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3.1 不等式及其性质
课标要点
1.了解不等式的概念，认识常见不等号，能根据实际情境列出简单不等式，区分等式与不
等式。
2.掌握不等式的三条基本性质，明确不等式与等式性质的异同，尤其掌握不等号方向的变
化规则。
3.能运用不等式基本性质对不等式进行简单变形、化简，为后续解一元一次不等式奠定基
础。
4.初步建立不等量思维，能利用不等式解决简单的实际取值范围问题，培养数形结合与类
比推理能力。
学习重难点
重点：
1.掌握不等式的概念、不等号用法，能根据题意列简单不等式；
2.熟记不等式三条基本性质，掌握不等式的基本变形方法。
难点：
1.掌握不等式两边乘（除）负数时，不等号方向改变的规则，规避高频易错点；
2.结合实际问题准确列出不等式。
第三章
一元一次不等式
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知识点
不等式的概念
1. 不等式：用符号“＞”（或“≥”）、“＜”（或≤），“≠”连接而成的数字式子，叫作不等式，这些用来连
接的符号统称不等号。
2. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。
3. 在数轴上表示不等式：𝑥< 𝑎表示小于𝑎的全体实数，在数轴上对应点A 左边的所有点，不包括点A 在内
（此时表示点A 的点是空心的），数轴表示如图3-4；𝑥≥𝑎表示大于或等于𝑎的全体实数，在数轴上对应点
A 右边的所有点，包括点A 在内（此时表示点A 的点是实心的），数轴表示如图3-5；𝑏< 𝑥< 𝑎 (𝑏< 𝑎)表示
大于𝑏而小于𝑎的全体实数，数轴表示如图3-6。
随学随练
1．（25-26 七年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列数学表达式中：①−2 < 0，②2𝑥2 + 3𝑦> 0，③𝑥= 2，
④𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2，⑤𝑚≠4，⑥𝑎+ 1 > 3，不等式有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】A
【分析】本题根据不等式的定义判断即可，不等式是用不等号（<, >, ≠, ≤, ≥等）连接表示不等关系的式
子，逐个统计符合定义的式子个数即可得到答案．
【详解】解：①−2 < 0，用不等号<连接，是不等式；
②2𝑥2 + 3𝑦> 0，用不等号>连接，是不等式；
③𝑥= 2是等式，不是不等式；
特别提醒
核心规则：大于向右画，小于向左画；有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
易错提醒
1）混淆不等号含义，≥是大于或等于、≤是小于或等于，包含相等情况；
2）误将等式、代数式当作不等式；
3）“非负数、非正数、不大于、不小于”文字翻译符号容易出错。
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④𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2是代数式，无不等关系，不是不等式；
⑤𝑚≠4，用不等号≠连接，是不等式；
⑥𝑎+ 1 > 3，用不等号>连接，是不等式；
∴ 不等式共有4 个．
2．（25-26 八年级下·安徽宿州·期中）李老师在黑板上写了下列式子：①3 < 5；②4𝑥+ 5 > 0；③𝑥=
3；④𝑥2 + 4𝑥；⑤𝑥≠4；⑥𝑥+ 2 > 𝑥+ 1．其中是不等式的有_____（填写序号）．
【答案】①②⑤⑥
【分析】根据不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，逐个判断各个式子即可．
【详解】解：①3 < 5，用<表示不等关系，是不等式；
②4𝑥+ 5 > 0，用>表示不等关系，是不等式；
③𝑥= 3，是等式，不是不等式；
④𝑥2 + 4𝑥，是整式，没有不等关系，不是不等式；
⑤𝑥≠4，用≠表示不等关系，是不等式；
⑥𝑥+ 2 > 𝑥+ 1 ，用>表示不等关系，是不等式；
因此是不等式的序号为①②⑤⑥．
知识点
不等式的性质（重点）
1.不等式的基本性质1（传递性）：𝑎< 𝑏，𝑏< 𝑐⇒𝑎< 𝑐。
2.不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。
𝑎＞𝑏⇒𝑎+ 𝑐＞𝑏+ 𝑐，𝑎−𝑐＞𝑏−𝑐；𝑎< 𝑏⇒𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑐，𝑎−𝑐< 𝑏−𝑐。
3.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得到的不等式仍成立；不等式的两
边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。
𝑎＞𝑏，且𝑐> 0 ⇒𝑎𝑐> 𝑏𝑐，𝑎
𝑐> 𝑏
𝑐；𝑎＞𝑏，且𝑐< 0 ⇒𝑎𝑐< 𝑏𝑐，𝑎
𝑐< 𝑏
𝑐。
随学随练
1．（25-26 七年级下·湖北咸宁·期末）若𝑎> 𝑏，则下列不等式一定不成立的是（ ）
易错提醒
1）乘除负数时忘记变号，是解题最大易错点；
2）同时乘0 导致不等式变为等式，违背性质使用前提；
3）混淆等式性质与不等式性质，等式无变号要求。
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A．𝑎+ 3 > 𝑏+ 3
B．
𝑎
3 >
𝑏
3
C．−2𝑎> −2𝑏
D．𝑎+ 2𝑏> 3𝑏
【答案】C
【详解】解：选项A：不等式两边同时加3，不等号方向不变，可得𝑎+ 3 > 𝑏+ 3，该不等式一定成立，A
不符合要求；
选项B：不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，可得
𝑎
3 >
𝑏
3，该不等式一定成立，B 不符合要求；
选项C：不等式两边同时乘负数−2，不等号方向改变，可得−2𝑎< −2𝑏，因此−2𝑎> −2𝑏一定不成立，C
符合要求；
选项D：对𝑎+ 2𝑏> 3𝑏，不等式两边同时减2𝑏，可得𝑎> 𝑏，与已知条件一致，该不等式一定成立，D 不
符合要求．
2．（25-26 七年级下·海南三亚·期末）如果𝑎> 𝑏，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．𝑎−3 < 𝑏−3 B．−3𝑎> −3𝑏
C．𝑎+ 3 < 𝑏+ 3
D．−𝑎< −𝑏
【答案】D
【分析】根据不等式性质逐一判断各选项即可．
【详解】解：A 选项，不等式两边同时减去3，不等号方向不变，得𝑎−3 > 𝑏−3，故A 错误；
B 选项，不等式两边同时乘以−3，不等号方向改变，得−3𝑎< −3𝑏，故B 错误；
C 选项，不等式两边同时加上3，不等号方向不变，得𝑎+ 3 > 𝑏+ 3，故C 错误；
D 选项，不等式两边同时乘以−1，不等号方向改变，得−𝑎< −𝑏，故D 正确．
3．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）若𝑥< 𝑦，𝑎𝑥> 𝑎𝑦，则𝑎的值可能是__________．（写出一个即可）
【答案】−1（答案不唯一，小于0 的数均可）
【分析】不等式变形后不等号方向改变，据此确定𝑎的取值范围，写出一个符合条件的值即可．
【详解】解：∵𝑥< 𝑦，给不等号两边同乘𝑎后得到𝑎𝑥> 𝑎𝑦，不等号方向发生改变，
∴根据不等式的性质可得𝑎< 0，
∴𝑎的值可以是−1．
知识点
比较大小（重点）
例：已知𝑎< 0，试比较2𝑎与𝑎的大小。
解法一（直接利用不等式的性质比较大小）：∵2＞1，𝑎< 0 ∴2𝑎＜𝑎（不等式的基本性质3）
解法二（利用数轴比较大小）：
在数轴上分别表示2𝑎和𝑎的点（𝑎< 0）
2𝑎位于𝑎的左边 ∴2𝑎＜𝑎
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解法三（作差法比较大小）：∵2𝑎−𝑎= 𝑎，且𝑎< 0 ∴2𝑎−𝑎< 0 ∴2𝑎＜𝑎
随学随练
1．比较8𝑎和6𝑎的大小，下列说法正确的是（ ）
A．8𝑎> 6𝑎
B．8𝑎< 6𝑎
C．8𝑎= 6𝑎
D．以上三种大小关系都有可能
【答案】D
【分析】本题需根据𝑎的不同取值范围，利用不等式的基本性质分类讨论比较大小．
【详解】对𝑎的取值分三种情况讨论：
当𝑎> 0时，∵8 > 6，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，
∴8𝑎> 6𝑎；
当𝑎= 0时，∵8𝑎= 0，6𝑎= 0，
∴8𝑎= 6𝑎；
当𝑎< 0时，∵8 > 6，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，
∴8𝑎< 6𝑎；
因此三种大小关系都有可能．
2．（25-26 七年级下·河南周口·期中）数轴上表示数𝑚，𝑛的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是
（ ）
A．−𝑚> −𝑛
B．𝑚+ 2 < 𝑛+ 2
C．
𝑚
5 >
𝑛
5
D．3𝑚< 3𝑛
【答案】C
【分析】先根据数轴得到𝑚< 𝑛，再由不等式的性质求解．
【详解】解：由数轴可得，𝑚< 𝑛，
则−𝑚> −𝑛，𝑚+ 2 < 𝑛+ 2，
𝑚
5 <
𝑛
5，3𝑚< 3𝑛，
故C 选项错误．
3．（25-26 七年级下·宁夏吴忠·期中）比较大小：√3 + 1______3．
【答案】
<
特别提醒
常用方法：作差法、不等式性质法、数轴比较法（右大左小），可灵活选用适配题型。
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【分析】先估算√3的取值范围，再利用不等式的性质得到√3 + 1的范围，即可比较大小．
【详解】∵1 < 3 < 4，
∴√1 < √3 < √4，即1 < √3 < 2，
不等式两边同时加1，得 2 < √3 + 1 < 3，
∴√3 + 1 < 3．
拓展
方程与不等式核心概念对比
1. 方程与不等式是初中代数两大基础式子类型，核心差异体现在关系表达、符号、解集形式上，是基础
概念辨析重点，具体对比如下：
对比维度
方程
不等式
表达关系
表示数量之间的相等关系
表示数量之间的不等关系
连接符号
仅使用等号“=”
使用＞、≥、＜、≤、≠五类不等号
解的特征
一般为有限个确定数值
一般为无数个实数组成的取值范围
活学活用
1．（25-26 七年级下·重庆江津·期末）下列各式中，不是不等式的是（ ）．
A．𝑥+ 𝑦≠2
B．6𝑥−3
C．−1 < 0
D．2𝑥−1 > 5
【答案】B
【分析】根据不等式的概念判断各选项即可得到答案．
【详解】首先明确不等式的定义：用不等号（包括>，<，≠，≤，≥等）连接，表示不等关系的式子叫做
不等式．
∵ 选项A、𝑥+ 𝑦≠2，使用不等号≠表示不等关系，是不等式；
选项B、6𝑥−3，只是一个代数式，没有用不等号连接，不表示不等关系，不是不等式；
选项C、−1 < 0，使用不等号<表示不等关系，是不等式；
选项D、2𝑥−1 > 5，使用不等号>表示不等关系，是不等式．
2．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期末）某日，我市最高气温为22°C，最低气温为9°C，则当天气温𝑡（°C）的
变化范围是（ ）
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A．𝑡≥9
B．𝑡≤22
C．9 < 𝑡< 22
D．9 ≤𝑡≤22
【答案】D
【分析】根据已知的当日最高气温与最低气温，即可确定气温𝑡的变化范围，考查不等式表示数量范围的应
用．
【详解】解：∵某日我市最高气温是22°C，最低气温是9°C，
∴当天气温𝑡(°C)不低于最低气温，且不高于最高气温， 即变化范围为9 ≤𝑡≤22
题型
不等式的识别
▌例1．（25-26 七年级下·河南新乡·期中）下列各式中，是不等式的是（ ）
A．𝑥+ 1 = 2𝑥
B．3𝑥+ 1
C．𝑥> 2
D．−1
【答案】C
【详解】解：选项A：𝑥+ 1 = 2𝑥用等号连接，是等式，不是不等式；
选项B：3𝑥+ 1是代数式，没有不等关系，不是不等式；
选项C：𝑥> 2用不等号连接，表示不等关系，符合不等式的定义；
选项D：−1是单独的常数，属于代数式，不是不等式．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·湖南永州·期中）周老师在黑板上写了下列式子：①3 < 5；②4𝑥+ 5 >
0；③𝑥= 3；④𝑥2 + 𝑥；⑤𝑥≠4；⑥𝑥+ 2 > 𝑥+ 1．其中是不等式的有（ ）．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义，用不等号（包括<,>,≥,≤,≠等）表示不等关系的式子叫做不等式，
逐一判断式子是否符合要求即可得到结果.
【详解】解：①3 < 5含不等号<，是不等式；
②4𝑥+ 5 > 0含不等号>，是不等式；
③𝑥= 3是等式，不含不等号，不是不等式；
④𝑥2 + 𝑥是代数式，不含不等号，不是不等式；
⑤𝑥≠4含不等号≠，是不等式；
解题贴士
1）判断式子是否含有不等关系符号，含＞、＜、≥、≤、≠任意一种，即为不等式；
2）等式、代数式、算式均不属于不等式。
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⑥𝑥+ 2 > 𝑥+ 1含不等号>，是不等式；
∴不等式一共有4 个.
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·上海·期末）下列式子中：①4𝑥+ 𝑦≤1 ；②𝑥+ 3 = 0；③𝑦−7 ；
④𝑚−2.5 > 3 ；⑤2 < 7 ．不等式是______．（填序号）
【答案】①④⑤
【分析】根据不等式的定义，找出所有用不等号连接的式子即可．
【详解】解：①是用“≤ ”连接的式子，是不等式，符合要求；
②是用等号连接的式子，是等式，不是不等式，不符合要求；
③是代数式，没有不等号连接，不是不等式，不符合要求；
④是用“>”连接的式子，是不等式，符合要求；
⑤是用“<”连接的式子，是不等式，符合要求；
∴不等式有①④⑤．
题型
列出不等式
▌例1．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开
始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是12°C，最高气温是17°C，则当天气温𝑡（°C）满足的不等关系为
（ ）
A．𝑡> 12
B．𝑡< 17
C．12 < 𝑡< 17
D．12 ≤𝑡≤17
【答案】D
【详解】解：∵最低气温是12°C，最高气温是17°C，
∴12 ≤𝑡≤17．
▌例2．（25-26 七年级下·上海宝山·期末）列不等式表示下列数量关系：x 的3 倍大于x 的一半与1 的差
______．
【答案】3𝑥>
1
2 𝑥−1
【分析】根据题意列不等式即可．
【详解】解：由题意，得3𝑥>
1
2 𝑥−1．
解题贴士
1）先抓取题目关键词，转化对应不等符号；
2）再结合题干数量关系，列出规范不等式。
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▌对点练1-1．（25-26 七年级下·云南红河·期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．如图，这是某城
市道路旁边的限速标志牌，设行驶该路段的车速为𝑥 km/h，则下列不等式对此标志解释正确的是（ ）
A．𝑥≤40
B．𝑥< 40
C．𝑥≥40
D．𝑥> 40
【答案】A
【分析】理解限速标志的含义即可得解．
【详解】解：限速标志“限速40km/h”表示车辆行驶的速度不能超过40km/h，
也就是行驶速度x要小于或等于40km/h，用不等式表示为x ≤40
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·湖南郴州·期末）若一部电梯的载重标准是不超过1000 kg，设该电梯的载重
量为𝑥(kg)，则x 满足的不等式为________．
【答案】𝑥≤1000
【详解】解：由题意得，电梯载重量不超过1000 kg，
∴𝑥≤1000
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·广东深圳·期中）𝑥不大于𝑦的2倍，用不等式表示为_____________．
【答案】
𝑥≤2𝑦
【分析】先确定𝑦的2倍为2𝑦，“不大于”表示不等关系为小于等于，根据题干描述即可列出对应不等式．
【详解】解：根据题意，𝑦的2倍为2𝑦，
∵𝑥不大于2𝑦，
可得不等式：𝑥≤2𝑦．
题型
不等式的性质
▌例1．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如果𝑎< 𝑏，那么下列不等式正确的是（ ）
A．𝑎+ 3 > 𝑏+ 3
B．𝑎−2 < 𝑏−2
解题贴士
易错：①乘除负数忘记变号（高频错误）；②不等式两边同时平方、取倒数乱套性质；③对不等式一边
单独加减、乘除，不同时变形。
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C．−
𝑎
2 < −
𝑏
2
D．
𝑎
3 >
𝑏
3
【答案】B
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【详解】解：∵𝑎< 𝑏，
∴𝑎+ 3 < 𝑏+ 3，𝑎−2 < 𝑏−2，故A 错误，B 正确；
∵𝑎< 𝑏，
∴−
𝑎
2 > −
𝑏
2，
𝑎
3 <
𝑏
3，故C、D 错误．
▌例2．把不等式3𝑥> 6化为“𝑥> 𝑎”的形式为_______．
【答案】𝑥> 2
【分析】将不等式两边同时除以x 的系数3，根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个正数，
不等号方向不变，即可将不等式化为𝑥> 𝑎的形式．
【详解】解：对于不等式 3𝑥> 6，
不等式两边同除以3，得𝑥> 2．
故答案为：𝑥> 2．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）已知𝑚> 𝑛，下列不等式一定成立的是（ ）
A．−3𝑚> −3𝑛
B．
2
3 𝑚−5 >
2
3 𝑛−5
C．𝑚+ 4 < 𝑛+ 4
D．1 −𝑚> 1 −𝑛
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可得到正确结果．
【详解】解：对于选项A，不等式两边同乘−3，不等号方向改变，可得−3𝑚< −3𝑛，故A 不成立，不符
合题意；
对于选项B，不等式两边同乘
2
3，不等号方向不变，可得
2
3 𝑚>
2
3 𝑛，不等式两边再同时减5，不等号方向不
变，可得
2
3 𝑚−5 >
2
3 𝑛−5，故B 一定成立，符合题意；
对于选项C，不等式两边同时加4，不等号方向不变，可得𝑚+ 4 > 𝑛+ 4，故C 不成立，不符合题意；
对于选项D，不等式两边同乘−1，不等号方向改变，可得−𝑚< −𝑛，不等式两边同时加1，不等号方向不
变，可得1 −𝑚< 1 −𝑛，故D 不成立，不符合题意．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）用不等式的性质说明如图所示的事实，正确的是
（ ）
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A．如果𝑎> 𝑏，那么𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑐
B．如果𝑎< 𝑏，那么𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑐
C．如果𝑎> 𝑏，那么𝑎−𝑐> 𝑏−𝑐
D．如果𝑎> 𝑏，那么𝑎𝑐> 𝑏𝑐
【答案】A
【分析】根据图形及不等式的性质求解即可．
【详解】解：由第一个图得出：𝑎> 𝑏，由第二个图得出：𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑐，
∴正确的是如果𝑎> 𝑏，那么𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑐．
▌对点练1-3．（2026·重庆·三模）已知m 为正整数，若𝑚< √53 −2 < 𝑚+ 1，则𝑚=________．
【答案】5
【分析】先估算√53的取值范围，再推导√53 −2的取值范围，结合已知条件和𝑚为正整数，即可求出𝑚的
值．
【详解】解：∵72 = 49，82 = 64，
∴49 < 53 < 64，
∴7 < √53 < 8，
∴5 < √53 −2 < 6，
∵𝑚< √53 −2 < 𝑚+ 1，𝑚为正整数，
∴𝑚= 5．
▌对点练1-4．（2026·河北唐山·二模）已知𝑎> 𝑏，则一定有−4𝑎□−4𝑏，“□”中应填的符号是______．
【答案】<
【分析】根据不等式的基本性质，不等式两边乘同一个负数时不等号方向改变，据此判断即可．
【详解】解：∵𝑎> 𝑏，
∴−4𝑎< −4𝑏．
▌对点练1-5．（25-26 七年级下·河南新乡·期中）由𝑎> 𝑏得到𝑎𝑚> 𝑏𝑚的条件是________．
【答案】𝑚> 0
【详解】解：当𝑚> 0时，𝑎× 𝑚> 𝑏× 𝑚，即𝑎𝑚> 𝑏𝑚．
故由𝑎> 𝑏得到𝑎𝑚> 𝑏𝑚的条件是𝑚> 0．
题型
比较大小
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▌例1．（2026·浙江丽水·二模）在数轴上表示数𝑎的点如图所示，则3𝑎与2𝑎的大小关系是（ ）
A．3𝑎< 2𝑎
B．3𝑎≤2𝑎
C．3𝑎> 2𝑎
D．3𝑎≥2𝑎
【答案】A
【分析】根据数轴可知𝑎< 0，然后通过不等式的性质即可求解．
【详解】解：根据数轴可知，𝑎< 0，
∵3 > 2，
∴3𝑎< 2𝑎．
▌例2．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）若𝑚> 𝑛，则−
1
2 𝑚__________−
1
2 𝑛．（填“>”或“<”）
【答案】<
【分析】利用不等式的基本性质即可判断两个式子的大小关系.
【详解】解：∵𝑚> 𝑛，
∴−
1
2 𝑚< −
1
2 𝑛 .
▌例3．（25-26 八年级下·广东梅州·期中）按要求完成下列各题：
(1)根据不等式的基本性质，用不等号填空：
若𝑥< 𝑦，则𝑥+ 1_________𝑦+ 1；
若𝑥< 𝑦，则3𝑥_________3𝑦；
若𝑥< 𝑦，则−2𝑥_________−2𝑦．
(2)已知𝑥> 𝑦，试比较−2026𝑥−1与−2026𝑦−1的大小．
【答案】(1)<, <, >
(2)−2026𝑥−1 < −2026𝑦−1
【分析】（1）根据不等式的 3 条基本性质判断：
①不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变；
②不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；
③不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变；
（2）先利用不等式性质3，给𝑥> 𝑦两边同乘−2026，不等号反向；再利用不等式性质1，两边同时减1，
不等号方向不变，完成大小比较．
解题贴士
易错：①仅凭正数、负数主观判断，忽略代数式整体取值；②作差后不会化简判断正负；③乘除负数
后大小关系判断错误。
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【详解】（1）解：若𝑥< 𝑦，两边同时加1，则𝑥+ 1 < 𝑦+ 1；
若𝑥< 𝑦，两边同时乘正数3，则3𝑥< 3𝑦；
若𝑥< 𝑦，两边同时乘负数−2，则−2𝑥> −2𝑦．
（2）解：∵𝑥> 𝑦，
根据不等式基本性质，两边同时乘−2026，不等号方向改变，
∴−2026𝑥< −2026𝑦，
两边同时减1，不等号方向不变，
∴−2026𝑥−1 < −2026𝑦−1．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山东临沂·期末）若实数𝑎，𝑏，𝑐在数轴上对应点的位置如图所示，则下列
不等式成立的是（ ）
A．𝑎𝑐> 𝑏𝑐
B．𝑎𝑏> 𝑐𝑏
C．𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑐
D．𝑎+ 𝑏> 𝑐+ 𝑏
【答案】A
【分析】根据数轴判断出𝑎、𝑏、𝑐的正负及大小情况，然后根据不等式的性质解答．
【详解】解：由图可知，𝑎< 𝑐< 0 < 𝑏，|𝑎| > 1, |𝑏| < 1, |𝑐| < 1，
A. 𝑎𝑐> 𝑏𝑐，故该选项正确，符合题意；
B. ∵𝑎< 𝑐< 0 < 𝑏，|𝑎| > 1, |𝑏| < 1, |𝑐| < 1，
∴𝑎𝑏< 𝑐𝑏，故该选项不正确，不符合题意；
C. 𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑐，故该选项不正确，不符合题意；
D. 𝑎+ 𝑏< 𝑐+ 𝑏，故该选项不正确，不符合题意；
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·北京·期末）若𝑎< 𝑏，则𝑎−3___________𝑏−3；−3𝑎+
1___________−3𝑏+ 1．（用“>”，“<”，或“=”填空）
【答案】 < >
【详解】解：∵𝑎< 𝑏，
∴𝑎−3 < 𝑏−3，−3𝑎> −3𝑏，
∴−3𝑎+ 1 > −3𝑏+ 1．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·河南郑州·期中）若𝑎> 𝑏，则−
𝑎
3__−
𝑏
3．
【答案】</小于
【详解】解：∵𝑎> 𝑏，
根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一个负数−
1
3，不等号的方向改变，
∴−
1
3 𝑎< −
1
3 𝑏，即−
𝑎
3 < −
𝑏
3.
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▌对点练1-4．（25-26 七年级下·河南南阳·期中）仿例：已知𝑎> 0，试比较3𝑎与a 的大小．
方法一 解：因为3 > 1，𝑎> 0，所以3𝑎> 𝑎．
方法二 解：因为3𝑎−𝑎= 2𝑎，𝑎> 0，所以2𝑎> 0，所以3𝑎> 𝑎
根据仿例，请解答：已知𝑎< 0，试比较2𝑎与𝑎大小，用两种方法解答．
【答案】
2𝑎< 𝑎，方法见解析
【分析】本题使用两种方法比较大小，方法一利用不等式的基本性质推导结果，方法二利用作差法，通过
判断差的正负得到大小关系．
【详解】解：方法一：∵2 > 1，𝑎< 0
∴不等式两边同乘以负数𝑎，不等号方向改变
∴2𝑎< 𝑎；
方法二： 计算两式的差
2𝑎−𝑎= 𝑎
∵𝑎< 0
∴2𝑎−𝑎< 0
∴2𝑎< 𝑎 ．
基础通关
1．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）下列各式中，是不等式的是（ ）
A．𝑥+ 2
B．𝑥= 2
C．2𝑥= 6
D．𝑥+ 𝑦< 1
【答案】D
【分析】根据“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”，逐一判断选项即可．
【详解】解：选项A 的𝑥+ 2是代数式，不含不等号，不是不等式，
选项B 的𝑥= 2，选项C 的2𝑥= 6都是用等号连接的等式，不是不等式，
选项D 的𝑥+ 𝑦< 1是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义．
2．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）若x 的3 倍不大于5，下列表示正确的是（ ）
A．3𝑥< 5
B．3𝑥≥5
C．3𝑥> 5
D．3𝑥≤5
【答案】D
【详解】解：∵𝑥的3 倍不大于5，不大于5 的含义是小于或等于5，
∴根据题意可得不等式3𝑥≤5．
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3．（25-26 七年级下·湖南株洲·期中）已知“①𝑥+ 𝑦= 1；②𝑥−𝑦；③𝑥+ 2𝑦；④𝑥2 −𝑦≥1；⑤𝑥< 0”属
于不等式的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】A
【分析】根据不等式的定义，即用不等号连接的式子是不等式，逐个判断式子，统计符合条件的个数即可
求解．
【详解】解：∵ ①𝑥+ 𝑦= 1是等式，不含不等号，不属于不等式；
②𝑥−𝑦是代数式，不含不等号，不属于不等式；
③𝑥+ 2𝑦是代数式，不含不等号，不属于不等式；
④𝑥2 −𝑦≥1含有不等号≥，属于不等式；
⑤𝑥< 0含有不等号<，属于不等式；
∴ 属于不等式的共有2 个．
4．（25-26 八年级上·浙江嘉兴·期末）为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50 分贝．设学
校的噪音为𝑥（分贝），则𝑥应满足（ ）
A．𝑥> 50
B．𝑥≥50
C．𝑥< 50
D．𝑥≤50
【答案】D
【分析】本题考查不等式，根据“不得超过”的含义，噪音x 应不超过50 分贝，即𝑥≤50．
【详解】解：∵ 噪音不得超过50 分贝，
∴ 𝑥≤50，
故选：D．
5．（25-26 七年级下·江苏泰州·期末）若𝑎< 𝑏，则下列各式中正确的是（ ）
A．−5𝑎> −5𝑏
B．𝑎−𝑐> 𝑏−𝑐 C．𝑎+ 2 > 𝑏+ 2 D．
𝑎
5 >
𝑏
5
【答案】A
【分析】根据不等式基本性质，不等式两边都加或减同一个数，不等号方向不变；两边都乘或除以同一个
正数，不等号方向不变；两边都乘或除以同一个负数，不等号方向改变，根据不等式性质逐一判断选项即
可．
【详解】解： ∵ 𝑎< 𝑏，
A 选项：不等式两边同乘−5，−5为负数，不等号方向改变，∴ −5𝑎> −5𝑏，A 正确；
B 选项：不等式两边同减𝑐，不等号方向不变，∴ 𝑎−𝑐< 𝑏−𝑐，B 错误；
C 选项：不等式两边同加2，不等号方向不变，∴ 𝑎+ 2 < 𝑏+ 2，C 错误；
D 选项：不等式两边同除以5，5为正数，不等号方向不变，∴
𝑎
5 <
𝑏
5，D 错误．
6．（25-26 七年级下·湖南永州·期末）若𝑚< 𝑛，则下列不等式中不正确的是（ ）
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A．𝑚−3 < 𝑛−3 B．−
1
3 𝑚< −
1
3 𝑛
C．3𝑚< 3𝑛
D．𝑚+ 3 < 𝑛+ 3
【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可求解．
【详解】解：∵𝑚< 𝑛，
∴𝑚−3 < 𝑛−3，𝑚+ 3 < 𝑛+ 3，3𝑚< 3𝑛，−
1
3 𝑚> −
1
3 𝑛，
∴A、C、D 选项正确，不符合题意，B 选项错误，符合题意．
7．（25-26 七年级下·上海·期末）“a 的1
2
3减去𝑏的差是非负数”用不等式表示为___________．
【答案】
5
3 𝑎−𝑏≥0
【详解】解：由题意得，1
2
3 =
5
3，因此“𝑎的1
2
3减去𝑏的差”可表示为
5
3 𝑎−𝑏.
因为差是非负数，非负数是大于等于0的数，所以不等式为
5
3 𝑎−𝑏≥0.
8．（25-26 七年级下·湖南永州·期中）永州市春季某日的最高气温是17℃，最低气温是11℃，则该地当日气
温𝑡(℃)的变化范围是______．
【答案】11 ≤𝑡≤17
【详解】解：∵该地当日最高气温为17℃，最低气温为11℃，
则该地当日气温𝑡(℃)的变化范围是11 ≤𝑡≤17
9．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）若有理数a、b 满足𝑎< 𝑏，则𝑎+ 3________𝑏+ 3．（填“>”、“<”或
“=”）
【答案】<
【分析】根据不等式的基本性质，即可得到正确结果.
【详解】解：∵𝑎< 𝑏，
∴𝑎+ 3 < 𝑏+ 3．
10．（2026·贵州贵阳·二模）实数a，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则𝑎−𝑏____0．（填“＞”“＜”或
“=”）
【答案】<
【分析】根据数轴上点的位置得到𝑎< 𝑏，再利用不等式的性质求解即可．
【详解】解：由数轴可得𝑎< 𝑏，
∴𝑎−𝑏< 0．
11．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）已知𝑥≥7，且𝑦= 1 + 𝑥，则𝑦的取值范围是__________．
【答案】𝑦≥8
【详解】解：∵𝑥≥7，
小学
初中
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∴1 + 𝑥≥8，
∵𝑦= 1 + 𝑥，
∴𝑦≥8．
12．（25-26 八年级下·河南南阳·期中）已知：𝑛> 0，求证：
𝑛
𝑛+1 <
𝑛+1
𝑛+2．
【答案】见解析
【分析】计算
𝑛
𝑛+1 −
𝑛+1
𝑛+2 = −
1
(𝑛+1)(𝑛+2)，根据𝑛> 0得出−
1
(𝑛+1)(𝑛+2) < 0，即可得出
𝑛
𝑛+1 <
𝑛+1
𝑛+2．
【详解】证明：∵
𝑛
𝑛+1 −
𝑛+1
𝑛+2=
𝑛(𝑛+2)−(𝑛+1)2
(𝑛+1)(𝑛+2)
=
𝑛2+2𝑛−𝑛2−2𝑛−1
(𝑛+1)(𝑛+2)
=−
1
(𝑛+1)(𝑛+2)，
∵𝑛> 0
∴𝑛+ 1 > 0，𝑛+ 2 > 0，
∴(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) > 0，
∴−
1
(𝑛+1)(𝑛+2) < 0，
即
𝑛
𝑛+1 −
𝑛+1
𝑛+2 < 0，
∴
𝑛
𝑛+1 <
𝑛+1
𝑛+2．
素养提升
1．（25-26 七年级下·河南周口·期末）下列判断正确的是( )
A．若𝑎> 𝑏，则−2𝑎> −2𝑏
B．若𝑎> 𝑏，则𝑎+ 2 > 𝑏+ 2
C．若𝑚𝑎> 𝑚𝑏，则𝑎> 𝑏
D．若𝑎> 𝑏，则2𝑎< 2𝑏
【答案】B
【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边加(或减)同一个数，不等号方向
不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方
向改变．根据不等式的基本性质逐一判断各选项，找出正确的即可．
【详解】解：选项A： ∵𝑎> 𝑏，两边同乘−2，不等号变向 ∴−2𝑎< −2𝑏，故A 错误．
选项B： ∵𝑎> 𝑏，两边同加2，不等号方向不变 ∴𝑎+ 2 > 𝑏+ 2，故B 正确．
选项C： ∵𝑚𝑎> 𝑚𝑏，当𝑚< 0时，两边同除以𝑚，不等号变向，可得𝑎< 𝑏；故C 错误．
选项D： ∵𝑎> 𝑏，两边同乘2，2是正数，不等号方向不变 ∴2𝑎> 2𝑏，故D 错误．
故选：B．
2．（25-26 七年级下·北京顺义·期末）实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
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（ ）
A．𝑎+ 2 > 𝑏+ 2 B．
𝑎
3 < −
𝑎
3
C．−2𝑎< −2𝑏
D．𝑎−𝑏> 0
【答案】B
【分析】由数轴得出𝑎，𝑏的取值范围及大小关系，再结合不等式的基本性质判断即可．
【详解】由数轴可知：−4 < 𝑎< −3，1 < 𝑏< 2，
∴𝑎< 0 < 𝑏，且𝑎< 𝑏，
A、∵𝑎< 𝑏，∴𝑎+ 2 < 𝑏+ 2，故A 选项错误；
B、∵𝑎< 0，∴
𝑎
3 < 0 ，−
𝑎
3 > 0 ，∴
𝑎
3 < −
𝑎
3，故B 选项正确；
C、∵𝑎< 𝑏，∴−2𝑎> −2𝑏，故C 选项错误；
D、∵𝑎< 𝑏，∴𝑎−𝑏< 0，故D 选项错误．
3．（25-26 七年级下·陕西安康·期末）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若𝑎𝑚> 𝑏𝑚，𝑚< 0，则𝑎< 𝑏
B．若𝑥> 𝑦，则
𝑥
𝑚>
𝑦
𝑚
C．若𝑎> 𝑏，则𝑎𝑐2 > 𝑏𝑐2
D．若𝑎< 𝑏，则𝑎−𝑐> 𝑏−𝑐
【答案】A
【分析】根据不等式的性质逐一判断变形是否正确即可.不等式变形时，需注意乘除负数要改变不等号方
向，乘0 时结果变为相等．
【详解】解：A、∵ 𝑎𝑚> 𝑏𝑚，𝑚< 0，根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向
改变，
∴ 𝑎< 𝑏，A 变形正确；
B、∵ 未说明𝑚的符号，若𝑚< 0，则
𝑥
𝑚<
𝑦
𝑚，
∴ B 变形错误；
C、∵ 当𝑐= 0时，𝑐2 = 0，此时𝑎𝑐2 = 𝑏𝑐2，
∴ C 变形错误；
D、∵ 不等式两边同时减同一个数𝑐，不等号方向不变，𝑎< 𝑏，
∴ 𝑎−𝑐< 𝑏−𝑐，D 变形错误．
4．（25-26 七年级下·广东江门·期末）如图是某机器零件的设计图纸（图中的长度单位：mm），用不等式
．．．表
示零件长度𝐿的合格尺寸（𝐿的取值范围）_______．
【答案】39.8 ≤𝐿≤40.2
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【分析】根据图像信息即可求解．
【详解】解：零件长度𝐿的取值范围是：40 −0.2 ≤𝐿≤40 + 0.2,
即为：39.8 ≤𝐿≤40.2．
5．（25-26 七年级下·北京通州·期末）如果能说明命题“若𝑎< 𝑏，则
𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐”是一个假命题，那么c 的值可以
是______ ．
【答案】−1（答案不唯一，任意负数均可）
【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足𝑎< 𝑏但不满足
𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐的反例，当𝑐为负数时，原命题结论不
成立。
【详解】解：∵𝑐< 0，𝑎< 𝑏
∴
𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐，不满足原命题的结论
𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐，
因此任取一个负数作为𝑐即可，如𝑐= −1．
6．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）若𝑥> 𝑦，且(𝑚−2)𝑥< (𝑚−2)𝑦，𝑚是正整数，则𝑚的值是
______．
【答案】1
【分析】根据不等式的性质判断出𝑚−2的符号，再结合𝑚为正整数的条件即可求出𝑚的值．
【详解】解：∵ 𝑥> 𝑦，且(𝑚−2)𝑥< (𝑚−2)𝑦，
∴ 𝑚−2 < 0，
解不等式得𝑚< 2，
又∵𝑚是正整数，
∴𝑚= 1．
7．（25-26 七年级下·重庆梁平·期末）若𝑎> 𝑏，则下列各式中错误的个数是___________．
（1）𝑎−2 < 𝑏−2，（2）𝑎𝑐> 𝑏𝑐，（3）−3𝑎> −3𝑏，（4）
𝑎
3 >
𝑏
3，（5）1 −𝑎> 1 −𝑏，（6）𝑎2 < 𝑏2，（7）
𝑎𝑐2 < 𝑏𝑐2．
【答案】6
【详解】解：（1）已知𝑎> 𝑏，由不等式的基本性质1，不等式两边同时减2，不等号方向不变，得𝑎−2 >
𝑏−2，故（1）错误．
（2）𝑎𝑐> 𝑏𝑐中，𝑐的符号不确定，当𝑐≤0时，𝑎𝑐≤𝑏𝑐，原式不成立，故（2）错误．
（3）已知𝑎> 𝑏，由不等式的基本性质3，不等式两边同时乘−3，不等号方向改变，得−3𝑎< −3𝑏，故
（3）错误．
（4）已知𝑎> 𝑏，由不等式的基本性质2，不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，得
𝑎
3 >
𝑏
3，故
（4）正确．
（5）已知𝑎> 𝑏，由不等式的基本性质3 得−𝑎< −𝑏，再由不等式的基本性质1，两边同时加1得1 −𝑎<
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1 −𝑏，故（5）错误．
（6）当𝑎= 2, 𝑏= 1时，满足𝑎> 𝑏，但𝑎2 = 4 > 1 = 𝑏2，故（6）错误．
（7）已知𝑐2 ≥0，当𝑐≠0时，𝑐2 > 0，由不等式的基本性质2 得𝑎𝑐2 > 𝑏𝑐2，当𝑐= 0时，𝑎𝑐2 = 𝑏𝑐2，故
𝑎𝑐2 < 𝑏𝑐2不成立，故（7）错误．
综上，错误的式子共6个．
8．（2026·重庆·二模）已知𝑚< √19 + 2 < 𝑚+ 1，且m 为整数，则m 的值为______．
【答案】6
【分析】先估算出√19的取值范围，再推出√19 + 2的取值范围，即可求出整数𝑚的值．
【详解】解：∵√16 < √19 < √25，
∴4 < √19 < 5，
不等式两边同时加2，得6 < √19 + 2 < 7，
又∵𝑚< √19 + 2 < 𝑚+ 1，且𝑚为整数，
∴𝑚= 6．
9．（25-26 七年级下·江苏南京·期末）代数推理：证明“如果𝑎< 𝑏, 𝑐< 𝑑，那么𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑．”
【答案】
证明：∵𝑎< 𝑏，𝑐< 𝑑
∴𝑎−𝑏< 0，𝑐−𝑑< 0
∴(𝑎+ 𝑐) −(𝑏+ 𝑑) = (𝑎−𝑏) + (𝑐−𝑑) < 0
即(𝑎+ 𝑐) −(𝑏+ 𝑑) < 0
∴𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑．
【分析】利用不等式的性质，通过作差判断符号证明结论，先根据已知条件得到两个差为负数，再计算两
个差的和，判断和的符号即可推导出结论．
【详解】略
10．（25-26 七年级下·湖北武汉·期末）【理解】小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若𝐴−𝐵> 0，则𝐴> 𝐵；若𝐴−𝐵= 0，则𝐴= 𝐵；若𝐴−𝐵< 0，则𝐴< 𝐵．
下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较√5 −2√2与2√5 −√2的大小．
解：√5 −2√2 −(2√5 −√2)
= √5 −2√2 −2√5 + √2
= −√5 −√2，
∵−√5 −√2 < 0
∴√5 −2√2 < 2√5 −√2．
【运用】
(1)比较3𝑎2 −2𝑏+ 1与𝑏2 + 3𝑎2 −2𝑏+ 5的大小；
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(2)比较2(𝑥2 −3𝑥𝑦+ 4𝑦2) −3与3𝑥2 −6𝑥𝑦+ 8𝑦2 −2的大小．
【拓展】
(3)比较𝑚+ 𝑛与𝑚−𝑛的大小．
【答案】(1)3𝑎2 −2𝑏+ 1 < 𝑏2 + 3𝑎2 −2𝑏+ 5
(2)2(𝑥2 −3𝑥𝑦+ 4𝑦2) −3 < 3𝑥2 −6𝑥𝑦+ 8𝑦2 −2
(3)当𝑛> 0时，𝑚+ 𝑛> 𝑚−𝑛；当𝑛= 0时，𝑚+ 𝑛= 𝑚−𝑛；当𝑛< 0时，𝑚+ 𝑛< 𝑚−𝑛
【详解】（1）解：3𝑎2 −2𝑏+ 1 −(𝑏2 + 3𝑎2 −2𝑏+ 5)
= 3𝑎2 −2𝑏+ 1 −𝑏2 −3𝑎2 + 2𝑏−5
= −4 −𝑏2
= −(4 + 𝑏2)
∵𝑏2 ≥0，
∴−(4 + 𝑏2) ≤−4 < 0，
∴3𝑎2 −2𝑏+ 1 < 𝑏2 + 3𝑎2 −2𝑏+ 5
（2）解：2(𝑥2 −3𝑥𝑦+ 4𝑦2) −3 −(3𝑥2 −6𝑥𝑦+ 8𝑦2 −2)
= 2𝑥2 −6𝑥𝑦+ 8𝑦2 −3 −3𝑥2 + 6𝑥𝑦−8𝑦2 + 2
= −𝑥2 −1 = −(𝑥2 + 1)
∵ 𝑥2 ≥0
∴ 𝑥2 + 1 > 0，
可得−(𝑥2 + 1) < 0
∴ 2(𝑥2 −3𝑥𝑦+ 4𝑦2) −3 < 3𝑥2 −6𝑥𝑦+ 8𝑦2 −2
（3）解：(𝑚+ 𝑛) −(𝑚−𝑛) = 𝑚+ 𝑛−𝑚+ 𝑛= 2𝑛
当2𝑛> 0，即𝑛> 0时，差大于0
∴ 𝑚+ 𝑛> 𝑚−𝑛
当2𝑛= 0，即𝑛= 0时，差等于0
∴ 𝑚+ 𝑛= 𝑚−𝑛
当2𝑛< 0，即𝑛< 0时，差小于0
∴𝑚+ 𝑛< 𝑚−𝑛
迁移创新
1．（25-26 七年级下·福建福州·期末）下面是帆帆同学的数学日记，请阅读并完成任务．
2026 年6 月3 日 星期三 晴
我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的性质
或基本事实比较代数式大小的代数推理过程．
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例1 已知𝑎> 𝑏，试比较−2026𝑎+ 1与−2026𝑏+ 1的大小．
解：∵𝑎> 𝑏，−2026 < 0
∴−2026𝑎< −2026𝑏（依据1）
∴−2026𝑎+ 1 < −2026𝑏+ 1．
例2 已知𝑎> 𝑏，𝑐> 𝑑，试比较𝑎+ 𝑐与𝑏+ 𝑑的大小．
解：∵𝑎> 𝑏
∴𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑐①
∵𝑐> 𝑑
∴𝑏+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑．②
由不等式①②，得𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑．（依据2）
任务：
(1)帆帆日记中的“依据1”是_______，“依据2”是_______；
(2)已知𝑎，𝑏，𝑐，𝑑都是正数，且𝑏> 𝑎，𝑐> 𝑑，请类比帆帆日记中例2 的推理过程，比较𝑏𝑐与𝑎𝑑的大小关
系．
【答案】(1)不等式的性质3；不等式的传递性；
(2)𝑏𝑐> 𝑎𝑑
【分析】（1）首先回忆不等式的基本性质，因为例1 中是不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，所
以对应找对应的性质作为依据1；因为例2 中是根据两个同向不等式的大小传递得到最终结论，所以对应
找对应的性质作为依据2．
（2）首先利用已知的𝑏> 𝑎> 0和𝑐> 0，根据不等式两边乘同一个正数不等号方向不变的性质，得到𝑏𝑐和
𝑎𝑐的大小关系；再利用已知的𝑐> 𝑑> 0和𝑎> 0，同理得到𝑎𝑐和𝑎𝑑的大小关系；最后根据不等式的传递
性，结合两个中间结论得到𝑏𝑐和𝑎𝑑的大小关系．
【详解】（1）解：根据不等式的基本性质：对变形过程的依据进行判断即可得到结果．
例1 中给𝑎> 𝑏两边同乘负数−2026，不等号方向改变，对应不等式基本性质3；
例2 中由𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑐、𝑏+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑推出𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑，对应不等式的传递性．
（2）解：类比例2 的分步推理结合不等式性质推导：
已知𝑏> 𝑎，𝑐是正数，
根据不等式性质2，两边同乘正数𝑐不等号方向不变，
得 𝑏𝑐> 𝑎𝑐 ① ，
又已知𝑐> 𝑑，𝑎是正数，两边同乘正数𝑎不等号方向不变，
得𝑎𝑐> 𝑎𝑑② ，
根据不等式的传递性，由①②可得𝑏𝑐> 𝑎𝑑．
2．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）实验背景：在“探秘质量守恒”综合实践课上，某数学兴趣小组用实验
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室天平测量4 个未知质量的砝码（𝑎､𝑏､𝑐､𝑑质量各不相同），实验记录如下：
实验步骤
操作描述
天平状态（绘图区）
步骤一
左盘放𝑑，右盘放𝑎
步骤二
左盘放𝑎和𝑐，右盘放𝑏和𝑑
步骤三
左盘放𝑏和𝑐，右盘放𝑎和𝑑，此时天平平
衡．
任务一：数据分析
(1)根据图1、图2，分别写出能反映砝码质量关系的不等式；
任务二：数据推理
(2)根据图3，请你完成变形𝑐=__________；（用含𝑎､𝑏､𝑑的代数式表示）
任务三：数量关系
(3)结合三个图的信息，将𝑎､𝑏､𝑐､𝑑四个砝码的质量按从小到大的顺序排列，并写出完整的推理过程．
【答案】(1)𝑑> 𝑎，𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑
(2)𝑎+ 𝑑−𝑏
(3)𝑐> 𝑑> 𝑎> 𝑏
∵𝑐= 𝑎+ 𝑑−𝑏, 𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑，
∴𝑎+ 𝑎+ 𝑑−𝑏> 𝑏+ 𝑑，
∴2𝑎> 2𝑏，
∴𝑎> 𝑏
∴𝑎−𝑏> 𝑏−𝑏
∴𝑎−𝑏> 0
又∵𝑏+ 𝑐= 𝑎+ 𝑑，
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∴𝑏+ 𝑐−𝑑−𝑏= 𝑎+ 𝑑−𝑑−𝑏
∴𝑐−𝑑= 𝑎−𝑏> 0，
∴𝑐−𝑑+ 𝑑> 0 + 𝑑
∴𝑐> 𝑑；
∴𝑐> 𝑑> 𝑎> 𝑏．
【分析】（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）根据等式的性质求解即可；
（3）根据等式以及不等式的性质求解即可．
【详解】（1）解∵𝑑> 𝑎，
∴𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑；
（2）解：∵𝑏+ 𝑐= 𝑎+ 𝑑，
∴𝑏+ 𝑐−𝑐= 𝑎+ 𝑑−𝑐
∴𝑐= 𝑎+ 𝑑−𝑏
（3）略
