文档文本内容
13.1 三角形的概念
课标要点
1.掌握三角形的有关概念，会用符号表示三角形，会对三角形进行分类
2. 经历从具体图形到抽象概念的形成过程，发展几何直观与抽象能力，提高学生的探
索能力，分类活动中体会分类讨论思想
3. 感受三角形在现实生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系；养成严谨、规
范的数学表达习惯，培养主动探究的学习习惯
学习重难点
重点：
掌握三角形的定义、基本要素（边、角、顶点）及表示方法
难点：
理解三角形的分类标准（按角分：锐角、直角、钝角三角形；按边分：等边、底边和腰
不相等的等腰、不等边三角形）
第十三章
三角形
知识点一 三角形的定义
定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。
即学即练
．．．．
1.下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点二 三角形有关概念
三角形的表示方法：
三角形用符号“△”表示，记作“△ABC”读作“三角形ABC”.△ABC 还可记作：△BCA, △CAB, △ACB
特别提醒
1）三点共线 → 不是三角形
2）曲线、折线围成 → 不是三角形
三角形的边：AB、AC、BC.（c、b、a)
三角形的顶点：A、B、C.
三角形的内角： ∠ A、 ∠ B、 ∠ C.
即学即练
．．．．
1.在△𝐷𝐸𝐹中，𝐷𝐸边的对角是（ ）
A．𝐷𝐹
B．∠𝐷
C．∠𝐸
D．∠𝐹
2.如图，图中三角形的个数为________；以𝐴𝐵为边的三角形是_________________，以∠𝐶为一个内角的三
角形是____________________．
3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝐵𝐶,𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为E．
(1)写出以点C 为顶点的三角形；
(2)写出以∠𝐴为角的三角形；
(3)写出以𝐵𝐷为边的三角形；
(4)找出图中的直角三角形和等腰三角形．
特别提醒：在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大
三角形，然后再数三个，四个三角形组成的三角形
知识点三 三角形的分类
三角形的分类：按角分
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
按角分类
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形的分类：按边分
三边都不相等三角形
等腰三角形
等边三角形
按边分
三边都不相等三角形
等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
等腰三角形有关概念
相等的两条边都叫腰；另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
即学即练
．．．．
1.如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．无法判断
2.用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ）
A．
B．
特别提醒：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形
C．
D．
3.已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边长，且|𝑎−𝑏| + (𝑏−𝑎)2 = 0，则△𝐴𝐵𝐶的形状是（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
题型01 三角形的识别
典｜例｜精｜析
例1.下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变｜式｜巩｜固
1.下列图形中，是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（ ）
解题贴士
掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键.
A．
B．
C．
D．
题型02 三角形的边、角和顶点
典｜例｜精｜析
例2.如图，下列四个三角形中，以∠𝐴为角的三角形是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐸
B．△𝐵𝐶𝐷
C．△𝐵𝐶𝐸
D．△𝐶𝐷𝐸
变｜式｜巩｜固
3.如图，图中有______个三角形；其中以𝐴𝐵为边的三角形有______；以∠𝐴𝐶𝐵为内角的三角形有______；
在△𝐵𝑂𝐶中，𝑂𝐶的对角是______，∠𝑂𝐶𝐵的对边是______．
4.如图所示：
(1)图中一共有______个三角形，它们分别是______；
(2) △𝐶𝐷𝐸和△𝐵𝐶𝐷的公共角是______，公共边是______；
(3)在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴的对边是______；
(4)在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐸𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵是边______和______的对角．
解题贴士
解题关键是理解三角形的边、角和顶点的概念
题型03 数三角形的个数
典｜例｜精｜析
例3. 如图中三角形的个数是（ ）
A．4
B．6
C．9
D．5
变｜式｜巩｜固
5.如图，已知点A，B，C 在直线a 上，点D，E，F，G 在直线b 上，以点A，B，C，D，E，F，G 中的任意
三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（ ）
A．9 个
B．30 个
C．20 个
D．27 个
6.如图，图中有________条线段，________个三角形．
解题贴士
在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大三角形，然
后再数三个，四个三角形组成的三角形.
题型04 判断三角形的形状
典｜例｜精｜析
例4.在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= 90°，则△𝐴𝐵𝐶是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上三种情况都有可能
变｜式｜巩｜固
7.若𝑎,𝑏,𝑐为△𝐴𝐵𝐶的三边长，且(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐) = 0，则△𝐴𝐵𝐶一定是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形
8. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，∠𝐵𝐴𝐶是钝角，E 是𝐷𝐶上一点，且∠𝐵𝐴𝐸是锐角，𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，
垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形．
题型05 等腰三角形
典｜例｜精｜析
例5.已知等腰三角形的底边和腰长分别为6 cm和7 cm，那么这个三角形的周长为________cm ．
变｜式｜巩｜固
9.已知𝑎，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的两边，且满足𝑎2−𝑐2 = 0，则△𝐴𝐵𝐶的形状一定是__________．
10.用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三角形．如果底边长是腰长的一半，求腰长；
解题贴士
三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角
三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
有两边相等的三角形叫作等腰三角形，三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰
三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.
解题贴士
等腰三角形中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
题型06 三角形有关概念辨析
典｜例｜精｜析
例6.下列说法正确的是（ ）
A．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形
B．等边三角形不是等腰三角形
C．等腰三角形是等边三角形
D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
变｜式｜巩｜固
11.下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）
一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
12.下列说法正确的是（ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两条边相等．
A．①②
B．②③
C．①③
D．③
题型07 动点问题
典｜例｜精｜析
例7.如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 8cm，𝐵𝐶= 6cm，P、Q 是△𝐴𝐵𝐶边上的两个动点，其中点
P 从点A 开始沿𝐴→𝐵方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B 开始沿𝐵→𝐶→𝐴方向运动，且速度为每秒2
cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．从出发_____秒钟后，△𝑃𝑄𝐵第一次能形成等腰三角形？
变｜式｜巩｜固
解题贴士
掌握三角形有关概念的解题关键
解题贴士
设时间，知速度，表示路程，从而用代数式表示线段的长，根据题意列方程解决问题
13.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐶𝐴= 8cm，𝐶𝐵= 6cm，𝐴𝐵= 10cm．点𝐷为△𝐴𝐵𝐶边上的动点，沿
𝐶→𝐴→𝐵→𝐶的路径运动（再次到达𝐶点则停止运动），点𝐷的运动速度为2cm/秒，设点𝐷运动时间为𝑡秒．
（1）当点𝐷在𝐴𝐶上运动时，若𝐷𝐶= 𝐵𝐶，则𝑡= ___________；
（2）若点𝐷与△𝐴𝐵𝐶某一顶点的连线平分△𝐴𝐵𝐶的周长时𝑡的值为___________．
14.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 5,𝐴𝐶= 4,𝐵𝐶= 3．点𝑃从点𝐶出发，以每秒2 个单位长度的速度沿𝐶−𝐴−𝐵向
终点B 运动，设点𝑃运动的时间为𝑡秒(𝑡> 0)．
(1)当点𝑃在𝐴−𝐵上运动时，𝐴𝑃的长为
（用含𝑡的代数式表示）．
(2)当△𝑃𝐴𝐶是以𝐴𝐶为腰的等腰三角形时，求𝑡的值．
(3)当𝐶𝑃将△𝐴𝐵𝐶分成的两部分的面积相等时，求𝑡的值．
(4)当点𝑃与△𝐴𝐵𝐶的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为2:3时，直接写出𝑡的值．
基础通关
1.观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，顶点C 所对的边是（ ）
A．𝐴𝐷
B．𝐴𝐵
C．𝐴𝐶
D．𝐵𝐸
3.若一个三角形的三个内角的度数分别为30°，50°，100°，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
4.给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等
边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其
中，正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．0
5.如图，以点𝐵为顶点的三角形共有__________
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6.一个等腰直角三角形的直角边长2 分米，这个三角形的面积是________平方厘米．
7.如图，图中包含的直角三角形的个数是_______．
8.已知a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边，且满足|𝑎−𝑐| + |𝑏−𝑐| = 0，则△𝐴𝐵𝐶是________三角形．
9.如图，已知𝑙1平行于𝑙2，△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，顶点A，B 分别在𝑙1，𝑙2上，当
∠1 = 70°时，∠2 = __________°．
10.如果等腰三角形的腰长和底边分别为5 和3，那么它的周长为________．
11.如图所示．
(1)图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以𝐵𝐶为边的三角形是
________________；以∠𝐷为一个内角的三角形是________；
(2)在△𝐸𝐵𝐶中，∠𝐸𝐵𝐶的对边是________，𝐵𝐶的对角是________，△𝐸𝐵𝐶与△𝐷𝐵𝐶的公共边是________，
公共角是________．
12.如图，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐴= 𝐴𝐶，找出图中的等腰三角形和等边三角形．
素养提升
1.李华大扫除时，要挪动墙角的储物柜，挪动过程示意图如图所示，其中∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 0.5 m，将
储物柜△𝐴𝐵𝐶沿着墙向右平移到△𝐷𝐸𝐹的位置，已知𝐵𝐸= 1 m，则储物柜扫过的区域（四边形𝐴𝐵𝐹𝐷）的
面积是（ ）
A．0.25 m2
B．0.5 m2
C．0.625 m2
D．0.75 m2
2.平面内的四个点最多可以组成不同的三角形个数为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
3. △𝐴𝐵𝐶的周长为12，三边a、b、c 之间存在关系𝑎−1 = 𝑏，𝑏−1 = 𝑐，则三边长𝑎= ___________，𝑏=
___________，𝑐= ___________．
4.如图，在平面直角坐标系，点𝐴的坐标为(1,1)，在𝑥轴上确定点𝑃，使△𝐴𝑂𝑃为等腰三角形，则符合条件
的点𝑃的个数是________
5.现有若干个三角形，在它们所有的内角中，有5 个直角、3 个钝角、28 个锐角，那么在这些三角形中，
共有 _____ 个锐角三角形．
6.如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 3，𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 4，点𝑃以每秒3 个单位长度的速度从点𝐴出发，沿
𝐴→𝐵→𝐶运动，同时点𝑄以每秒1 个单位长度的速度从点𝐷出发，沿𝐷→𝐴运动，当𝑃、𝑄两点有一个点到达终
点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为𝑡秒．
(1)用含𝑡的代数式表示𝐵𝑃的长；
(2)点𝑃在𝐵𝐶上运动，当𝑃𝑄的中点落在𝐴𝐶上时，求𝑡的值；
(3)当△𝐴𝑃𝑄是以𝐴𝑃为腰的等腰三角形时，求𝑡的值（两个答案即可）；
(4)作点𝑃关于点𝐵的中心对称点𝑃′，当𝑆△𝑄𝑃𝑃′ = 3
4𝑆△𝑄𝐴𝐵时，直接写出𝑡的值．
迁移创新
1.如图，点B 在∠𝐴的一条边上固定不动，点C 在∠𝐴的另一条边上可以任意移动，连接𝐵𝐶，三角形𝐴𝐵𝐶
（ ）
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形
A．只能是①
B．只能是④
C．可能是①②③
D．可能是①②③④
2.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值𝑘称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为16
cm，其中一边长为6cm，则它的“优美比”k 为___________
