文档内容
第 09 讲 二次函数 y=ax ²＋bx＋c 的图象和性质 （7 个知识
点+7 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|
越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴
在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交
点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
知识点2．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ， ）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣ 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足
函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x ，0），（x ，0），
1 2
则其对称轴为x＝ ．
知识点3．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种
方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只
考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
知识点4．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增
大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝ 时，y＝ ．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增
大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝ 时，y＝ ．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最
值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的
函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
知识点5．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k
（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣
1
x ）（a，b，c是常数，a≠0）；
2
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数
法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来
求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
知识点6．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析
式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，
该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直
1 2
接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
知识点7．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关
系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图
象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关
键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的
知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建
立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函
数的取值范围要使实际问题有意义．
题型强化
题型一．二次函数图象与系数的关系
1．（2024•兴化市二模）已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是 ．
【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线 ，则当 时， 的值
随 值的增大而增大，由于 时， 的值随 值的增大而增大，于是得到 ．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线 ，
因为 ，
所以抛物线开口向下，
所以当 时， 的值随 值的增大而增大，
而 时， 的值随 值的增大而增大，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不
等式是解题的关键．
2．（2024•益阳模拟）如图，抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于 点，
，则下列各式成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据 ，得出 ，再求出 点坐标，即可得到点 的坐标，
代入函数解析式，即可判断．【解答】解： ，
，
，
，
， ，
代入函数解析式中，得： ，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据 ，得出 ，
是解题的关键．
3．（2021秋•丰泽区校级期末）设二次函数 ，其中 是常数．
（1）用含 的代数式表示函数的对称轴；
（2）当 时， 随 的增大而增大，求 的取值范围．
【分析】（1）求得抛物线与 轴的交点，进而即可求出抛物线的对称轴；
（2）根据当 时 随 的增大而增大可得 ，再结合对称轴列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1） ，
函数图象与 轴的交点为 ， ，
抛物线的对称轴为 ；
（2） 时， 随 的增大而增大，，
解得 ，
的范围为 ．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是掌握二次函数的性质，牢记
抛物线的对称轴公式和增减性．
题型二．二次函数图象上点的坐标特征
4．（2024•西乡塘区校级开学）已知 ， ， 是二次函数
的图象上的三个点，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【分析】根据所给函数解析式，得出抛物线的对称轴及开口方向，再根据 ， ， 三点
离对称轴的远近即可解决问题．
【解答】解：因为二次函数解析式为 ，
所以抛物线的对称轴为直线 ，且开口向下，
则抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小．
因为 ， ， ，且 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解
题的关键．
5．（2024•滨江区校级三模）若点 在二次函数 的图象上，且点 到
轴的距离小于2，则 的取值范围是 ．【分析】由题意可知 ，根据 的范围即可确定 的范围．
【解答】解： ，
二次函数 的图象开口向上，顶点为 ，对称轴是直线 ，
到 轴的距离小于2，
，
而 ，
当 ， ，
当 时， ，
的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
6．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系 中，点 ， ， ， 在
抛物线 上，其中 ， ．
（1）当 ， 时，求 的值；
（2）直线 经过点 ， ，若对于 ， ，都有 ，求
的取值范围．
【分析】（1）求得对称轴，利用抛物线的对称性即可求得 的值；
（2）由题意可知当 ， 时， ，据此得出 ，即可
求得的取值范围．
【解答】解：（1） ，
，抛物线的对称轴为直线 ，
， ，
点 ， ， ， 关于直线 对称，
的值为3；
（2） 直线 经过点 ， ，若对于 ， ，都有 ，
，
，
，
解得 ．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一次函数的性质，
一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性以及一次函数的增减性是解题
的关键．
题型三．二次函数图象与几何变换
7．（2024•广西模拟）将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单
位长度，得到的抛物线为
A． B． C． D．
【分析】直接根据平移规律作答即可．
【解答】解：将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后
所得抛物线解析式为 ，即 ；
故选： ．【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下
减．并用规律求函数解析式．
8．（2024春•北碚区校级期中）将抛物线 先向右平移6个单位长度，再向下平移
8个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 ．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线 先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，平
移后的抛物线的解析式为： ；
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题
的关键．
9．（2024•烈山区三模）在平面直角坐标系 中，已知直线 与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ，点 在线段 上，以点 为顶点的抛物线 经过点 ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）求 ， 的值；
（3）平移抛物线 至 ，点 ， 分别平移至点 ， ，连接 ，且 轴，如果
点 在 轴上，且新抛物线过点 ，求抛物线 的函数解析式．【分析】（1）令 ， 代入解析式求解即可得到答案；
（2）设出点 的坐标，代入解析式，结合过点 列式求解即可得到答案；
（3）根据题意，设点 ，点 ，根据平移的性质可得点 ，点 向下平移的距离相同，
即列式求得 ， ，然后得到抛物线 解析式，再将 坐标代入求解即可得到答案．
【解答】解：（1）当 时， ，
当 时， ，解得： ，
， ；
（2）设 ，
点 为抛物线 的顶点，
抛物线 的顶点式为： ，
抛物线过点 ，
，
解得： ，
，， ；
（3） 轴，点 在 轴上，
设 ， ，
点 ， 分别平移至点 ， ，
点 ， 向下平移的距离相同，
，
解得： ，
由（2）得，
，解得： ，
抛物线 的函数解析式为： ，
抛物线过点 ，
，解得： ，
新抛物线的解析式为： ， ．
【点评】本题考查一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，平移的性质，二次函
数的图象和性质，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
题型四．二次函数的最值
10．（2023秋•红桥区期末）二次函数 的最小值是 1 ．
【分析】将抛物线解析式转换成顶点式，可求得答案．
【解答】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
当 时， 有最小值1；
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
11．（2024•朝阳区校级开学）如果二次函数 的最小值为0，那么 的值等于
A．2 B．4 C． D．8
【分析】仔细观察二次函数的解析式，将其化为顶点式，可得到二次函数的最小值为
；根据已知条件可得 ，据此可求出 的值，进而解答．
【解答】解：函数解析式可转化为 ，
根据该图象开口向上，可知函数的最小值是 ，
又由已知条件可知函数的最小值是0，可得：
，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的最值，关键是掌握二次函数最值的求法．
12．（2024•越秀区校级二模）已知 ．
（1）化简 ．
（2）若 为二次函数 的最小值，求此时的 值．
【分析】（1）利用分式的混合运算的法则进行运算后即可；
（2）确定 的值后代入化简后的式子求得 值即可．
【解答】解：（1）
；
（2） ，
所以当 是有最小值 ，所以原式 ．
【点评】本题考查了二次函数的最值及分式化简求值的知识，解题的关键是正确的运算，
难度不大．
题型五．待定系数法求二次函数解析式
13．（2024•津南区校级模拟）抛物线 的顶点在 轴上， 则 的值为 1 6
．
【分析】利用顶点公式 ， 进行解答即可 ．
【解答】解： ， ，顶点在 轴上
顶点纵坐标为 0 ，即
解得 ．
【点评】主要考查了抛物线的顶点坐标公式 ． 此公式要掌握可使计算简便 ．
14．（2024•姜堰区二模）二次函数 ， ， 为常数）图象开口向下，
当 时， ；当 时， ．则 的值可能为
A．2 B．3 C． D．
【分析】根据图象开口向下，得出 ，再将 ， ； ， 代入函数解析
式，得出可能的 的值．
【解答】解： 图象开口向下，
，
将 ， ； ， 代入，
得： ，，
，
，
可能的值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，通过开口向下和当 时， ；当 时，
，得出 的取值范围，也可以将选项中的答案代入，排除错误选项．
15．（2024•益阳模拟）已知二次函数 ．函数值 和自变量 的部分
对应取值如下表所示：
0 1 2 3
2 2
（1）若 ，求二次函数的表达式；
（2）当 时， 有最大值7，求 的值；
（3）若 ，求 的值．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式；
（2）根据点距离对称轴的远近，判断出当 时，取得最大值7，从而求 的值，要注意
的分类讨论；
（3）将 的取值范围进行分类讨论，去掉绝对值得出 的值．
【解答】解：（1）将 ， ； ， ； ， 代入 ，得： ， ， ，
；
（2）设 ，
， ； ， ，
所以对称轴为直线 ，
当 时， ， ，
，
，
当 时， ；
当 时， ， ，
，
；
综上所述， 或7；
（3）设 ，
， ，
当 时， ，
，
（舍去）；
当 时， ，，
；
当 时， ，
，
；
综上所述， 或 ．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，函数的最值问题，掌握对称点式是解题的关键．
题型六．二次函数的三种形式
16．（2022秋•宽城县期末）将二次函数 化为 的形式，结果为
A． B． C． D．
【分析】把 进行配方得到 ， ．
【解答】解：
．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式 、 、 为常数，
；顶点式 ，顶点坐标为 ；交点式 ， 、 为
抛物线与 轴交点的横坐标．
17．（2023秋•剑阁县期末）若把二次函数 化为 的形式，其中
， 为常数，则 ．【分析】先由二次函数转化成顶点式，即得到 ， 的值，从而求得．
【解答】解：把二次函数 化为 的形式，
则 ，
所以 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次函数的顶点式，从中得到 ， 的值从而解得，比较简单．
18．（2023秋•青铜峡市期末）已知二次函数 ．
（1）用配方法将其化为 的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系 中，画出它的图象．
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
【解答】解：（1）
；
（2） ，
顶点坐标为 ，对称轴方程为 ．
函数二次函数 的开口向上，顶点坐标为 ，与 轴的交点为 ，，
其图象为：
【点评】本题考查了二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解答
此题的关键．
题型七．二次函数综合题
19．（2024•田阳区二模）如图，抛物线 与直线 相交于点 、 ， 是
轴上一点，若 最小，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【分析】把直线 代入抛物线解析式得到 ， 点的坐标，根据两点之间线段最短，作
点 关于 轴的对称点 ，连接 ，则与 轴的交点即为点 的坐标．
【解答】解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴的交点即为点 ．
当 时代入到抛物线解析式得：
，解得 或 ．
则由图可知点 ，点 ，
．
设直线 的解析式为： ．
代入 ， 求得： ，
则该直线与 轴的交点为：当 时， ．
点 ．
故选： ．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，交点坐标的求法，也灵活地考查了两点之间线
段最短，难度中等．
20．（2024•南岗区校级一模）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称
为“果圆”．已知点 、 、 、 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为
， 为半圆的直径，则这个“果圆”被 轴截得的弦 的长为 ．
【分析】连接 ， ，有抛物线的解析式可求出 ， ， 的坐标，进而求出 ，， 的长，在直角三角形 中，利用射影定理可求出 的长，进而可求出 的
长．
【解答】解：连接 ， ，
抛物线的解析式为 ，
点 的坐标为 ，
的长为3，
设 ，则 ，
解得： 或3，
，
， ，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次
方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．21．（2024•吉安一模）将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中，其中
，点 ，点 ，过边 上的动点 （不与点 ， 重合）作
交 于点 ．设 ．
（Ⅰ）如图①，当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（Ⅱ）沿着 折叠该纸片，点 的对应点为 ．设折叠后的△ 与 的重叠部
分的面积为 ．
①如图②，若折叠后的△ 与 的重叠部分为四边形， 交 于点 ， 交
于点 ，试用含有 的式子表示 ，并直接写出 的取值范围；
②当 时，求 的值（直接写出结果即可）．
【分析】（1）由题意得 ， ， ，即可得出 ， ，由
得出 ，由相似三角形的性质得出 ，即可得解；
（2）①设 ，则 ，证明 ，由相似三角形的性质得出 ，
从而得出 ，由折叠的性质结合平行线的性质证明出 ， ，
得出 ， ，推出 和 ，最后根据 ，即可得出
关于 的解析式，根据当点 位于 的中点时，由于 ，则此时点 也位于 的
中点，折叠之后点 恰好落在 上，此时重叠的部分为△ ，不为四边形，即可得出的取值范围；
②由①可得：当 时，此时重叠的部分为△ ，则 ，再分别在对
应的范围中，令 ，求出对应的值即可．
【解答】解：（1） ，点 ，点 ，
， ，
当 时， ，
故 ，
，
，
，
，
即 ，
，
即 ，
故答案为： ， ；
（2）① ，点 ，点 ，
， ，
设 ，则 ，
，
，
，
即 ，，
，
由 折 叠 的 性 质 可 得 ： ， ， ，
， ，
，
， ， ， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
当点 位于 的中点时，由于 ，则此时点 也位于 的中点，折叠之后点
恰好落在 上，此时重叠的部分为△ ，不为四边形，
故 ；
②由①可得：当 时，此时重叠的部分为△ ，
则 ，
故 ，
当 时，令 ，则 ，解得： 或 （不符合题意，舍去）；
当 肘，令 ，则 ，
解得： 或 （不符合题意，舍去）；
综上所述，当 时， 的值为 或4．
【点评】本题考查了二次函数综合题，坐标与图形，相似三角形的判定与性质、折叠的性
质、等腰三角形的判定与性质、二次函数综合问题等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
分层练习
一、单选题
1．二次函数 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的最值，把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可
得出结论．
【详解】 二次函数 可化为： ，且开口向上，
二次函数 的最小值为 ．
故选：D．
2．二次函数 的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握抛物线开口、对称轴、与x轴y轴交
点等与a、b、c的关系是解题的关键．
由抛物线开口方向，对称轴位置可判断A、B，由 时 可判断C，由抛物线与x轴交
点以及b的范围可判断D．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴ ，故A正确，不符合题意；
由函数图象得抛物线的对称轴为直线
∴
∴ ，故选项B错误，符合题意；
由图象可得 时 ，
∴ ，故选项C正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，故选项D正确，不符合题意．
故选：B．
3．已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】B
【分析】本题考查二次函数 系数符号的确定．由抛物线的开口方向判断 的
符号，由抛物线与 轴的交点判断 的符号，然后根据对称轴的位置及开口方向可判断 的
符号，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由抛物线的开口向下知 ，
与 轴的交点为在 轴的正半轴上，
，
对称轴为 ，
、 异号，即 ．
故选：B．
4．已知二次函数 的图象如图所示， ， 是函数图象上的两
点，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图
像和性质的相关知识点，根据二次函数的系数与图像的关系解答即可．
【详解】解：A、根据函数图像可得当 时， ，故A错误；
B、根据对称轴为直线 可得： 故 ，故B正确；
C、根据函数图像可得当 ，则 ，故C错误；
D、根据函数的对称性得： ，则 ，故D错误；
故选：B．
5．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键
先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解
答．
【详解】解：∵二次函数
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，
当 时， 随 的增大而增大，
．
故选： ．
6．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则二次函数 的图象
的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】此题主要考查了抛物线与 轴交点问题与判别式 的关系和二次函数的性质，由
的一元二次方程 没有实数根得 ，结合
配成顶点式即可，熟练掌握 时，一元二次方程有两个不相等
的实数根； 时，一元二次方程有两个相等的实数根； 时，一
元二次方程无实数根是解题的关键.
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
∴ ，由 ，
∴顶点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴二次函数 的图象的顶点在第一象限，
故选： ．
7．一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数 图象得到字母系数
的正负，再与二次函数 的图象相比是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知，
，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知， ，得 ，由直线可知， ，故本选项符
合题意；
C、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不
符合题意；
D、由抛物线可知， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不
符合题意．
故选：B
8．二次函数 ，（ ， ， ， 为常数）的部分对应值列表如下：
… …
… …
则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关
键．根据二次函数经过 ， ，可得对称轴 ，再根据二次函数的对称性可
设 关于 的对称性点为 ，即得 ，求出 为 ，再将其代入
，即可求出 ．
【详解】解：由表格可得二次函数 经过 ， ，
∴二次函数的对称轴为 ，
又∵二次函数 经过 ，
设 的关于 的对称性点为 ，∴ ，
解得 ，
即二次函数 经过 ，
将 代入 中，
可得 ，
故选 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y
＝ x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作BD∥x
轴交抛物线y＝x2于点D，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设A（m，m2），则B（m， m2），根据题意得出C（2m，m2），D（ m，
m2），即可求得BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得 ＝ ．
【详解】设A（m，m2），则B（m， m2），
∵AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（ m， m2），∴BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标
是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过正方形 的顶点
，且 点为顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为C点，则平移后抛物线的表达
式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的表达式求出点A的坐标为 ，根据正方形的性质可以求出点C
的坐标，进而求出点C的坐标，进而求解．
【详解】解：当 时， ，故A点坐标为 ，
过点C作 交 于D，则 ，
∴C点坐标为
∵二次函数的图象 经过正方形 的顶点C，
∴ ，
解得 或 （舍去）
∴C点坐标为 ，
∴平移后抛物线的表达式为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，解题的关键是求出b的值．
二、填空题
11．若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达
式为 ．
【答案】y＝3x2－2或y＝－3x2－2
【分析】根据二次函数的图象特点即可分类求解．
【详解】二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同，说明它们的二次项系数的绝对值相
等，故本题有两种可能，即y＝3x2－2或y＝－3x2－2．
故答案为y＝3x2－2或y＝－3x2－2．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象，解题的关键是熟知二次函数形状相同，二次项系
数的绝对值相等．12．当 时，则二次函数 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值，二次函数的图象与系数的关系，把y=ax2+bx+c
化成顶点式，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的
关键．将二次函数 化成顶点式，然后根据二次函数的图象与性质即可求得答
案．
【详解】解：将二次函数 化成顶点式，得：
，
二次函数的顶点坐标为 ，
，
二次函数开口向上，
二次函数顶点的横坐标为 ，
二次函数顶点的横坐标满足 ，
当 时，二次函数 的最小值为 ，
故答案为： ．
13．二次函数 ，当 时，y有最小值，最小值是 ．
【答案】 / /
【分析】本题考查了二次函数的最值问题．根据二次函数的顶点坐标进行解答即可．
【详解】解： 二次函数 ， ，开口向上，
当 时， 有最小值，最小值为： ，
故答案为： ， ．
14．已知 的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于3，则m的值为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值结
合二次函数的对称性可知抛物线 的顶点到x轴的距离为3，再把解析式化为顶
点式求出顶点坐标，进而建立方程求解即可．
【详解】解：∵ 的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于3，
∴抛物线 的顶点到x轴的距离为3，
∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
∵抛物线开口向上，
∴顶点一定在x轴下方，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．已知抛物线 经过点 ，则这个抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点式为： ，
其顶点坐标为 ，解答此题先将 代入解析式，求出m的值，从而可得二次函数的
顶点坐标．
【详解】解： 抛物线 经过点 ，
，
解得： ，
二次函数为： ，顶点坐标为 ．
故答案为： ．
16．将抛物线 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，平移后的抛
物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规
律“左加右减，上加下减”．
根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：将抛物线 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后，
所得的抛物线的解析式为 ，
即 ，
故答案为： ．
17．抛物线 和 轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一
边在 轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题， 设最大正方形 的边长为m，则
B，C两点的纵坐标为m，且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称，进而得出
点B的坐标 ，然后把 代入抛物线解析式即可求解即可得出答案．
【详解】解：如图：设最大正方形 的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m，且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称．
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴点B的坐标为： ，
∵点B在抛物线上，
∴ ，
整理得： ，
解得： （舍去） ，
∴m的值为 ．
故答案为： ．
18．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线的
对称轴上一动点，连接 和 ，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接 ， ，设
交抛物线对称轴于点 ，当 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，令
分别求得 的坐标，勾股定理求得 的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ， ，设 交抛物线对称轴于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴当 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
∵ ，当 时， ，则C(0,−3)
当 时， ，
解得： ,
∴ ，∴
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
三、解答题
19．二次函数 图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 0 5 …
求这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题考查求二次函数的解析式，利用对称性确定对称轴，进而得到顶点坐标，写
出顶点式即可．
【详解】解：由表格可知： 和 的函数值相同，
∴对称轴为直线 ，
∴顶点坐标为： ，
∴函数表达式为： ．
20．已知函数
(1)点P（2，2）在此函数的图象上．
①求n的值．
②求此函数的图象与y轴的交点．
(2)当n = 1时，此函数的最大值为 ．
【答案】(1)①n = 2；②（0，1）
(2)1
【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入 即可求得n的值．②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入 求出y值，即可得出
交点坐标．
（2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值
即可．
【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1
∴将点P（2，2）代入函数 中得
解得
②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当 时，函数图象与y轴的交点．
∵当 时，函数表达式为
∴当 ，
∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)．
（2）解：当n = 1时，函数表达式为
当 时，将函数表达式 转为顶点式为 ．
∴函数对称轴为 ，在 右侧，函数图象随x的增大而减小．
∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得 ．
∴当 时，函数有最大值1．
当 时，将函数表达式 转为顶点式为 ．
∴函数对称轴为 ．
∴当 ，函数有最大值，最大值为 ，解得 ．
∴当n = 1时，此函数的最大值为1．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据x值的取值判断函数表达式和用顶点
式求函数最大值是解本题的关键．21．在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，抛物线 经
过点 ．
(1)求抛物线的对称轴．
(2)若抛物线 是由抛物线 经过平移得到的，求抛物线
的解析式．
(3)在（2）的条件下，已知点 ， ， 在抛物线 上，比较
， ， 的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数对称轴，二次函数的平移规律，二次函数与坐标轴的交点情
况，二次函数的图像与性质，解题的关键在于掌握二次函数的图像与性质．
（1）根据 的对称轴为 求解，即可解题；
（2）根据题干和函数的平移规律，得到 、 的值，即可求得抛物线 的解
析式；
（3）根据二次函数的开口方向和对称轴得到“离对称轴越远，函数值越小，”，根据点的
横坐标判断其与对称轴的距离，即可解题．
【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为 ；
（2）解： 直线 与 轴交于点 ，
，
抛物线 经过点 ，，
抛物线 是由抛物线 经过平移得到的，
，
抛物线的解析式为 ；
（3）解： ，对称轴为 ，
离对称轴越远，函数值越小，
点 ， ， 在抛物线 上，
又 ， ， ，且 ，
．
22．已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为 ．
(1)当函数为 时，y的最大值为5，则a的值为______，y的最小值为______；
(2)当函数为 时．
①若y的最大值为15，则a的值为______；
②若y的最小值为15，则a的值为______；
③若y的最小值为 ，则a的取值范围为______．
【答案】(1) ；3；
(2)①0或6；② 或8；③ ．
【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答
本题的关键．
（1）根据一次函数的增减性求解即可；
（2）先判断抛物线开口向上，当 时，求出x的值，①②根据二次函数的增减性求解
即可；③由y的最小值为 可得 ，解之可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，∵y的最大值为5， ，
∴当 时，取得最大值5，
∴ ，
∴ ，
∴y的最小值为 ．
故答案为： ；3；
（2） ，
∵ ，
∴抛物线开口向上．
当 时，有 ，
解得： ， ．
①当∵当 时，函数有最大值15，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
②∵当 时，函数有最小值15，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
③∵y的最小值为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：①0或6；② 或8；③ ．
23．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线x=1，
以下四个结论：① ；② ；③对于任意实数m，有 ；④对
于实数 ，若 为抛物线上两点，则 ；其中正确的是
（填写序号）．【答案】①③④
【分析】由函数图象可以判断 ，由对称轴为直线x=1，可以得出 ，从
而判断①；由函数图象过点 以及 得出 ，再根据a>0可判断②；根据
抛物线对称轴为直线x=1以及a，b，c的关系可得函数的最小值为 ，由函数的性质可
判断③；根据n， 到1的距离，由函数的性质可判断④．
【详解】解：由图象可知， ，
∵对称轴为直线x=1，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵a>0，
∴ ，
故②错误；
由②知， ，
∵a>0，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，函数有最小值，最小值为 ，
∴对于任意实数m，有 ，即 ，
故③正确；
当 时，
∵对称轴为直线x=1，
∴ ， ，
∴ ．
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系
数的关系．利用数形结合思想解答是答题关键．
24．已知：二次函数 ．
(1)运用对称性，画出这个二次函数图象；
(2)当 满足条件________条件时， ，不等式 的解集为________；
(3)当 时，求 的取值范围是________．
【答案】(1)画图见解析；
(2) 或 ， ；
(3) ．
【分析】（ ）首先求得函数顶点坐标和对称轴，以及函数与 轴的交点坐标，据此即可作
出函数图象；
（ ）根据函数图象即可直接写出x的范围；
（ ）对称轴在 和 之间，然后确定 和 哪个离对称轴较远，利用图象确定 的范围；本题考查了二次函数的对称性， 画函数图象，二次函数的性质，熟练掌握知识点的应用是
解题的关键．
【详解】（1）函数的对称轴是直线 ，
当 时， ，则顶点坐标是 ，
令 ，则 ，解得 ， ，
则函数与 轴的交点坐标是 和 ，
画图如下：
（2）当 或 时， ；
不等式 ，即 的解集为 ，
故答案为： 或 ， ；
（3）当 时， ，则 的取值范围是 ，
故答案为： ．
25．(1)抛物线如图所示，点P是抛物线的顶点，将抛物线沿x轴翻折，请将所得的抛物线
和点P的对应点 在图中画出来；(2)抛物线 关于x轴对称的抛物线的解析式为______，关于y轴对称的抛
物线的解析式为______，关于原点对称的抛物线的解析式为_____．
【答案】(1)见解析
(2) ； ；
【分析】本题考查了作轴对称图形，抛物线变换后的解析式，二次函数的顶点式等知识，
熟练掌握作轴对称图形，抛物线变换后的解析式，二次函数的顶点式是解题的关键
（1）根据翻折的性质作图即可；
（2）由题意知， ，即顶点坐标为 ，则抛物线
关于x轴对称的顶点坐标为 ，进而可得关于x轴对称的抛物线
的解析式为 ；抛物线 关于y轴对称的顶点坐标为 ，
进而可得关于y轴对称的抛物线的解析式为 ；抛物线
关于原点对称的顶点坐标为 ，进而可得关于y轴对称的抛物线的解析式为
；然后求解作答即可．
【详解】（1）（1）解：由翻折的性质作图，如图1，对应点 即为所作；（2）解：由题意知， ，
∴顶点坐标为 ，
∴抛物线 关于x轴对称的顶点坐标为 ，
∴抛物线 关于x轴对称的抛物线的解析式为
；
抛物线 关于y轴对称的顶点坐标为 ，
∴抛物线 关于y轴对称的抛物线的解析式为
；
抛物线 关于原点对称的顶点坐标为 ，
∴抛物线 关于y轴对称的抛物线的解析式为
；
故答案为： ； ； ．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴和 轴分别交于点
和点B(0,3)，点 是此抛物线上一点，其横坐标为 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 在 轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出 的取值范围；
(3)当 时，直接写出二次函数 的最大值与最小值的差；
(4)过点 作 轴，点 的横坐标为 ．已知点 与点 不重合，且线段 的长
度随 的增大而减小．
①求 的取值范围；
②直接写出线段 与抛物线 交点个数及对应的 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)9
(4)① ；② ， 与抛物线有一个交点， ， 与抛物线有两个交
点
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为 ；
（2）求出 时 或 ，由图可得 的取值范围是 ；
（3）先求出抛物线对称轴，根据抛物线对称性及增减性即可解答；
（4）①当 ，即 时， 与 重合；即可得当 ，即 时，
， 随 的增大而减小，符合题意；而当 ，即
时， ， 随 的增大而增大，不符合题意；从而可得答
案；
由 知 ，先求出点P关于直线 对称的点的坐标为 ，结合
函数图象分类讨论即可．
【详解】（1）解：把 和B(0,3)代入 得：，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：在 中，令 得： ，
解得 或 ，
由图可得，点 在 轴上方的抛物线上时， 的取值范围是 ；
（3）解： 抛物线的解析式为 ，
抛物线关于直线 对称，在 处， 有最大值，最大值为 ，
， ，
当 处， 有最小值，最大值为 ，
当 时，直接写出二次函数 的最大值与最小值的差为： ；
（4）解： 轴，点 横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
当 ，即 时， 与 重合；
当 ，即 时， ，
此时 随 的增大而减小，符合题意；
当 ，即 时， ，
此时 随 的增大而增大，不符合题意；
综上所述，当线段 的长度随 的增大而减小， 的取值范围是 ；由 知 ，
抛物线关于直线 对称， ，
，
点P关于直线 对称的点的坐标为 ，
如图，当 时，
与抛物线有两个交点，
，
， 与抛物线有两个交点，
如图，当 时，
与抛物线有一个交点，
， 与抛物线有一个交点；
综上， ， 与抛物线有一个交点， ， 与抛物线有两个个交点.
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，二次函数图象与x轴交点，二次函
数与二次不等式的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合思想和分类讨论
思想的应用
