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分层作业
29.1.2 过三点的圆
目 录
A 组 巩固过关
题型01 外心概念的辨析
题型02 外心的确定
题型03 求外心的坐标
题型04 求三角形外接圆的半径
题型05 外心性质的应用
题型06 确定圆的条件
题型07 列举反证法的反例
题型08 用反证法证明
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
外心概念的辨析
1．对于三角形的外心，下列说法正确的是（ ）
A．它到三角形三边的距离相等
B．它是三角形三条高的交点
题型01
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C．它一定在该三角形的内部
D．它到三角形三个顶点的距离相等
2．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
3．（25-26 八年级上·江苏无锡·阶段检测）以下命题：①经过三点一定可以作一个圆；②优弧一定大于劣
弧③相等的弦所对的弧也相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中错误的个数是
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
4．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
外心的确定
5．（25-26 九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定ABC
的外心的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点
A B
C
D
E
F
G
，，，，，，
在小正方形的顶点上，则ABC
的外心是（ ）
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
7．（2026·河南商丘·二模）如图，在Rt BAC
中，
90
C
=
，
8
AC = ，
6
BC =
，P 是AC 的中点，用无刻度
直尺和圆规作图并解答问题．
题型02
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(1)以AP 为直径作
O
，
O
与BA交于点Q，连接PQ ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求PQ 的长度．
求外心的坐标
8．（25-26 九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点
(
)
0,3
A
，
(
)
2,1
B
，
(
)
2, 3
C
−
，则
ABC
的外心坐标是（ ）
A．(
)
2, 2
−
−
B．(
)
2, 1
−
−
C．(
)
1, 2
−
−
D．(
)
1, 1
−
−
9．（25-26 九年级上·广东广州·阶段检测）ABC
在平面直角坐标系中的位置如图所示，
(
)
(
)
(
)
2,4 ,
4,2 ,
3,1
A
B
C
−
−
−
．其中每个小正方形的边长为1 个单位长度，按要求作图：
(1)将ABC
绕点O逆时针旋转90得到
A B C
△
；
(2)求出（1）中旋转过程点C 经过的路径长；
(3)连接BB，
OBB
△
的外心坐标是_________．
题型03
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求三角形外接圆的半径
10．在ABC
中，
5
AB = ，
3
AC =
，
4
BC =
，那么ABC
的外接圆半径为（ ）
A．5
B．3
C．2
D．5
2
11．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为_________．
外心性质的应用
12．如图，已知点O是ABC
的外心，
55
A
=
，连接BO
CO
，
，则
BOC
的度数是（ ）
A．100
B．90
C．110
D．70
13．（2025·河北邯郸·三模）对于题目：“已知：点O 为ABC
的外心，
120
BOC
=
，求
A
的度数．”小
亮的解答：画出ABC
以及它的外接圆
O
，连接OB ，OC ，如图，由
2
120
BOC
A
= =
，得
60
A
=
．下列判断正确的是（ ）
A．小亮的求解不正确，
60
A
=
或120
B．小亮的求解正确
C．小亮的求解不正确，
A
应该等于65
D．小亮的求解不正确，
A
的度数不固定
题型04
题型05
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14．（25-26 九年级上·福建南平·期末）如图，在直角三角形ABC 中，
90
ACB
=
，点D 在ABC
外接圆
上，且CD平分
ACB
，则
BAD
的大小为（ ）
A．30
B．45
C．60
D．随点C 的位置变化而变化
确定圆的条件
15．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块
去？（ ）
A．①
B．②
C．③
D．都可以
16．（25-26 九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知A
B
C
D
、、、
为平面内不重合的四个点，且这四点不在同
一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
17．（25-26 九年级上·广西崇左·阶段检测）当
(
)
1,2
A
，
(
)
3, 3
B
−
，
(
)
5,
C
n 三点可以确定一个圆，求n 的取值
范围．
题型06
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列举反证法的反例
18．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题结论“a 是负数”时，应先假设（ ）
A．
0
a
B．
0
a
C．
0
a =
D．
0
a
19．已知ABC
中
B
C
，求证AB
AC
．若用反证法证这个结论，应首先假设（ ）
A．
B
C
=
B．
A
B
=
C．AB
AC
=
D．
A
C
=
20．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45”时，应
先假设（ ）
A．有两个锐角都不大于45
B．只有一个锐角不大于45
C．有两个锐角都大于45
D．只有一个锐角大于45
用反证法证明
21．（25-26 七年级下·江苏无锡·阶段检测）用反证法证明命题：“若
2
2
a
b
，且
0,
0
a
b
，则a
b
”．
22．（25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，AB
AC
，求证：
45
C
．（用
反证法证明）
23．（25-26 七年级下·福建福州·期末）根据题意，完成下列各题
(1)证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明）
(2)在ABC
中，若
C
B
，求证：AB
AC
．
24．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）如图，用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”这个结论
时，可假设（ ）
题型07
题型08
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A．1
2
180
+=
B．1
2
180
+
C．1
2
l
l
∥
D．1l 与2l 不平行
25．如图，点A，B ，C ，D 均在直线l 上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个
数为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
26．（2026·山东德州·一模）如图，AB
AC
=
，
42
A
=
，O 是ABC
的外接圆圆心，连接BO并延长，交
AC 于点D ，则
BDC
的度数为（ ）
A．69
B．96
C．63
D．48
27．（2026·河北石家庄·二模）如图，O 是ABC
的外心，则1
2
3
++=________．
28．（2026·河南平顶山·一模）如图，
ABC
是圆内接三角形，AB 为圆的直径．
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(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)过点O的直线MN 交BC 的延长线于点E ，D 为边AC 的中点，连接OD ，OC ，DE ．若
2
BC
CE
=
，求
证：四边形OCED是平行四边形．
29．（24-25 九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，ABC
中，
.
AB
AC
=
(1)用直尺和圆规作ABC
的外接圆
O
（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若
5
AB
AC
=
= ，
6
BC =
，求ABC
的外接圆
O
的半径．
30．（2026·河北保定·三模）如图，在平行四边形ABCD中，
44
B
ACB
=
=
，点E ，点F 分别从点B ，
点C 同时出发，在线段BC 上做等速运动，到达C 点，B 点后运动停止．
(1)求证：ABF
ACE
≌
；
(2)若AB
BF
=
，求
EAF
的度数；
(3)若
ACF
△
的外心在其内部时，求
BEA
的取值范围．
31．（25-26 七年级下·上海虹口·期末）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．反证法是数学中
常用的一种证明方法，其步骤是：（1）先假设求证的结论是错误的；（2）由此推导出与已知定义、公理、
定理或条件等相矛盾的结果；（3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性．
如图，已知：直线1l 、2l 被直线3l 所截，3l 分别交1l 、2l 于点M 、N ，1
2
180
+=
，
求证：1
2
l
l
∥．
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把以下证明过程补充完整
(1)证法一：如图1，假设直线1l 与直线2l 不平行，且1l 与2l 相交于点P ，
所以1
2
P
++=____________（ ），
所以1
2
+____________180 ，这与“ 1
2
180
+=
”矛盾，
故假设不成立，所以1
2
l
l
∥．
(2)证法二：如图2，假设直线1l 与直线2l 不平行，那么可以过点M 作直线
2
GH
l
∥，则1
HMN
．
因为
2
GH
l
∥，
所以
2
180
HMN
+
=
（ ），
因为1
2
180
+=
，
所以_________________（ ），
这与“ 1
HMN
”矛盾，故假设不成立，所以1
2
l
l
∥．
32．（25-26 九年级上·湖北武汉·期末）如图，由小正方形组成的6 6
网格，每个小正方形的顶点叫做格
点，A，B ，C 三点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（每个问题的画线不得超过四
条）
(1)在图1 中，确定ABC
的外心O；
(2)在图1 中，画出线段AC 的垂直平分线；
(3)在图2 中，确定一个不与B 点重合的格点E ，使得
AEB
ACB
=
；
(4)在图2 中，在BC 边上确定一点F ，使
45
AFB
=
．
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33．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”
时，应先假设（ ）
A．三个角都小于或等于60
B．三个角都大于或等于60
C．三个角都小于60
D．三个角都大于60
34．已知点
(
)
1
1
,
A x y
、
(
)
2
2
,
B x
y
为抛物线
2
2
1
y
ax
ax
=
−
+ （a 为常数，
0
a
）上的两点，当
1
1
t
x
t
+ ，
2
2
3
t
x
t
+
+ 时（ ）
A．若
1
t ，则
1
2
y
y
B．若
1
2
y
y
，则
1
t −
C．若
1
t − ，则
1
2
y
y
D．若
1
2
y
y
，则
1
t
35．（25-26 七年级下·北京昌平·期末）某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根
据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发
出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（ ）
A．甲是后卫，乙年龄最小
B．乙是后卫，丙年龄最小
C．甲是后卫，丙年龄最小
D．乙是后卫，乙年龄最小
36．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
有两个不相等的有理根，则a，b，c 不可能全为奇数”时，应先假设（ ）
A．a，b，c 全为偶数
B．a，b，c 至多有一个奇数
C．a，b，c 全为奇数
D．a，b，c 至多有两个奇数
37．（25-26 九年级上·北京西城·阶段检测）已知
4
AB =
，点C 满足
90
ACB
=
，作射线BM ，使得
30
ABM
=
，作CH
BM
⊥
于点H，则BH 长的最大值是（ ）
A．2
3
+
B．
3
1
2
+
C．1
3
+
D．2
2
+
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38．如图，二次函数
2
3
3
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象与x 轴交于
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
两点，与y 轴交于点C ，连结
AC ，BC ，则
ACB
=________°；设点P 是该抛物线对称轴上的一点，若
60
APC
=
，则点P 的坐标为
_______．
39．（2026·江苏连云港·三模）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相
等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10 的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的
半径为______．
40．（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内
或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形
的最小覆盖圆．
爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小
覆盖圆吗？如图，在ABC
中，
120
C
=
，
3
AC =
，
2
BC =
．
(1)在图中，作出ABC
的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2) ABC
的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出ABC
的最小覆盖圆的
直径．
41．（2026·陕西·模拟预测）问题提出
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（1）如图1，在等边三角形ABC 中，
8cm
AB =
，D 是边BC 上的一点，且
3
BD
cm
=
，连接AD，求
ABD
的面积；
问题解决
（2）如图2，某园区管理员准备规划一块平行四边形的土地ABCD用来种植花卉，并在其中修一条观赏小
路BE（小路的宽度不计），点E 在AD边上．若要求：
120 ,
2
ABC
AE
ED
=
=
，
200m
BE =
．请问是否存
在满足上述条件的面积最大的
ABCD
？若存在，求出其最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根
号）
42．（2026·广东茂名·二模）问题提出
(1)如图①，在ABC
中，
30
A
=
，
4
BC =
，求ABC
面积的最大值______．
问题探究
(2)如图②，点A是
B
上任意一点，点C 在
B
外，已知
2
AB =
，
4
BC =
，ACD
是等边三角形，求
BCD
的面积最大值；
问题解决
(3)如图③，线段AB 为
O
的直径，点C 在AB 的延长线上，
40
AB =
，
20
BC =
，点P 是
O
上一动点，
连接CP ，以CP 为斜边在PC 上方作Rt
PCD
△
，使
60
DCP
=
，连接AD，求ACD
的面积最大值．
43．（2026·福建南平·二模）如图，二次函数
2
(
1)
y
x
m
x
m
−
−
=
−
+
（其中
1
m ）的图象与x 轴交于A、B 两
点，与y 轴交于点C．
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(1)点B 的坐标为______，点C 的坐标为_______；
(2)若点D 为ABC
的外心，判断BCD
的形状并说明理由；
(3)若点D 为ABC
的外心，BCD
与ACO
的面积之比为5:8，求二次函数的表达式．
44．（2026·江苏连云港·中考真题）下列命题为真命题的是（ ）
①若
2
2
a
b
=
，则a
b
=
；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5 的整数，能被5 整除；
④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等．
A．①②⑤
B．③④
C．④⑤
D．①③
45．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连
续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1 为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续
的弧连成一圈．图2 为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
(1)若将图2 中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”；
(2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2 中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
46．（2026·安徽·中考真题）项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足
2
2
2
a
b
c
+
=
的正整数a ，b ，c 是勾股
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数，记为(
)
, ,
a b c ．
设m ，n 为正整数，且m
n
，因为(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
−
+
=
+
，所以(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
为勾股
数．本项目只研究形如(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
的勾股数．
【规律探究】
分别对m ，n 进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
m
n
勾股数(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
序号
2
1
(
)
3,4,5
1
3
1
(
)
8,6,10
2
2
(
)
5,12,13
3
4
1
(
)
15,8,17
4
2
(
)
12,16,20
5
3
(
)
7,24,25
6
…
…
…
…
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
(1)
5
m =
，
1
n = 对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____；
(2)勾股数(
)
35,12,37 对应的m = _____，n =_____；
(3)序号为15 的勾股数是（_____，_____，_____）．
【项目拓展】
(4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1 依次增大到6 的过程中，勾股数中
2
2
m
n
+
的值随着序号的增
大而增大．他猜想：在序号从6 依次增大到16 的过程中，
2
2
m
n
+
的值也会随着序号的增大而增大．请问
他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
