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分层作业
25.3 实际问题与一元二次方程
目录
A 组巩固过关
题型01 传播与增长率问题
题型02 几何图形问题
题型03 动态问题与数字问题
题型04 营销问题
题型05 循环比赛和握手问题
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
传播与增长率问题
1．C
2．C
3．B
4．
2
1000 1
1440
x
5．【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：
2
2000(1
)
3380
x
解得：
1
0.3
30%
x
，
2
2.3
x
（不合题意舍去）
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答：这两日定制量的日平均增长率是30% ．
题型02
几何图形问题
6．C
7．A
8．D
9．【详解】（1）解：∵装裱后左右两边的边宽分别是cm
x
，右边宽与天头长的比为1:5 ，
∴天头长和地头长分别是5 cm
x
；
故答案为：5x
（2）解：由题意得：
60
2 5
24
2
2240
x
x
，
整理得：
2
18
40
0
x
x
，
解得：
1
2
x
，
2
20
x
（不符合题意，舍去），
答：装裱后右边宽是2cm ．
10．【详解】解：设
m
AC
x
，则
42
3
m
CD
x
，
∵围成的售卖区的面积为
2
120m ，
∴根据题意列一元二次方程得，
42
3
120
x
x
，
2
3
42
120
0
x
x
，
解得
1
4
x
，
2
10
x
，
当
4
x
时，
42
3 4
30
16
CD
，不合题意，舍去，
当
10
x
时，
42
3 10
12
16
CD
，符合题意，
∴
10
x
，
∴AC 的长为10m ．
题型03
动态问题与数字问题
11．A
12．A
13．【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，
即
8
4
2 m/s
，
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故小球的滚动速度平均每秒减少2m/s ．
（2）解：①这段时间内小球的平均速度
8
8
2
8
m/s
2
t
v
t
；
②由题意得：
8
12
t
t
，
整理得：
2
8
12
0
t
t
，
解得：1
2
t
，2
6
t
，
∵
4
t
，
∴2
6
t
不符合题意，
∴
2
t
.
14．【详解】解：（1）
较小的数是3，
较大的数是4，
它们的平方和是
2
2
3
4
25
．
答：它们的平方和是25；
（2）设较小的正整数是x ，则较大的正整数是
1
x ，
根据题意得：
2
2
1
145
x
x
，
整理得：
2
72
0
x
x
，
解得：
1
8
x ，
2
9
x （不符合题意，舍去），
1
8 1
9
x
．
答：这两个正整数分别是8 和9．
15．【详解】解：（1）由题中规律可得
35
4 5 1
4 5 1
2 1
4 5 1
2 2
4 5 1
2 3
4 5 1
2 4
21
23
25
27
29
，
如果将
35 写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是21
（2）由题意可得规律为
3
1
1
1
1
2 1
1
1
2
2
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
，
将
3
n 写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是
1
1
n n
，
则
1
1
73
n n
，
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1
72
n n
，
n
Q
为正整数，
1
n
和n 是相邻的两个正整数，则由72
8 9
可知，
9
n
．
题型04
营销问题
16．【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为
90
2
15
120
2
x
x
；
（2）解：根据题意可得，
12
120
2
640
x
x
，
解得
1
20
x
，
2
52
x
（舍去）．
答：该商品的售价为20 元．
17．【详解】解：设智能摆件的销售价为x 元，
根据题意得：
60
20
2 100
1050
x
x
解得：
95,
75
x
x
．当优惠力度最大时，
75
x
．
答：智能摆件的销售价为75 元．
18．【详解】（1）已知冰墩墩的进价是80元，原售价为100元，上涨x 元，那么售价为
100
x
元，
每天可销售500 件，在此基础上售价每涨1 元，那么每天的销售量就会减少10 件，上涨x 元后，减少的销
售量为10x 件，所以销量为
500 10x
件；
故答案是：100
x
；500 10x
．
（2）由题意得：
100
80
500 10
12000
x
x
，
化简得：
2
30
200
0
x
x
，
1
10
x
，
2
20
x
，
当
10
x
时，售价为100 10
110
（元），此时销量为500
10 10
400
（件）；
当
20
x
时，售价为100
20
120
（元），此时销量为500 10
20
300
（件）；
要使销量尽可能大，
10
x
，此时售价为110元．
19．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意得：
2
5000 1
7200
x
，
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解得
1
2
0.2
20%,
2.2
0
x
x
（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20% ；
（2）解：设增加y 条生产线，
由题意得：
900
30
1
3900
y
y
．
解得
1
2
4
25
y
y
，
，
∵生产线越多，投入越大，
∴
25
y
不符合题意，舍去，
答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，应该增加4 条生产线．
20．【详解】解：根据题意得：
2
8.1
4.1 120
3
64
400
368
x
x
x
，
整理得：
2
20
96
0
x
x
，
解得：
1
8
x ，
2
12
x
（不符合题意，舍去）．
答：x 的值为8．
题型05
循环比赛和握手问题
21．【详解】解：∵八（1）班共有n 名学生，同学之间互赠书签，即每名同学需要向除自己以外的其他同学
各赠送1 张书签，
∴每名同学送出
1
n
张书签，n 名同学送出书签的总张数为
1
n n
，
又已知共赠主题书签2450 张，
∴可列方程
1
2450
n n
．
22．B．
23．D．
24．A
25．
1
420
x x
【详解】解：设该群共有x 人，则每人需要给其他
1
x
人发红包，
∴每人发红包数为
1
x
个，由于有x 人，
∴总红包数为
1
x x
个，
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∴列方程得
1
420
x x
，
故答案为：
1
420
x x
．
26．C
27．【详解】（1）解：设
m
DG
x
，由
:
1: 2
DG BE
得
2 m
BE
x
，
扩建后矩形AEFG 的长为(10
)m
x
，宽为(8
2 )m
x
，
根据总面积列方程：
10
8
2
110
x
x
，整理得：
2
14
15
0
x
x
，
解得：
1
1
x ，
2
15
x
（长度不能为负，舍去），
因此
1m
DG
，
2m
BE
，
即长增加了1m，宽增加了2m；
（2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为10
1
11m
，宽为8
2
10m
，
将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度1m ，
因此试验园地面积为：
2
11 1
10 1
10 9
90m
．
28．【详解】（1）解：
65
1 60%
65 40%
26
（千克），
答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是26 千克．
（2）解：（i）由题意得到，下降后的润滑用油量为
80
x
千克，用油的重复利用率提高为
60
%
x
．
（ii）由题意可得，
80
1 60%
%
12
x
x
，
解得，
1
2
20,
100
x
x
（不合题意，舍去），
∴加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了20 千克．
∴80
20
60
．
答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是60 千克．
29．【详解】（1）解：设黄翅鱼的单价为x 元/斤，则石斑鱼的单价为1.5x 元/斤．
根据题意，960
960
20
1.5
x
x
，
解得
16
x
，
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检验：当
16
x
时，1.5
0
x
，
所以
16
x
是原方程的解，
则石斑鱼的单价为：1.5
1.5 16
24
x
（元/斤）．
答：黄翅鱼单价为16元/斤，石斑鱼单价为24 元/斤；
（2）解：第一次购买石斑鱼的数量：960
40
24
（斤），
第二次购买时，石斑鱼的数量为
40
2m
斤，黄翅鱼的数量为
80
40
2
40
2
m
m
斤；
石斑鱼的单价变为
24
m
元/斤，黄翅鱼单价仍为16元/斤．
根据题意，
16 40
2
24
40
2
1280
m
m
m
，
解得
20
m
（不合题意，舍去）或
8
m
．
答：m 的值为8．
30．【详解】（1）解：依题意，方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC 为
80
2
cm
x
，底面宽AB 为
60
2
cm
x
．
（2）解：∵无盖收纳盒的底面长
80
2
cm
BC
x
，底面宽
60
2
cm
AB
x
，底面积为
2
2400cm ，
80
2
60
2
2400
x
x
，
解得
10
x
或
60
x
，
底面宽60
2
0
x
，即
30
x
，
60
x
舍去，
10
x
，
答：裁去小正方形的边长x 的值为10；
（3）解：根据题意可知，收纳盒的高为cm
b
，
则盒子的底面的矩形MNOP 中
60
2
cm
MN
b
，
1 80
2
40
2
NO
b
b cm
，
∵收纳盒的底面积为
2
1750cm ，
60
2
40
1750
b
b
，
解得
5
b
或
65
b
（不合题意，舍去），
∴收纳盒的高为5cm ，
60
2 5
50 cm
MN
，
40
5
35 cm
NO
，
32
50
，22
35
，4
5
<
，
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∴书本能完全放入该收纳盒内．
31．【详解】（1）解：设所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为x ，
由题意得，
2
100 1
144
x
，
解得
0.2
20%
x
或
2.2
x
（舍去），
答：所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为20% ；
（2）略
32．6789
2178
33．【详解】（1）解：当中间部分种植面积是
2
13552m 时，则有：
(100
4 )(160
2 )
13552
x
x
整理得：
2
105
306
0
x
x
，
解得，
1
3
x ，
2
102
x
，
∵2.5
6
x
，
∴
102
x
不符合题意，
∴
3
x
，
答：小路的宽为3 米符合要求；
（2）解：设草莓存放了m 天，根据题意得：
8
0.4m 1000 10m
8000
200m
800
，
整理得：
2
30
200
0
m
m
解得，
1
2
10,
20
m
m
（超出最大保存期限，舍去）
答：在第10 天出售．
34．【详解】（1）解：设A 杆的长度为cm
a
，B 杆的长度为cm
b
，
根据题意，得
2
70
2
10
a
b
b
a
，
解得
50
30
a
b
，
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答：A 杆的长度为50cm ，B 杆的长度为30cm ．
（2）解：根据题意，横杆距地面50cm ，
∴投影布下边缘距地面：
50
20
x
cm
根据题意，得50
20
26
x
，
解得
4
x
，
又
5
x
，
0
x
，
∴0
4
x
．
（3）解：根据题意，得
25
20
2
1920
k
k
整理，得
2
2
3.84
0
k
k
解得
1.2
k
或
3.2
k
（舍去）．
即缩放比例因子
1.2
k
．
35．
【详解】（1）解：
2
4
21
0
0
x
x
x
，
4
21
x x
，
将
4
21
x x
看作一个长为x ，宽为
4
x
，面积为21 的矩形，
很容易观察出构图是③．
（2）解：
2
2
3
2
0
x
x
，
第一步：将原方程变为
2
3
1
0
2
x
x
，即
3
1
2
x x
；
第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：
2
2
3
3
4 1
2
2
x
x
，解得原方程的一个根为
1
2
x
；
故答案为：
3
2
x
，
2
2
3
3
4 1
2
2
x
x
，1
2 ．
（3）解：由条件可知
2x
ax
b
，
x x
a
b
，
四个小矩形的面积各为b ，大正方形的面积是
2
x
x
a
，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方
形的面积，即
2
4 b
a
，
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由条件可知
2
3,
4
b
a
，解得
3,
2
b
a
，
当
2
a
时，
2
2
4 3
4
x
x
，
2
2
4
x
，
1
x ，方程的一个正根为1；
当
2
a 时，
2
2
4 3
4
x
x
，
2
2
4
x
，
3
x
，方程的一个正根为3；
综上所述，方程的一个正根为1 或3，
故答案为2
，3，1 或3．
36．【答案】(1)
1
1
60
6
y
x
(2)①
2
1
90
3
y
x
；②80；
2y 随x 的增大而减小，因此当
30
x
时，
2y 取得最大值80
(3)当日该产品的产量应该定为60 千克比较合理，理由如下：
根据题意可列方程：
2
1
1200
y
y
x
，
∴
1
1
90
60
1200
3
6
x
x
x
，
整理，得
2
180
7200
0
x
x
，
解得
1
60
x
，
2
120
x
，
当
60
x
时，总成本为60 50
3000
（元）；当
120
x
时，总成本为120
40
4800
（元），
∴当日该产品的产量应该定为60 千克，总成本更低，更合理．
【分析】（1）容易判断
1y 与x 成一次函数关系，使用待定系数法求出关系式即可；
（2）①使用待定系数法求出函数关系式；②利用一次函数的增减性结合x 的取值范围求出
2y 的最大值；
（3）根据题意列出方程，求解出x 的值，对比两种方案的总成本即可得出结论．
【详解】（1）解：由表格可知，日产量x 每增加30千克，每千克的成本
1y 会下降5元，
∴
1y 与x 成一次函数关系，
设
1
1
1
y
k x
b
，
将
30
x
，
1
55
y
；
60
x
，
1
50
y
，代入
1
1
1
y
k x
b
，得，
1
1
1
1
55
30
50
60
k
b
k
b
，
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解得
1
1
1
6
60
k
b
，
∴
1
1
60
6
y
x
；
（2）解：①设
2
2
2
y
k x
b
，
将
0
x
，
2
90
y
；
120
x
，
2
50
y
，代入
2
2
2
y
k x
b
，得，
2
2
2
90
50
120
b
k
b
，
解得
2
2
1
3
90
k
b
，
∴
2
1
90
3
y
x
；
②∵
1
0
3
，
∴
2y 随x 的增大而减小，
又∵30
120
x
，
∴当
30
x
时，
2y 取得最大值
1
30
90
80
3
（元）．
（3）略
37．【详解】（1）解∶由表格数据可知，反应距离
1d
m 与行驶速度
km/h
v
成正比例关系．
设
1d
kv
，将
40,8 代入得∶8
40k
，解得
1
5
k
，
∴反应距离
1d
m 与行驶速度
km/h
v
的函数关系式为
1
1
5
d
v
，
∵停车距离反应距离制动距离，制动距离
2
d
m 与行驶速度
km/h
v
的关系为：
2
3
²
500
d
v
，
∴停车距离
d m 与行驶速度
km/h
v
的函数关系式
2
3
1
0
500
5
d
v
v v
．
（2）解：当
120
v
时，
2
3
1
3
120
120
14400
24
86.4
24
110.4 m
500
5
500
d
；
根据《中华人民共和国道路交通安全法》第六十八条，警告标志应设置在故障车来车方向150 米以外．
∵110.4
150
，
∴150 米的安全距离足够．
答：至少需与故障车辆保持110.4 米的距离才能安全停车；150 米的安全距离足够．
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（3）解：根据题意，令
80
d
，得∶
2
3
1
80
500
5
v
v
，
整理得∶
2
3
100
40000
0
v
v
，解得：
1
100
v
或
2
400
3
v
(不合题意，舍去)．
所以车速不超过100km/h ．
建议：在高速公路上行驶时，应时刻关注前方路况保持安全车距，遇有警告标志应提前减速，确保行车安
全．
38．
【详解】（1）解：设BD 的长为m
x
，由题意，
118
2
2
2
2
62
m
2
x
DH
x
，
则：
62
925
x
x
，
解得
25
x
或
37
x
（不合题意，舍去）；
故BD 的长为25m ；
（2）不能，理由如下：
设HG 的长为m
y
，由题意，当118
2
2 2
2
468
2
y
y
y
时，
解得
13
y
或
18
y
，
当
13
y
时，
118
2 13
2 2
2
13
36
13
2
EH
，即EH
DE
，不符合题意，舍去；
当
18
y
时，
118
2 18
2 2
2
18
26
18
2
EH
，即EH
DE
，不符合题意，舍去；
故矩形配料区FEHG 的面积不能达到
2
468m ；
（3）由（1）可知：
62
DH
GH
，
由题意，可知：
5
1
62
2
GH
GH
DH
GH
，
解得
93
31 5 m
GH
．
39．
【详解】（1）解：第1 个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为2
3
3
2
；
第2 个展览架中花卉的盆数为5
1
4
=
+
，盆景的盆数为3 4
6
2
；
第3 个展览架中花卉的盆数为11
1
4
6
，盆景的盆数为4 5
10
2
；
第4 个展览架中花卉的盆数为19
1
4
6
8
，盆景的盆数为5 6
15
2
；
∴第5 个展览架中花卉的盆数为
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1
4
6
8 10
29
，盆景的盆数为6 7
21
2
．
（2）解：第1 个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为2
3
3
2
；
第2 个展览架中花卉的盆数为5
1
4
=
+
，盆景的盆数为3 4
6
2
；
第3 个展览架中花卉的盆数为11
1
4
6
，盆景的盆数为4 5
10
2
；
第4 个展览架中花卉的盆数为19
1
4
6
8
，盆景的盆数为5 6
15
2
；
第5 个图案中花卉的盆数为29
1
4
6
8 10
，盆景的盆数为6 7
21
2
．
第n 个展览架中花卉的盆数为
1
4
6
8
2n
……
1
2
4
6
8
2
2
n
……
1
2 1
2
3
2
n
1
1
2
2
2
n n
1
1
n n
2
1
n
n
．
盆景的盆数为
2
1
2
1
3
1
2
2
2
n
n
n
n
．
（3）解：设第x 个展览架中花卉比盆景多43 盆，
由题意得
2
2
1
3
1
1
43
2
2
x
x
x
x
，
整理得
2
90
0
x
x
，解得：
10
x
或
9
x （不合题意，舍去），
当
10
x
时，即第10 个展览架中盆景的盆数为
2
1
3
10
10
1
66
2
2
．
所以展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长66 米．
40．【详解】（1）解：
奶茶甜度t 溶解在奶茶中糖的质量
奶茶的总质量
，
该奶茶的甜度
40
0.1
400
．
（2）解：
一杯a 克七分糖奶茶含糖0.7b ，
1
0.7b
t
a
，
一杯a 克五分糖奶茶含糖0.5b 克，再加入0.2b 克糖后，含糖0.7b 克，总质量为(
0.2 )
a
b
克，
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2
0.7
0.2
b
t
a
b
，
0
a
，
0
b
，
0.2
0
a
b
a
，
0.7
0.7
0.2
b
b
a
b
a
，
即1
2
t
t
．
（3）解：设一杯a克五分糖奶茶需要再加入m 克糖才能与七分糖奶茶的甜度一样，
加入m 克糖后，糖的质量为(0.5
)
b
m
克，奶茶总质量为(
)
a
m
克，
0.5
0.7
b
m
b
a
m
a
，
解得，
0.2
0.7
ab
m
a
b
，
经检验，
0.2
0.7
ab
m
a
b
是原方程的解，且符合题意．
答：需要再加入0.2
0.7
ab
a
b
克糖．
（4）解：操作1 后，甲杯含糖量为
0.3
0.3
0.7
(
)
b
b
ab
bx
a
x
x
a
a
a
克，
甲杯甜度为
2
0.3
0.7
ab
bx
a
，
操作1 后，乙杯含糖量为
0.3
0.7
(
) b
b
ab
bx
a
x
x
a
a
a
克，
乙杯甜度为
2
0.7
ab
bx
a
，
操作2 后，甲杯含糖量为
2
2
2
2
2
0.3
0.7
0.7
0.3
1.4
1.4
(
)
ab
bx
ab
bx
a b
abx
bx
a
x
x
a
a
a
克，
操作2 后，甲杯甜度为
2
2
3
0.3
1.4
1.4
a b
abx
bx
a
，
五分糖奶茶的甜度为0.5b
a
，
2
2
3
0.3
1.4
1.4
0.5
a b
abx
bx
b
a
a
，
整理，得，
2
2
7
7
0
x
ax
a
，
1
2
7
21
7
21
14
14
x
a
x
a
，
，
0.5
x
a
，且
0
x
，
7
21
14
x
a
．
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41．A
42．C
43．【详解】（1）解：设y 与x 的函数表达式为y
kx
b
，
将点
30,40 和点
40,30 的代入得：
30
40
40
30
k
b
k
b
，
解得：
1
70
k
b
，
y 与x 的函数表达式为
70
y
x
；
（2）解：根据题意得：
20
70
525
x
x
，
整理得：
2
90
1925
0
x
x
，
解得：
1
35
x
，
2
55
x
，
尽可能的让利于顾客，
35
x
，
即该款文创产品每件的售价为35 元．
