文档内容
第 09 讲 二次函数 y=ax ²＋bx＋c 的图象和性质 （7 个知识
点+7 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|
越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴
在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交
点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
知识点2．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ， ）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣ 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足
函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x ，0），（x ，0），
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则其对称轴为x＝ ．
知识点3．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种
方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只
考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
知识点4．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增
大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝ 时，y＝ ．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增
大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝ 时，y＝ ．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最
值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的
函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
知识点5．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k
（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣
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x ）（a，b，c是常数，a≠0）；
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（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数
法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来
求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
知识点6．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析
式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，
该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直
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接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x ，0），（x ，0）．
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知识点7．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关
系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图
象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关
键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的
知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建
立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函
数的取值范围要使实际问题有意义．
题型强化
题型一．二次函数图象与系数的关系
1．（2024•兴化市二模）已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是 ．
2．（2024•益阳模拟）如图，抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于 点，
，则下列各式成立的是
A． B． C． D．
3．（2021秋•丰泽区校级期末）设二次函数 ，其中 是常数．
（1）用含 的代数式表示函数的对称轴；
（2）当 时， 随 的增大而增大，求 的取值范围．
题型二．二次函数图象上点的坐标特征
4．（2024•西乡塘区校级开学）已知 ， ， 是二次函数
的图象上的三个点，则 ， ， 的大小关系为A． B． C． D．
5．（2024•滨江区校级三模）若点 在二次函数 的图象上，且点 到
轴的距离小于2，则 的取值范围是 ．
6．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系 中，点 ， ， ， 在
抛物线 上，其中 ， ．
（1）当 ， 时，求 的值；
（2）直线 经过点 ， ，若对于 ， ，都有 ，求
的取值范围．
题型三．二次函数图象与几何变换
7．（2024•广西模拟）将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单
位长度，得到的抛物线为
A． B． C． D．
8．（2024春•北碚区校级期中）将抛物线 先向右平移6个单位长度，再向下平移
8个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 ．
9．（2024•烈山区三模）在平面直角坐标系 中，已知直线 与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ，点 在线段 上，以点 为顶点的抛物线 经过点 ．
（1）求点 ， 的坐标；（2）求 ， 的值；
（3）平移抛物线 至 ，点 ， 分别平移至点 ， ，连接 ，且 轴，如果
点 在 轴上，且新抛物线过点 ，求抛物线 的函数解析式．
题型四．二次函数的最值
10．（2023秋•红桥区期末）二次函数 的最小值是 ．
11．（2024•朝阳区校级开学）如果二次函数 的最小值为0，那么 的值等于
A．2 B．4 C． D．8
12．（2024•越秀区校级二模）已知 ．（1）化简 ．
（2）若 为二次函数 的最小值，求此时的 值．
题型五．待定系数法求二次函数解析式
13．（2024•津南区校级模拟）抛物线 的顶点在 轴上， 则 的值为
．
14．（2024•姜堰区二模）二次函数 ， ， 为常数）图象开口向下，
当 时， ；当 时， ．则 的值可能为
A．2 B．3 C． D．
15．（2024•益阳模拟）已知二次函数 ．函数值 和自变量 的部分
对应取值如下表所示：
0 1 2 3
2 2
（1）若 ，求二次函数的表达式；
（2）当 时， 有最大值7，求 的值；
（3）若 ，求 的值．
题型六．二次函数的三种形式16．（2022秋•宽城县期末）将二次函数 化为 的形式，结果为
A． B． C． D．
17．（2023秋•剑阁县期末）若把二次函数 化为 的形式，其中
， 为常数，则 ．
18．（2023秋•青铜峡市期末）已知二次函数 ．
（1）用配方法将其化为 的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系 中，画出它的图象．题型七．二次函数综合题
19．（2024•田阳区二模）如图，抛物线 与直线 相交于点 、 ， 是
轴上一点，若 最小，则点 的坐标为
A． B． C． D．
20．（2024•南岗区校级一模）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称
为“果圆”．已知点 、 、 、 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为
， 为半圆的直径，则这个“果圆”被 轴截得的弦 的长为 ．
21．（2024•吉安一模）将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中，其中
，点 ，点 ，过边 上的动点 （不与点 ， 重合）作
交 于点 ．设 ．
（Ⅰ）如图①，当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；（Ⅱ）沿着 折叠该纸片，点 的对应点为 ．设折叠后的△ 与 的重叠部
分的面积为 ．
①如图②，若折叠后的△ 与 的重叠部分为四边形， 交 于点 ， 交
于点 ，试用含有 的式子表示 ，并直接写出 的取值范围；
②当 时，求 的值（直接写出结果即可）．
分层练习
一、单选题
1．二次函数 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．二次函数 的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
4．已知二次函数 的图象如图所示， ， 是函数图象上的两
点，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． ，则 D．若 ，则
5．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则二次函数 的图象
的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
（ ）A． B．
C． D．
8．二次函数 ，（ ， ， ， 为常数）的部分对应值列表如下：
… …
… …
则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y
＝ x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作BD∥x
轴交抛物线y＝x2于点D，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过正方形 的顶点
，且 点为顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为C点，则平移后抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达
式为 ．
12．当 时，则二次函数 的最小值为 ．
13．二次函数 ，当 时，y有最小值，最小值是 ．
14．已知 的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于3，则m的值为 ．
15．已知抛物线 经过点 ，则这个抛物线的顶点坐标是 ．
16．将抛物线 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，平移后的抛
物线的解析式为 ．
17．抛物线 和 轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一
边在 轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ．
18．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线的
对称轴上一动点，连接 和 ，则 的最小值是 ．三、解答题
19．二次函数 图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 0 5 …
求这个二次函数的解析式．
20．已知函数
(1)点P（2，2）在此函数的图象上．
①求n的值．
②求此函数的图象与y轴的交点．
(2)当n = 1时，此函数的最大值为 ．
21．在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线的对称轴．
(2)若抛物线 是由抛物线 经过平移得到的，求抛物线
的解析式．
(3)在（2）的条件下，已知点 ， ， 在抛物线 上，比较
， ， 的大小，并说明理由．
22．已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为 ．
(1)当函数为 时，y的最大值为5，则a的值为______，y的最小值为______；
(2)当函数为 时．
①若y的最大值为15，则a的值为______；
②若y的最小值为15，则a的值为______；
③若y的最小值为 ，则a的取值范围为______．23．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线x=1，
以下四个结论：① ；② ；③对于任意实数m，有 ；④对
于实数 ，若 为抛物线上两点，则 ；其中正确的是
（填写序号）．
24．已知：二次函数 ．
(1)运用对称性，画出这个二次函数图象；(2)当 满足条件________条件时， ，不等式 的解集为________；
(3)当 时，求 的取值范围是________．
25．(1)抛物线如图所示，点P是抛物线的顶点，将抛物线沿x轴翻折，请将所得的抛物线
和点P的对应点 在图中画出来；
(2)抛物线 关于x轴对称的抛物线的解析式为______，关于y轴对称的抛
物线的解析式为______，关于原点对称的抛物线的解析式为_____．26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴和 轴分别交于点
和点B(0,3)，点 是此抛物线上一点，其横坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 在 轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出 的取值范围；
(3)当 时，直接写出二次函数 的最大值与最小值的差；
(4)过点 作 轴，点 的横坐标为 ．已知点 与点 不重合，且线段 的长
度随 的增大而减小．
①求 的取值范围；
②直接写出线段与抛物线交点个数及对应的的取值范围．
