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分层作业
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
目 录
A 组 巩固过关
题型01 识别三角形的高
题型02 与三角形的高有关的计算问题
题型03 中线分线段问题
题型04 中线分周长问题
题型05 中线平分面积问题
题型06 与角平分线有关的计算问题
题型07 三角形中线、角平分线、高线概念辨析问题
题型08 三角形中线、角平分线、高线综合问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
识别三角形的高
1. △𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上高的作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】画三角形的高
题型01
【分析】根据三角形的高线的定义即可解答．
【详解】解：A 选项中，作的是𝐴𝐶边上的高，不符合题意；
B 选项中，没有经过顶点𝐴，不符合题意；
C 选项中，𝐴𝐸不垂直𝐵𝐶，不符合题意；
D 选项中，𝐴𝐸过点𝐴且垂直𝐵𝐶，符合题意．
2.如图，∠𝐸= ∠𝐹= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，以下说法不正确的是（）
A．𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高
B．𝐶𝐸是△𝐴𝐶𝐸的边𝐴𝐶上的高
C．𝐴𝐹是△𝐴𝐵𝐹的边𝐵𝐹上的高
D．𝐵𝐹是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上的高
【答案】B
【知识点】画三角形的高
【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线
段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高，故该选项说法正确，不符合题意；
B、∵∠𝐸= 90°，
∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐸，
∴𝐶𝐸是△𝐴𝐶𝐸的边𝐴𝐸上的高，不是边𝐴𝐶上的高，故该选项说法错误，符合题意；
C、∵∠𝐹= 90°，
∴𝐴𝐹⊥𝐵𝐹，
∴𝐴𝐹是△𝐴𝐵𝐹的边𝐵𝐹上的高，故该选项说法正确，不符合题意；
D、∵∠𝐹= 90°，
∴𝐵𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝐵𝐹是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上的高，故该选项说法正确，不符合题意．
与三角形的高有关的计算问题
3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 8，𝐵𝐶= 7，𝐴𝐸为𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐸= 6，P 为𝐴𝐵上一动点，则𝑃𝐶的最小值为
（ ）
题型02
A．
21
4
B．
28
3
C．
48
7
D．7
【答案】A
【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题
【分析】由题意可知当𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时，𝐶𝑃的值最小，再根据等面积法求出𝐶𝑃的长即可．
【详解】解：如图，当𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时，𝐶𝑃的值最小，
∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2𝐴𝐵⋅𝐶𝑃= 1
2𝐵𝐶⋅𝐴𝐸，
∴𝐶𝑃= 𝐵𝐶⋅𝐴𝐸
𝐴𝐵
= 7×6
8 =
21
4 ．
4. 已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐵𝐴𝐷= 60°，∠𝐶𝐴𝐷= 10°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为（ ）
A．70°
B．50°
C．70°或50°
D．70°或30°
【答案】C
【知识点】几何图形中角度计算问题、与三角形的高有关的计算问题
【分析】分两种情况讨论，即高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶内部和外部，分别计算∠𝐵𝐴𝐶的度数．
【详解】解：情况一：当高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶内部时，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 60°，∠𝐶𝐴𝐷= 10°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= 60° + 10° = 70°．
情况二：当高𝐴𝐷在△𝐴𝐵𝐶外部时，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 60°，∠𝐶𝐴𝐷= 10°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷― ∠𝐶𝐴𝐷= 60° ― 10° = 50°．
综上，∠𝐵𝐴𝐶的度数为70°或50°.
5.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，若𝐵𝐷= 5，𝐶𝐷= 3，则𝐵𝐶的长为________．
【答案】8或2
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】分为点𝐷在线段𝐵𝐶上和点𝐷在𝐵𝐶的延长线上两种情况，分别计算𝐵𝐶的长度，即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，分两种情况讨论：
当点𝐷在线段𝐵𝐶上时，𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 5 + 3 = 8；
当点𝐷在𝐵𝐶的延长线上时， 𝐵𝐶= 𝐵𝐷― 𝐶𝐷= 5 ― 3 = 2；
综上，𝐵𝐶的长为8或2．
中线分线段问题
6.如图所示，已知点𝐷是△𝐴𝐵𝐶的重心，连接𝐵𝐷并延长，交𝐴𝐶于点𝐸，若𝐴𝐸= 4，则𝐴𝐶的长度为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【知识点】重心的概念、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心
在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知𝐵𝐸是𝐴𝐶边上的中线，即𝐸为𝐴𝐶的中点，因此𝐴𝐶的
长度为𝐴𝐸的2 倍，代入𝐴𝐸的数值即可计算出结果．
【详解】解：∵点𝐷是△𝐴𝐵𝐶的重心，
∴𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐸是𝐴𝐶的中点，𝐴𝐸= 4，
∴𝐴𝐶= 2𝐴𝐸= 2 × 4 = 8；
故选：B．
7.已知△𝐴𝐵𝐶三边𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 7，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线．
题型03
(1)若𝐵𝐶= 6，求𝐵𝐷的长度．
(2)求𝐵𝐷的取值范围；
【答案】(1) 𝐵𝐷= 3
(2)1 < 𝐵𝐶< 6
【知识点】确定第三边的取值范围、根据三角形中线求长度
【详解】（1）解：𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐵𝐷= 1
2𝐵𝐶= 3．
（2）解：7 ― 5 < 𝐵𝐶< 7 + 5，即2 < 𝐵𝐶< 12；
∴1 < 𝐵𝐶< 6
中线分周长问题
8.(1)如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6，若△𝐴𝐶𝐷的周长为18，则△𝐴𝐵𝐷的周长为_________．
(2) 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，△𝐴𝐵𝐷的周长是22cm，△𝐴𝐶𝐷的周长是18cm，𝐴𝐵= 6cm，
则𝐴𝐶= ______cm．
【答案】(1)20
(2)2
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解．
【详解】(1)解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐶𝐷的周长为18，𝐴𝐶= 6，
∴𝐴𝐷+ 𝐷𝐶+ 𝐴𝐶= 18，即𝐴𝐷+ 𝐷𝐶= 12，
∴𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 12，
∵𝐴𝐵= 8，
∴△𝐴𝐵𝐷的周长为𝐴𝐷+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐵= 20．
解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐷的周长是22cm，△𝐴𝐶𝐷的周长是18cm，
∴△𝐴𝐵𝐷的周长―△𝐴𝐶𝐷的周长= 𝐴𝐵― 𝐴𝐶
题型04
= 22 ― 18
= 4(cm)，
∵𝐴𝐵= 6cm，
∴6 ― 𝐴𝐶= 4，
∴𝐴𝐶= 2cm．
9.已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷的周长分别是17和15，△𝐴𝐵𝐶的周长是22，则𝐴𝐷的长为
______．
【答案】5
【知识点】根据三角形中线求长度、三元一次方程组的定义及解
【分析】根据三角形中线的定义可得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，分别列出三个三角形的周长等式，整理变形即可求出𝐴𝐷的
长．
【详解】解：根据题意得：
𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 17①
𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷= 15②
𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 22③
，
由①+ ②，得𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷+ 2𝐴𝐷= 32，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐶．
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶+ 2𝐴𝐷= 32．
又∵𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 22，
∴22 + 2𝐴𝐷= 32，解得𝐴𝐷= 5．
中线平分面积问题
10.如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸为𝐴𝐷的中点，若△𝐴𝐵𝐶的面积为24，则△𝐴𝐵𝐸的面积为（ ）
A．12
B．8
C．6
D．4
【答案】C
【知识点】根据三角形中线求面积、根据三角形中线求长度
【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∵△𝐴𝐵𝐶的面积为24，
题型05
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12，
∵𝐸为𝐴𝐷的中点，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐷
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐷𝐵𝐸= 1
2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 6．
11.如图，△𝐴𝐵𝐶的中线𝐵𝐷、𝐶𝐸相交于点F，若△𝐴𝐵𝐶的面积等于12，则△𝐵𝐸𝐹的面积等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】连接𝐴𝐹，根据中线的性质得到三角形面积之间的关系，即可求解．
【详解】解：连接𝐴𝐹，如下图：
∵△𝐴𝐵𝐶的中线𝐵𝐷、𝐶𝐸相交于点F，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
2𝑆△𝐴𝐶𝐵= 6，𝑆△𝐴𝐸𝐹= 𝑆△𝐵𝐸𝐹，𝑆△𝐴𝐹𝐷= 𝑆△𝐶𝐹𝐷
∵𝑆△𝐵𝐸𝐹= 𝑆△𝐵𝐸𝐶― 𝑆△𝐵𝐹𝐶，𝑆△𝐷𝐹𝐶= 𝑆△𝐵𝐷𝐶― 𝑆△𝐵𝐹𝐶
∴𝑆△𝐷𝐹𝐶= 𝑆△𝐵𝐸𝐹= 𝑆△𝐴𝐸𝐹= 𝑆△𝐴𝐹𝐷
∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐹𝐷= 𝑆△𝐴𝐸𝐹+ 𝑆△𝐴𝐹𝐷= 2𝑆△𝐴𝐸𝐹
∵𝑆四边形𝐴𝐸𝐹𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷― 𝑆△𝐵𝐸𝐹，𝑆△𝐵𝐹𝐶= 𝑆△𝐵𝐶𝐸― 𝑆△𝐵𝐸𝐹
∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐹𝐷= 𝑆△𝐵𝐹𝐶= 2𝑆△𝐴𝐸𝐹
∵△𝐴𝐵𝐶的面积为12
∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐹𝐷+ 𝑆△𝐵𝐹𝐶+ 𝑆△𝐷𝐹𝐶+ 𝑆△𝐵𝐸𝐹= 2𝑆△𝐴𝐸𝐹+2𝑆△𝐴𝐸𝐹+ 𝑆△𝐴𝐸𝐹+ 𝑆△𝐴𝐸𝐹= 12，
解得𝑆△𝐴𝐹𝐸= 2，
∴𝑆△𝐵𝐸𝐹= 𝑆△𝐴𝐸𝐹= 2．
与角平分线有关的计算问题
12.如图，𝐴𝐷是∠𝐸𝐴𝐶的平分线，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐸𝐴𝐷= 38°，则∠𝐶的度数是（ ）
A．16°
B．30°
C．38°
D．76°
【答案】C
【知识点】两直线平行内错角相等、三角形角平分线的定义
【分析】由𝐴𝐷是∠𝐸𝐴𝐶的平分线可得∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 38°，由𝐴𝐷∥𝐵𝐶得∠𝐶= ∠𝐶𝐴𝐷= 38°．
【详解】解：∵𝐴𝐷是∠𝐸𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 38°，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐶𝐴𝐷= 38°．
13.如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，点D 是𝐴𝐵上一点，过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐶于点E，点F 是𝐵𝐶
上一点，连接𝐸𝐹，且∠1 = ∠𝐶．求证：𝐷𝐸平分∠𝐴𝐸𝐹．
【答案】见解析
【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义
【分析】先证明𝐷𝐸∥𝐵𝐶，再根据平行的性质和等量代换证明∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐶，再根据∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶证明
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐷𝐸𝐹，即可得到结论．
【详解】证明：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
∵∠𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵，
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠1，
∵∠1 = ∠𝐶，
题型06
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐶，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐷𝐸𝐹，
∴𝐷𝐸平分∠𝐴𝐸𝐹．
三角形中线、角平分线、高线概念辨析问题
14.下列说法中，正确的有（ ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；
②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；
③直角三角形只有一条高；
④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【知识点】重心的概念、画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义
【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到
答案.
【详解】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与
对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在
直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确；
②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，
因此②错误；
③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误；
④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）
也都交于一点，因此④正确．
综上，正确的说法共2 个，选B．
15.下列叙述正确的个数是（ ）
①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条
角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【知识点】重心的概念、根据三角形中线求面积、画三角形的高、三角形角平分线的定义
【详解】解：① 三角形的角平分线是三角形一个角的顶点与对边交点之间的线段，不是射线，故①错误；
题型07
② 三角形的中线将原三角形分成两个等底同高的小三角形，面积相等，②正确；
③ 三角形三条中线的交点才叫作三角形的重心，三条角平分线的交点不是重心，故③错误；
④ 只有三角形三条高所在的直线交于一点，三条高作为线段不一定交于同一点，故④错误；
综上，正确的结论只有1个，
故选：A．
三角形中线、角平分线、高线综合问题
16.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷,𝐴𝐸分别是边𝐶𝐵上的中线和高．𝐴𝐸= 6cm，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 12cm2，则𝐵𝐶的长是（ ）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
【答案】C
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度
【分析】利用三角形面积公式求得𝐵𝐷，然后根据三角形中线的性质得到𝐵𝐶= 2𝐵𝐷即可．
【详解】解：∵𝐴𝐸= 6cm，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 12cm2，
∴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝐴𝐸
= 4cm，
∵𝐴𝐷是边𝐶𝐵上的中线，
∴𝐵𝐶= 2𝐵𝐷= 8cm．
17 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，若∠𝐷𝐴𝐸= 15°，∠𝐶= 65°，求∠𝐵的度数．
【答案】35°/35度
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题
【分析】在△𝐴𝐷𝐶中，求出∠𝐷𝐴𝐶，再利用角平分线的定义可得∠𝐵𝐴𝐶，再利用三角形内角和定理求得∠𝐵．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐶= 65°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90° ― ∠𝐶= 25°，
∵∠𝐷𝐴𝐸= 15°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐷= 40°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
题型08
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐸𝐴𝐶= 80°，
∴∠𝐵= 180° ― ∠𝐵𝐴𝐶― ∠𝐶= 35°．
1． 如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线，𝐶𝐹为△𝐵𝐶𝐸的中线，若图中阴影部分的面积为2，
则△𝐴𝐵𝐶的面积为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
【答案】A
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查了三角形的中线，根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，可知
𝑆△𝐵𝐹𝐶= 𝑆△𝐶𝐸𝐹= 2，可得𝑆△𝐵𝐷𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 2，由𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线可得𝐶𝐸为△𝐴𝐶𝐷的中线，从而得
𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝐷𝐸= 2，𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 2，据此求解即可．
【详解】解：∵𝐶𝐹为△𝐵𝐶𝐸的中线，
∴𝑆△𝐵𝐹𝐶= 𝑆△𝐶𝐸𝐹= 2，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐸= 𝑆△𝐶𝐸𝐹+ 𝑆△𝐵𝐶𝐹= 2 + 2 = 4，
∵𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐸𝐷为△𝐵𝐶𝐸的中线，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 2，
∵𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线,
∴𝐶𝐸为△𝐴𝐶𝐷的中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝐷𝐸= 2，𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 2，
∴△𝐴𝐵𝐶的面积= 𝑆△𝐴𝐵𝐸+ 𝑆△𝐵𝐷𝐸 + 𝑆△𝐴𝐶𝐸+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 2 + 2 + 2 + 2 = 8，
故选：A．
2.如图，在三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷,𝐶𝐸分别是这个三角形的两条高，𝐴𝐵= 5,𝐵𝐶= 4，𝐴𝐷+ 𝐶𝐸= 6.3，则三角形𝐴𝐵𝐶
的面积等于（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】利用等面积法，求出𝐴𝐷,𝐶𝐸之间的关系，并设值，再利用已知求出𝐴𝐷的长度，套用三角形的面积
公式求解．
【详解】解：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2𝐴𝐵⋅𝐶𝐸= 1
2𝐵𝐶⋅𝐴𝐷，
∴𝐴𝐵⋅𝐶𝐸= 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷，
又∵𝐴𝐵= 5,𝐵𝐶= 4，
∴5𝐶𝐸= 4𝐴𝐷，即
𝐶𝐸
𝐴𝐷=
4
5，
设𝐶𝐸= 4𝑥，则𝐴𝐷= 5𝑥，
∵𝐴𝐷+ 𝐶𝐸= 6.3，
∴5𝑥+ 4𝑥= 6.3，解得𝑥= 0.7，𝐴𝐷= 3.5，
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2𝐵𝐶⋅𝐴𝐷= 1
2 × 4 × 3.5 = 7．
3.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 24,𝐴𝐶= 7,𝐵𝐶= 25,𝐷是𝐴𝐵的中点，𝑃,𝑄分别是𝐵𝐶,𝐷𝐶上的动点，则𝐴𝑄+ 𝑄𝑃
的最小值是__________．
【答案】
168
25
【知识点】垂线段最短、两点之间线段最短、与三角形的高有关的计算问题
【分析】过点A 作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点E，连接𝐴𝑃，根据题意，得𝐴𝑄+ 𝑄𝑃≥𝐴𝑃，当𝐴、𝑄、𝑃三点共线时，𝐴𝑄+ 𝑄𝑃
取得最小值，且为𝐴𝑃，根据垂线段最短，当𝐴𝑃⊥𝐵𝐶时，𝐴𝑃才取得最小值，求解即可．
【详解】解：过点A 作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点E，
连接𝐴𝑃，根据题意，得𝐴𝑄+ 𝑄𝑃≥𝐴𝑃，
当𝐴、𝑄、𝑃三点共线时，𝐴𝑄+ 𝑄𝑃取得最小值，且为𝐴𝑃，根据垂线段最短，当𝐴𝑃⊥𝐵𝐶时，𝐴𝑃才取得最小值，
故当点P 与点E 重合时，最小，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 24,𝐴𝐶= 7,𝐵𝐶= 25，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 1
2𝐵𝐶⋅𝐴𝐸，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶
𝐵𝐶
= 24×7
25 =
168
25 ，
∴𝐴𝑄+ 𝑄𝑃的最小值是
168
25 ．
4.如图，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线．若△𝐴𝐵𝐶的面积为130，𝐵𝐷= 5，则△𝐵𝐷𝐸中𝐵𝐷边上
的高为______．
【答案】
13
【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题
【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
4𝑆△𝐴𝐵𝐶，过点E 作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，利用面积公式
即可求得答案．
【详解】解：作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，
∵𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
4𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积为130，𝐵𝐷= 5，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1
2𝐵𝐷⋅𝐸𝐹= 1
2 × 5𝐸𝐹= 1
4 × 130，
解得𝐸𝐹= 13，
故△𝐵𝐷𝐸中𝐵𝐷边上的高为13．
5 如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐵𝐶的中点，𝐵𝐶= 8，E 是𝐴𝐶上的一点，且𝐶𝐸= 2𝐴𝐸，𝐵𝐸与𝐴𝐷相交于点F，
若△𝐴𝐸𝐹的面积为3，则𝐴𝐷的最小值为___．
【答案】9
【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题
【分析】连接𝐶𝐹，由𝐶𝐸= 2𝐴𝐸得到𝐴𝐶= 3𝐴𝐸，得出𝑆△𝐴𝐹𝐶= 3𝑆△𝐴𝐸𝐹= 9，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3𝑆△𝐴𝐵𝐸，由D 是𝐵𝐶的
中点推导得出𝑆△𝐴𝐹𝐵= 𝑆△𝐴𝐹𝐶= 9，得出△𝐴𝐵𝐶的面积，从而求出𝐵𝐶边上的高，根据垂线段最短得出𝐴𝐷的
最小值即可．
【详解】解：如图，连接𝐶𝐹，
∵ 𝐶𝐸= 2𝐴𝐸，
∴ 𝐴𝐶= 3𝐴𝐸，
∴ 𝑆△𝐴𝐹𝐶= 3𝑆△𝐴𝐸𝐹= 9，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3𝑆△𝐴𝐵𝐸，
∵D 是𝐵𝐶的中点，
∴ 𝑆△𝐵𝐷𝐹= 𝑆△𝐶𝐷𝐹，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐷― 𝑆△𝐵𝐷𝐹= 𝑆△𝐴𝐶𝐷― 𝑆△𝐶𝐷𝐹，
∴𝑆△𝐴𝐹𝐵= 𝑆△𝐴𝐹𝐶= 9，
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐴𝐹𝐵+ 𝑆△𝐴𝐸𝐹= 9 + 3 = 12，
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3𝑆△𝐴𝐵𝐸= 36，
设𝐵𝐶边上的高为h，
∵ 𝐵𝐶= 8，
∴ 1
2 × 8ℎ= 36，
∴ ℎ= 9，
∵ 𝐴𝐷≥ℎ，
∴ 𝐴𝐷的最小值为9．
6.如图，已知△𝐴𝐵𝐶的周长为35，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐵= 3
2𝐴𝐶．
(1)当𝐴𝐶= 10时，求𝐵𝐷的长．
(2)𝐴𝐶能否等于12？为什么？
【答案】(1)5
(2)𝐴𝐶不能等于12，
理由如下：假设𝐴𝐶能等于12，
∵𝐴𝐵= 3
2𝐴𝐶，
∴𝐴𝐵= 3
2 × 12 = 18，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为35，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 35，
∴𝐵𝐶= 35 ― 𝐴𝐵― 𝐴𝐶= 35 ― 12 ― 18 = 5，
∴△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为5,12,18，
此时5 + 12 < 18，不满足三角形的三边关系，
∴𝐴𝐶不能等于12．
【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关
键．
（1）先求出𝐴𝐵= 15，再根据三角形的周长公式可得𝐵𝐶= 10，然后根据三角形中线的性质解答即可得；
（2）假设𝐴𝐶能等于12，则𝐴𝐵= 18,𝐵𝐶= 5，再利用三角形的三边关系解答即可得．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐵= 3
2𝐴𝐶，𝐴𝐶= 10，
∴𝐴𝐵= 3
2 × 10 = 15，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为35，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 35，
∴𝐵𝐶= 35 ― 𝐴𝐵― 𝐴𝐶= 35 ― 15 ― 10 = 10，
∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐵𝐷= 1
2𝐵𝐶= 5．
（2）略
7.已知，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐶边上的中线𝐵𝐷把三角形的周长分为15 和6 两部分，求腰长𝐴𝐵．
【答案】10
【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度
【分析】先根据等腰三角形和中线的定义可得𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 1
2𝐴𝐶= 1
2𝐴𝐵，再分两种情况分别列出方程，求出解，
然后根据三角形的三边关系确定答案即可．
【详解】解：如图所示，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶,𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 1
2𝐴𝐶= 1
2𝐴𝐵．
当𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 15
𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 6
时，即
𝐴𝐵+ 1
2 𝐴𝐵= 15
𝐵𝐶+ 1
2 𝐴𝐵= 6
，
解得𝐴𝐵= 10,𝐵𝐶= 1；
当𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 6
𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 15
时，即
𝐴𝐵+ 1
2 𝐴𝐵= 6
𝐵𝐶+ 1
2 𝐴𝐵= 15
，
解得𝐴𝐵= 4,𝐵𝐶= 13，则𝐴𝐶= 4，
∵4 + 4 < 13，
∴不能组成三角形，不符合题意．
所以腰长𝐴𝐵为10．
8. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中(𝐴𝐵> 𝐵𝐶)，𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成50 和35 两部分，求𝐴𝐶
和𝐴𝐵的长．
【答案】𝐴𝐶= 40，𝐴𝐵= 25
【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据𝐴𝐶= 2𝐵𝐶和三角形的中线列出方程求解，
分类讨论①𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 50，②𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 35，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否
满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程．
【详解】解：设𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥，则𝐴𝐶= 2𝐵𝐶= 4𝑥，
∵𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成50 和35 两部分，𝐴𝐵> 𝐵𝐶，
①当𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 50，𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 35时，
4𝑥+ 𝑥= 50，
解得：𝑥= 10，
∴𝐴𝐶= 4𝑥= 4 × 10 = 40，
𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 10，
∴𝐴𝐵= 35 ― 𝐵𝐷= 35 ― 10 = 25，
∴𝐴𝐵= 25 > 𝐵𝐶= 20，满足条件；
∵𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 20 + 25 = 45 > 𝐴𝐶= 40，满足三边关系，
∴𝐴𝐶= 40，𝐴𝐵= 25；
②当𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 35，𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 50时，
4𝑥+ 𝑥= 35，
解得：𝑥= 7，
∴𝐴𝐶= 4𝑥= 4 × 7 = 28，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 7，
𝐴𝐵= 50 ― 𝐵𝐷= 50 ― 7 = 43，
∵𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 28 + 14 = 42 < 43 = 𝐴𝐵，
∴不满足三角形的三边关系，
∴不合题意，舍去，
综上：𝐴𝐶= 40，𝐴𝐵= 25．
1．【综合运用】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷,𝐸分别是𝐵𝐶,𝐴𝐵边上的中点，连接𝐴𝐷,𝐷𝐸，点F 在𝐴𝐷上，满足
𝐷𝐹= 2𝐴𝐹，连接𝐸𝐹,𝐶𝐹，若△𝐴𝐵𝐶的面积是12，则图中四边形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积是（ ）
A．4
B．
9
2
C．6
D．8
【答案】C
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查了三角形的中线，弄清面积之间的关系是解题的关键．
由三角形的中线可得𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6、𝑆△𝐴𝐸𝐷= 1
2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 3，再说明𝐷𝐹= 2
3𝐴𝐷，易得𝑆△𝐹𝐸𝐷= 2
3
𝑆△𝐴𝐸𝐷= 2,𝑆△𝐹𝐷𝐶= 2
3𝑆△𝐴𝐷𝐶= 4，最后根据𝑆四边形𝐶𝐷𝐸𝐹= 𝑆△𝐹𝐸𝐷+ 𝑆△𝐹𝐷𝐶求解即可．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是𝐵𝐶边上的中点，△𝐴𝐵𝐶的面积是12，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，
∵点𝐸是𝐴𝐵边上的中点，
∴𝑆△𝐴𝐸𝐷= 1
2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 3，
∵𝐷𝐹= 2𝐴𝐹，
∴𝐷𝐹= 2
3𝐴𝐷，
∴𝑆△𝐹𝐸𝐷= 2
3𝑆△𝐴𝐸𝐷= 2,𝑆△𝐹𝐷𝐶= 2
3𝑆△𝐴𝐷𝐶= 4，
∴𝑆四边形𝐶𝐷𝐸𝐹= 𝑆△𝐹𝐸𝐷+ 𝑆△𝐹𝐷𝐶= 2 + 4 = 6．
故选C．
2.【转化思想】如下图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝑂．若△𝐴𝐵𝐶的面积为8，△𝐵𝑂𝐶
的面积为5，则△𝐶𝑂𝐷的面积为_____________．
【答案】3
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键；
利用平行线间距离相等得出同底等高的三角形面积相等，再通过已知三角形的面积计算未知三角形的面积．
【详解】解：∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴点𝐴，𝐷到直线𝐵𝐶的距离相等，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐷𝐵𝐶= 8．
∵△𝐵𝑂𝐶的面积为5，
∴𝑆△𝐶𝑂𝐷= 𝑆△𝐷𝐵𝐶― 𝑆△𝐵𝑂𝐶= 8 ― 5 = 3．
3．【动点问题】如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 5，点𝑃是𝐴𝐵边上一动点（点𝑃可以与点
𝐴，𝐵重合），且
60
13 ≤𝐶𝑃≤12，若点𝑀，𝑁分别是𝐴𝑃，𝑃𝐵的中点，则𝑀𝑁的长度为______．
【答案】6.5
【知识点】垂线段最短、线段中点的有关计算、与三角形的高有关的计算问题
【分析】由
60
13 ≤𝐶𝑃≤12，得到当P 和B 重合时，𝐵𝐶= 𝑃𝐶= 12，当𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时，𝑃𝐶=
60
13，由三角形面积
公式求出𝐴𝐵= 13，由线段的中点定义得到𝑀𝑁= 1
2𝐴𝐵= 6.5．
【详解】解：∵
60
13 ≤𝐶𝑃≤12，
∴当P 和B 重合时，𝐵𝐶= 𝑃𝐶= 12，当𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时，𝑃𝐶=
60
13，
∴△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐵上的高为
60
13
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 × 5 × 12 = 1
2𝐴𝐵×
60
13，
∴𝐴𝐵= 13，
∵点M，N 分别是𝐴𝑃，𝑃𝐵的中点，
∴𝑃𝑀= 1
2𝐴𝑃，𝑃𝑁= 1
2𝑃𝐵，
∴𝑃𝑀+ 𝑃𝑁= 1
2(𝑃𝐴+ 𝑃𝐵)，
∴𝑀𝑁= 1
2𝐴𝐵= 6.5．
4．【分类讨论】△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 80°，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐸 是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，若∠𝐷𝐴𝐸= 10°，则
∠𝐵𝐴𝐷为 _______度．
【答案】50或30
【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题
【分析】根据题意分两种情况进行讨论，画出图形，利用角平分线的定义求出∠𝐸𝐴𝐵= 40°，然后利用角的
和差求解．
【详解】解：①如图所示，点𝐸在𝐵,𝐷之间时，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 80°，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶．
∴∠𝐸𝐴𝐵= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 1
2 × 80° = 40°，
∵∠𝐷𝐴𝐸= 10°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐵= 10° + 40° = 50°；
②如图所示，点𝐸在𝐶,𝐷之间时，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 80°，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶．
∴∠𝐸𝐴𝐵= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 1
2 × 80° = 40°，
∵∠𝐷𝐴𝐸= 10°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐵― ∠𝐷𝐴𝐸= 40° ― 10° = 30°；
综上，∠𝐵𝐴𝐷的度数为50°或30°．
5．【综合实践】
【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我
们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1 中，如果取一块质地均匀的三
角形纸板，用一根细线绳从重心𝑂处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态．
【相关素材】
在图2 中，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐶𝐷与△𝐴𝐵𝐷等底等高，面积相等，记作：𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷．
在图3 中，若△𝐴𝐵𝐶三条中线𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹交于点𝐺，则𝐺𝐷是△𝐺𝐵𝐶的中线，利用上述结论可得：𝑆△𝐺𝐶𝐷=
𝑆△𝐺𝐵𝐷，同理𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑆△𝐺𝐴𝐹，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑆△𝐺𝐶𝐸．
【解决问题】
(1)在图3 中，若设𝑆△𝐺𝐶𝐷= 𝑥，𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑦，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑧，证明：𝑥= 𝑦= 𝑧．
(2)利用（1）中的结论，证明：𝐵𝐺:𝐺𝐸= 2:1．
(3)图4 中，𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，点𝐷、𝐸在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝐺，𝐵𝐸= 10，𝐶𝐷= 9，
𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，求△𝐵𝐺𝐷的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【知识点】根据三角形中线求面积、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题
的关键．
（1）由题意可得𝑆△𝐺𝐶𝐷= 𝑆△𝐺𝐵𝐷= 𝑥，𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑆△𝐺𝐴𝐹= 𝑦，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑆△𝐺𝐶𝐸= 𝑧，再结合𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷得
出𝑦= 𝑧，结合𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐶𝐵𝐸得出𝑥= 𝑦，即可得证；
（2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出𝑆△𝐴𝐶𝐺= 2𝑆△𝐶𝐷𝐺，得到𝐴𝐺:𝐺𝐷= 2:1，再结
合重心的性质即可得出结果；
（3）由重心的性质可得𝐵𝐺:𝐺𝐸= 𝐶𝐺:𝐺𝐷= 2:1，求出𝑆△𝐵𝐺𝐶= 1
2𝐵𝐺⋅𝐶𝐺= 20，即可得出结果．
【详解】（1）证明：由题意可得：𝑆△𝐺𝐶𝐷= 𝑆△𝐺𝐵𝐷= 𝑥，𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑆△𝐺𝐴𝐹= 𝑦，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑆△𝐺𝐶𝐸= 𝑧，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴2𝑦+ 𝑥= 2𝑧+ 𝑥，
∴𝑦= 𝑧，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐶𝐵𝐸，
∴2𝑥+ 𝑧= 2𝑦+ 𝑧，
∴𝑥= 𝑦，
∴𝑥= 𝑦= 𝑧；
（2）证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，
∴𝑆△𝐴𝐺𝐸= 𝑆△𝐶𝐺𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐺，
∵𝑆△𝐴𝐶𝐺= 𝑆△𝐴𝐺𝐸+ 𝑆△𝐶𝐺𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐺= 2𝑆△𝐶𝐷𝐺，
∴𝐴𝐺:𝐺𝐷= 2:1，
∵𝐺为△𝐴𝐵𝐶的重心，
∴𝐵𝐺:𝐺𝐸= 𝐶𝐺:𝐺𝐷= 2:1；
（3）解：∵𝐺为△𝐴𝐵𝐶的重心，
∴𝐵𝐺:𝐺𝐸= 𝐶𝐺:𝐺𝐷= 2:1，
∵𝐵𝐸= 10，𝐶𝐷= 9，
∴𝐵𝐺=
20
3 ，𝐶𝐺= 6，
∵𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐵𝐺𝐶= 1
2𝐵𝐺⋅𝐶𝐺= 1
2 × 20
3 × 6 = 20，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐺= 1
2𝑆△𝐵𝐺𝐶= 10．
1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐴𝐸是中线，𝐴𝐷= 4，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12，则𝐵𝐸的长
为（ ）
A．1.5
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12和𝐴𝐷= 4求出𝐵𝐶= 6，根据𝐴𝐸是中线即
可求解．
【详解】解：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐷= 12，𝐴𝐷= 4，
∴𝐵𝐶= 6
∵𝐴𝐸是中线，
∴𝐵𝐸= 1
2𝐵𝐶= 3
故选：B
2.（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐸是中线𝐴𝐷的中点．若△𝐴𝐸𝐶的面积是1，则△𝐴𝐵𝐷的
面积是______．
【答案】2
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】根据Δ𝐴𝐶𝐸的面积= Δ𝐷𝐶𝐸的面积，Δ𝐴𝐵𝐷的面积= Δ𝐴𝐶𝐷的面积计算出各部分三角形的面积．
【详解】解：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐸为𝐴𝐷的中点，
根据等底同高可知，Δ𝐴𝐶𝐸的面积= Δ𝐷𝐶𝐸的面积= 1，
Δ𝐴𝐵𝐷的面积= Δ𝐴𝐶𝐷的面积= 2Δ𝐴𝐸𝐶的面积= 2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．
3.（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D 和点E，AD 与CE 交
于点O，连接BO 并延长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF 值为____________．
【答案】12:15:10
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得𝑆△𝐴𝐵𝐶= 4𝐴𝐷= 5
2𝐶𝐸= 3𝐵𝐹，进而即可得到答
案．
【详解】解：∵在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D 和点E，AD 与CE 交于点O，
∴BF⊥AC，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2𝐵𝐶⋅𝐴𝐷= 1
2𝐴𝐵⋅𝐶𝐸= 1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐹，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 4𝐴𝐷= 5
2𝐶𝐸= 3𝐵𝐹，
∴CE：AD：BF=12:15:10，
故答案是：12:15:10．
【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．
