，
解得
2
a
.
抛物线的解析式为
2
2
1
5
2
12
10
y
x
x
x
x
.
13．二次函数的图象经过
3,0 ,
0,4 ,
4,0
A
B
C
三点，求该二次函数的解析式．
【答案】
2
1
1
4
3
3
y
x
x
【分析】设二次函数一般式
2
0
y
ax
bx
c a
，将三点坐标代入构建三元一次方程组，解出, ,
a b c 后代回
解析式．
【详解】解:设该二次函数的解析式为
2
0
y
ax
bx
c a
.
将
, ,
A B C 三点坐标分别代入，得
9
3
0
4
16
4
0
a
b
c
c
a
b
c
，
解得
1
3
1
3
4
a
b
c
，
故该二次函数的解析式为
2
1
1
4
3
3
y
x
x
.
14．（2026·河南平顶山·三模）二次函数
2
y
x
bx
c
的图象经过
4,5
A
，
0, 3
B
两点．
(1)求二次函数的表达式．
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(2)将二次函数
2
y
x
bx
c
的图象沿x 轴方向平移，平移距离为
0
n n
个单位长度，当0
3
x
时，新
函数的最大值是8，求n 的值．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
(2)2 3
2
或2 3 1
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式，结合函数
图象的性质求解即可．
【详解】（1）解：代入
4,5
A
，
0, 3
B
得：
16
4
5
3
b
c
c
，
解得：
2
3
b
c
，
故表达式为
2
2
3
y
x
x
．
（2）解：∵
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
，
∴原函数顶点为
1, 4
，
当向左平移时，则新函数解析式为
2
1
4
y
x
n
，此时对称轴为直线
1
x
n
，
∵
0
n
，
∴
3
1
2
0
1
1
n
n
n
n
，
∵新函数图象开口向上，
∴
3
x
时新函数的函数值大于
0
x
时新函数的函数值，
∴当
3
x
时，函数
2
1
4
y
x
n
取得最大值8，
即
2
3 1
4
8
n
，
解得：
1
2
2 3
2
2 3
2
n
n
，
（舍去）；
∴
2 3
2
n
；
当向右平移时，则新函数解析式为
2
1
4
y
x
n
，此时对称轴为直线
1
x
n
，
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而0
3
3
2
2
，
当
3
1
2
n
，即
1
0
2
n
时，
1
0
3
1
n
n
，且新函数图象开口向上，
即
3
x
时新函数的函数值大于
0
x
时新函数的函数值，
∴当
3
x
时，函数
2
1
4
y
x
n
取得最大值8，
即
2
3 1
4
8
n
，
解得：
3
4
2
2 3
2
2 3
n
n
，
，两个值均不符合题意，舍去；
当
3
1
2
n
，即
1
2
n
时，
1
0
3
1
n
n
，且新函数图象开口向上，
即
0
x
时新函数的函数值大于
3
x
时新函数的函数值，
∴当
0
x
时，函数
2
1
4
y
x
n
取得最大值8，
即
2
0 1
4
8
n
，
解得：
5
6
2 3
1
2 3
1
n
n
，
（舍去），
综上，满足题意的n 的值为2 3
2
或2 3 1
．
15．（2026·云南昭通·模拟预测）已知二次函数
2
1
y
x
m
x
m
的图象过点
2, 1
A
．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若
2
k
x
k
，该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k 的值．
【答案】(1)
2
4
3
y
x
x
(2)
2
3
k
或
3
k
【分析】（1）把点
2, 1
A
代入函数
2
1
y
x
m
x
m
，求解即可；
（2）根据二次函数的图象及性质得到函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线
2
x
，顶点坐标是
2, 1
，根据k 与
2
k
的取值进行分类分析，根据二次函数的最大值与最小值的差为3 列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：
二次函数
2
1
y
x
m
x
m
的图象过点
2, 1
A
，
4
2
1
1
m
m
，解得
3
m
，
二次函数的解析式为
2
4
3
y
x
x
．
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（2）解：∵二次函数
2
2
4
3
2
1
y
x
x
x
，
∴该函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线
2
x
，顶点坐标是
2, 1
，
①当
2
2
k
，即
0
k
时，y 随着x 的增大而减小，
当x
k
时，
2
4
3
y
k
k
最大
，
当
2
x
k
时，
2
2
(
2)
4(
2)
3
1
y
k
k
k
最小
，
2
2
(
4
3)
(
1)
3
k
k
k
，解得
1
4
k
，
∵
0
k
∴
1
4
k
不符合题意，舍去．
②当
2
2
k
k
，即0
2
k
时，顶点的横坐标在取值范围内，
当
2
x
时，
1
y
最小
．
i）当
2
2
4
3
1
k
k
k
，即0
1
k
时，
当x
k
时，
2
4
3
y
k
k
最大
，
2
(
4
3)
( 1)
3
k
k
，解得
1
2
3
k
，
2
2
3
k
．
0
1
k
，
∴
1
2
3
k
舍去,即
2
3
k
．
ii）当
2
2
4
3
1
k
k
k
，即1
2
k
时，
当
2
x
k
时，
2
1
y
k
最大
，
2
(
1)
( 1)
3
k
，解得
1
3
k
，
2
3
k
．
1
2
k
，
∴
2
3
k
舍去,即
3
k
．
③当2
2
k
k
，即
2
k
时，y 随着x 的增大而增大，
当
2
x
k
时，
2
1
y
k
最大
，
当x
k
时，
2
4
3
y
k
k
最小
，
2
2
(
1)
(
4
3)
3
k
k
k
，解得
7
4
k
．
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2
k
，
7
4
k
不符合题意，舍去．
综上，
2
3
k
或
3
k
．
16．二次函数的图象经过
4,0
A
，
2,0
B
，
2,4
C
三点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)求函数顶点的坐标；
(3)当0
5
x
时，直接写出y 的取值范围．
【答案】(1)
2
1
4
2
y
x
x
(2)
9
1, 2
(3)
7
9
2
2
y
【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可；
（2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（3）根据二次函数的增减性求得在0
5
x
内函数的最大值与最小值，得到y 的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数经过点
4,0
A
，
2,0
B
，
∴设二次函数解析式为
4
2
y
a x
x
，
又∵二次函数的图象经过
2,4
C
，
将点
2,4
C
代入
4
2
y
a x
x
中，
得
4
2
4
2
2
a
，解得
1
2
a
，
∴
2
1
1
4
2
4
2
2
y
x
x
x
x
．
（2）解：由（1）知，
2
2
1
1
9
4
1
2
2
2
y
x
x
x
，
∴二次函数的顶点为
9
1, 2
．
（3）解：∵二次函数的二次项系数为
1
0
2
，
∴二次函数开口向下，
由（2）知，二次函数的对称轴为
1
x ，且
1
x 在0
5
x
内，
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∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为9
2 ，
∵二次函数开口向下
∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大，
∵1 0
5 1
，
∴二次函数在
5
x
处取得最小值，
将
5
x
代入
2
1
9
1
2
2
y
x
中，解得
7
2
y
，
∴0
5
x
时，
7
9
2
2
y
．
题型05
二次函数的图象与字母参数的关系
17．
（25-26 八年级下·福建福州·期末）二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，则点
,b c 所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向判断a 的符号，根据对称轴的位置判断b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点
位置判断c的符号，从而确定点
,b c 所在的象限．
【详解】解：观察函数图象可知：抛物线开口向下，
0
a
，
对称轴在y 轴左侧，即
0
2
b
x
a
，
0
a
Q
，
0
b
，
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
0
c
0
b
，
0
c
，
点
,b c 在第二象限．
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18．（25-26 八年级下·重庆·期末）如图，二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象与x 轴交于点
1,0
A
，对称
轴为直线
1
x ，则下列讨论中错误的是（
）
A．
0
abc
B．2
0
a
b
C．4
2
0
a
b
c
D．
8
0
c
a
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象，判断出a 、b 、c的关系与符号，逐项验证即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴
0
a
，
∵对称轴为直线
1
x ，
∴
1
2
b
a
，即
2
b
a
，
∴
0
b
，2
0
a
b
，故B 正确，
∵二次函数的图象与y 轴交于正半轴，
∴
0
c
，
∴
0
abc
，故A 正确
∵
2
b
a
，
∴
4
2
4
2
2
0
a
b
c
a
a
c
c
，故C 正确，
∵图象过点
1,0
，
∴
0
a
b
c
，
∴
3
c
b
a
a
，
∴
8
3
8
5
0
c
a
a
a
a
，故D 错误．
19．（2026·宁夏银川·三模）二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：
①
0
a
；②
0
c
；③
2
4
0
b
ac
；④3
0
a
b
，其中，正确的有（
）．
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A．1个
B．2 个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与y 轴交点坐标即可判断；③根据图象与x 轴的交点
的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出a
b
、的关系即可判断．
【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即
0
a
，故①符合题意；
关于②，由图可知二次函数与y 轴交于正半轴，即
0
c
，故②符合题意；
关于③，由图可知二次函数与x 轴有两个交点，即
2
4
0
b
ac
，故③符合题意；
关于④，由图可知二次函数与x 轴有两个交点分别为
1,0
，
4,0 ，则对称轴为直线
1
4
3
2
2
x
，因为
3
2
2
b
a
，所以
3
b
a
，即3
0
a
b
，故④符合题意；
综上，共有4 个符合题意．
20．（2026·山东·中考真题）如图，点P 是抛物线
2
y
ax
bx
c
（
0
a
）的顶点．下列结论正确的是（
）
A．2
0
a
b
B．
3
1
4
2
a
C．对任意实数t ，
2
4
2
at
bt
a
b
总成立
D．若点
1
(1
,
)
A
m y
，
2
(1
,
)
B
m y
在抛物线上，则
1
2
y
y
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与y 轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判
断选项．
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【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则
0
a
.
顶点P 的坐标为(2,3) ，
对称轴为直线
2
x
，即
2
2
b
a
，
4
b
a
，即4
0
a
b
，故A 错误；
设抛物线的解析式为
2
(
2)
3
y
a x
.
令
0
x
，得
4
3
y
a
，即抛物线与y 轴的交点坐标为(0,4
3)
a
.
由图象可知，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方且在
1
y 的下方，
0
4
3
1
a
，解得
3
1
4
2
a
，故B 正确；
根据图象得：当
2
x
时，
2
y
ax
bx
c
取得最大值为：
4
2
y
a
b
c
，
对任意实数t ，
2
4
2
at
bt
c
a
b
c
，
∴
2
4
2
at
bt
a
b
，故C 错误；
∵对称轴为
2
x
，
∴1
2
1
m
m
，1
2
1
m
m
，
当
0
m
时，两点到对称轴的距离相等，
1
2
y
y
，故D 错误．
21．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象与x 轴交于两点
1,0
，
1,0
x
，且
1
2
3
x
．下列结论：
①
0
abc
；
②2
0
a
b
；
③4
2
0
a
b
c
；
④若点
1
1
,
A
m y
，
2
1
,
(
0)
B
m y
m
在抛物线上，则
1
2
y
y
．
其中包含所有正确结论的是（
）
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A．①②
B．①④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【分析】根据图象开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断, ,
a b c 的符号及相关代数式的符号，利用
二次函数的对称性及增减性判断函数值的大小．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，故
0
a
；抛物线对称轴位于y 轴右侧，且
0
a
，故
0
b
；抛
物线与y 轴交于负半轴，故
0
c
；
∴
0
abc
，故①正确；
∵二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象与x 轴交于两点
1,0
，
1,0
x
，
∴对称轴
1
1
2
2
x
b
x
a
，
∵
1
2
3
x
，
∴0.5
1
2
b
a
，
∵
0
a
，
∴
2
b
a
，
∴2
0
a
b
，故②正确；
当
2
x 时，由图像可知
0
y
，即4
2
0
a
b
c
，故③错误；
∵对称轴
1
x ，抛物线开口向上，
∴离对称轴越远的点，函数值越大，
∵
1
1
,
A
m y
，
2
1
,
(
0)
B
m y
m
关于直线
1
x 对称，
∴点B 离对称轴的距离大于点A 离对称轴的距离，
∴
1
2
y
y
，故④正确；
综上，正确的结论是①②④．
题型06
一次函数与二次函数图象的综合判断
22．（23-24 九年级上·云南昆明·期中）函数y
ax
b
与
2
0
y
ax
b a
在同一平面直角坐标系中的大致图
象可能是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点
逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：A 、此选项由函数y
ax
b
图象可得
0
a
，
0
b
，由
2
0
y
ax
b a
图象可得
0
a
，
0
b
，
符合题意；
B 、此选项由函数y
ax
b
图象可得
0
a
，
0
b
，由
2
0
y
ax
b a
图象可得
0
a
，
0
b
，不符合题
意；
C 、此选项由函数y
ax
b
图象可得
0
a
，
0
b
，由
2
0
y
ax
b a
图象可得
0
a
，
0
b
，不符合题
意；
D 、此选项由函数y
ax
b
图象可得
0
a
，
0
b
，由
2
0
y
ax
b a
图象可得
0
a
，
0
b
，不符合题
意；
故选：A ．
23．（25-26 九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数
1
y
mx
与二次函数
2
y
x
m
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
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D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图
象的关系．
根据一次函数的
1
b 和二次函数的
1
a 即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y 轴正半轴，从而
排除A 和C ，分情况探讨m 的情况，即可求出答案．
【详解】解：∵二次函数为
2
y
x
m
1
0
a
．
∴二次函数的开口方向向上，
∴排除C 选项．
∵一次函数
1
y
mx
，
1
0
b
，
∵一次函数经过y 轴正半轴，
∴排除A 选项，
当
0
m
时，则
0
m
，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数
2
y
x
m
经过y 轴正半轴，
∴排除B 选项，
当
0
m
时，则
0
m
，
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数
2
y
x
m
经过y 轴负半轴，
∴D 选项符合题意．
故选：D．
24．（25-26 九年级上·山西太原·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数
1
y
ax
与二次函数
2
y
x
a
的图
象可能是（
）
23 / 50
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质，分情况讨论是解题的关键．根据一次函数和二次函数的
性质，讨论：
0
a
和
0
a
的情况．
【详解】解：当
0
a
时，直线
1
y
ax
经过y 轴正半轴点
0,1 ，图形从左到右是上升的；抛物线
2
y
x
a
0
a
开口向上，顶点在y 轴负半轴，A 选项符合题意，选项B、C、D 都不符合题意；
当
0
a
时，直线
1
y
ax
经过y 轴正半轴点
0,1 ，图形从左到右是下降的；抛物线
2
y
x
a
0
a
开口
向上，顶点在y 轴正半轴，选项A、B、C、D 都不符合题意；
综上，A 选项正确．
故选：A．
25．（25-26 九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数
2
0
y
mx
nx m
与y
mx
n
的图
象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合．根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判
断即可．
【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧，
∴m 和n 异号，
24 / 50
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当
0
m
时，则
0
n
，
对于直线y
mx
n
经过一、三、四象限，则选项B 正确，符合题意；
当
0
m
时，则
0
n
，
对于直线y
mx
n
经过一、二、四象限，则没有选项符合题意；
故选：B．
26．（25-26 九年级上·陕西西安·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数
2
y
kx
（k 为常数，且
0
k
）
和一次函数
2
y
kx
的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数及一次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数及一次函数的图像与性质是
解题的关键；因此此题可分当
0
k
和
0
k
两种情况进行分类讨论，则问题可求解．
【详解】解：当
0
k
时，则二次函数
2
y
kx
开口向上，一次函数
2
y
kx
图像经过第一、三、四象限，故
排除B、D；
当
0
k
时，则二次函数
2
y
kx
开口向下，一次函数
2
y
kx
图像经过第二、三、四象限，故排除A；C 选
项符合题意；
故选C．
题型07
二次函数的字母参数问题
27．
（2026·福建福州·模拟预测）若函数
2
y
x
ax
b
在0
1
x
的最大值是M ，最小值是m ，则M
m
（
）
A．与a有关，且与b 有关
B．与a有关，但与b 无关
C．与a 无关，且与b 无关
D．与a 无关，但与b 有关
【答案】B
【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与0
1
x
的位置关系，计算M
m
即可判断结果．
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【详解】解：对二次函数配方得，
2
2
(
)
2
4
a
a
y
x
b
，抛物线开口向上，对称轴为直线
2
a
x
，
当
0
2
a
，即
0
a
时，函数在0
1
x
，y 随着x 的增大而增大，
∴当
0
x
时，y 有最小值，
1
x 时，y 有最大值，
1
,
M
a
b m
b
，
1
M
m
a
，结果不含b ；
当
1
2
a
，即
2
a
时，函数在0
1
x
，y 随着x 的增大而减小，
当
0
x
时，y 有最大值，
1
x 时，y 有最小值，
,
1
M
b m
a
b
，
1
M
m
a
，结果不含b ；
当
1
0
2
2
a
，即1
0
a
时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在
1
x 处取得，
2
,
1
4
a
m
b
M
a
b
，
2
1
4
a
M
m
a
，结果不含b ；
当1
1
2
2
a
，即2
1
a
时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在
0
x
处取得，
2
,
4
a
m
b
M
b
，
2
4
a
M
m
，结果不含b ，
综上，所有情况的M
m
都只与a有关，不含b ，因此M
m
与a 有关，与b 无关．
28．（25-26 八年级下·福建福州·期末）抛物线
2
y
mx
bx
c
过点
,0
P
m
，
3 ,0
Q
m
，抛物线上有两点
1
2,
A m
y
，
2
3
1,
B
m
y
，使得
1
2
y
y
一定成立，则m 的取值范围为（
）
A．
3
0
2
m
B．
3
0
2
m
或
1
2
m
C．
1
2
m
D．
3
1
2
2
m
【答案】B
【分析】先根据抛物线与x 轴两交点求对称轴，再计算A、B 两点到对称轴的距离，按开口方向分类讨论，
根据抛物线性质，离对称轴越远，开口向上时函数值越大，开口向下时函数值越小，列不等式求解，取交
集得到m 的取值范围．
【详解】解：
抛物线
2
y
mx
bx
c
过点
,0
P
m
，
3 ,0
Q
m
，P，Q 是两个不同交点，
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0
m
，抛物线的对称轴为
3
2
m
m
x
m
，
1
2,
A m
y
，
2
3
1,
B
m
y
，
两点到对称轴x
m
的距离分别为
2
2
A
d
m
m
，
3
1
2
1
B
d
m
m
m
，
当
0
m
时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
1
2
y
y
恒成立，
B
A
d
d
，
即2
1
2
m
，
0
m
，
2
1
2
m
，
解得
1
2
m
，符合
0
m
，
当
0
m
时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
1
2
y
y
恒成立，
B
A
d
d
，
即2
1
2
m
，
解得2
2
1
2
m
，即
3
1
2
2
m
，
结合
0
m
，得
3
0
2
m
，
综上，m 的取值范围为
3
0
2
m
或
1
2
m
．
29．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线
2
2
2
y
x
tx
t
t ，点
1
1
,
P x y
在抛物线上，其中
1
1
2
t
x
t
．若
1y 的最小值是2
，则
1y 的最大值是______．
【答案】2
【分析】先确定出当x
t
时，
1y 的最小值为t
，进而求出t ，再判断出当
2
x
t
时，
1y 取最大值，即可求
出答案．
【详解】解：对抛物线解析式配方得：
2
2
2
2
(
)
y
x
tx
t
t
x
t
t ，
二次项系数1
0
，
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抛物线开口向上，对称轴为直线x
t
.
1
1
2
t
x
t
，
当x
t
时，
1y 取得最小值t
，
由
1y 的最小值为2
，得
2
t
，解得
2
t
，
此时
1x 的取值范围为
1
1
4
x
，对称轴为
2
x
，抛物线开口向上，
则离对称轴越远，函数值越大，
4
2
2
，1
2
1
，2
1
，
则当
1
4
x
时，
1y 取得最大值，
将
1
4
x
，
2
t
代入解析式得：
2
1
(4
2)
2
4
2
2
y
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当x
t
时，
1y 取得最小值，
从而求得
2
t
．
30．（25-26 八年级下·北京·期末）已知抛物线C：
2
2
2
y
ax
ax
a
a
（
0
a
）．
(1)直接写出抛物线C 的对称轴；
(2)若点
2,
M
M
y
和
,
N
N n y
均在抛物线C 上，且
M
N
y
y ，直接写出n 的取值范围；
(3)将抛物线C 在y 轴右侧的部分关于直线
2
y
a
a
翻折，y 轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知
点
1
2,
A a
y
和
2
,
B
a y
均在图象G 上，求
1
2
y
y
的最小值．
【答案】(1)直线
1
x
(2)
2
n
或
0
n
(3)解：
2
2
2
2
2
1
y
ax
ax
a
a
a x
a
，
则抛物线
2
2
2
y
ax
ax
a
a
的顶点坐标为
2
1,a
，
根据翻折规则可得，当
0
x
时，设原抛物线上一点
,
Q x y原，
2
2
2
y
ax
ax
a
a
原
则翻折后点的纵坐标为
2
2
y
a
a
y
翻
原，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
y
a
a
ax
ax
a
a
ax
ax
a
a
翻
，
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则图象G 的解析式为
2
2
2
2
2
0
2
0
ax
ax
a
a x
y
ax
ax
a
a x
，
∵
0
a
，
∴
2
0
a
，
0
a
，
又∵点
1
2,
A a
y
和
2
,
B
a y
均在图象G 上，
∴
2
2
3
2
1
2
2
2
y
a a
a a
a
a
a
a
a
，
2
2
3
2
2
2
3
y
a
a
a
a
a
a
a
a
a
，
∴
3
2
3
2
2
1
2
3
2
2
y
y
a
a
a
a
a
a
a
a
，
∵2
0
，开口向上，对称轴为
1
2
a
，
∴当
1
2
a
时，
1
2
y
y
最小，最小值为
2
1
1
1
2
2
2
2
2
．
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式
2
b
x
a
求解即可；
（2）先求得点M 关于对称轴的对称点，根据
0
a
可得，开口方向向下，离对称轴越近函数值越大，再根
据
M
N
y
y 确定出n 的取值范围即可；
（3）先求抛物线C 的顶点坐标，根据翻折规则，求得翻折后的图象解析式，然后根据A
B
，
的横坐标确定
出A
B
，
的位置，从而求出
1
2
y
y
，
，表示出
1
2
y
y
，利用二次函数的性质，求得最小值即可．
【详解】（1）解：根据二次函数的对称轴公式可得，
抛物线
2
2
2
y
ax
ax
a
a
的对称轴为
2
1
2
a
x
a
；
（2）解：由（1）得，对称轴为
1
x ，
则点
2,
M
M
y
关于对称轴的对称点为
0,
M
M
y
，
由
0
a
可得，抛物线开口向下，
根据二次函数的性质可得，离对称轴越远，函数值越小，
由
M
N
y
y 可得，N 到对称轴的距离大于M 点到对称轴的距离，
可得
2
n
或
0
n
；
（3）略
题型08
二次函数临界点问题
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31．（2026·河南三门峡·三模）若点
,
P m n 在二次函数
2
2
1
y
x
x
的图象上，且点P 到y 轴的距离小于2，
则n 的取值范围是（
）
A．0
9
n
B．0
9
n
C．0
9
n
D．0
9
n
【答案】A
【分析】根据点
,
P m n 在二次函数
2
2
1
y
x
x
的图象上，点P 到y 轴的距离小于2，可得：2
2
m
，
进一步可得n 的取值范围．
【详解】解：∵
2
2
2
1
1
y
x
x
x
，
∴该二次函数的图象开口向上，顶点为
1,0
．
∵点P 到y 轴的距离小于2，
∴2
2
m
．
当
2
m 时，
1
n ；
当
2
m
时，
9
n
；
当
1
m 时，
0
n
．
∴n 的取值范围是0
9
n
．
32．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数
2
2
(
0)
y
ax
ax
b a
＞
的图像经过点
2
,
1
P m n
，
2
4,
Q m
n
两
点，则m 的值可能是（
）
A．1
B．3
C．1
D．3
【答案】D
【分析】先求出二次函数的对称轴，利用开口向上的二次函数性质：点到对称轴的距离越远，函数值越大，
比较两点的函数值得到距离关系，解不等式得到m 的取值范围，即可判断选项．
【详解】解：∵二次函数
2
2
(
0)
y
ax
ax
b a
，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
2
1
2
a
x
a
，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越
大，
∵
2
,
1
P m n
，
2
4,
Q m
n
，
∴
2
2
1
1
0
P
Q
y
y
n
n
，即
P
Q
y
y
，
∴P 到对称轴的距离大于Q 到对称轴的距离，
30 / 50
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∴
1
4
1
m
m
，整理得
1
3
m
m
，
两边平方得
2
2
(
1)
(
3)
m
m
，
展开得
2
2
2
1
6
9
m
m
m
m
，
化简得8
8
m
，
解得
1
m ，
选项中只有3满足
1
m ，因此m 的值可能是3．
33．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x 的二次函数
2
6
8
0
y
ax
ax
a a
．
(1)该二次函数的对称轴为x ______．
(2)亮亮说：“若二次函数存在最值1
，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确．
(3)将二次函数的图象向右平移
0
3
m
m
个单位长度，平移后的新二次函数的图象在3
0
x
的范围内
的最大值为21
4 a ，直接写出m 的值．
【答案】(1) 3
(2)正确
(3) 1
2 或5
2
【分析】（1）直接利用对称轴的计算公式即可；
（2）首先利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，然后根据最值为1
确定a的值，由a 的符号判断是否为最
小值即可；
（3）首先确定平移后新二次函数图象对称轴的位置，然后根据二次函数图象的增减性，对,a m 的值分类讨
论即可．
【详解】（1）解：由二次函数的对称轴公式，得对称轴
6
3
2
a
x
a
．
（2）解：二次函数图象的顶点纵坐标为
2
4
8
6
4
a
a
a
a
a
．
令
1
a
，则
1
a ．
∵
0
a
，
∴该值为最小值，即亮亮的判断正确．
（3）解：1
2 或5
2 ，
理由：由（1）、（2）可知原二次函数图象的顶点坐标为
3, a
，
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平移后新二次函数的表达式为
2
3
y
a x
m
a
，顶点坐标为
3,
m
a
，
①若
0
a
，
∵0
3
m
，
∴新二次函数图象的对称轴位于直线
3
x
和y 轴之间，
当
3
0
2
m
时，
0
x
时取得最大值21
4 a ．
∴
2
21
3
4
a
m
a
a
，
解得
1
2
m
或11
2 （不合题意，舍去）；
当3
3
2
m
时，
3
x
时取得最大值21
4 a ，
∴
2
21
4
am
a
a
，
解得
5
2
m
或
5
2
（不合题意，舍去）．
②若
0
a
，
则新二次函数在3
0
x
的范围内的最大值始终为a
，
根据题意，得
21
4
a
a
，
解得
0
a
，与题设
0
a
矛盾，故此种情况m 的值不存在．
综上可知，m 的值为1
2 或5
2 ．
31．（2026·河南三门峡·三模）若点
,
P m n 在二次函数
2
2
1
y
x
x
的图象上，且点P 到y 轴的距离小于2，
则n 的取值范围是（
）
A．0
9
n
B．0
9
n
C．0
9
n
D．0
9
n
【答案】A
【分析】根据点
,
P m n 在二次函数
2
2
1
y
x
x
的图象上，点P 到y 轴的距离小于2 ，可得：2
2
m
，
进一步可得n 的取值范围．
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【详解】解：∵
2
2
2
1
1
y
x
x
x
，
∴该二次函数的图象开口向上，顶点为
1,0
．
∵点P 到y 轴的距离小于2，
∴2
2
m
．
当
2
m 时，
1
n ；
当
2
m
时，
9
n
；
当
1
m 时，
0
n
．
∴n 的取值范围是0
9
n
．
32．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数
2
2
(
0)
y
ax
ax
b a
＞
的图像经过点
2
,
1
P m n
，
2
4,
Q m
n
两
点，则m 的值可能是（
）
A．1
B．3
C．1
D．3
【答案】D
【分析】先求出二次函数的对称轴，利用开口向上的二次函数性质：点到对称轴的距离越远，函数值越大，
比较两点的函数值得到距离关系，解不等式得到m 的取值范围，即可判断选项．
【详解】解：∵二次函数
2
2
(
0)
y
ax
ax
b a
，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
2
1
2
a
x
a
，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越
大，
∵
2
,
1
P m n
，
2
4,
Q m
n
，
∴
2
2
1
1
0
P
Q
y
y
n
n
，即
P
Q
y
y
，
∴P 到对称轴的距离大于Q 到对称轴的距离，
∴
1
4
1
m
m
，整理得
1
3
m
m
，
两边平方得
2
2
(
1)
(
3)
m
m
，
展开得
2
2
2
1
6
9
m
m
m
m
，
化简得8
8
m ，
解得
1
m ，
选项中只有3 满足
1
m ，因此m 的值可能是3．
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33．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x 的二次函数
2
6
8
0
y
ax
ax
a a
．
(1)该二次函数的对称轴为x ______．
(2)亮亮说：“若二次函数存在最值1
，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确．
(3)将二次函数的图象向右平移
0
3
m
m
个单位长度，平移后的新二次函数的图象在3
0
x
的范围内
的最大值为21
4 a ，直接写出m 的值．
【答案】(1) 3
(2)正确
(3) 1
2 或5
2
【分析】（1）直接利用对称轴的计算公式即可；
（2）首先利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，然后根据最值为1
确定a 的值，由a 的符号判断是否为最
小值即可；
（3）首先确定平移后新二次函数图象对称轴的位置，然后根据二次函数图象的增减性，对,a m的值分类讨
论即可．
【详解】（1）解：由二次函数的对称轴公式，得对称轴
6
3
2
a
x
a
．
（2）解：二次函数图象的顶点纵坐标为
2
4
8
6
4
a
a
a
a
a
．
令
1
a
，则
1
a ．
∵
0
a
，
∴该值为最小值，即亮亮的判断正确．
（3）解：1
2 或5
2 ，
理由：由（1）、（2）可知原二次函数图象的顶点坐标为
3, a
，
平移后新二次函数的表达式为
2
3
y
a x
m
a
，顶点坐标为
3,
m
a
，
①若
0
a
，
∵0
3
m
，
∴新二次函数图象的对称轴位于直线
3
x
和y 轴之间，
当
3
0
2
m
时，
0
x
时取得最大值21
4 a ．
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∴
2
21
3
4
a
m
a
a
，
解得
1
2
m
或11
2 （不合题意，舍去）；
当3
3
2
m
时，
3
x
时取得最大值21
4 a ，
∴
2
21
4
am
a
a
，
解得
5
2
m
或
5
2
（不合题意，舍去）．
②若
0
a
，
则新二次函数在3
0
x
的范围内的最大值始终为a
，
根据题意，得
21
4
a
a
，
解得
0
a
，与题设
0
a
矛盾，故此种情况m 的值不存在．
综上可知，m 的值为1
2 或5
2 ．
40．当
1
x 时，
2
4
2
3
y
x
x
的函数值为（
）
A．1
B．0
C．1
D．3
【答案】A
【分析】将
1
x 代入式子中相应x 的位置即可求出函数值．
【详解】将
1
x 代入
2
4
2
3
y
x
x
得
2
4 ( 1)
2 ( 1)
3
4 1 2
3
4
5
1
y
．
41．（25-26 九年级上·山东·期末）已知关于x 的二次函数
2
8
16
3
0
y
ax
ax
a
a
，在
8
n
x
的取值
范围内，若0
4
n
，则（
）
A．函数有最大值16
3
a
B．函数有最大值3
C．函数没有最小值
D．函数没有最大值
【答案】B
【分析】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．先求得抛物线的对
称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
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【详解】解：抛物线的对称轴为直线
8
4
2
a
x
a
，
∵
0
a
，开口向下，在
8
n
x
的取值范围内，且0
4
n
，
∴当
4
x
时，函数有最大值，最大值为
16
32
16
3
3
y
a
a
a
，
当
8
x
时，函数有最小值，最小值为
64
64
16
3
16
3
y
a
a
a
a
，
观察四个选项，选项B 符合题意，
故选：B．
42．（25-26 八年级下·福建福州·期末）已知点
2,
A
c ，
,
B b n ，
1,
D
d 都在二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象上，则下列结论正确的是（
）
A．a d
c
B．
0
a
b
C．
0
d
n
D．
0
n
c
【答案】D
【分析】先将点A 代入二次函数解析式，得到a与b 的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判
断选项即可．
【详解】
点
2,
A
c 在二次函数
2
y
ax
bx
c
上，
将
2,
x
y
c
代入解析式得：
2
2
2
c
a
b
c
，
化简得4
2
0
a
b
，
即
2
b
a
，
对选项A：将
1,
D
d 代入解析式得d
a
b
c
，
把
2
b
a
代入得：
2
d
a
a
c
c
a
，
移项得a
d
c
，故A 错误；
对选项B：
2
3
a
b
a
a
a
，
0
a
，
3
0
a
，即
0
a
b
，故B 错误；
对选项C：二次函数对称轴为
2
1
2
2
b
a
x
a
a
，
0
a
，开口向上，
1
x
时y 取最小值，即d 是函数最小值，
d
n
，即
0
d
n
，故C 错误；
对选项D：
2 ,
0
b
a a
，
0
b
，二次函数在
1
x 时，y 随x 增大而减小，
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0
1
b
，当
0
x
时，y
c
，
x
b
时的y
n
大于
0
x
时的y
c
，
即n
c
，
得
0
n
c
，故D 正确．
43．
（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数
2
1
y
x
bx
b
的图象经过点
1,
A
n
和点
3,
B m
n
，
当
1
2
x
时函数取得最小值，则m 的值为_______
【答案】5
【分析】根据点A 和点B 的纵坐标相同求出对称轴为直线
4
2
m
x
，根据函数图象开口向上时，在对称轴
处取得最小值可确定对称轴为直线
1
2
x
，据此建立方程求解即可．
【详解】解：∵二次函数
2
1
y
x
bx
b
图象经过点
1,
A
n
和点
3,
B m
n
，
∴二次函数的对称轴为直线
1
3
4
2
2
m
m
x
，
∵在
2
1
y
x
bx
b
中，1
0
，
∴该二次函数的图象开口向上，
∴在对称轴处函数有最小值，
又∵当
1
2
x
时函数取得最小值，
∴该函数的对称轴为直线
1
2
x
，
∴
4
1
2
2
m
，
∴
5
m
．
44．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于x 的二次函数
2
2
2
1
y
x
mx
m
的图像为抛物线C ，直线y
a
与抛物线C 交于A ，B 两点，过抛物线C 的顶点作x 轴的平行线l ，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足为M ，N ．若
四边形ABNM 为正方形，则a _________．
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【答案】5
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出
1,
2
a
B m
a
，然后代入抛物线
的表达式解方程即可．
【详解】解：
2
2
2
2
1
1
y
x
mx
m
x
m
，
∴顶点为
,1
m
，
∵四边形ABNM 为正方形，过抛物线C 的顶点作x 轴的平行线l ，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足为M ，N ，
∴
1
AB
NB
a
，
,
A B 关于抛物线的对称轴对称，
∴
1,
2
a
B m
a
，
将点
1,
2
a
B m
a
代入
2
1
y
x
m
，则
2
1
1
2
a
m
m
a
，
整理得，
2
6
5
0
a
a
，
解得
1
5
a
，
2
1
a （舍），
∴
5
a
．
45．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数
2
3
4
4
y
x
ax
，其中a为常数．
(1)若
3
2
a
，求此函数图象的顶点坐标；
(2)当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小；当8
12
x
时，y 随x 的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】(1)
1,1
(2)6
12
a
【分析】（1）将
3
2
a
代入二次函数
2
3
4
4
y
x
ax
中，得到
2
3
1
1
y
x
，即可得到函数图象的顶点坐
标为
1,1 ；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线
2
3
a
x
，根据当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小；当8
12
x
时，y 随
x 的增大而增大，得到
2
4
8
3 a
，即可求得a的取值范围．
【详解】（1）解：∵
3
2
a
，
∴二次函数
2
2
2
2
3
3
4
4
3
4
4
3
6
4
3
1
1
2
y
x
ax
x
x
x
x
x
，
∴函数图象的顶点坐标为
1,1 ；
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（2）解：∵二次函数为
2
3
4
4
y
x
ax
，
∴对称轴为直线
4
2
2 3
3
a
a
x
，
∵当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小，
∴2
4
3 a
，解得
6
a
；
∵当8
12
x
时，y 随x 的增大而增大，
∴2
8
3 a
，解得
12
a
，
∴a的取值范围是6
12
a
．
46．（25-26 八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数
2
y
x
m
n
的顶点
,
P m n 在另一
条抛物线
2
2
y
x
x
上运动．该二次函数图像与y 轴交于点A．过点P 作PB
y
轴于点B．
(1)当
1
m 时，求点A 和点B 的坐标，并求PAB 的面积；
(2)当
1
m 时，求点A 的纵坐标
A
y 的最小值．
【答案】(1)
0,3
A
，
0,2
B
，PAB 的面积为1
2
(2)3
【分析】（1）当
1
m ，得到点P 的横坐标，根据点P 在抛物线
2
2
y
x
x
上，求出点P 的坐标，进一步
得到点B 的坐标；根据点A 在抛物线
2
y
x
m
n
上且在y 轴上，即
0
x
，即可求出点A 的坐标；进而可
求出PAB 的面积；
（2）根据点A 在抛物线
2
y
x
m
n
上且在y 轴上，即
0
x
，则
2
2
0
A
y
m
n
m
n
；根据点
,
P m n
抛物线
2
2
y
x
x
上，则
2
2
n
m
m
，等量代换，得到
2
2
2
A
y
m
m
，求出最值，即可解答．
【详解】（1）解：∵
1
m ，
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∴
1,
P
n ，
∵点P 在抛物线
2
2
y
x
x
上，
∴
21
1
2
2
n
∴
1,2
P
，
∵过点P 作PB
y
轴于点B
∴
0,2
B
；
∵
1,2
P
在抛物线
2
y
x
m
n
；
∴
2
1
2
y
x
；
∵二次函数图像与y 轴交于点A ，
∴
2
0 1
2
3
y
，
∴
0,3
A
；
∴
1
AB ，
1
PB ，
∴PAB 的面积为1
1
2
2
AB BP
．
（2）解：∵点A 在抛物线
2
y
x
m
n
上且在y 轴上，
∴
2
2
0
A
y
m
n
m
n
；
∵点
,
P m n 在抛物线
2
2
y
x
x
上，
∴
2
2
n
m
m
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
A
y
m
n
m
m
m
m
m
，
得到关于m 的二次函数，其中
2
0
a
开口向上，对称轴为：
1
1
0
2
2
2
4
b
m
a
，
当
1
m 时，
A
y 随m 的增大而增大，
∴当
1
m 时，
A
y 有最小值，最小值为：
2 1 2
3
A
y
．
47．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的对称轴
为直线x
t
，且经过点
0, 1
A
．
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(1)当
1
a ，
2
t
时
①直接写出这个二次函数的解析式为；
②在平面直角坐标系xOy 中画出抛物线；
③当0
3
x
时，直接写出y 的取值范围．
(2)点
0,
A x m ，
2,
B
n 是抛物线上两点，当
1
t 时，对于
0
2
t
x
t
，总有m
n
，求t 的取值范围．
【答案】(1)①
2
4
1
y
x
x
；②图象如图所示：
③5
1
y
(2)1
4
t
【分析】（1）①根据题意得出
4
b ，
1
c
，即可确定函数解析式；
②列表，描点，画出图象即可；
③根据题意及函数图象，求出相应临界值即可得出结果；
（2）根据题意得出
0
2
t
x
t
需在点B 及其对称点的外侧，得出相应不等式求解即可．
【详解】（1）解：①当
1
a ，
2
t
时，对称轴
2
x
，
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∴
2
2 1
b
，
解得
4
b ；
∵过点
0, 1
A
，
∴
1
c
，
∴二次函数解析式为
2
4
1
y
x
x
；
②列表如下：
x
0
1
2
3
4
y
1
4
5
4
1
画图略；
③当0
3
x
时，当
2
x
时y 取最小值5
，
0
x
时
1
y
，
3
x
时
4
y
，
故y 的取值范围为5
1
y
；
（2）解：二次函数开口向上，对称轴为x
t
，
1
t ，点
2,
B
n 关于对称轴的对称点为
2
2,
t
n
．
要使
0
2
t
x
t
时总有m
n
，
∴
0
2
t
x
t
需在点B 及其对称点的外侧，
即
2
2
t
，
解得
4
t
，
结合
1
t ，
t
的取值范围为1
4
t
．
48．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，一光点M 从原点O 出发，其路径为抛物线L 的一部分，在点
2,8
Q
处达到最高，并落在x 轴上的点P 处，并在点P 处向右侧弹起，路径为抛物线
2
:
G y
ax
bx
c
的一部分，
其中抛物线G 与抛物线L 的开口方向和形状相同，线段AB 的端点
8,6
A
，
7
5, 2
B
．
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(1)直接写出点P 的坐标，并求出抛物线L 的解析式；
(2)若抛物线G 经过点
8,6
A
，求抛物线G 的函数解析式；
(3)将抛物线L 向右平移
0
k k
个单位长度使它与线段AB 有交点，直接写出k 的取值范围．
【答案】(1)
4,0
P
，
2
2
8
y
x
x
(2)
2
51
2
70
2
y
x
x
(3)1.5
7
k
【分析】（1）先由题意可知，抛物线L 的顶点为
2,8
Q
，且经过原点
0,0
O
，根据抛物线的对称性，求出
点P 的坐标．再设抛物线L 的解析式为：
2
2
8
y
a x
，将
0,0
O
代入，求出a 的值，即可求出抛物线
L 的解析式；
（2）由“抛物线G 与抛物线L 的开口方向和形状相同”，可知
2
a ，由此可得抛物线G 的解析式为：
2
2
y
x
bx
c
，根据抛物线G 经过点
4,0
P
和点
8,6
A
，运用待定系数法，将点
4,0
P
和点
8,6
A
代入
抛物线G 的解析式中，求出b 和c 的值，从而求出抛物线G 的解析式；
（3）由抛物线L 的解析式，先写出平移后的解析式，再结合题意，将点A 坐标与点B 坐标分别代入平移后
解析式中，求出k 的值，最后结合函数图象分析出k 的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线L 的顶点为
2,8
Q
，且经过原点
0,0
O
，根据抛物线的对称性，点
O 与点P 关于对称轴
2
x
对称，
设
,0
P
P x
，
则
0
2
2
Px
，
解得：
4
Px
，
∴点P 的坐标为
4,0 ．
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设抛物线L 的解析式为：
2
2
8
y
a x
，将
0,0
O
代入，
得：
2
0
2
8
0
a
，
解得：
2
a ，
∴抛物线L 的解析式为：
2
2
2
8
y
x
，
即
2
2
8
y
x
x
．
（2）解：∵抛物线G 与抛物线L 的开口方向和形状相同，
∴抛物线G 的二次项系数与抛物线L 的二次项系数相同，
即
2
a ，
∴抛物线G 的解析式为：
2
2
y
x
bx
c
，
∵抛物线G 经过点
4,0
P
和点
8,6
A
，
∴将点
4,0
P
和点
8,6
A
代入抛物线G 的解析式中，
得：
2
2
2 4
4
0
2 8
8
6
b
c
b
c
，
解得：
51
2
70
b
c
，
∴抛物线G 的解析式为：
2
51
2
70
2
y
x
x
．
（3）解：∵抛物线L 的解析式为：
2
2
2
8
y
x
，
∴将其向右平移k 个单位后，解析式为：
2
2
2
8
y
x
k
，
∵
8,6
A
，
7
5, 2
B
，
∴当平移后的抛物线经过点A 时，
可得：
2
6
2 8
2
8
k
，
解得：
5
k
或
7
k
．
同理，当平移后的抛物线经过点B 时，
可得：
2
7
2 5
2
8
2
k
，
解得：
4.5
k
或
1.5
k
．
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结合图象分析，要使平移后的抛物线与线段AB 有交点，
则k 的范围为：1.5
7
k
．
49．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点
0,4 ,
1,0 ,
5,0
A
B
C
，其对称轴与x 轴相交于点M．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)求ABM 的面积．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
2
4
16
3
5
5
y
x
，
3
x
(2)4
(3)存在，
8
3, 5
P
【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为
1
5
y
a x
x
，再将点
0,4
A
代入求出a的值，即可得
抛物线的解析式，然后抛物线的解析式写成顶点式即可得对称轴；
（2）先由已知得
3,0
M
，进而可得BM 、OA 的值，再根据
1
2
ABM
S
BM OA
V
计算即可；
（3）先求出点A 关于对称轴的对称点A的坐标为
6,4 ，连接BA交对称轴于点P ，连接AP ，此时PAB 的
周长最小，由待定系数法求出直线BA的解析式，再根据点P 的横坐标为3，可求其纵坐标．
【详解】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为
1
5
y
a x
x
，
把点
0,4
A
代入上式，得
4
5
a
，
2
4
4
16
1
5
(
3)
5
5
5
y
x
x
x
，
∴抛物线的对称轴是直线
3
x
；
（2）解：∵抛物线的对称轴与x 轴相交于点M，
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∴
3,0
M
，
∵
0,4 ,
1,0
A
B
，
∴
2,
4
BM
OA
，
∴
1
1
2
4
4
2
2
ABM
S
BM OA
V
；
（3）解：点P 的坐标为
8
3, 5
．理由如下：
∵点
0,4
A
，抛物线的对称轴是直线
3
x
，
∴点A 关于对称轴的对称点A的坐标为
6,4 ，
如图，连接BA交对称轴于点P ，连接AP ，此时PAB 的周长最小，
设直线BA的解析式为
0
y
kx
b k
．
把
6,4 ,
1,0
A
B
代入，
得
4
6
0
k
b
k
b
，
解得
4
5
4
5
k
b
，
4
4
5
5
y
x
，
∵点P 的横坐标为3，
4
4
8
3
5
5
5
y
，
8
3, 5
P
．
小学
初中
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50．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
的部分图象与x 轴交于点
1,0
A
，与y 轴的
交点C 位于点
0, 2
和点
0, 3
之间，顶点为点P ，对称轴为直线
2
x
．下列说法：①
0
abc
；②4
0
a
b
；
③
2
1
3
a
；④设抛物线与x 轴的另一交点为B ，当
90
CPB
时，
2
2
a
．其中正确的是（
）
A．②③④
B．②③
C．②④
D．①③④
【答案】A
【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与y 轴的交点分别判断a、b 、c的正负，进而判断abc 的正
负；②用对称轴公式
2
0
2
b
x
a
变形推导等式；③把
4
b
a
、
1,0
A
代入解析式得
3
c
a
，结合c的
范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得B 点坐标，据
3
c
a
得C 点坐标，将
2
x
，
3
c
a
，
4
b
a
代入
2
y
ax
bx
c
得出点P 的坐标，根据勾股定理列方程求出a．
【详解】解：
二次函数图象开口向下，
0
a
，
对称轴为
2
0
2
b
x
a
，
0
b
，
二次函数的图象与y 轴的交点C 位于
0, 2
和
0, 3
之间，
0
c
，
0
abc
，①错；
对称轴为
2
2
b
x
a
，
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4
b
a
，
4
0
a
b
，②正确；
二次函数的图象与x 轴交于点
1,0
A
，
0
a
b
c
，
4
b
a
，
4
0
a
a
c
，
3
c
a
，
二次函数图象与y 轴的交点C 位于
0, 2
和
0, 3
之间，
可得3
3
2
c
a
，
2
1
3
a
，③正确；
二次函数的图象与x 轴交于点
1,0
A
，对称轴为
2
x
，
点B 的坐标为
3,0 ，
3
c
a
，
点C 的坐标为
0,3a ，
当
2
x
，可得
4
2
y
a
b
c
，
将
3
c
a
，
4
b
a
代入，可得y
a
，
点P 的坐标为
2, a
，
2
2
4
16
PC
a
，
2
2
1
PB
a
，
2
2
9
9
BC
a
，
90
CPB
，
2
2
2
PC
PB
BC
，
可得
2
2
2
4 16
1
9
9
a
a
a
，
解得
2
2
a
或
2
2
a
，
0
a
，
2
2
a
，④正确．
综上，正确的说法为②③④．
51．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数
2
2
3
y
x
x
，当
2
a
x
a
时，y 的最小值为t ，则下列t
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与a 的函数关系图象正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据
2
a
x
a
与对称轴的位置关系分类讨论，求出t 关
于a 的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象．
【详解】解：
2
2
2
3
(
1)
2
y
x
x
x
，
抛物线开口向上，对称轴为直线
1
x ，顶点坐标为(1,2) ，
当
2
a
x
a
时，y 的最小值为t ，
分三种情况讨论：
①当
2
a
x
a
在对称轴左侧，即
2
1
a
，
解得
1
a
时，y 随x 的增大而减小，
当
2
x
a
时，y 取得最小值
2
2
(
2 1)
2
(
1)
2
t
a
a
；
②当
2
a
x
a
包含对称轴，即
1
2
a
a
，
解得1
1
a
时，y 的最小值为顶点的纵坐标，
2
t
；
③当
2
a
x
a
在对称轴右侧，即
1
a 时，y 随x 的增大而增大，
当x
a
时，y 取得最小值
2
(
1)
2
t
a
，
综上所述，t 与a的函数关系为：t ൌ
ሺa ͳሻʹ ʹ
ሺa ൏−ͳሻ
ʹ
ሺ−ͳ a ͳሻ
ሺa −ͳሻʹ ʹ
ሺa ͳሻ
，
观察图象可知，当1
1
a
时，图象为平行于a 轴的线段；
当
1
a 或
1
a
时，图象为开口向上的抛物线的一部分，故A 符合题意．
52．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
与x 轴交于点
1,0
A
，顶点坐标
1,n ，与y
轴的交点在
0, 2
，
0, 3
之间（包含端点），下列结论：①3
0
a
b
；②2
1
3
a
；③对于任意实数m，
a
b
m am
b
总成立；④关于x 的方程
2
1
ax
bx
c
n
有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数
为（
）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点A 坐标可得
2 ,
3
b
a c
a
，利用c的范围求a 的
范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，
0
a
，对称轴为直线
1
2
b
x
a
，
∴
2
b
a
，
∴3
3
2
0
a
b
a
a
a
，
故①错误；
∵抛物线过点
1,0
A
，
∴
0
a
b
c
，即
2
0
a
a
c
，
∴
3
c
a
，
∵3
2
c
，
∴3
3
2
a
，
∴2
1
3
a
，
故②正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
1
x ，
∴当
1
x 时，y 有最小值a
b
c
，
∴对于任意实数m ，都有
2
am
bm
c
a
b
c
，
∴
2
am
bm
a
b
，即
a
b
m am
b
，
故③正确；
抛物线顶点坐标为
1,n
，且开口向上，
∴y 的最小值为n ，
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∴直线
1
y
n
与抛物线
2
y
ax
bx
c
没有交点，
∴关于x 的方程
2
1
ax
bx
c
n
没有实数根，
故④错误．
综上所述，正确的结论有②，共2 个．
