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分层作业
26.2.3 y=ax²+bx+c 的图象和性质
目录
A 组巩固过关
题型01 一般式化成顶点式
题型02 画二次函数的图象
题型03y=ax²+bx+c 图象和性质
题型04 待定系数法求二次函数解析式
题型05 二次函数的图象与字母参数的关系
题型06 一次函数与二次函数图象的综合判断
题型07 二次函数的字母参数问题
题型08 二次函数临界点问题
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
一般式化成顶点式
1．（25-26 九年级上·广西百色·期中）将二次函数
2
2
4
1
y
x
x
配成
2
y
a x
h
k
的形式，正确的是
（
）
A．
2
2(
1)
1
y
x
B．
2
1
2(
1)
2
y
x
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C．
2
2(
1)
1
y
x
D．
2
1
2(
1)
2
y
x
2．（25-26 九年级上·陕西榆林·期末）求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
2
2
4
13
y
x
x
3．（25-26 九年级上·四川广安·期末）已知抛物线
2
4
6
y
x
x
．
(1)将
2
4
6
y
x
x
配方成
2
(
)
y
a x
h
k
的形式；
(2)写出该抛物线的开口方向和对称轴；
(3)当1
4
x
时，求y 的取值范围．
题型02
画二次函数y=ax²+bx+c 的图象
4．（25-26 九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
自变量x 与函数y 的部分对应值如表：
x
2
1
0
1
2
3
4
y
5
0
3
4
3
0
m
(1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，m 的值为___________；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象回答：当2
2
x
时，y 的取值范围是___________．
5．（25-26 九年级上·北京门头沟·期末）已知二次函数
2
y
x
bx
的图象经过点
2,0
A
．
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(1)求此二次函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系xOy 中，画出此函数的图象；
(3)当0
3
x
时，结合图象，直接写出y 的取值范围．
6．（25-26 九年级上·北京·期中）已知二次函数
3
1
y
x
x
．
(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)填表，并画出此函数的图象；
x
…
…
y
…
…
(3)若点
1
0,
A
y
和
2
,
B n y
都在此函数的图象上，且
1
2
y
y
，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．
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x
…
4
3
2
1
0
…
y
…
3
0
1
0
3
…
题型03
y=ax²+bx+c 图象和性质
7．（25-26 八年级下·北京·期末）二次函数
2
y
ax
bx
c
（a，b，c 为常数，
0
a
）中，x 与y 的部分对应
值如表：
x
…
1
0
3
…
y
…
n
2
n
…
若
0
m
，且点
1
,
A m y
，
2
2,
B m
y
在该二次函数的图象上，则
1y _______
2y ．（填“>”“<”或“=”）
8．
（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数
2
2
2
2
3
y
x
mx
m
m
的图像不经过第三、四象限，且当
1
x
时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是（
）
A．
3
2
m
B．
1
m
C．
3
1
2
m
D．
3
1
2
m
9．（2026·河南平顶山·三模）已知点
1
2,
A
y
，
2
1,
B
y
，
3
2,
C
y
都在抛物线
2
2
1
y
x
mx
上．若
2
1
3
y
y
y
，则m 的取值范围为（
）
A．
5
2
m
B．
3
0
2
m
C．
0
m
D．
3
2
m
10．（25-26 九年级上·浙江衢州·期末）二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的部分对应值如下表：
x
2
1
0
1
2
y
m
0
4
n
0
则m ，n 的大小关系为m _________ n （填“ ”“”或“ ”）．
11．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数
2
4
5
y
x
x
，当3
0
x
时，y 的取值范围为
________．
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题型04
待定系数法求二次函数解析式
12．已知抛物线的对称轴为直线
3
x
，且经过点
1,0
A
，
2, 6
B
，求抛物线的解析式．
13．二次函数的图象经过
3,0 ,
0,4 ,
4,0
A
B
C
三点，求该二次函数的解析式．
14．（2026·河南平顶山·三模）二次函数
2
y
x
bx
c
的图象经过
4,5
A
，
0, 3
B
两点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)将二次函数
2
y
x
bx
c
的图象沿x 轴方向平移，平移距离为
0
n n
个单位长度，当0
3
x
时，新
函数的最大值是8，求n 的值．
15．（2026·云南昭通·模拟预测）已知二次函数
2
1
y
x
m
x
m
的图象过点
2, 1
A
．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若
2
k
x
k
，该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k 的值．
16．二次函数的图象经过
4,0
A
，
2,0
B
，
2,4
C
三点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)求函数顶点的坐标；
(3)当0
5
x
时，直接写出y 的取值范围．
题型05
二次函数的图象与字母参数的关系
17．
（25-26 八年级下·福建福州·期末）二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，则点
,b c 所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
18．（25-26 八年级下·重庆·期末）如图，二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象与x 轴交于点
1,0
A
，对称
轴为直线
1
x ，则下列讨论中错误的是（
）
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A．
0
abc
B．2
0
a
b
C．4
2
0
a
b
c
D．
8
0
c
a
19．（2026·宁夏银川·三模）二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：
①
0
a
；②
0
c
；③
2
4
0
b
ac
；④3
0
a
b
，其中，正确的有（
）．
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4个
20．（2026·山东·中考真题）如图，点P 是抛物线
2
y
ax
bx
c
（
0
a
）的顶点．下列结论正确的是（
）
A．2
0
a
b
B．
3
1
4
2
a
C．对任意实数t ，
2
4
2
at
bt
a
b
总成立
D．若点
1
(1
,
)
A
m y
，
2
(1
,
)
B
m y
在抛物线上，则
1
2
y
y
21．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象与x 轴交于两点
1,0
，
1,0
x
，且
1
2
3
x
．下列结论：
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①
0
abc
；
②2
0
a
b
；
③4
2
0
a
b
c
；
④若点
1
1
,
A
m y
，
2
1
,
(
0)
B
m y
m
在抛物线上，则
1
2
y
y
．
其中包含所有正确结论的是（
）
A．①②
B．①④
C．①②④
D．②③④
题型06
一次函数与二次函数图象的综合判断
22．（23-24 九年级上·云南昆明·期中）函数y
ax
b
与
2
0
y
ax
b a
在同一平面直角坐标系中的大致图
象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
23．（25-26 九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数
1
y
mx
与二次函数
2
y
x
m
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
24．（25-26 九年级上·山西太原·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数
1
y
ax
与二次函数
2
y
x
a
的图
象可能是（
）
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A．
B．
C．
D．
25．（25-26 九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数
2
0
y
mx
nx m
与y
mx
n
的图
象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
26．（25-26 九年级上·陕西西安·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数
2
y
kx
（k 为常数，且
0
k
）
和一次函数
2
y
kx
的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
题型07
二次函数的字母参数问题
27．
（2026·福建福州·模拟预测）若函数
2
y
x
ax
b
在0
1
x
的最大值是M ，最小值是m ，则M
m
（
）
A．与a有关，且与b 有关
B．与a有关，但与b 无关
C．与a 无关，且与b 无关
D．与a 无关，但与b 有关
28．（25-26 八年级下·福建福州·期末）抛物线
2
y
mx
bx
c
过点
,0
P
m
，
3 ,0
Q
m
，抛物线上有两点
1
2,
A m
y
，
2
3
1,
B
m
y
，使得
1
2
y
y
一定成立，则m 的取值范围为（
）
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A．
3
0
2
m
B．
3
0
2
m
或
1
2
m
C．
1
2
m
D．
3
1
2
2
m
29．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线
2
2
2
y
x
tx
t
t ，点
1
1
,
P x y
在抛物线上，其中
1
1
2
t
x
t
．若
1y 的最小值是2
，则
1y 的最大值是______．
30．（25-26 八年级下·北京·期末）已知抛物线C：
2
2
2
y
ax
ax
a
a
（
0
a
）．
(1)直接写出抛物线C 的对称轴；
(2)若点
2,
M
M
y
和
,
N
N n y
均在抛物线C 上，且
M
N
y
y ，直接写出n 的取值范围；
(3)将抛物线C 在y 轴右侧的部分关于直线
2
y
a
a
翻折，y 轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知
点
1
2,
A a
y
和
2
,
B
a y
均在图象G 上，求
1
2
y
y
的最小值．
题型08
二次函数临界点问题
31．（2026·河南三门峡·三模）若点
,
P m n 在二次函数
2
2
1
y
x
x
的图象上，且点P 到y 轴的距离小于2，
则n 的取值范围是（
）
A．0
9
n
B．0
9
n
C．0
9
n
D．0
9
n
32．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数
2
2
(
0)
y
ax
ax
b a
＞
的图像经过点
2
,
1
P m n
，
2
4,
Q m
n
两
点，则m 的值可能是（
）
A．1
B．3
C．1
D．3
33．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x 的二次函数
2
6
8
0
y
ax
ax
a a
．
(1)该二次函数的对称轴为x ______．
(2)亮亮说：“若二次函数存在最值1
，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确．
(3)将二次函数的图象向右平移
0
3
m
m
个单位长度，平移后的新二次函数的图象在3
0
x
的范围内
的最大值为21
4 a ，直接写出m 的值．
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31．（2026·河南三门峡·三模）若点
,
P m n 在二次函数
2
2
1
y
x
x
的图象上，且点P 到y 轴的距离小于2，
则n 的取值范围是（
）
A．0
9
n
B．0
9
n
C．0
9
n
D．0
9
n
32．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数
2
2
(
0)
y
ax
ax
b a
＞
的图像经过点
2
,
1
P m n
，
2
4,
Q m
n
两
点，则m 的值可能是（
）
A．1
B．3
C．1
D．3
33．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x 的二次函数
2
6
8
0
y
ax
ax
a a
．
(1)该二次函数的对称轴为x ______．
(2)亮亮说：“若二次函数存在最值1
，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确．
(3)将二次函数的图象向右平移
0
3
m
m
个单位长度，平移后的新二次函数的图象在3
0
x
的范围内
的最大值为21
4 a ，直接写出m 的值．
40．当
1
x 时，
2
4
2
3
y
x
x
的函数值为（
）
A．1
B．0
C．1
D．3
41．（25-26 九年级上·山东·期末）已知关于x 的二次函数
2
8
16
3
0
y
ax
ax
a
a
，在
8
n
x
的取值
范围内，若0
4
n
，则（
）
A．函数有最大值16
3
a
B．函数有最大值3
C．函数没有最小值
D．函数没有最大值
42．（25-26 八年级下·福建福州·期末）已知点
2,
A
c ，
,
B b n ，
1,
D
d 都在二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象上，则下列结论正确的是（
）
A．a d
c
B．
0
a
b
C．
0
d
n
D．
0
n
c
43．
（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数
2
1
y
x
bx
b
的图象经过点
1,
A
n
和点
3,
B m
n
，
当
1
2
x
时函数取得最小值，则m 的值为_______
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44．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于x 的二次函数
2
2
2
1
y
x
mx
m
的图像为抛物线C ，直线y
a
与抛物线C 交于A ，B 两点，过抛物线C 的顶点作x 轴的平行线l ，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足为M ，N ．若
四边形ABNM 为正方形，则a _________．
45．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数
2
3
4
4
y
x
ax
，其中a为常数．
(1)若
3
2
a
，求此函数图象的顶点坐标；
(2)当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小；当8
12
x
时，y 随x 的增大而增大，求a的取值范围．
46．（25-26 八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数
2
y
x
m
n
的顶点
,
P m n 在另一
条抛物线
2
2
y
x
x
上运动．该二次函数图像与y 轴交于点A．过点P 作PB
y
轴于点B．
(1)当
1
m 时，求点A 和点B 的坐标，并求PAB 的面积；
(2)当
1
m 时，求点A 的纵坐标
A
y 的最小值．
47．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的对称轴
为直线x
t
，且经过点
0, 1
A
．
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(1)当
1
a ，
2
t
时
①直接写出这个二次函数的解析式为；
②在平面直角坐标系xOy 中画出抛物线；
③当0
3
x
时，直接写出y 的取值范围．
(2)点
0,
A x m ，
2,
B
n 是抛物线上两点，当
1
t 时，对于
0
2
t
x
t
，总有m
n
，求t 的取值范围．
x
0
1
2
3
4
y
1
4
5
4
1
48．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，一光点M 从原点O 出发，其路径为抛物线L 的一部分，在点
2,8
Q
处达到最高，并落在x 轴上的点P 处，并在点P 处向右侧弹起，路径为抛物线
2
:
G y
ax
bx
c
的一部分，
其中抛物线G 与抛物线L 的开口方向和形状相同，线段AB 的端点
8,6
A
，
7
5, 2
B
．
(1)直接写出点P 的坐标，并求出抛物线L 的解析式；
(2)若抛物线G 经过点
8,6
A
，求抛物线G 的函数解析式；
(3)将抛物线L 向右平移
0
k k
个单位长度使它与线段AB 有交点，直接写出k 的取值范围．
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49．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点
0,4 ,
1,0 ,
5,0
A
B
C
，其对称轴与x 轴相交于点M．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)求ABM 的面积．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请
说明理由．
50．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
的部分图象与x 轴交于点
1,0
A
，与y 轴的
交点C 位于点
0, 2
和点
0, 3
之间，顶点为点P ，对称轴为直线
2
x
．下列说法：①
0
abc
；②4
0
a
b
；
③
2
1
3
a
；④设抛物线与x 轴的另一交点为B ，当
90
CPB
时，
2
2
a
．其中正确的是（
）
A．②③④
B．②③
C．②④
D．①③④
51．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数
2
2
3
y
x
x
，当
2
a
x
a
时，y 的最小值为t ，则下列t
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与a 的函数关系图象正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
52．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
与x 轴交于点
1,0
A
，顶点坐标
1,n ，与y
轴的交点在
0, 2
，
0, 3
之间（包含端点），下列结论：①3
0
a
b
；②2
1
3
a
；③对于任意实数m，
a
b
m am
b
总成立；④关于x 的方程
2
1
ax
bx
c
n
有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数
为（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
