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3.2 一元一次不等式及其解法
课标要点
1.理解一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式，区分一元一次不等式与方程
的异同。
2.掌握解一元一次不等式的完整步骤，熟练进行去分母、去括号、移项、合并同类项、系
数化为1 等变形。
3.能正确求解一元一次不等式的解集，并规范在数轴上表示解集，熟练运用数形结合方法。
4.能根据不等式解集情况，求简单参数问题，理解含参数一元一次不等式的基本解题思路。
5.熟练掌握不等式变形易错规则，尤其掌握系数化为1 时正负号变化规律，提升运算准确
性。
学习重难点
重点：
1.掌握一元一次不等式的定义；
2.熟练掌握一元一次不等式的解题步骤，能规范求解解集；
3.能在数轴上准确表示不等式解集。
难点：
1.不等式去分母、系数化为1 时，负数运算导致不等号方向出错；
2.数轴表示解集时空心点、实心点与方向混淆；
3.根据不等式解集情况求解简单参数问题。
第三章
一元一次不等式
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知识点
一元一次不等式的概念
1. 一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的
不等式叫一元一次不等式。
2. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次
数是1。
3. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解题。
4. 解不等式：求不等式解题的过程叫作解不等式。
5. 一元一次不等式的一般形式：𝑎𝑥+ 𝑏＜0或𝑎𝑥+ 𝑏＞0(𝑎≠0)。
随学随练
1．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．
1
𝑥−1 < 2
B．𝑥2 > 4
C．2𝑥−𝑦< 3
D．2𝑦−1 ≤4
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的定义，逐一判断选项即可得到答案．
【详解】解：一元一次不等式满足三个条件：不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的
最高次数为1，
选项A：
1
𝑥 是分式，不是整式，不符合题意；
选项B：未知数的最高次数为2，不是1，不符合题意；
选项C：含有𝑥和𝑦两个未知数，不符合题意；
选项D：2𝑦−1 ≤4满足一元一次不等式的所有要求，符合题意．
2．（25-26 七年级下·山东济宁·期末）已知(𝑚+ 3)𝑥|𝑚|−2 < 11是关于x 的一元一次不等式，则m 为（ ）
A．±1
B．−3
C．3
D．1
【答案】C
【分析】含有一个未知数，且未知数的次数是1 的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得
易错提醒
1）未知数在分母、根号内的不是一元一次不等式；
2）含两个及以上未知数、未知数次数不为1 的不属于该类型；
3）误把含≠的不等式排除，≠也可构成一元一次不等式。
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{|𝑚| −2 = 1
𝑚+ 3 ≠0
，解之即可得到答案．
【详解】解：∵(𝑚+ 3)𝑥|𝑚|−2 < 11是关于x 的一元一次不等式，
∴{|𝑚| −2 = 1
𝑚+ 3 ≠0
，
∴𝑚= 3．
知识点
解一元一次不等式（重点）
步骤
依据
1
去分母
不等式的基本性质3
2
去括号
单项式乘多项式法则
3
移项
不等式的基本性质2
4
合并同类项，得𝑎𝑥＞𝑏，或𝑎𝑥＞𝑏(𝑎≠
0)
合并同类项
5
两边同除以𝑎（或乘
1
𝑎）
不等式的基本性质3
随学随练
1．（25-26 七年级下·上海闵行·期末）解不等式：
1
2 𝑥−2 < 7．
【答案】𝑥< 18
【详解】解：
1
2 𝑥−2 < 7，
1
2 𝑥< 7 + 2
1
2 𝑥< 9
𝑥< 18．
2．（25-26 七年级下·北京·期末）解不等式2𝑥+ 1 > 3𝑥−2，并在数轴上表示解集．
【答案】𝑥< 3
【分析】按照一元一次不等式的常规求解步骤计算，系数化为1 时注意不等号方向改变，最后将解集表示
在数轴上即可.
特别提醒
解题步骤与解一元一次方程基本一致：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1；唯一核心区
别：系数化为1 时，负数系数要变号。
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【详解】解：原不等式为 2𝑥+ 1 > 3𝑥−2
移项，得 2𝑥−3𝑥> −2 −1
合并同类项，得 −𝑥> −3
系数化为1，得 𝑥< 3
将不等式的解集在数轴上表示为：
．
3．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）解不等式2 −𝑥>
1−𝑥
3 ，并将解集表示在数轴上．
【答案】𝑥<
5
2；解集表示在数轴上，如图：
【详解】解：2 −𝑥>
1−𝑥
3
去分母得，6 −3𝑥> 1 −𝑥，
移项合并同类项得，−2𝑥> −5，
系数化为1得，𝑥<
5
2；
解集表示在数轴上：略．
拓展
一元一次不等式判定三要素
1. 一元一次不等式必须同时满足三个硬性条件，缺一不可，是区分普通不等式、分式不等式、高次不等
式的核心依据，判定标准固定：
①两边均为整式，不含分母含未知数、根号含未知数等形式；
②式子中只含一个未知数，多未知数不属于一元一次不等式；
③未知数的最高次数为1，不含二次、零次、负次等次数形式。
2. 其标准一般形式为 𝑎𝑥+ 𝑏> 0 或 𝑎𝑥+ 𝑏< 0(𝑎≠0)，一次项系数必须不为0，保证为一次不等式。
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活学活用
1．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．𝑥2 > 0
B．2𝑥−1
C．2𝑦< 8
D．5 + 2 < 9
【答案】C
【分析】一元一次不等式需满足：是不等式，只含一个未知数，未知数的次数为1，且不等号两边都是整
式．
【详解】解：∵选项A 中未知数𝑥的次数为2，不符合定义，∴ A 错误；
∵选项B 中2𝑥−1是代数式，不是不等式，不符合定义，∴ B 错误；
∵选项C 中2𝑦< 8满足所有条件：是不等式，只含一个未知数𝑦，𝑦的次数为1，不等号两边都是整式，符合
一元一次不等式的定义，∴ C 正确；
∵选项D 中5 + 2 < 9不含未知数，不符合定义．
2．（23-24 七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（ ）个
（1）3𝑥+ 4𝑦> 0，（2）
𝑦
3 −3 ≠2，（3）𝑥≤4𝑥+ 3，（4）
3
𝑥+ 5 ≥40
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最
高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可．
【详解】解：（1）3𝑥+ 4𝑦> 0是二元一次不等式，不是一元一次不等式；
（2）
𝑦
3 −3 ≠2是一元一次不等式；
（3）𝑥≤4𝑥+ 3是一元一次不等式；
（4）不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式，
综上所述：一元一次不等式有2 个
故选：B．
3．有下列不等式：①−4 < 0；②𝑥2 + 2 > 2𝑥；③𝑥−3 > 2𝑦；④
𝑥−1
π > 5；⑤3𝑦> −3．其中一元一次
不等式有________（填序号）．
【答案】④⑤/⑤④
【分析】本题考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一
个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可．
【详解】解：①−4 < 0没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
②𝑥2 + 2 > 2𝑥，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意；
③𝑥−3 > 2𝑦有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
④⑤是一元一次不等式．
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∴一元一次不等式有④⑤共2个．
故答案为：④⑤．
拓展
解一元一次不等式与一元一次方程步骤、依据对比
1. 二者解题步骤高度相似，但核心依据和关键规则存在本质区别，是极易混淆的考点，详细对比如下：
解题步骤
一元一次不等式（依据+规则）
一元一次方程（依据+规则）
去分母
依据不等式性质3，乘负数需改变不等
号方向
依据等式性质，无论乘正数、负数，等号
始终不变
去括号、移项、
合并同类项
规则、依据与方程完全一致，无符号
变化
常规代数运算，无特殊符号变化规则
系数化为1
依据不等式性质3，除以负数必须反转
不等号
系数无论正负，等号始终保持不变
最终结果
取值范围（无数个解）
唯一确定数值（单个解）
活学活用
1．解不等式：
(1)𝑥−7 < 8；
(2)3𝑥< 2𝑥−3．
【答案】(1)𝑥< 15
(2)𝑥< −3
【详解】（1）解：𝑥−7 < 8，
移项得：𝑥< 7 + 8，
合并同类项得：𝑥< 15；
（2）解：3𝑥< 2𝑥−3，
移项得：3𝑥−2𝑥< −3，
合并同类项得：𝑥< −3．
2．解不等式
𝑥−2
2 ≥
7−𝑥
3 ，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】解集为𝑥≥4，数轴表示为：
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【详解】解：
𝑥−2
2 ≥
7−𝑥
3
去分母，得3(𝑥−2) ≥2(7 −𝑥)
去括号，得3𝑥−6 ≥14 −2𝑥
移项，得3𝑥+ 2𝑥≥14 + 6
合并同类项，得5𝑥≥20
系数化为1，得𝑥≥4
所以，不等式的解集为𝑥≥4，
数轴表示略．
3．解不等式
2𝑥−1
3
< 𝑥+ 1，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】𝑥> −4，
【详解】解：
2𝑥−1
3
< 𝑥+ 1，
去分母，得2𝑥−1 < 3𝑥+ 3，
移项、合并同类项，得−𝑥< 4，
系数化为1，得𝑥> −4，
数轴表示：略．
题型
识别一元一次不等式
▌例1．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（ ）
A．9 > 4
B．𝑥+ 𝑦> 1
C．𝑥2 + 3 > 2𝑥
D．3𝑥≥2
【答案】D
【详解】解：∵选项A，9 > 4中不含有未知数，不是一元一次不等式，∴A 不符合题意；
∵选项B，𝑥+ 𝑦> 1中含有两个未知数，是二元不等式，∴B 不符合题意；
∵选项C，𝑥2 + 3 > 2𝑥中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，∴C 不符合题意；
解题贴士
满足三个核心条件即为一元一次不等式：①只含一个未知数；②未知数最高次数为1；③未知数不含分
母、不含根号、不含绝对值（整式不等式），且含不等符号。
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∵选项D，3𝑥≥2只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，符合一元一次不等式的定义，∴D 符合题
意．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）下列属于一元一次不等式的是（ ）
A．2𝑥+ 1 = 1
B．−2 > −3
C．𝑥> 1
D．𝑥
【答案】C
【分析】一元一次不等式的定义为：含有一个未知数，未知数的次数为1，不等号两边都是整式的不等
式，根据定义判断即可．
【详解】解：一元一次不等式需同时满足四个条件：是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等
号两边为整式．
∵选项A： 2𝑥+ 1 = 1 是等式，属于一元一次方程，不是不等式，∴A 不符合要求；
∵选项B： −2 > −3 不含未知数，∴B 不符合要求；
∵选项C： 𝑥> 1 是不等式，只含一个未知数𝑥，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不
等式的定义，∴C 符合要求；
∵选项D： 𝑥是单项式，不是不等式，∴D 不符合要求．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A．3𝑥+ 2 > 5
B．𝑥2 −1 < 0
C．2𝑥+ 𝑦≤3
D．
2
𝑥+ 2 ≥4
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义逐一判断选项，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次
数为1，不等号两边都是整式．
【详解】解：∵A 选项3𝑥+ 2 > 5满足所有三个条件，是一元一次不等式；
B 选项𝑥2 −1 < 0中未知数次数为2，不满足条件；
C 选项2𝑥+ 𝑦≤3含有两个未知数，不满足条件；
D 选项
2
𝑥+ 2 ≥4中
2
𝑥是分式，不等号左边不是整式，不满足条件．
题型
判断不等式的解集
▌例1．（25-26 七年级下·上海·期末）下列各数中，是不等式2𝑥−1 > 3的解的是（ ）
A．𝑥= 5
B．𝑥> 2
C．𝑥= 0
D．𝑥= −3
解题贴士
1）能使不等式成立的所有未知数的值为解集；
2）可代入检验、结合数轴判断：大于向右、小于向左，空心不含点、实心含点。
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【答案】A
【分析】先解不等式得到𝑥的取值范围，再根据不等式的解的定义判断选项，不等式的解是能使不等式成
立的单个未知数的值．
【详解】解：解不等式2𝑥−1 > 3
∵移项得2𝑥> 3 + 1，即2𝑥> 4
∴系数化为1得𝑥> 2
题目要求选出不等式的解，
A、𝑥= 5，满足 5 > 2，是不等式的解；
B、𝑥> 2是该不等式的解集，不是单个解；
C、𝑥= 0，0 < 2，不满足不等式；
D、𝑥= −3，−3 < 2，不满足不等式．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·河南驻马店·期中）下列不等式中，解不包括
5
2的是（ ）
A．𝑥<
5
2
B．𝑥> −
5
2
C．𝑥< 3
D．𝑥≥
5
2
【答案】A
【详解】解：
5
2 <
5
2不成立，则𝑥<
5
2不包含
5
2，故A 符合题意；
5
2 > −
5
2成立，则𝑥> −
5
2包含
5
2，故B 不符合题意；
5
2 < 3成立，则𝑥< 3包含
5
2，故C 不符合题意；
5
2 ≥
5
2成立，则x ≥
5
2包含
5
2，故D 不符合题意．
▌对点练1-2．（2026·吉林长春·模拟预测）若𝑥= 5.5是某不等式的解，则该不等式可以是（ ）
A．𝑥< 4
B．𝑥< 5
C．𝑥> 5
D．𝑥> 6
【答案】C
【分析】满足不等式的数就是不等式的解，将𝑥= 5.5代入各选项验证即可得到答案.
【详解】解： A 选项：∵5.5 < 4 不成立，∴𝑥= 5.5不是不等式𝑥< 4的解，故A 选项错误；
B 选项：∵5.5 < 5 不成立，∴𝑥= 5.5不是不等式𝑥< 5的解，故B 选项错误；
C 选项：∵5.5 > 5 成立，∴𝑥= 5.5是不等式𝑥> 5的解，故C 选项符合要求；
D 选项：∵5.5 > 6 不成立，∴𝑥= 5.5不是不等式𝑥> 6的解，故D 选项错误．
题型
利用一元一次不等式的定义求参数
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▌例1．若(𝑚−1)𝑥+ 3 ≤0是关于𝑥的一元一次不等式，则m 的值不可以为（ ）
A．1
B．−1
C．2
D．0
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的系数不能为0，据此得到𝑚的取值要求，即可选出答案．
【详解】解：∵(𝑚−1)𝑥+ 3 ≤0是关于𝑥的一元一次不等式，
∴𝑥的系数不能为0，即𝑚−1 ≠0，
解得：𝑚≠1，
因此𝑚的值不可以为1．
▌例2．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）若2𝑥2𝑚−3 + 4 > −1是关于𝑥的一元一次不等式，则𝑚的值为
______．
【答案】
2
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数𝑥的次数为1，据此列方程求解𝑚即可．
【详解】解：∵2𝑥2𝑚−3 + 4 > −1是关于𝑥的一元一次不等式，
∴2𝑚−3 = 1，
解得：𝑚= 2．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·安徽淮北·期中）若(1 −𝑚)𝑥|𝑚| + 5 < 0是关于𝑥的一元一次不等式，则𝑚=
（ ）
A．±1
B．1
C．−1
D．0
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义得到1 −𝑚≠0，|𝑚| = 1，进而求解即可．
【详解】解：∵(1 −𝑚)𝑥|𝑚| + 5 < 0是关于𝑥的一元一次不等式，
∴1 −𝑚≠0且|𝑚| = 1，
解得：𝑚≠1且𝑚= ±1，
∴𝑚= −1．
▌对点练1-2．已知𝑥𝑚−3 + 2 > 6 是关于𝑥的一元一次不等式，则𝑚的值为_____．
【答案】𝑚= 4
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数𝑥的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列等式求解𝑚即
可．
解题贴士
根据定义列限制条件：①未知数次数=1；②未知数系数≠0，联立求解参数取值。
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【详解】解：根据一元一次不等式的定义可得，𝑥的次数满足𝑚−3 = 1，且𝑥的系数为1 ≠0
解方程𝑚−3 = 1，得𝑚= 4．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·甘肃天水·期中）若不等式(𝑚−2)𝑥|𝑚−1| + 3 > 2是关于x 的一元一次不等
式，则𝑚=________．
【答案】0
【分析】根据一元一次不等式的定义进行求解即可．
【详解】解：∵不等式(𝑚−2)𝑥|𝑚−1| + 3 > 2是关于x 的一元一次不等式，
∴𝑚−2 ≠0且|𝑚−1| = 1，
即𝑚≠2且𝑚= 2或𝑚= 0，
∴𝑚= 0
题型
由不等式的解求参数
▌例1．已知𝑥= 2是不等式3𝑥+ 𝑚> 5的一个解，则m 的值可以是（ ）
A．−3
B．−2
C．−1
D．0
【答案】D
【分析】根据不等式的解的定义，将已知解𝑥= 2代入原不等式，求出m 的取值范围，再对比选项得出正
确结果．
【详解】解：∵𝑥= 2是不等式3𝑥+ 𝑚> 5的一个解．
∴将𝑥= 2代入不等式得 3 × 2 + 𝑚> 5，
解得：𝑚> −1．
四个选项中只有0 > −1，符合要求．
▌对点练1-1．关于x 的不等式(𝑎−3)𝑥> 𝑎−3的解集是𝑥> 1，则a 的取值范围是（ ）
A．𝑎> 3
B．𝑎< 3
C．𝑎> 1
D．𝑎< 1
【答案】A
【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键．
根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围．
【详解】解：原不等式为(𝑎−3)𝑥> 𝑎−3解集为𝑥> 1，
解题贴士
先正常解出含参数的不等式解集，再结合题目给出的解、解集范围，列等式或不等式求解参数，必要时
检验边界值。
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∴𝑥>
𝑎−3
𝑎−3 = 1且𝑎−3 > 0，
∴𝑎> 3．
故选：A．
▌对点练1-2．已知𝑥= 3是不等式𝑥< 𝑎的一个解，请写出一个符合条件的𝑎的值______．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】根据不等式的解的定义，推出𝑎的取值范围，在取值范围内写出一个符合条件的值即可．
【详解】解：∵𝑥= 3是不等式𝑥< 𝑎的一个解，将𝑥= 3代入不等式，得3 < 𝑎，即𝑎> 3，
∴符合条件的𝑎值可以是5．
题型
解一元一次不等式
▌例1．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式1 −𝑥≤2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求得不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可，注意端点是实心还是空心．
【详解】解：移项、合并同类项，得−𝑥≤1，
化系数为1，得𝑥≥−1，
将解集表示在数轴上如图：
．
▌例2．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）解不等式：
𝑥−1
2 < 𝑥+ 1．
【答案】𝑥> −3
【详解】解：
𝑥−1
2 < 𝑥+ 1
𝑥−1 < 2𝑥+ 2
−𝑥< 3
解题贴士
1）解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1；
2）全程遵循不等式性质，系数为负时，不等号反向改变。
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𝑥> −3.
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江苏南京·期末）不等式4 −3𝑥< 1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式求出𝑥的取值范围，再根据“大于向右，小于向左，实心包含，空心不包含”的
原则在数轴上表示即可．
【详解】解：4 −3𝑥< 1
−3𝑥< 1 −4
−3𝑥< −3
解得𝑥> 1
在数轴上表示为：
．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·广东佛山·期末）解不等式−𝑥+ 1 > 7𝑥−3，并将解集表示在数轴上．
【答案】𝑥<
1
2；
【分析】按照一元一次不等式的求解步骤计算，再将解集正确标注在数轴上即可．
【详解】解：移项，得 −𝑥−7𝑥> −3 −1
合并同类项，得 −8𝑥> −4
不等式两边同时除以−8，不等号方向改变，得 𝑥<
1
2
▌对点练1-3．（2026·陕西·模拟预测）解不等式：2𝑥−1 < 3(𝑥+ 1)，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】𝑥> −4，
解集在数轴上表示，如图：
【详解】解：2𝑥−1 < 3(𝑥+ 1)，
2𝑥−1 < 3𝑥+ 3，
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2𝑥−3𝑥< 3 + 1，
−𝑥< 4，
𝑥> −4．
解集在数轴上表示略．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·山西临汾·期末）下面是小颖解不等式
𝑥−5
15 <
𝑥−2
5 −1的过程，请认真阅读并
完成相应任务．
解：
𝑥−5
15 <
𝑥−2
5 −1
去分母，得𝑥−5 < 3(𝑥−2) −15 第一步
去括号，得𝑥−5 < 3𝑥−6 −15 第二步
移项，得𝑥−3𝑥< −6 −15 + 5 第三步
合并同类项，得−2𝑥< −16 第四步
将未知数的系数化为1，得𝑥< 8 第五步
(1)任务一：
上述解不等式的过程第__________步出现了错误，其原因是____________________．
(2)任务二：直接写出不等式的解集，并将不等式的解集在数轴上表示出来．
(3)任务三：你认为本题中还有哪些易错点，请列举出一处．
【答案】(1)五；不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变
(2)𝑥> 8，
(3)去分母时，常数项−1容易漏乘公分母15（答案不唯一）
【分析】（1）根据不等式的性质解答即可；
（2）根据不等式的性质得出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可；
（3）从利用不等式的性质去分母的角度进行分析即可．
【详解】（1）解：上述解不等式的过程第五步出现了错误，其原因是不等式两边同时除以负数，不等号的
方向没有改变．
（2）解：不等式的解集为𝑥> 8，
将不等式的解集在数轴上表示出来：略．
（3）解：易错点：去分母时，常数项−1容易漏乘公分母15（答案不唯一）．
▌对点练1-5．（25-26 八年级下·山西运城·期中）下面是小亮同学解不等式
2𝑥+1
3
−
5𝑥−2
6
> 1的过程，请认真
阅读并完成相应任务．
解：去分母，得2(2𝑥+ 1) −(5𝑥−2) > 6……第一步
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去括号，得4𝑥+ 2 −5𝑥+ 2 > 6……第二步
移项，得4𝑥−5𝑥> 6 −2 −2……第三步
合并同类项，得−𝑥> 2……第四步
两边都除以−1，得𝑥> −2……第五步
任务：
(1)上述求解过程中，第一步变形的依据是__________，上述求解过程中的第______步发生错误，具体错误
是__________．
(2)该不等式的解集应为__________．
(3)在解一元一次不等式时，除了要注意小亮同学在上题解法中的错误外，请你根据平时的学习经验，给同
学们提一条建议．__________
【答案】(1)不等式的基本性质2；五；不等式两边同时除以−1时，不等号的方向没有改变
(2)𝑥< −2
(3)见解析
【分析】（1）根据不等式的基本性质2 求解；
（2）根据解一元一次不等式的步骤求解；
（3）根据解一元一次不等式的方法求解．
【详解】（1）解：上述求解过程中，第一步变形的依据是不等式的基本性质2，上述求解过程中的第五步
发生错误，具体错误是不等式两边同时除以−1时，不等号的方向没有改变；
（2）解：
2𝑥+1
3
−
5𝑥−2
6
> 1
去分母，得2(2𝑥+ 1) −(5𝑥−2) > 6
去括号，得4𝑥+ 2 −5𝑥+ 2 > 6
移项，得4𝑥−5𝑥> 6 −2 −2
合并同类项，得−𝑥> 2
两边都除以−1，得𝑥< −2；
（3）解：去分母时，不等式两边的每一项都必须乘以分母的最小公倍数，不能遗漏任何一项；
当分子是一个多项式时，去分母后，一定要给这个多项式加上括号；
括号前面是负号，去括号后，括号里面的每一项都要变号．
（答案不唯一，答案合理即可）
题型
一元一次不等式的整数解问题
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▌例1．（25-26 七年级下·贵州黔南·期末）不等式3𝑥+ 1 > −8的负整数解可能是（ ）
A．−2
B．−3
C．−4
D．−5
【答案】A
【详解】解：3𝑥+ 1 > −8，
移项得3𝑥> −8 −1，
合并同类项得3𝑥> −9，
两边同除以3得𝑥> −3，
不等式的负整数解为−2, −1．
▌例2．（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式
3𝑥+2
4
< 1 +
7𝑥−1
8 ，并写出它的负整数解．
【答案】𝑥> −3，负整数解为−2, −1
【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，再从解集中确定符合题意的
解．
【详解】解：去分母，得2(3𝑥+ 2) < 8 + (7𝑥−1)，
去括号，得6𝑥+ 4 < 8 + 7𝑥−1，
移项，得6𝑥−7𝑥< 8 −1 −4，
合并同类项，得−𝑥< 3，
两边都除以−1，得𝑥> −3，
所以负整数解有−2, −1．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·湖北武汉·期末）满足不等式𝑥+ 2 < 6的所有正整数𝑥的和是（ ）
A．10
B．6
C．4
D．3
【答案】B
【详解】解：解不等式𝑥+ 2 < 6得：𝑥< 4，
则满足这个不等式的所有正整数为1,2,3，它们的和为1 + 2 + 3 = 6．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·江苏常州·期末）不等式5 −𝑥≥1的最大整数解为__________．
【答案】4
【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集后确定最
大整数解是解题的关键．
【详解】解：解不等式5 −𝑥≥1：
移项得−𝑥≥1 −5，
解题贴士
先解出不等式解集，结合数轴锁定范围，按需筛选整数解、正整数解、非负整数解，注意端点取舍。
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合并同类项得−𝑥≥−4，
系数化为1得𝑥≤4，
所以不等式的最大整数解为4．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·云南曲靖·期末）不等式 𝑥≤
13
4 的正整数解有________个．
【答案】3
【分析】先将
13
4 化为小数，再根据正整数的定义找出满足不等式的所有正整数即可．
【详解】解：∵
13
4 = 3.25，
∴原不等式可化为𝑥≤3.25，
∴满足该不等式的正整数为1,2,3，共3个．
▌对点练1-4．已知式子
𝑥
3 −2的值小于式子
𝑥
2 −3的值，求满足条件的最小正整数𝑥的值．
【答案】满足条件的最小正整数𝑥的值为7
【分析】根据题意列出不等式，解不等式，最后从解集中确定满足条件的最小正整数𝑥的值即可．
【详解】解：∵式子
𝑥
3 −2的值小于式子
𝑥
2 −3的值，
∴
𝑥
3 −2 <
𝑥
2 −3，
解得𝑥> 6，
∴满足条件的最小正整数𝑥的值为7．
题型
绝对值型一元一次不等式问题
▌例1．（25-26 七年级上·辽宁丹东·期中）若|𝑥−3| = 3 −𝑥，则x 与3 的大小关系为（ ）
A．𝑥> 3
B．𝑥≥3
C．𝑥< 3
D．𝑥≤3
【答案】D
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确分析判断是解题的关键．
根据绝对值的非负性，等式成立需3 −𝑥≥0，即𝑥≤3，且代入验证成立．
【详解】∵|𝑥−3| ≥0，
∵|𝑥−3| = −(𝑥−3) = 3 −𝑥，
∴3 −𝑥≥0，即𝑥≤3，
故选D．
解题贴士
1）核心模型：①|𝑥|＞𝑎（𝑎＞0）→𝑥＞𝑎或𝑥＜−𝑎；②|𝑥|＜𝑎（𝑎＞0）→−𝑎＜𝑥＜𝑎；
2）先去绝对值转化为普通一元一次不等式，再求解集、整数解。
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▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江苏徐州·期末）若|3 −𝑥|的值小于2，则𝑥的取值范围是________．
【答案】1 < 𝑥< 5
【分析】先根据题意列出绝对值不等式，再利用绝对值的性质将绝对值不等式转化为连写形式的一元一次
不等式，根据不等式的基本性质求解得到𝑥的取值范围．
【详解】解：根据题意得|3 −𝑥| < 2
则−2 < 3 −𝑥< 2，
解得−5 < −𝑥< −1，
故答案为：1 < 𝑥< 5．
▌对点练1-2．若|𝑥−4| ≤3，则x 的取值范围_______．
【答案】1 ≤𝑥≤7
【分析】根据绝对值的性质将原不等式转化为连写形式的一元一次不等式，再通过不等式性质计算即可得
到结果．
【详解】解：∵|𝑥−4| ≤3，
∴−3 ≤𝑥−4 ≤3，
∴−3 + 4 ≤𝑥≤3 + 4，
即1 ≤𝑥≤7．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·广东河源·期中）【阅读理解】
小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知
数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式|𝑥| > 3的解集．小明同学的思路如下：先根据
绝对值的定义，求出|𝑥|恰好是3 时𝑥的值，并在数轴上表示为点𝐴，𝐵如图所示．
观察数轴发现，以点𝐴，𝐵为分界点把数轴分为三部分：点𝐴左边的点表示的数的绝对值大于3；点𝐴，𝐵之
间的点（不包括点𝐴，𝐵）表示的数的绝对值小于3；点𝐵右边的点表示的数的绝对值大于3．
因此，小明得出结论：绝对值不等式|𝑥| > 3的解集为𝑥< −3或𝑥> 3．
【迁移应用】
(1)|𝑥| > 4的解集是________，|𝑥| < 3的解集是_________；
(2)求绝对值不等式|𝑥+ 3| + 2 < 6的解集；
(3)直接写出不等式𝑥2 ≥225的解集．
【答案】(1)𝑥> 4或𝑥< −4，−3 < 𝑥< 3
(2)−7 < 𝑥< 1
(3)𝑥≥15或𝑥≤−15
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【分析】（1）仿照题干的解法解得即可；
（2）原式变形为|𝑥+ 3| < 4，再仿照题干的解法解得即可；
（3）原式变形为|𝑥| ≥15，再仿照题干的解法解得即可．
【详解】（1）解：令|𝑥| = 4，解得：𝑥= ±4，
画数轴如下：
；
点A 的左边的点表示的数和点B 的右边的点表示的数的绝对值大于4，点A 和点B 之间的点表示的数的绝
对值小于4，
∴|𝑥| > 4的解集为𝑥> 4或𝑥< −4；
令|𝑥| = 3，解得：𝑥= ±3，
画数轴如下：
；
点A 的左边的点表示的数和点B 的右边的点表示的数的绝对值大于3，点A 和点B 之间的点表示的数的绝
对值小于3，
∴|𝑥| < 3的解集为−3 < 𝑥< 3；
（2）解：|𝑥+ 3| + 2 < 6，
∴|𝑥+ 3| < 4，
令|𝑥+ 3| = 4，
∴𝑥+ 3 = ±4，
解得：𝑥= −7或1；
画出数轴如下：
点A 的左边的点表示的数和点B 的右边的点表示的数到−3的绝对值大于4，点A 和点B 之间的点表示的数
到−3的绝对值小于4，
∴|𝑥+ 3| + 2 < 6的解集为−7 < 𝑥< 1；
（3）解：𝑥2 ≥225，
∴𝑥2 ≥152，
∴|𝑥| ≥15，
令|𝑥| = 15，解得：𝑥= ±15，
画数轴如下：
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；
点A 的左边的点表示的数和点B 的右边的点表示的数的绝对值大于15，点A 和点B 之间的点表示的数的
绝对值小于15，
∴|𝑥| ≥15的解集为𝑥≥15或𝑥≤−15，
即𝑥2 ≥225的解集为𝑥≥15或𝑥≤−15．
基础通关
1．（25-26 七年级下·贵州黔南·期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．−3 < 1
B．3𝑥+ 2𝑦≥0
C．2𝑥2 + 1 > 5
D．3𝑥−1 > 0
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的定义判断各选项即可．
【详解】解：选项A、−3 < 1中没有未知数，不符合一元一次不等式定义，∴A 不符合题意；
选项B、3𝑥+ 2𝑦≥0中含有两个未知数，不符合定义，∴B 不符合题意；
选项C、2𝑥2 + 1 > 5中未知数的次数为2，不符合定义，∴C 不符合题意；
选项D、3𝑥−1 > 0满足只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的
定义，∴D 符合题意．
【点睛】
2．（25-26 七年级下·陕西延安·期末）若2𝑥−1 > 3，则将该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：解不等式2𝑥−1 > 3，得𝑥> 2，
将解集在数轴上表示如图
．
3．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）已知2 和3 都是关于x 的不等式𝑥−𝑎< 1的解，则a 的取值可能是
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（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】先求解原不等式得到解集，再根据2 和3 都是不等式的解得出a 的取值范围，最后匹配选项即
可．
【详解】解：解不等式 𝑥−𝑎< 1，
移项得 𝑥< 𝑎+ 1，
∵ 2 和 3 都是原不等式的解，
∴ 3 < 𝑎+ 1，解得 𝑎> 2，
观察选项，只有D 选项的3满足𝑎> 2，
故选D．
4．（25-26 七年级下·广东广州·期末）若𝑥= 2是不等式2𝑥−𝑚> 3的解，则𝑚的值可以是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】根据不等式的解的定义，将𝑥= 2代入原不等式，得到关于𝑚的不等式，求解𝑚的取值范围后，即
可匹配选项得到答案．
【详解】解：∵𝑥= 2是不等式2𝑥−𝑚> 3的解，
∴将𝑥= 2代入不等式得2 × 2 −𝑚> 3，
解得𝑚< 1，
∴选项中只有0 < 1，符合要求．
5．（25-26 七年级下·河南周口·期末）不等式 2𝑥−5 ≤1的非负整数解为______．
【答案】0，1，2，3
【分析】先求解该一元一次不等式，得到𝑥的取值范围，再根据非负整数的定义找出范围内符合条件的解
即可．
【详解】解：2𝑥−5 ≤1
移项得2𝑥≤1 + 5
合并同类项得2𝑥≤6
系数化为1得𝑥≤3
则该不等式的非负整数解为0,1,2,3．
6．（25-26 七年级下·吉林松原·期末）将不等式2𝑥■−4的解集在数轴上表示出来如图所示，则■盖住的符号
是__________．
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【答案】<
【分析】由数轴可得，该不等式的解集为𝑥< −2，再结合不等式的性质即可得出结果．
【详解】解：由数轴可得，该不等式的解集为𝑥< −2，
∵两边同除以2，不等号的方向不变，
∴𝑥■−2，
∴■盖住的符号是<．
7．（25-26 七年级下·河北唐山·期末）已知𝑥为正整数，且满足√𝑥< 5，则符合条件的𝑥最大值为________．
【答案】24
【分析】先对不等式变形求出𝑥的取值范围，再结合𝑥为正整数的条件，找出符合条件的𝑥的最大值．
【详解】解：∵√𝑥< 5，
∴𝑥< 25，
∵𝑥为正整数，
∴符合条件的𝑥的最大值为24．
8．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式：
𝑥−3
2 >
2𝑥−5
3 ．
【答案】𝑥< 1
【详解】解：
𝑥−3
2 >
2𝑥−5
3 ，
去分母得：3(𝑥−3) > 2(2𝑥−5) ，
去括号得：3𝑥−9 > 4𝑥−10，
移项合并得：−𝑥> −1，
系数化为1 得：𝑥< 1．
9．（25-26 七年级下·广东云浮·期末）解不等式：2𝑥+ 7 ≥1 −𝑥，并在数轴上表示解集．
【答案】𝑥≥−2，
【详解】解：2𝑥+ 7 ≥1 −𝑥，
移项得2𝑥+ 𝑥≥1 −7，
合并同类项得3𝑥≥−6，
系数化为1得𝑥≥−2，
在数轴上表示该解集略．
10．（25-26 七年级下·福建厦门·期末）解不等式
𝑥+1
2 ≥
3𝑥−1
3
−1，并写出其正整数解．
【答案】𝑥≤
11
3 ，正整数解为1，2，3
【详解】解：
𝑥+1
2 ≥
3𝑥−1
3
−1
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3(𝑥+ 1) ≥2(3𝑥−1) −6
3𝑥+ 3 ≥6𝑥−2 −6
−3𝑥≥−11
解得𝑥≤
11
3 ，正整数解为1，2，3．
11．解不等式并求出所有负整数解：
1−𝑥
6 +
𝑥+1
3 ≤
𝑥+3
2
【答案】
不等式的解集为𝑥≥−3，所有负整数解为−3，−2，−1．
【详解】解：
1−𝑥
6 +
𝑥+1
3 ≤
𝑥+3
2 ，
(1 −𝑥) + 2(𝑥+ 1) ≤3(𝑥+ 3)，
1 −𝑥+ 2𝑥+ 2 ≤3𝑥+ 9，
−𝑥+ 2𝑥−3𝑥≤9 −2 −1，
−2𝑥≤6，
𝑥≥−3，
即不等式的解集为𝑥≥−3，
所有负整数解为−3，−2，−1．
12．（2026·陕西安康·模拟预测）解不等式
𝑥−1
2 >
4𝑥−5
3
−1，并写出该不等式的非负整数解．
【答案】解集为𝑥<
13
5 ，该不等式的非负整数解是0，1，2
【详解】解：
𝑥−1
2 >
4𝑥−5
3
−1
3(𝑥−1) > 2(4𝑥−5) −6
3𝑥−3 > 8𝑥−10 −6
3𝑥−8𝑥> −10 −6 + 3
−5𝑥> −13
𝑥< 13
5
∴不等式的解集为𝑥<
13
5
∴该不等式的非负整数解是0，1，2
13．（25-26 八年级下·福建三明·期中）【阅读理解】下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任
务．
解不等式：
2𝑥−1
3
>
3𝑥−2
2
−1
解：去分母，得2(2𝑥−1) > 3(3𝑥−2) −6 ①
去括号，得4𝑥−2 > 9𝑥−6 −6 ②
移项，得4𝑥−9𝑥> −6 −6 + 2 ③
合并同类项，得−5𝑥> −10 ④
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系数化成1，得𝑥> 2 ⑤
(1)以上解题过程中，第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．
(2)请直接写出该不等式的正确解集：__________．
(3)请把解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)⑤；不等式的两边都除以−5时，没有改变不等号的方向；
(2)𝑥< 2；
(3)见解析
【详解】（1）解：由解析可知，第⑤步；不等式的两边都除以−5时，没有改变不等号的方向；
（2）在第④步的基础上，
系数化成1，得𝑥< 2；
（3）表示不等式解集为：
素养提升
1．（25-26 七年级下·四川遂宁·期末）已知关于𝑥的方程3𝑘−5𝑥= −9的解是非负数，则𝑘的最小值是
（ ）
A．−2
B．−3
C．2
D．3
【答案】B
【分析】将𝑘看作已知数，先解出方程中𝑥的表达式，再根据解是非负数的条件列出关于𝑘的不等式，求解
不等式得到𝑘的取值范围，即可得到𝑘的最小值．
【详解】解：解方程3𝑘−5𝑥= −9，得𝑥=
3𝑘+9
5 ，
∵方程的解是非负数，
∴
3𝑘+9
5
≥0，
解得𝑘≥−3，
∴𝑘的最小值为−3．
2．（25-26 七年级下·安徽亳州·期末）如图表示的是关于𝑥的不等式(𝑎−2)𝑥> 2 −𝑎的解集，则𝑎的取值范
围是（ ）
A．𝑎≤2
B．𝑎≥2
C．𝑎< 2
D．𝑎> 2
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【答案】C
【分析】首先根据数轴确定不等式的解集为𝑥< −1，根据不等式的性质可知𝑥的系数为负数，从而求出𝑎的
取值范围．
【详解】由数轴可知，原不等式的解集为 𝑥< −1．
原不等式可变形为：(𝑎−2)𝑥> −(𝑎−2)，
∵解集的不等号方向与原不等式相反，
∴𝑎−2 < 0，解得𝑎< 2，
此时𝑥<
−(𝑎−2)
𝑎−2 ，即 𝑥< −1，符合题意．
∴𝑎的取值范围是𝑎< 2．
3．（25-26 七年级下·内蒙古通辽·期末）已知(𝑚−2)𝑥> 𝑚−2的解集是𝑥< 1，则𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚> 2
B．𝑚< 2
C．𝑚≥2
D．𝑚≤2
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】解：∵不等式 (𝑚−2)𝑥> 𝑚−2的解集是𝑥< 1，不等号方向发生改变，
∴可得𝑚−2 < 0，
∴解得𝑚< 2．
4．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）若关于𝑥的不等式(𝑎−4)𝑥> 5(𝑎−4)的解集为𝑥< 5，则𝑎的取值范围
是___________．
【答案】
𝑎< 4
【分析】根据已知解集的不等号方向变化，判断不等号系数的正负，即可求出𝑎的取值范围；
【详解】解：∵不等式(𝑎−4)𝑥> 5(𝑎−4)的解集为𝑥< 5，
∴𝑎−4 < 0，
解得𝑎< 4．
5．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期末）已知2𝑚𝑥|2𝑚−1| + 3 > 0是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为
________．
【答案】1
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数为1 的不等式叫做一元一次不等式，据此求解即可．
【详解】解：∵2𝑚𝑥|2𝑚−1| + 3 > 0是关于x 的一元一次不等式，
∴|2𝑚−1| = 1，且2𝑚≠0，
∴𝑚= 1．
6．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）已知不等式3𝑥< 2(𝑥+ 3)与关于𝑥的不等式3𝑥−𝑎> 5𝑥的解集相同，
求𝑎的值．
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【答案】𝑎= −12
【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同计算即可得出结果．
【详解】解：由不等式3𝑥< 2(𝑥+ 3)，得𝑥< 6．
由不等式3𝑥−𝑎> 5𝑥，得𝑥< −
𝑎
2．
∵不等式3𝑥< 2(𝑥+ 3)与关于𝑥的不等式3𝑥−𝑎> 5𝑥的解集相同，
∴6 = −
𝑎
2，
∴𝑎= −12．
7．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）解不等式：
𝑥
2 −
2𝑥−1
3
≤1，并将解集表示在如图所示的数轴上．
【答案】𝑥≥−4，将解集表示在数轴上如图：
【分析】根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，再将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：去分母得3𝑥−2(2𝑥−1) ≤6，
去括号得3𝑥−4𝑥+ 2 ≤6，
移项并合并同类项得−𝑥≤4，
系数化为1 得𝑥≥−4
图略．
8．（25-26 七年级下·安徽六安·期末）如果关于𝑥的不等式(2 −3𝑚)𝑥< 6𝑚−4的解集为𝑥> 𝑎，求𝑎的值及
𝑚的取值范围．
【答案】𝑚>
2
3，𝑎= −2
【分析】根据题意可知，不等号的方向发生了改变，所以2 −3𝑚< 0，且𝑎=
6𝑚−4
2−3𝑚，解答即可．
【详解】解：因为关于x 的不等式(2 −3𝑚)𝑥< 6𝑚−4的解集为𝑥> 𝑎，
所以2 −3𝑚< 0，且𝑎=
6𝑚−4
2−3𝑚，
解得𝑚>
2
3，𝑎= −2．
9．（2026·北京东城·二模）解不等式
2𝑥+1
2
>
𝑥−2
4 −1，并写出此不等式的非正整数解．
【答案】
𝑥> −
8
3，非正整数解为−2，−1，0
【详解】解：
2𝑥+1
2
>
𝑥−2
4 −1
2(2𝑥+ 1) > 𝑥−2 −4
4𝑥+ 2 > 𝑥−2 −4
4𝑥−𝑥> −2 −4 −2
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3𝑥> −8
𝑥> −
8
3，
∴不等式的解集为𝑥> −
8
3，
∴该不等式的非正整数解是−2，−1，0．
10．（25-26 八年级下·四川成都·期末）一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结
合数轴观察：
解不等式|𝑥| < 3，x 表示到原点的距离小于3 的数，如图1 所示，不等式解集是−3 < 𝑥< 3；
解不等式|𝑥| > 3，x 表示到原点的距离大于3 的数，如图2 所示，不等式解集是𝑥< −3或𝑥> 3．
解答下面的问题：
(1)|𝑥| < 2的解集为__________，|𝑥−3| > 5的解集为____________________；
(2)已知关于x，y 的二元一次方程组{ 2𝑥−𝑦= 8𝑚+ 1
𝑥+ 4𝑦= −2𝑚+ 2
的解满足|𝑥+ 𝑦| ≤4，求m 的整数值；
【答案】(1)−2 < 𝑥< 2；𝑥< −2或𝑥> 8
(2)−2, −1,0,1
【分析】（1）对于第一空，仿照例题画数轴求解即可；对于第二空，设𝑚= 𝑥−3，则不等式|𝑥−3| > 5可
化为|𝑚| > 5，仿照例题画数轴求出不等式|𝑚| > 5的解集即可得到答案；
（2）把方程组中的两个方程的左右两边分别相加推出𝑥+ 𝑦= 2𝑚+ 1，则|2𝑚+ 1| ≤4；设𝑡= 2𝑚+ 1，
则不等式|2𝑚+ 1| ≤4可化为|𝑡| ≤4，仿照例题画数轴求出不等式|𝑡| ≤4的解集，进而求出m 的取值范围
即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，不等式|𝑥| < 2的解集为−2 < 𝑥< 2
设𝑚= 𝑥−3，则不等式|𝑥−3| > 5可化为|𝑚| > 5，
如图所示，不等式|𝑚| > 5的解集是𝑚< −5或𝑚> 5
∴𝑥−3 < −5或𝑥−3 > 5，
∴𝑥< −2或𝑥> 8；
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（2）解：{ 2𝑥−𝑦= 8𝑚+ 1①
𝑥+ 4𝑦= −2𝑚+ 2②
①+ ②得3𝑥+ 3𝑦= 6𝑚+ 3，
∴𝑥+ 𝑦= 2𝑚+ 1；
∵关于x，y 的二元一次方程组{ 2𝑥−𝑦= 8𝑚+ 1
𝑥+ 4𝑦= −2𝑚+ 2
的解满足|𝑥+ 𝑦| ≤4，
∴|2𝑚+ 1| ≤4；
设𝑡= 2𝑚+ 1，则不等式|2𝑚+ 1| ≤4可化为|𝑡| ≤4，
如图所示，不等式|𝑡| ≤4的解集为−4 ≤𝑡≤4，
∴−4 ≤2𝑚+ 1 ≤4，
∴−
5
2 ≤𝑚≤
3
2，
∴m 的整数值为−2, −1,0,1．
迁移创新
1．（25-26 七年级下·陕西延安·期末）对任意实数𝑎，𝑏，定义一种新运算“𝑎※𝑏”：𝑎※𝑏= 2𝑏−𝑎．例如：
(−6)※2 = 2 × 2 −(−6) = 10．若𝑥满足(2𝑥)※(1 −3𝑥) < 7，求𝑥的取值范围．
【答案】𝑥> −
5
8
【详解】解：由(2𝑥)※(1 −3𝑥) < 7得2(1 −3𝑥) −2𝑥< 7，
解得：𝑥> −
5
8，
即𝑥的取值范围为𝑥> −
5
8．
2．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】
我们把关于𝑥的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一个组合，当一元一次方程的解正好在一元
一次不等式的解集里时，称这个方程的解为“集内点”；当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里
时，称这个方程的解为“集外点”．
【问题解决】
(1)请通过计算判断组合{2𝑥−4 = 0
5𝑥−2 < 3
中方程的解是“集内点”还是“集外点”？
(2)若关于𝑥的组合{
−3𝑥−9 = 0
−
3
2 𝑥+
𝑎
2 ≥𝑎+ 1 中方程的解是“集内点”，求𝑎的取值范围．
【答案】(1)方程的解是“集外点”；
(2)𝑎≤7．
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【分析】（1）解方程和不等式，得到方程的解不在一元一次不等式的解集里，即可得到答案.
（2）解方程和不等式，根据方程的解是“集内点”得到关于𝑎的一元一次不等式，解不等式即可得到答案.
【详解】（1）解：解方程2𝑥−4 = 0，得𝑥= 2，
解不等式5𝑥−2 < 3，得𝑥< 1，
∵𝑥= 2不在𝑥< 1里，
∴方程的解是“集外点”；
（2）解：解方程−3𝑥−9 = 0，得𝑥= −3，
解不等式−
3
2 𝑥+
𝑎
2 ≥𝑎+ 1，得𝑥≤
−𝑎−2
3 ，
由题意，得
−𝑎−2
3
≥−3，
解得𝑎≤7．
