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分层作业
3.2 平面直角坐标系
目 录
A 组 巩固过关
题型01 象限的判断
题型02 确定坐标系内点的坐标
题型03 点到坐标轴的距离
题型04 点在坐标轴上的性质
题型05 与坐标轴平行的性质
题型06 坐标系内两点之间的距离
题型07 坐标平移的性质
题型08 探究坐标规律
题型09 中点坐标公式
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
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象限的判断
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点
(
)
2, 5
A −
−
位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【详解】解：∵ 点A的坐标为(
)
2, 5
−
−
，可得2
0
−
，5
0
−
，
又∵ 第三象限内点的坐标符号特征为(
)
,−−，即横纵坐标均为负数，
∴ 点
(
)
2, 5
A −
−
位于第三象限.
2．下列各点在第四象限的是（ ）．
A．(
)
4,5
B．(
)
2,3
−
C．(
)
4, 5
−
−
D．(
)
3, 2
−
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，逐项分析判断即可．
【详解】解：平面直角坐标系中，四个象限内点的坐标符号规律为：第一象限(
)
,
+ + ，第二象限(
)
,−+ ，第
三象限(
)
,−−，第四象限(
)
,
+ −，
即第四象限内点满足横坐标为正，纵坐标为负，
选项A(
)
4,5 中，横坐标4
0
，纵坐标5
0
，不符合第四象限点的特征；
选项B(
)
2,3
−
中，横坐标2
0
−
，纵坐标3
0
，不符合第四象限点的特征；
选项C(
)
4, 5
−
−
中，横坐标4
0
−
，纵坐标5
0
−
，不符合第四象限点的特征；
选项D(
)
3, 2
−
中，横坐标3
0
，纵坐标2
0
−
，符合第四象限点的特征．
3．法国数学家笛卡尔首先建立了坐标思想，从而使数学的两大要素“数”与“形”统一起来．在平面直角坐标
系中，关于点(
)
3,2
−
和(
)
3, 2
−
，下列结论正确的是（ ）
A．横坐标相同
B．纵坐标相同
C．所在象限相同
D．到y 轴距离相等
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标性质，逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：已知两点坐标为(
)
3,2
−
和(
)
3, 2
−
，逐一判断：
题型01
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A、3
3
−，横坐标不相同，故A 选项错误；
B、2
2
−，纵坐标不相同，故B 选项错误；
C、(
)
3,2
−
在第二象限，(
)
3, 2
−
在第四象限，所在象限不同，故C 选项错误；
D、点到y 轴的距离等于横坐标的绝对值，且
3
3
−
=
，3
3
=
，两点到y 轴距离相等，故D 选项正确．
4．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ ）
A．(
)
2,4
B．(
)
6, 4
−
C．(
)
4,5
−
D．(
)
1, 5
−−
【答案】D
【详解】解：A、点(
)
2,4 位于第一象限，不符合题意；
B、点(
)
6, 4
−
位于第四象限，不符合题意；
C、点(
)
4,5
−
位于第二象限，不符合题意；
D、点(
)
1, 5
−−
位于第三象限，符合题意．
5．点
(
)
,
A a
b
−
在第二象限，则点
(
)
,
B ab b 在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据点A 的位置推导a、b 的符号，再判断点B 横纵坐标的符号，确定点B 所在象限．
【详解】解：∵点
(
)
,
A a
b
−
在第二象限，
∴
0
a
，
0
b
−
，
∴
0
b
，
∴
0
ab
，
∴点
(
)
,
B ab b 在第四象限．
6．如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．(
)
1,2
B．(
)
2, 3
−
C．(
)
2,1
−
D．(
)
2, 2
−
−
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【答案】C
【详解】解：小手盖住的点的坐标在第二象限，可能是(
)
2,1
−
．
7．在平面直角坐标系中，点(
)
3,
5
2
A
−
−
所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，只需判断点的横纵坐标的正负，结合各象限的
坐标符号特征即可判断．
【详解】解：对于点(
)
3,
5
2
A
−
−
，
横坐标为3，3
0
，是正数，
5
0
，可得5
2
0
+
，
∴ 纵坐标
(
)
5
2
5
2
0
−
−
= −
+
，是负数，
根据平面直角坐标系象限的坐标特征，横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限．
8．在平面直角坐标系中，点(
)
2
3,
1
P
a
−
−
所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，判断点P 横纵坐标的正负，即可确定其所在象
限．
【详解】解：∵对任意实数a ，都有
2
0
a
，
∴
2
0
a
−
，
∴
2
1
0
a
−
−
，
又∵点P 的横坐标为3
0
，
∴点P 的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限点的坐标特征，
∴点(
)
2
3,
1
P
a
−
−
在第四象限．
9．在平面直角坐标系中，点P 在第四象限，且到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为1，则点P 的坐标为（ ）
A．(
)
1, 4
−
B．(
)
1,4
−
C．(
)
4, 1
−
D．(
)
4,1
【答案】A
【分析】根据点到坐标轴的距离得到横纵坐标的绝对值，再结合第四象限点的符号特征即可确定点P 的坐
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标．
【详解】解：∵点P 到x 轴的距离为4 ，到y 轴的距离为1，
∴点P 纵坐标的绝对值为4 ，横坐标的绝对值为1，即
= 4
y
，
1
x = ，
又∵点P 在第四象限，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴
1
x = ，
4
y
−
=
，
∴点P 的坐标为(
)
1, 4
−
．
10．如图，下列说法中错误的是（ ）
A．点A的坐标是(
)
4, 2
−
B．点B 的纵坐标是0
C．点C 的横坐标是1
D．点D 位于第三象限
【答案】A
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的定义，分别确定各点的坐标及所在象限，然后对各选项进行判
断即可
【详解】解：A、点A 的坐标是(
)
2,4
−
，故本选项错误；
B、点B 在x 轴上，纵坐标是0，故本选项正确；
C、点C 的横坐标是1，故本选项正确；
D、点D 的坐标是(
)
1, 1
−
−
，在第三象限，故本选项正确．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(
)
2, 3
−
，则点P 在第______象限．
【答案】四
【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，判断点P 横纵坐标的符号，即可确定点P 所
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在象限．
【详解】解：∵横坐标2
0
，纵坐标3
0
−
，
∴点
(2, 3)
P
−
在第四象限．
12．在平面直角坐标系中，点
( 1
3)
P −−
,
在第________象限．
【答案】三
【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限(
)
,
+ + ，第二象限(
)
,−+ ，第三象限(
)
,−−，第四象限(
)
,
+ −，
根据点的横纵坐标符号判断即可．
【详解】解：点
(
)
1, 3
P −−
的横坐标为负，纵坐标为负，符合第三象限点的坐标符号特征，
因此点
(
)
1, 3
P −−
在第三象限．
确定坐标系内点的坐标
1．方格纸上有A，B 两个点，若以点B 为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(
)
2, 3
−
．若以点A为
原点建立平面直角坐标系（x 轴和y 轴的方向不变），则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
2,3
−
B．(
)
2, 3
−
C．(
)
3,2
−
D．(
)
3, 2
−
【答案】A
【详解】解：以点B 为原点建立平面直角坐标系时，点A的坐标为(
)
2, 3
−
，即点A相对于点B 的横坐标为
2 ，纵坐标为3
−，
当以点A为原点建立平面直角坐标系时，点B 相对于点A的横纵坐标，与点A相对于点B 的横纵坐标互为
相反数，
点B 的横坐标为2
−，纵坐标为3，即点B 的坐标为(
)
2,3
−
．
2．象棋是我国传统智力运动，国家级非物质文化遗产，也是中华文化的重要载体，兼具娱乐、竞技与教育
价值．如图，已知棋子“车”的坐标为(
)
2,2
−
，棋子“马”的坐标为(
)
1,2 ，则棋子“炮”的坐标为（ ）
题型02
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A．(
)
3,1
−
B．(
)
1,3
C．(
)
1,3
−
D．(
)
3,1
【答案】D
【分析】根据棋子“车”和“马”的坐标可确定坐标轴和原点的位置，据此建立坐标系，进而得到棋子“炮”的坐
标即可．
【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则棋子“炮”的坐标为(
)
3,1 ．
3．平面直角坐标系中，叶片两点坐标为(
)
0,5
A
，
(
)
1,3
B −
，则底部C 点坐标为（ ）
A．(
)
4,0
B．(
)
0, 4
−
C．(
)
4,0
−
D．(
)
0,4
【答案】A
【分析】将(
)
0,5
A
向下平移5 个单位即可找到坐标原点(
)
0,0 的位置，建立直角坐标系，即可求出C 点坐标．
【详解】解：如图所示，将(
)
0,5
A
向下平移5 个单位即可找到坐标原点(
)
0,0 的位置，建立直角坐标系，
∴C 点坐标为(
)
4,0 ．
4．昆明部分景点在地图上的位置如图所示，若西山的位置坐标为(
)
3, 1
−
−
，世博园的位置坐标为(
)
2,1 ，则
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官渡古镇的位置坐标为（ ）
A．(
)
4, 1
−
B．(
)
3, 2
−
C．(
)
5, 2
−
D．(
)
2, 3
−
−
【答案】C
【分析】通过已知点的坐标确定坐标系的原点、坐标轴方向以及单位长度，进而得出所求点的坐标．
【详解】已知西山的位置坐标为( 3, 1)
−
−
，世博园的位置坐标为(2,1) ，
所以坐标轴如图所示：
所以官渡古镇的位置坐标为(
)
5, 2
−
．
二、填空题
5．如图，正方形ABCD的边长为6 ，点A的坐标为(
)
4,2
−
，AB 平行于x 轴，则点C 的坐标为 __________ ．
【答案】(
)
2,8
【分析】根据AB
x
轴得到点B 的坐标，再根据正方形ABCD得到BC
y
轴，继而得到点C 的坐标．
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【详解】解：∵AB
x
轴，
∴点A
B
、的纵坐标相同，均为2 ，
∵正方形边长
6
AB =
，(
)
4,2
A −
，B 在A右侧，
∴
4
6
2
Bx = −+
=
，
∴
(
)
2,2
B
，
∵正方形ABCD中BC
y
轴，
6
BC =
，
∴点C 和点B 横坐标相同为2 ，
∴
2
6
8
C
y =
+
= ，
∴点C 的坐标为(
)
2,8 ．
6．某公园部分景点位置都在如图所示的正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x 轴，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，表示听雨轩的点的坐标为(
)
0, 2
−
，表示荷花池的点的坐标为(
)
2,1
−
，则表示月
季园的点的坐标是______．
【答案】(
)
1,2
【分析】根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点位置及x 轴、y 轴的位置，进而根据网格结构确定待
求点的坐标．
【详解】解：由听雨轩的点的坐标为(
)
0, 2
−
可知，y 轴经过听雨轩所在的竖直直线，且原点位于听雨轩上
方2 个单位长度处；
由荷花池的点的坐标为(
)
2,1
−
可知，y 轴位于荷花池右侧2 个单位长度处，x 轴位于荷花池下方1 个单位长
度处；
综合上述信息可确定平面直角坐标系的原点位置，
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观察网格图可知，月季园的点的坐标是(
)
1,2 ．
三、解答题
7．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，三角形ABC 的三个顶点都是格点，以某条水平直线为
x 轴，建立平面直角坐标系，使三角形ABC 的顶点尽可能多地落在坐标轴上．
(1)在图中画出满足条件的平面直角坐标系；
(2)写出点
,
A B 的坐标；
(3)y 轴上有一点P ，三角形PAB与三角形ABC 的面积相等，写出点P 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(
)
(
)
0,2
2,0
A
B −
，
(3)
(
)
0,5
P
或
(
)
0
1
P
−
，
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【分析】（1）以BC 所在直线为x 轴，过点A 作BC 的垂线，垂足为点O，以AO 所在直线为y 轴，建立平
面直角坐标系即可；
（2）根据（1）中建立的平面直角坐标系，即可解答；
（3）先求出三角形ABC 的面积，再列出三角形PAB面积的表达式，求出AP 的长度，即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：由图可知：(
)
(
)
0,2
2,0
A
B −
，
；
（3）解：
1
1 3 2
3
2
2
ABC
S
BC OA
=
=
=
△
，
∵点P 在y 轴上，三角形PAB与三角形ABC 的面积相等，
∴
1
1
2
3
2
2
PAB
S
AP OB
AP
AP
=
=
=
=
，
∵
(
)
0,2
A
，
∴
(
)
0,5
P
或
(
)
0
1
P
−
，
．
点到坐标轴的距离
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点
(
)
3, 2
A −
−
到x 轴的距离为（ ）
A．2
B．3
C．3
−
D．2
−
【答案】A
【分析】平面内一点到x 轴的距离等于该点纵坐标的绝对值．
【详解】解：∵点
(
)
3, 2
A −
−
的纵坐标为2
−，
∴点A到x 轴的距离为
2
2
-
=
．
2．在平面直角坐标系中，若点
(2,2
6)
M
a +
到x 轴的距离等于到y 轴的距离，则a 的值为（ ）
A．2
−
B．4
−
C．2 或4
D．2
−或4
−
【答案】D
【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离的性质，根据点到x 轴距离为纵坐标的绝对值，到y
轴距离为横坐标的绝对值，列出绝对值方程求解即可.
题型03
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【详解】解：在平面直角坐标系中，点(
)
,x y 到x 轴的距离为y ，到y 轴的距离为x ，点M 坐标为(
)
2,2
6
a +
，
点M 到x 轴的距离为2
6
a +
，到y 轴的距离为2
2
=
.
点M 到x 轴的距离等于到y 轴的距离，
2
6
2
a
+
=
.
分两种情况求解：
① 当2
6
2
a +
=
时，解得
2
a = −；
② 当2
6
2
a +
= −时，解得
4
a = −.
因此a 的值为2
−或4
−.
3．已知点
(
)
,
P x y 到y 轴的距离为3,
2
y =
，且
0
xy
，则点P 的坐标是（ ）
A．(
)
3, 2
−
B．(
)
3,2
−
C．(
)
3,4
−
D．(
)
3, 4
−
【答案】C
【分析】本题根据点到坐标轴的距离性质，算术平方根的定义，结合乘积的符号判断x 和y 的取值，即可
得到点P 的坐标.
【详解】解：∵点
(
)
,
P x y 到y 轴的距离为3，
∴
3
x =
，可得
3
x = 或
3
x = −，
∵
2
y =
，
∴
4
y =
，
又∵
0
xy
，且
4
0
y =
∴
0
x
，即
3
x = −，
∴点P 的坐标为(
)
3,4
−
.
4．若A在第四象限，且点A到x 轴的距离为7，到y 轴的距离为4，则点A的坐标为（ ）
A．(
)
4, 7
−
B．(
)
5, 7
−
C．(
)
7, 4
−
D．(
)
7, 5
−
【答案】A
【分析】先根据点所在象限判断横纵坐标符号，再结合距离求出点的坐标．
【详解】∵点A在第四象限，
∴点A的横坐标大于0 ，纵坐标小于0 ，
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又∵点A到x 轴的距离为7 ，到y 轴的距离为4 ，
所以结合横纵坐标的符号可得点A的坐标为横坐标为4 ，纵坐标为7
−，
∴点A的坐标为(
)
4, 7
−
．
5．若x 轴上的点P 到y 轴的距离是7，则点P 的坐标是（ ）
A．(
)
0,7
B．(
)
7,0
C．(
)
7,0 或(
)
7,0
−
D．(
)
0,7 或(
)
0, 7
−
【答案】C
【分析】先根据点P 在x 轴上确定纵坐标，再根据点到y 轴的距离等于横坐标的绝对值，得到横坐标的所
有可能，即可得到点P 的坐标．
【详解】解：∵点P 在x 轴上，
∴点P 的纵坐标为0 ，可排除A， D 选项；
∵点P 到y 轴的距离是7 ，平面直角坐标系中，点到y 轴的距离等于横坐标的绝对值，
∴
7
x =
，可得
7
x =
或
7
x = −．
∴点P 的坐标是(
)
7,0 或(
)
7,0
−
．
6．在平面直角坐标系中，点
(
)
2, 6
P
−
到x 轴与y 轴的距离之和是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【详解】解：∵点( , )
x y 到x 轴的距离为纵坐标的绝对值，到y 轴的距离为横坐标的绝对值，
∴点
(
)
2, 6
P
−
到x 轴与y 轴的距离之和是6
2
8
+
= ．
7．在平面直角坐标系中，坐标为(
)
3
,2
1
a
a
−
+
的点在第四象限，若该点到两条坐标轴的距离相等，则a 的
值为（）
A．4
B．4
−
C．2
3
D．
2
3
−
【答案】B
【分析】先根据第四象限内点的坐标特征得到横纵坐标的符号，再利用点到两坐标轴距离相等推出横纵坐
标绝对值相等，去掉绝对值符号后列方程求解即可
【详解】解：∵点(
)
3
,2
1
a
a
−
+
在第四象限
∴3
0
a
−
，2
1
0
a +
∵点到两条坐标轴的距离相等
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∴3
2
1
a
a
−
=
+
得：
(
)
3
2
1
a
a
−
= −
+
整理得3
2
1
a
a
−
= −
−
移项解得
4
a = −
8．已知点
(
)
2
3,
2
P
m
m
+
−
，若点P 到两坐标轴的距离相等，则m 的值为（ ）
A．5 或1
3
B．5
−或
1
3
−
C．5 或
1
3
−
D．5
−或1
3
【答案】B
【分析】根据点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对值，得到点P 横、纵坐
标的绝对值相等，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵点
(
)
2
3,
2
P
m
m
+
−
到两坐标轴的距离相等，
∴2
3
2
m
m
+
=
−
，
分两种情况讨论：
①当 2
3
2
m
m
+ =
− 时，
即 2
2 3
m m
−
= −−，
解得：
5
m = −；
②当
(
)
2
3
2
m
m
+
= −
−
时，
即 2
3
2
m
m
+ = −
+ ，
3
1
m = −，
解得
1
3
m = −
；
综上，m 的值为5
−或
1
3
−
．
二、填空题
9．点(
)
3,7
−
到x 轴上的距离是_____．
【答案】7
【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到x 轴的距离等于点纵坐标的绝对值，即可求解．
【详解】解：已知点坐标为(
)
3,7
−
，
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点的纵坐标为7 ，
点到x 轴的距离为纵坐标的绝对值，即7
7
=
．
10．在平面直角坐标系中，若点A在x 轴上方，到x 轴的距离是3 个单位长度，到y 轴的距离是5 个单位长
度，则点A的坐标是__________．
【答案】(
)
5,3 或(
)
5,3
−
【分析】平面直角坐标系中，点到x 轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y 轴的距离为该点横坐标的绝对值，
结合点A在x 轴上方确定纵坐标的符号，即可求出点A的坐标．
【详解】解：点A在x 轴上方，
∴点A 的纵坐标大于0，
∵点A 到x 轴的距离是3个单位长度，
∴点A 的纵坐标的绝对值为3，
点A的纵坐标为3，
点A到y 轴的距离是5个单位长度，
∴点A 的横坐标的绝对值为5，
点A的横坐标为5
，
点A的坐标为(
)
5,3 或(
)
5,3
−
．
11．已知点(
)
3
6,2
P
x
x
−
−
在第二象限，且点P 到y 轴的距离为3，则x 的值是________．
【答案】1
【分析】本题考查象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离相关知识. 点到y 轴的距离等于横坐标的绝对值，
第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数，据此结合已知条件列方程求解即可．
【详解】解：∵点
(
)
3
6,2
P
x
x
−
−
在第二象限，且到y 轴的距离为3，
∴点P 的横坐标3
6
0
x−
，且3
6
3
x −
=
，
可得3
6
3
x−= −，
移项，得3
3
x =
，
系数化为1，得
1
x = ，
当
1
x = 时，纵坐标2
1
0
x
−
=
，符合第二象限点的坐标特征，
∴x 的值是1．
试卷第16 页，共83 页
12．已知点(
)
2,3
6
P a
a
−
+
到x 轴、y 轴距离相等，则a =__________．
【答案】4
−或1
−/ 1
−或4
−
【分析】根据平面直角坐标系中点的性质，点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标
的绝对值，由此列出绝对值方程，分情况求解即可得到a 的值．
【详解】解：依题意：|
2 | | 3
6 |
a
a
−
=
+
，
分两种情况讨论：当
2 = 3
6
a
a
−
+ 时
移项得2
8
a
−
= ，
解得
4
a = −，
当
2
(3
6)
a
a
−
= −
+
时
去括号得
2
3
6
a
a
−
= −
−
，
移项合并同类项得4
4
a = −，
解得
1
a = −，
综上，a 的值为4
−或1
−．
13．在平面直角坐标系中，点
(
)
1,2
P
到y 轴距离为________．
【答案】1
【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，根据点到y 轴的距离等于横坐标的绝对值即可求
解．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点
(
)
1,2
P
的横坐标为1，点到y 轴的距离为横坐标的绝对值，即1
1
= ．
14．已知平面直角坐标系内的点M 的坐标为(
)
3
2,2
1
m
m
−
+
，且点M 到x 轴的距离为5，则m 的值为
____________．
【答案】3
−或2
【分析】根据点到x 轴的距离等于点纵坐标的绝对值，列方程求解即可．
【详解】解：∵点
(
)
3
2,2
1
M
m
m
−
+
，且点M 到x 轴的距离为5，
∴2
1
5
m +
=
，
∴2
1
5
m+ = −，或2
1
5
m+ =
解得
3
m
−
=
或
2
m =
；
15．点
(
)
2,
1
P
a +
在第一象限，且到y 轴的距离是到x 轴距离的3 倍，则a 的值是____________．
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【答案】
1
3
−
【分析】先根据第一象限点的坐标特点判断横纵坐标的符号，再结合点到坐标轴距离的定义和题目给出的
倍数关系列方程，解方程即可得到a 的值．
【详解】解：点
(
)
2,
1
P
a +
在第一象限，
2
0
，
1
0
a
，
∵点
(
)
2,
1
P
a +
到y 轴的距离是到x 轴距离的3 倍，
∴2
3
1
a
=
+
，
∴
(
)
2
3
1
a
=
+
，
∴
1
3
a = −
．
三、解答题
16．已知平面直角坐标系中有一点
(
)
1,2
3
M m
m
+
−
，若点M 到x 轴的距离为3，求点M 的坐标．
【答案】
(
)
4,3
M
或
(
)
1, 3
M
−
【分析】根据题意，得2
3
3
m −
=
，去绝对值，解答即可．
【详解】解：∵点
(
)
1,2
3
M m
m
+
−
，点M 到x 轴的距离为3，
∴2
3
3
m −
=
，
解得
3
m =
或
0
m =
，
当
3
m =
时，
1
3 1
4
m+ = + =
，2
3
2 3 3
3
m−= −=
；
当
0
m =
时，
1
0 1 1
m+ = + = ，2
3
2 0 3
3
m−= −= −；
故
(
)
4,3
M
或
(
)
1, 3
M
−
．
17．已知点
(
)
3,2
1
P m
m−
+
，试分别根据下列条件求出点P 的坐标．
(1)点P 的纵坐标比横坐标大3；
(2)点P 到x 轴的距离为2，且在第四象限．
【答案】(1)(
)
10,13
试卷第18 页，共83 页
(2) 5 , 2
2 −
【分析】（1）根据纵坐标比横坐标大3 列方程求解m 的值，再求解即可；
（2）根据点P 到x 轴的距离列出绝对值方程求解m 的值，再根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是
负数求解．
【详解】（1）解：∵点P 的纵坐标比横坐标大3，
∴
(
)
2
1
3
3
m
m
−−
+
=
，
解得
7
m =
，
∴
3
7
3
10,2
1
2 7 1
13
m
m−
+
=
+
=
=
−=
，
所以，点P 的坐标为(
)
10,13 ；
（2）解：∵点P 到x 轴的距离为2，
∴2
1
2
m−
=
，
解得
3
2
m =
或
1
2
m
−
=
，
当
3
2
m =
时，
3
9
3
3
2
2
m+
=
+
=
，2
1
3 1
2
m−= −=
，
此时，点
9 ,2
2
P
，
当
1
2
m
−
=
时，
1
5
3
3
2
2
m
−
+ =
+ =
，2
1
1 1
2
m−
−
−
=
−=
，
此时，点
5 , 2
2
P
−
，
∵点P 在第四象限，
∴点P 的坐标为5 , 2
2 −
．
18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P 到x 轴、y 轴的距离的较大值称为点P 的“长距”，点Q 到x
轴、y 轴的距离相等时，称点Q 为“完美点”．
(1)点
(
)
4,3
A −
的“长距”为____________；
(2)若点
(
)
3
2 , 1
B
a
−
−
是“完美点”，求a 的值；
(3)若点
(
)
3
3 ,3
1
C
b
b
−
+
的“长距”为3，且点C 在第一象限内，将点C 沿水平方向进行平移得到点D，使点D
为“完美点”，且点D 也在第一象限，求点D 的坐标．
【答案】(1)4
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(2)
1
a = 或
2
a =
(3)点D 的坐标为(
)
1,1 或(
)
3,3
【分析】（1）根据“长距”的定义求解即可；
（2）根据“完美点”的定义列方程求解即可；
（3）由点C 在第一象限及“长距”为3，分别讨论横坐标或纵坐标绝对值为3，结合水平平移后纵坐标不变
且点D 为第一象限“完美点”，解得点D 坐标为(
)
1,1 或(
)
3,3 ．
【详解】（1）解：点
(
)
4,3
A −
，点A到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，
点A的“长距”为4．
（2）解：点(
)
3
2 , 1
B
a
−
−
是“完美点”，
点B 到x 轴、y 轴的距离相等，
∴3
2
1
a
−
= −，即3
2
1
a
−
= ，
3 2
1
a
−
= 或3 2
1
a
−
= −，
解得
1
a = 或
2
a =
．
（3）点
(
)
3
3 ,3
1
C
b
b
−
+
在第一象限内，
3 3
0
3
1
0
b
b
−
+
，可得
1
1
3
b
b
−
解得
1
1
3
b
−
．
点C 的“长距”为3，
分两种情况讨论：
①当3
3
3
b
−
=
时，3 3
3
b
−
=
或3 3
3
b
−
= −，
解得
0
b =
或
2
b =
（舍）．
当
0
b =
时，
(
)
3,1
C
，满足“长距”为3，
沿水平方向平移得到点D ，纵坐标不变为1，点D 为“完美点”且在第一象限，故
(
)
1,1
D
．
②当3
1
3
b +
=
时，3
1
3
b+ =
或3
1
3
b+ = −，
解得
2
3
b =
或
4
3
b = −
（舍）．
试卷第20 页，共83 页
当
2
3
b =
时，
(
)
1,3
C
，满足“长距”为3，
沿水平方向平移得到点D ，纵坐标不变为3，点D 为“完美点”且在第一象限，故
(
)
3,3
D
．
综上，点D 的坐标为(
)
1,1 或(
)
3,3 ．
点到坐标轴上的性质
一、单选题
1．已知点Q(3n
9,n
1)
−
+
在x 轴上，则n 的值是（ ）
A．1
−
B．3
−
C．1
D．3
【答案】A
【分析】本题考查平面直角坐标系中x 轴上点的坐标特征，利用x 轴上点的纵坐标为0 列一元一次方程即可
求解．
【详解】∵点
(
)
3
9,
1
Q
n
n
−
+
在x 轴上，
∴点Q 的纵坐标为0 ，
∴
1
0
n+ =
，
解得
1
n = − ．
2．点
(
)
,
P x y 在y 轴上，且到原点的距离是2，则点P 的坐标为（ ）
A．(
)
2,0
B．(
)
2,0 或(
)
2,0
−
C．(
)
0,2
D．(
)
0,2 或(
)
0, 2
−
【答案】D
【详解】解：∵点
(
)
,
P x y 在y 轴上，
∴点P 的横坐标为0 ，
∵点P 到原点的距离是2 ，
∴点P 纵坐标的绝对值为2 ，即
2
y =
，
∴
2
y =
或
2
y = −，
∴点P 的坐标为(
)
0,2 或(
)
0, 2
−
．
3．点
(
)
3,
1
P a
b
+
+
在平面直角坐标系的x 轴上，并且点P 到y 轴的距离为2，则a
b
+
的值为（ ）
题型04
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A．1
−
B．2
−
C．1
−或6
−
D．2
−或6
−
【答案】D
【分析】 根据x 轴上点的纵坐标为0，点到y 轴的距离等于横坐标的绝对值，可分别求出a 、b 的值，再计
算a
b
+
即可．熟练掌握点的坐标性质是解题关键．
【详解】点
(
)
3,
1
P a
b
+
+
在x 轴上，且点P 到y 轴的距离为2 ，
1
0
b
+ =
，
3
2
a +
=
，
解得
1
b = −，
1
a = −或
5
a = −．
当
1
a = −，
1
b = −时，
(
)
1
1
2
a
b
+
= −+ −
= −，
当
5
a = −，
1
b = −时，
(
)
5
1
6
a
b
+
= −+ −
= −．
a
b
+ 的值为2
−或6
−．
4．七年级（1）班同学开展“数学趣味闯关”活动，第一关的题目是：若点
(
)
,
P x y 在x 轴上，且到y 轴的距
离为3，则点P 的坐标为（ ）
A．(
)
3,0
B．(
)
0,3 或(
)
0, 3
−
C．(
)
3,0 或(
)
3,0
−
D．(
)
0,3
【答案】C
【详解】解：x 轴上的点纵坐标为0，到y 轴距离为横坐标的绝对值，
故坐标为(
)
3,0 或(
)
3,0
−
．
5．已知点(
)
4,3
6
A a
a
−
+
在y 轴上，则点A到x 轴的距离是（ ）
A．4
B．18
C．0
D．0 或18
【答案】B
【分析】根据y 轴上点的横坐标为0 的坐标特征，先求出a 的值，再得到点A 的纵坐标，利用点到x 轴的
距离等于纵坐标绝对值的性质计算结果．
【详解】解：∵点(
)
4,3
6
A a
a
−
+
在y 轴上，y 轴上的点横坐标为0
∴
4
0
a −
=
解得
4
a =
将
4
a =
代入纵坐标得：3
6
3 4 6
18
a+
= +
=
∴点A的坐标为(0,18)
∴点A到x 轴的距离为18．
试卷第22 页，共83 页
6．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(
)
4,3
−
，点Q 在y 轴上，线段PQ 长度的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】利用垂线段最短的性质求解．
【详解】解：∵点Q 在y 轴上，根据直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴PQ 长的最小值等于点P 到y 轴的距离，
∵点P 的坐标为(
)
4,3
−
，
∴点P 到y 轴的距离为
4
4
−
=
，即PQ 长的最小值为4 ．
二、填空题
7．若点
(
)
3,4
A a
a
−
+
在y 轴上，则点
(
)
1
,
B
a a
−
到x 轴的距离是___________．
【答案】3
【分析】先根据y 轴上点的横坐标为0 的性质求出a 的值，再根据点到x 轴的距离等于点纵坐标的绝对值，
计算得到最终结果 ．
【详解】解：∵点
(
)
3,4
A a
a
−
+
在y 轴上，
∴点A 的横坐标为0，即
3
0
a + =
，解得
3
a
−
=
，
将
3
a
−
=
代入点
(
)
1
,
B
a a
−
，得点B 坐标为(
)
4, 3
−
，
∴点B 到x 轴的距离为
3
3
−
=
．
8．在平面直角坐标系中，若点
(
)
1,
3
P a
b
+
+
在y 轴上，且点P 到x 轴的距离为2，则a
b
+
的值为_______．
【答案】2
−或6
−/ 6
−或2
−
【分析】根据点P 在y 轴上的坐标特征得到横坐标为0 ，可求出a 的值． 根据点到x 轴的距离等于纵坐标
的绝对值，可求出b 的所有可能值，再代入计算得到a
b
+
的值．
【详解】解：点
(
)
1,
3
P a
b
+
+
在y 轴上，
1
0
a
+ =
，
解得
1
a = −．
点P 到x 轴的距离为2 ，
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3
2
b
+
=
，
即
3
2
b + = 或
3
2
b+ = −，
解得
1
b = −或
5
b = −．
当
1
a = −，
1
b = −时，
(
)
1
1
2
a
b
+
= −+ −
= −；
当
1
a = −，
5
b = −时，
(
)
1
5
6
a
b
+
= −+ −
= −．
综上可知，a
b
+
的值为2
−或6
−．
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，有一点
(
)
2
3,3
3
P
a
a
−
+
．
(1)若点P 在x 轴上，求点P 的坐标；
(2)若点P 在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点P 的坐标．
【答案】(1)点P 的坐标为(
)
5,0
−
(2)点P 的坐标为(
)
3,3
−
【分析】（1）根据x 轴上的点的纵坐标为0，可得3
3
0
a+ =
，即可求解；
（2）根据第二象限的点的符号特征以及点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：∵点
(
)
2
3,3
3
P
a
a
−
+
在x 轴上，
3
3
0
a
+ = ，
解得
1
a = −．
2
3
5
a
−= −．
∴点P 的坐标为(
)
5,0
−
．
（2）解：∵点
(
)
2
3,3
3
P
a
a
−
+
在第二象限，
2
3
0
a
−
，3
3
0
a+
，
∵点
(
)
2
3,3
3
P
a
a
−
+
到两坐标轴的距离之和为6，
2
3
3
3
6
a
a
−
+
+
=
．
3 2
3
3
6
a
a
−
+
+ =
，
解得
0
a =
．
试卷第24 页，共83 页
2
3
3
a
−= −，3
3
3
a+ =
．
∴点P 的坐标为(
)
3,3
−
．
与坐标轴平行的性质
一、单选题
1．已知点
(
)
2, 1
P
−
，PH
x
∥轴，且
3
PH = ，则点H 的坐标为（ ）
A．(
)
5, 1
−
B．(
)
2,2
C．(
)
2, 4
−
或(
)
1, 1
−
−
D．(
)
1, 1
−
−
或(
)
5, 1
−
【答案】D
【分析】点H 位置不确定，需要分类讨论，利用坐标特征计算即可得到结果．
【详解】解：∵PH
x
∥轴，
∴点H 的纵坐标与点P 的纵坐标相同，为1
−，
又∵
3
PH = ，
∴
2
3
H
x −
=
，
∴
2
3
H
x −
=
或
2
3
H
x −
= −，
∴
5
H
x
=
或
1
H
x
= −，
∴点H 的坐标为(
)
1, 1
−
−
或(
)
5, 1
−
．
2．已知平面直角坐标系中有
(
)
3,
A
a 和
(
)
, 4
B b −
两点，且点A在第四象限，
5
AB =
，直线AB
y
∥
轴，则a
b
−
的值为（ ）
A．2
−或12
−
B．2
−
C．12
−
D．2 或12
【答案】C
【分析】先根据平行于y 轴的直线上点的坐标特征得到b 的值，再根据AB 的长度得到a 的所有可能值，结
合点A在第四象限的条件确定a 的取值，最后代入计算a
b
−
即可．
【详解】解：直线AB
y
轴，
A
、B 两点的横坐标相等，
3
b
= ，
题型05
试卷第25 页，共83 页
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5
AB =
，
(
)
4
5
a
−−
=
，
解得
1
a = 或
9
a = −，
点A在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负数，
9
a
= −，
9 3
12
a b
−= −−= −
．
3．已知点
(
)
2,4
A −
与点(
)
,
B m n 在同一条平行于y 轴的直线上，且点B 到x 轴的距离为3，则点B 的坐标为
（ ）
A．(
)
2,3
−
B．(
)
3, 2
−
或(
)
3,2
C．(
)
2,3
−
或(
)
2, 3
−
−
D．(
)
2,3 或(
)
2, 3
−
【答案】C
【分析】平行于y 轴的直线上的点的横坐标相等，以及点到x 轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此即可
求解点B 的坐标．
【详解】解：∵点
(
)
2,4
A −
与点(
)
,
B m n 在同一条平行于y 轴的直线上，
∴
2
m = −，
∵点B 到x 轴的距离为3，
∴点B 的纵坐标的绝对值为3，
∴点B 的纵坐标为3
−或3，
∴点B 的坐标为(
)
2,3
−
或(
)
2, 3
−
−
4．在平面直角坐标系中，已知(
)
3,2
A −
，(
)
3,4
B
，(
)
,
C x y ，若AC
x
∥轴，则当线段BC 的长最小时，点C
的坐标为（ ）
A．(
)
3,0
−
B．(
)
3,0
C．(
)
3,2
D．(
)
0,2
【答案】C
【分析】本题考查平行于x 轴的点的坐标特征和垂线段最短的性质，先根据AC
x
轴确定点C 的纵坐标，再
根据垂线段最短确定BC 长度最小时点C 的横坐标，即可得到结果．
【详解】解：AC
x
轴，(
)
3,2
A −
，
(
)
,
C x y
点C 的纵坐标
2
y =
根据垂线段最短可知，当BC
AC
⊥
时，线段BC 的长度最小
试卷第26 页，共83 页
AC
x
轴，
BC
y
轴，即点C 与点B 的横坐标相同
(
)
3,4
B
，
点C 的横坐标
3
x =
点C 的坐标为(
)
3,2 ．
5．已知点
(
)
3, 4
A
−
与点
(
)
3,2
B
，下列说法不正确的是（ ）
A．
,
A B 都在第三象限
B．AB
y
轴
C．AB
x
⊥
轴
D．
6
AB =
【答案】A
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标性质，根据点的坐标判断象限，分析线段位置，计算线段长
度，找出错误说法即可．
【详解】解：∵点A 的横坐标3
0
，纵坐标4
0
−
，
∴点A 在第四象限．
∵点B 的横坐标3
0
，纵坐标2
0
，
∴点B 在第一象限．因此A 选项说法错误．
∵A，B 两点横坐标相等，
∴AB
y
轴，
又y 轴
x
⊥
轴，可得AB
x
⊥
轴，因此B，C 选项说法正确．
(
)
2
4
6
AB =
−−
=
，因此D 选项说法正确．
综上，不正确的是A．
6．已知直线//
l x 轴且与x 轴的距离等于5，则直线l 与y 轴交点坐标是（ ）
A．(
)
0,5 或(
)
0, 5
−
B．(
)
5,0 或(
)
5,0
−
C．(
)
0,5
D．(
)
0, 5
−
【答案】A
【分析】根据平行于x 轴的直线的坐标特征，结合点到坐标轴的距离性质，即可求出直线l 与y 轴的交点坐
标．
【详解】解：直线//
l x 轴，
直线l 上所有点的纵坐标相等，设纵坐标为a ，
试卷第27 页，共83 页
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直线l 与x 轴的距离等于5，
5
a
=
，解得
5
a =
或
5
a = −，
又
y
轴上所有点的横坐标为0 ，
∴交点坐标为(
)
0,5 或(
)
0, 5
−
．
7．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是2，PQ
x
∥
轴，若
4
PQ =
，
则点Q 的坐标是（ ）
A．(
)
6, 3
−
或(
)
2, 3
−
−
B．(
)
6,3 或(
)
2,3
−
C．(
)
2,1 或(
)
2, 7
−
D．(
)
1, 2
−−
或(
)
7, 2
−
【答案】A
【分析】先根据题意得出P 点坐标，根据PQ
x
∥
轴设出Q 点的坐标，进而可得出结论．
【详解】解：∵第四象限内的点P 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是2，
∴(
)
2, 3
P
−
，
∵PQ
x
∥
轴，
∴设
(
)
, 3
−
Q m
若
4
PQ =
，
则
2
4
m−
=
，
解得：
6
m =
或
2
m = −，
∴点Q 的坐标为(
)
6, 3
−
或(
)
2, 3
−
−
．
8．已知A点坐标为(
)
3,5 ，线段AB 平行于x 轴，且
5
AB =
，则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
2,5
−
或(
)
8,5 B．(
)
2,5 或(
)
3,10
C．(
)
3,0 或(
)
3,10
D．(
)
3,0 或(
)
8,5
【答案】A
【分析】利用平行于x 轴的点的坐标特征，先确定B 点的纵坐标，再根据线段长度分情况计算B 点的横坐
标，即可得到结果．
【详解】解：∵线段AB 平行于x 轴，
(
)
A 3,5 ，
∴点B 的纵坐标为5，
∵
5
AB =
，
试卷第28 页，共83 页
∴点B 的横坐标为3 5
8
+ = 或3
5
2
−
= −，
∴点B 的坐标为(
)
2,5
−
或(
)
8,5 ．
9．在平面直角坐标系中，点
(
)
3, 2
A
−
，
(
)
1,
B
m
−
，且AB 平行于x 轴，则m 的值是（ ）
A．3
B．3
−
C．2
D．2
−
【答案】D
【分析】根据平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相等，即可得解．
【详解】解：
AB
平行于x 轴，点
(
)
3, 2
A
−
，
(
)
1,
B
m
−
，
2
m
= −．
10．已知点A 的坐标为( ,3
)
a
a
−
，下列说法正确的是（ ）
A．若点A 在y 轴上，则
3
a =
B．若点A 在一三象限角平分线上，则
1
a =
C．若点A 到x 轴的距离是3，则
6
a =
D．若点A 在第四象限，则a 的值可以为4
【答案】D
【分析】本题根据不同位置点的坐标特征，结合点到坐标轴距离的意义，逐个判断选项正误即可.
【详解】解：A 选项：若点A 在y 轴上，
∵y 轴上点的横坐标为0，
∴
0
a =
，选项给出
3
a = ，故A 错误.
B 选项：若点A 在一三象限角平分线上，
∵一、三象限角平分线上点的横纵坐标相等，
∴
3
a
a
= −
，解得
3
2
a =
，选项给出
1
a = ，故B 错误.
C 选项：若点A 到x 轴的距离是3，
∵点到x 轴的距离等于点纵坐标的绝对值，
∴3
3
a
−
=
，解得
0
a =
或
6
a =
，选项给出
6
a = ，不符合题意，故C 错误.
D 选项：若点A 在第四象限，
∵第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴
0
3
0
a
a
−
，解得
3
a ，
试卷第29 页，共83 页
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4
3
，
a
的值可以为4 ，故D 正确.
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知
(
)
2,1 ,
A
AB x 轴，且
5
AB =
，则点B 的坐标为__________．
【答案】(
)
3,1
−
或(
)
7,1
【分析】平行于x 轴的直线上所有点的纵坐标相等，已知AB 的长度，B 点可能在A点左侧，也可能在A点
右侧，分情况计算即可得到B 点坐标．
【详解】解：
AB
x
轴，点
(
)
2,1
A
，
点B 的纵坐标为1，
5
AB =
，
情况一：当点B 在点A左侧时，点B 的横坐标为2
5
3
−= −，此时点B 的坐标为(
)
3,1
−
；
情况二：当点B 在点A右侧时，点B 的横坐标为2 5
7
+ =
，此时点B 的坐标为(
)
7,1 ．
12．已知直线PQ
x
∥
轴，且点
(
)
2
3,
6
P
a
a
−
+
，点
(
)
4,4
Q
，则PQ = ________．
【答案】11
【分析】根据平行于x 轴的直线上所有点的纵坐标相等，求出a 的值，进而得到点P 的坐标，再计算PQ 的
长度即可．
【详解】解：∵直线PQ
x
∥
轴，
∴点P 和点Q 的纵坐标相等，
即
6
4
a+
=
，
解得
2
a = −，
将
2
a = −代入点P 的横坐标，得
(
)
2
3
2
2
3
7
a −
=
−
−
= −，
∴点P 的坐标为(
)
7,4
−
，
∵点P ，Q 纵坐标相同，
∴PQ 的长度为两点横坐标差的绝对值，
即
(
)
4
7
11
PQ =
−−
=
．
试卷第30 页，共83 页
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，已知点
(
)
2
4,3
1
P
m
m
−
+
．
(1)当点P 在第三象限的角平分线上时，求出点P 的坐标；
(2)当直线PA平行于x 轴，且
(
)
4, 5
A −
−
，求出点P 的坐标．
【答案】(1)(
)
14, 14
−
−
(2)(
)
8, 5
−
−
【分析】（1）根据横纵坐标相等列方程求出m 的值，再求解即可；
（2）根据平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m 的值，再求解即可．
【详解】（1）解：∵点
(
)
2
4,3
1
P
m
m
−
+
在第三象限的角平分线上，
∴横纵坐标相等，
∴2
4
3
1
m
m
−
=
+ ，
解得：
5
m
−
=
，
∴2
4
14
m−
= −
，3
1
14
m+ = −
，
∴点P 的坐标为(
)
14, 14
−
−
．
（2）解：∵直线PA平行于x 轴，且(
)
4, 5
A −
−
，
∴点P 的纵坐标等于点A 的纵坐标，即3
1
5
m+ = −，
解得：
2
m = −，
∴2
4
8
m −
= −，
∴点P 的坐标为(
)
8, 5
−
−
．
14．已知点
(
)
3
2,2
4
A
a
a
+
−
，试分别根据下列条件，求出a 的值并写出点A的坐标．
(1)点A在x 轴上；
(2)经过点
(
)
3
2,2
4
A
a
a
+
−
，
(3,4)
B
的直线，与x 轴平行；
(3)点A到两坐标轴的距离相等．
【答案】(1)
2
a =
，点A的坐标为(
)
8,0 ．
试卷第31 页，共83 页
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(2)
4
a =
，点A的坐标为(
)
14,4 ．
(3)
6
a = −时，点A坐标为(
)
16, 16
−
−
；
0.4
a =
时，点A坐标为(
)
3.2, 3.2
−
．
【分析】（1）根据x 轴上的点纵坐标为0 列方程求出a 的值即可；
（2）根据平行于x 轴的直线上所有点纵坐标相等列方程求出a 的值即可；
（3）根据点到两坐标轴的距离相等则点的横纵坐标的绝对值相等列方程求出a 的值即可．
【详解】（1）解：∵点A在x 轴上，x 轴上点的纵坐标为0 ．
∴2
4
0
a −
=
．
解得
2
a =
．
∴3
2
3 2
2
8
a+
= +
=
，
∴点A坐标为(
)
8,0 ．
（2）解：∵直线AB 与x 轴平行，平行于x 轴的直线上所有点的纵坐标相等，
∴2
4
4
a −
=
，
解得
4
a =
．
∴3
2
3 4
2
14
a +
= +
=
，
∴点A坐标为(
)
14,4 ．
（3）解：∵点A到两坐标轴的距离相等，点到x 轴距离为纵坐标的绝对值，到y 轴距离为横坐标的绝对值，
∴3
2
2
4
a
a
+
=
−
．
分两种情况讨论：
当3
2
2
4
a
a
+
=
−
时，
解得
6
a = −，
∴3
2
16
a +
= −
，2
4
16
a−
= −
，
此时点A坐标为(
)
16, 16
−
−
．
当
(
)
3
2
2
4
a
a
+
= −
−
时，
整理得5
2
a =
，
解得
0.4
a =
．
∴3
2
3.2
a+
=
，2
4
3.2
a −
= −
，
此时点A坐标为(
)
3.2, 3.2
−
．
试卷第32 页，共83 页
15．已知点
(
)
2
4,3
1
M
a
a
+
−
．
(1)若点M 在y 轴上，求出点M 的坐标；
(2)若点N 的坐标为(
)
6,11 ，直线MN
x
轴，求出点M 的坐标；
(3)若点M 在第四象限，且它到x 轴的距离与y 轴的距离相等，求出点M 的坐标．
【答案】(1)(
)
0, 7
−
(2)(
)
12,11
(3) 14
14
,
5
5
−
【分析】（1）根据y 轴上的点的横坐标为0，可得关于a 的方程，解得a 的值，再求得点M 的纵坐标即可
得出答案；
（2）根据平行于x 轴的直线的纵坐标相等，可得关于a 的方程，解得a 的值，再求得其横坐标即可得出答
案；
（3）根据第四象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x 轴、y 轴的距离相等，可得关于a 的方程，解得a
的值，再代入要求的式子计算即可．
【详解】（1）解：∵点M 在y 轴上，
2
4
0
a +
=
，
2
a = −，
3
1
7
a −= −，
点M 的坐标为(
)
0, 7
−
；
（2）点N 的坐标为(
)
6,11 ，直线MN
x
轴，
3
1 11
a −=
，
解得：
4
a =
，
2
4
12
a +
=
，
点M 的坐标为(
)
12,11 ；
（3）点M 在第四象限，且它到x 轴的距离与y 轴的距离相等，
(
)
3
1
2
4
a
a
−
−
=
+
，
3
5
a = −
，
试卷第33 页，共83 页
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14
2
4
5
a +
=
，
14
3
1
5
a −= −
，
点M 的坐标为14
14
,
5
5
−
.
坐标系内两点之间的距离
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点
(
)
5, 6
P
−
到原点的距离为（ ）
A．5
B．
61
C．6
D．5 11
【答案】B
【详解】解：点
(
)
5, 6
P
−
到原点的距离为(
)
(
)
2
2
5
0
6
0
61
−
+ −−
=
．
2．在平面直角坐标系中，描出(
)
(
)
0, 3 ,
4,0
A
B
−
，连接AB ，则线段AB 的长为（ ）
A．7
B．5
C．1
D．7
【答案】B
【分析】利用勾股定理即可求出线段AB 的长度．
【详解】
(
)
0, 3
A
−
，
(
)
4,0
B
，
(
)
(
)
2
2
0
4
3
0
5
AB
=
−
+ −−
=
．
3．如图，已知在平面直角坐标系中，点
,
A B 的坐标分别为(
) (
)
12,0 , 0,9 ，连接AB ，取AB 的中点C ，连接OC ，
则OC 的长度为（ ）
A．6
B．7.5
C．8
D．9
【答案】B
【分析】根据勾股定理解题．
【详解】解：由题意知，
12
0 0
9
,
2
2
C
+
+
，即
9
6, 2
C
，
题型06
试卷第34 页，共83 页
∴
2
2
9
6
7.5
2
OC
=
+
=
．
4．在平面直角坐标系中，已知点
(
)
2,3
M −
，
(
)
1,3
N
，则线段MN 的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】可利用平面直角坐标系中纵坐标相同的两点的位置特点计算线段长，纵坐标相同的两点连线平行
于x 轴，线段长度等于横坐标差的绝对值．
【详解】解：∵点
(
)
2,3
M −
，点
(
)
13
N
, 的纵坐标相等，
∴线段MN 平行于x 轴，
∴
(
)
1
2
3
MN =
−−
=
．
5．在平面直角坐标系中，已知点(
)
2 3
A
，，以原点O为圆心，OA为半径画弧，交x 轴的正半轴于点B ，则
点B 的坐标是（ ）
A．(
)
13,0
B．(
)
3,0
C．(
)
0, 13
D．(
)
0,3
【答案】A
【分析】先利用勾股定理求出OA的长度，根据作图可知OB
OA
=
，结合点B 在x 轴正半轴的位置即可得到
点B 的坐标．
【详解】解：原点O坐标为(
)
0,0 ，点A坐标为(
)
2,3 ，
2
2
2
3
13
OA =
+
=
，
以点O为圆心OA长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点B ，
13
OA
OB
=
=
，
点B 坐标为(
)
13,0 ．
6．跨学科 一束光线从y 轴上一点
(
)
0,1
A
出发，经过x 轴上点C ，然后反射经过点
(
)
3,3
B −
，则光线从点A
试卷第35 页，共83 页
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到点B 经过的路线长是（ ）
A．4
B．5
C．13
D．6
【答案】B
【分析】作A关于x 轴的对称点A，连接A C
，则光线从A点到B 点经过的路线长为BA，作
,
,
BD
AA A D
OC DB
∥
∥
与A D
交于点D ，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，作A关于x 轴的对称点A，连接A C
，
则
(
)
0, 1 ,
A
AC
A C
−
=
，且
,
,
B C A三点共线，
作
,
,
BD
AA A D
OC DB
∥
∥
与A D
交于点D ．
∴光线从A点到B 点经过的路线长为：AC
BC
+
A C
BC
=
+
A B
=
2
2
A D
DB
=
+
(
)
2
23
1 3
=
+
+
5
=
，
即光线从点A到点B 经过的路线长是5．
7．平面上三个点
, ,
A B C 的坐标分别是
(
)
(
)
1, 4 ,
3,0
A
B
−
，
(
)
0, 3
C
−
，则ABC
是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．以上都不是
【答案】A
试卷第36 页，共83 页
【分析】本题考查了两点间的距离公式：也考查了三角形形状的判定．先根据两点间的距离公式计算出三
边长，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】解：∵(
)
(
)
1, 4 ,
3,0
A
B
−
，
(
)
0, 3
C
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
1 3
4
0
20
2 5
AB =
−
+ −−
=
=
，
(
)
(
)
2
2
1 0
4
3
2
AC =
−
+ −+
=
，
(
)
(
)
2
2
3
0
0
3
18
3 2
BC =
−
+
+
=
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
3 2
2
20
BC
AC
AB
+
=
+
=
=
，
∴ABC
是直角三角形，
故选：A．
二、填空题
8．在平面直角坐标系中，已知点
(
)
2,3
A
，点
(
)
2,6
B −
，那么线段AB 的长是________．
【答案】5
【分析】平面直角坐标系中，若两点坐标为(
)
1
1
,
x y
，(
)
2
2
,
x
y
，则两点间距离公式为
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
d
x
x
y
y
=
−
+
−
，
根据两点间距离公式求解即可.
【详解】解：∵(
)
2,3
A
，
(
)
2,6
B −
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
3 6
5
AB
=
−−
+
−
=
.
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，已知点
( 3,2)
A −
、
(1,4)
B
．
(1)求A、B 两点间的距离；
(2)如果点P 在x 轴上，且满足PA
PB
=
，求点P 的坐标．
【答案】(1) 2 5
(2) 1 ,0
2
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）设
( ,0)
P m
，根据PA
PB
=
，利用两点间距离公式列出方程，解方程求出m 的值即可得出答案．
试卷第37 页，共83 页
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【详解】（1）解：∵点
( 3,2)
A −
、
(1,4)
B
，
∴A、B 两点间的距离为
2
2
( 3 1)
(2
4)
2 5
−−
+
−
=
．
（2）解：∵点P 在x 轴上，
∴设
( ,0)
P m
，
∵PA
PB
=
，
( 3,2)
A −
、
(1,4)
B
，
∴
2
2
PA
PB
=
，
∴(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
3
2
0
1
4
0
m
m
−−
+
−
=
−
+
−
，
∴
2
2
9
6
4
1
2
16
m
m
m
m
+
+
+
= −
+
+
解得：
1
2
m =
，
∴点P 的坐标为1 ,0
2
．
10．小明在探索平面直角坐标系中任意两点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
之间的距离时，通过构造如图所示的直角
三角形，由勾股定理得
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
AB
x
x
y
y
=
−
+
−
．若
(
)
1,3
A −
，
(
)
2, 1
B
−
，求AB 的长．
【答案】5
【详解】解：根据
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
AB
x
x
y
y
=
−
+
−
，且
(
)
1,3
A −
，
(
)
2, 1
B
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
1 2
3
1
9 16
5
AB =
−−
+
−−
=
+
=
．
11．如图，在平面直角坐标系中有三点(
)
4,0
A −
，
(
)
0,2
B
和
(
)
2, 2
C
−
．
试卷第38 页，共83 页
(1)求点A和点B 之间的距离；
(2)请判断ABC
的形状，并说明理由．
【答案】(1)
2 5
AB =
(2)解：ABC
为等腰直角三角形，理由如下：
过点C 作CD
x
⊥
轴，垂足为D，CE
y
⊥
轴，垂足为E，
∵
(
)
2, 2
C
−
，
∴点
(
)
2,0
D
，点
(
)
0, 2
E
−
∵点
(
)
4,0
A −
，点
(
)
2,0
D
，
∴
6
AD =
．
∵
(
)
2, 2
C
−
，点
(
)
2,0
D
，
∴
2
CD =
．
在Rt ADC
中，
∵
6
AD =
，
2
CD =
，
∴
2
2
36
4
2 10
AC
AD
CD
=
+
=
+
=
．
同理，
2 5
BC =
，
试卷第39 页，共83 页
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∴
2
2
2
40
AB
BC
AC
+
=
=
，
∵
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，AB
BC
=
，
∴ABC
为等腰直角三角形．
【分析】（1）根据点的坐标得到
4
OA =
，
2
OB =
，根据勾股定理计算即可；
（2）过点C 作CD
x
⊥
轴，垂足为D，CE
y
⊥
轴，垂足为E，根据点的坐标得到
6
AD =
，
2
CD =
，根据勾
股定理求出
2 10
AC =
，同理
2 5
BC =
，根据勾股定理逆定理证明即可．
【详解】（1）解：∵点
(
)
4,0
A −
，点
(
)
0,0
O
，
∴
4
OA =
．
∵点
(
)
0,2
B
，点
(
)
0,0
O
，
∴
2
OB =
．
∴在Rt AOB
中，
2
2
16
4
2 5
AB
OA
OB
=
+
=
+
=
；
（2）略．
12．【问题情境】在平面直角坐标系xOy 中，有不重合的两点
(
)
1
1
,
A x y
和点
(
)
2
2
,
B x
y
，小明在学习时发现，
若
1
2
x
x
=
，则AB
y
∥
轴，且线段AB 的长度为
1
2
y
y
−
，若
1
2
y
y
=
，则AB
x
∥轴，且线段AB 的长度为
1
2
x
x
−
．
(1)【类比应用】若点
(
)
2,1
A −
，
(
)
2,1
B
，则AB
x
∥轴，AB 的长度为______；
(2)【联系拓展】已知点
(
)
,2
M m
，
(
)
2,2
N m +
，
①若线段MN 与y 轴交于点C，点C 把线段MN 分成1:2的两部分时，求m 的值；
②若点(
)
2,3
A −
，
(
)
2,1
B
，求AB 的长．
【答案】(1)4
(2)①
2
3
m = −
或
4
3
−
；②
2 5
AB =
【分析】（1）由AB
x
∥轴得到AB 的长度为
1
2
x
x
−
求解；
（2）①首先求出MN
x
轴，
(
)
2
2
MN
m
m
=
+
−
=
，然后根据题意分两种情况讨论求解；
②设
(
)
2,3
C
，求出
(
)
2
2
4
AC =
−−
=
，
3 1
2
BC = −=
，然后利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：∵点
(
)
2,1
A −
，
(
)
2,1
B
，则AB
x
∥轴，
∴AB 的长度为
(
)
2
2
4
−−
=
；
试卷第40 页，共83 页
（2）解：①∵
(
)
,2
M m
，
(
)
2,2
N m +
，
∴MN
x
轴，
(
)
2
2
MN
m
m
=
+
−
=
，
∵线段MN 与y 轴交于点C，
∴
(
)
0,2
C
，
0
m
，
∵点C 把线段MN 分成1:2的两部分，
∴
:
1:2
MC CN =
或
:
2:1
MC CN =
．
又∵
2
MC
CN
MN
+
=
=
，
当
:
1:2
MC CN =
时，则
1
2
2
1 2
3
MC =
=
+
；
当
:
2:1
MC CN =
时，则
2
4
2
1 2
3
MC =
=
+
；
又
(
)
,2
M m
，
(
)
0,2
C
，
∴
2
2
0
3
3
m =
−
= −
或
4
4
0
3
3
m =
−
= −
，
∴
2
3
m = −
或
4
3
−
；
②如图，取
(
)
2,3
C
，
∵
(
)
2,3
A −
，
(
)
2,1
B
，
∴AC
x
轴，BC
y
轴，即
90
C
=
∴
(
)
2
2
4
AC =
−−
=
，
3 1
2
BC = −=
∴
2
2
2
2
4
2
2 5
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
．
坐标平移的性质
一、单选题
题型07
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1．点
(
)
3, 5
A −
−
向左平移3 个单位，再向上平移4 个单位到点B，则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
1, 8
−
B．(
)
1, 2
−
C．(
)
6, 1
−
−
D．(
)
0, 1
−
【答案】C
【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键．
根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，
即可解答．
【详解】解：点
(
)
3, 5
A −
−
向左平移3 个单位，再向上平移4 个单位到点
( 6, 1)
B −
−
．
故选C．
2．线段CD是由线段AB 平移得到，(
)
1,4
A −
的对应点为
(
)
3,6
C
，则点
(
)
3, 1
B
−
的对应点D 的坐标为（ ）
A．(
)
5,1
B．(
)
5, 3
−
C．(
)
7,1
D．(
)
7, 3
−
【答案】C
【分析】本题考查点的平移与坐标．熟练掌握点平移坐标变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．
先根据点A 与点C 的坐标判断出平移方式 ，再根据平移方式 ，结合点平移坐标变化规律，求出点D 坐标
即可．
【详解】解：因为线段CD是由线段AB 平移得到，
(
)
1,4
A −
的对应点为
(
)
3,6
C
，
所以线段AB 向右平移4 个单位，向上平移2 个单位，得到线段CD，
所以点的横坐标加4，纵坐标加2，
所以点
(
)
3, 1
B
−
的对应点D 的坐标为(
)
3
4, 1
2
+
−+
，即(
)
7,1 ，
故选：C．
3．将点(
)
2,2
4
P m
m
+
+
向右平移若干个单位长度后得到点
(
)
4,6
P
，则m 的值为（ ）
A．1
B．4
C．2
D．0
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标平移，掌握点的坐标平移规律∶ “左减右加，上加下减”是解题的关键．根据点
向右平移，纵坐标不发生变化，由此可知2
4
6
m +
= ，解方程即可求解．
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【详解】解∶∵点(
)
2,2
4
P m
m
+
+
向右平移若干个单位长度后得到点
(
)
4,6
P
∴2
4
6
m +
= ，
解得
1
m = ．
故选∶A．
二、填空题
4．在平面直角坐标系中，将点(
)
5,3
−
向右平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，所得点的坐标是
______．
【答案】(
)
3,2
−
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规则．
根据平面直角坐标系中点的平移规则，将点向右平移2 个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标2
+ ；再向
下平移1 个单位长度，则点的横坐标不变，纵坐标1
−，由此求解即可．
【详解】解：∵将点(
)
5,3
−
向右平移2 个单位长度，
∴此时点的坐标为(
)
5
2,3
−+
，即(
)
3,3
−
，
再向下平移1 个单位长度，
∴可得点的坐标为(
)
3,3 1
−
−
，即(
)
3,2
−
，
∴所得点的坐标是(
)
3,2
−
．
故答案为：(
)
3,2
−
．
5．点P 先向下平移2 个单位，再向右平移3 个单位后，则得到点(
)
2,5
B −
，则点P 的坐标为_______．
【答案】(
)
5,7
−
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 - 平移，熟练掌握点的平移规律（右加左减横坐标，上加下减纵
坐标）是解题的关键．根据点平移的逆过程，将点B 反向平移得到点P 的坐标．
【详解】解：横坐标：2 3
5
−−= −
纵坐标：5
2
7
+
=
故点P 的坐标为(
)
5,7
−
．
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故答案为：(
)
5,7
−
．
6．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B 在直角坐标系中的坐标分别为
(
)
1,2
A −
、(
)
2,3
B −
，当飞机A
飞到指定位置的坐标是(
)
2, 1
−
时，飞机B 的坐标是_____．
【答案】(
)
1,0
【分析】先根据飞机A 确定出平移规律，再求出飞机B 的横坐标与纵坐标即可得解．
本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，
下移减是解题的关键．
【详解】解：∵飞机
(
)
1,2
A −
到达(
)
2, 1
−
时，横坐标加3，纵坐标减3，
∴飞机(
)
2,3
B −
的横坐标为2
3
1
−+ = ，纵坐标为3 3
0
−=
，
∴飞机B 的坐标为(
)
1,0 ．
故答案为：(
)
1,0
三、解答题
7．ABC
沿x 轴正方向平移10 个单位长度得到DEF
，ABC
的顶点坐标如图所示．
(1)点D 的坐标是________，点E 的坐标是________；
(2)求四边形ACED的面积．
【答案】(1)(
)
10,9 (
)
4,0
(2)四边形ACED 的面积为63
【分析】本题主要考查了图形的平移，点的坐标，四边形的面积等知识点，掌握平移的性质，是解答本题
的关键．
（1）平移前后两个三角形全等，对应边相等，由此可得点的坐标；
（2）根据
DEF
CFDA
ACED
S
S
S
=
−
长方形
四边形
即可．
试卷第44 页，共83 页
【详解】（1）解：由题意得：(
)
0,9
A
，
(
)
6,0
B −
，
∴
6
BC =
，
9
AC = ，
∵ABC
沿x 轴正方向平移10个单位长度得到DEF
，
∴
10
BE
CF
=
=
，
6
EF
BC
=
=
，
9
DF
AC
=
=
，
∴点D的坐标是(
)
10,9 ，点E 的坐标是(
)
4,0 ；
（2）解：四边形ACED可看作是一个长方形和一个三角形的面积之差，
1
10 9
6 9
90
27
63
2
DEF
CFDA
ACED
S
S
S
=
−
=
−
=
−
=
长方形
四边形
．
8．三角形ABC 与三角形A B C
在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)分别写出三角形ABC 各顶点的坐标：A_____，B______，C______
(2)三角形A B C
是由三角形ABC 经过怎样的平移得到的？
(3)求三角形ABC 的面积．
【答案】(1)（1，3），（2，0），（3，1）；
(2)先向左平移4 个单位，再向下平移2 个单位
(3)2
【分析】（1）直接写出个点的坐标，即可求解；
（2）根据点A（1，3）的对应点为
(
)
3,1
A−
，即可求解；
（3）用长方形的面积减去三角形ABC 周围3 个三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点A（1，3），B（2，0），C（3，1）；
故答案为：（1，3），（2，0），（3，1）；
（2）解：根据题意得：点A（1，3）的对应点为
(
)
3,1
A−
，
∴三角形A B C
是由三角形ABC 先向左平移4 个单位，再向下平移2 个单位得到的；
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（3）解：三角形ABC 的面积=
1
1
1
2 3
3 1
1 1
2 2
2
2
2
2
−
−
−
=
．
【点睛】本题考查坐标与图形变化一平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形
面积．
探究坐标规律
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1．将长方形OABC沿x 轴翻转1 次，点A落
在点
1A 处，翻转2 次，点A落在点
2
A 处，翻转3 次，点A落在点
3A 处（点
3A 与点
2
A 重合），翻转4 次，点A
落在点
4A 处，以此类推…翻转2026 次后，点
2026
A
的坐标为（ ）
A．(
)
3041,0
B．(
)
3039,2
C．(
)
3035,0
D．(
)
3033,2
【答案】A
【分析】探究点A坐标的变化规律，发现每4 次翻转为一个循环周期，横坐标增加6，纵坐标循环变化，利
用规律求解即可．
【详解】解：由题意可知，长方形OABC的长为2，宽为1 ，
第1 次翻转，点A落在
1A 处，坐标为(3,2) ，
第2 次翻转，点A落在
2
A 处，坐标为(5,0) ，
第3 次翻转，点A落在
3
A 处，与
2
A 重合，坐标为(5,0) ，
第4 次翻转，点A落在
4
A 处，坐标为(6,1) ，
此时长方形回到初始相对位置，完成一个循环 ，
每4 次翻转为一个循环，横坐标增加2 1 2 1
6
+ + + =
，纵坐标按2,0,0,1循环，
2026 4
506
2
=
，
2026
A
的纵坐标与
2
A 相同，为0 横坐标为506 6 5
3036 5
3041
+ =
+ =
，
题型08
试卷第46 页，共83 页
2026
A
的坐标为(3041,0) ．
2．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动
2 个单位长度，其坐标为：
(
)
1 0,2
A
，
(
)
2 2,2
A
，
(
)
3 2,0
A
，
(
)
4 4,0
A
，
(
)
5 4,2
A
，
(
)
6 6,2
A
，
(
)
7 6,0
A
其行走路
线如图所示，则点
2026
A
的坐标为（ ）
A．(
)
2024,2
B．(
)
1012,0
C．(
)
2026,2
D．(
)
1012,2
【答案】C
【分析】观察可得，每4 个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4，计算出2026 4
的商和余数即可得到答案．
【详解】解：点
(
)
1 0,2
A
，(
)
2 2,2
A
，(
)
3 2,0
A
，(
)
4 4,0
A
，(
)
5 4,2
A
，(
)
6 6,2
A
，(
)
7 6,0
A
，(
)
8 8,0
A
，(
)
9 8,2
A
，…，
∴每4 个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4，
∵2026 4
506
2
=
，
∴点
2026
A
纵坐标为2，横坐标为2 506 4
2026
+
=
，
点
2026
A
的坐标为(
)
2026,2 ．
3．在平面直角坐标系中，对于点
( , )
P x y ，我们把点
(
)
1,
1
P
y
x
−+
+
叫做点P 伴随点，已知点
1A 的伴随点为
2
A ，
点
2
A 的伴随点为
3A ，点
3A 的伴随点为
4A ，，这样依次得到点
1A ，2
A ，3A ，，n
A ，若点
1A 的坐标为(
)
2,4 ，
则点
2026
A
的坐标为（ ）
A．(
)
2,4
B．(
)
2, 2
−
−
C．(
)
3,3
−
D．(
)
3, 1
−
【答案】C
【分析】根据伴随点的定义求出前几个点的坐标，找出坐标的循环规律，计算2026 除以循环周期的余数，
根据余数确定点
2026
A
的坐标．
【详解】解：∵点
1A 的坐标为(
)
2,4 ，
试卷第47 页，共83 页
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根据伴随点的定义可得：
2
A 的坐标为(
)
4 1,2 1
−+
+
，即(
)
3,3
−
，
3A 的坐标为(
)
3 1, 3 1
−
−+
+
，即(
)
2, 2
−
−
，
4
A 的坐标为
(
)
(
)
2
1, 2 1
−
−−
+
+
，即(
)
3, 1
−
，
5A 的坐标为
(
)
(
)
1
1,3 1
−−
+
+
，即(
)
2,4 ，和
1A 的坐标相同，
由此可知，每4 个点为一个循环周期，
∵2026
4 506
2
=
+ ，
∴点
2026
A
的坐标与点
2
A 的坐标相同，为(
)
3,3
−
．
4．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1 个单位长度，
得到点
(
)
1 0, 1
A
−
，
(
)
2 1, 1
A
−
，
(
)
3 1,0
A
，
(
)
4 1,1
A
，……那么点
24
A 的坐标是（ ）
A．(
)
7, 1
−
B．(
)
7,0
C．(
)
8,0
D．(
)
8,1
【答案】C
【分析】观察图形中点的坐标变化规律，发现下标是3 的倍数的点
3
6
9
,
,
,
A A A 都在x 轴上，且横坐标等于
下标除以3，据此规律即可求解.
【详解】解：由图可得：
3(1,0)
A
，
6(2,0)
A
，
9(3,0)
A
，
12(4,0)
A
，，
点
3n
A 的坐标为( ,0)
n
，
24 3
8
=
，
点
24
A 的坐标为(8,0) .
二、填空题
5．在平面直角坐标系中，对于点
(
)
,
P x y ，我们把
(
)
1
1,
1
P y
x
−
−−
叫作点P 的“友好点”．已知点
1A 的“友好点”
试卷第48 页，共83 页
为
2
A ，点
2
A 的“友好点”为
3A ，点
3A 的“友好点”为
4A ，……，这样依次得到各点．若点
1A 的坐标为(
)
1 2, ，则
点
2026
A
的“友好点”是____________．
【答案】(
)
3, 2
−
−
【分析】根据友好点的定义，计算前几个点的坐标，发现序列每4 个点循环一次，再确定
2026
A
的坐标，并
计算其友好点．
【详解】解：∵
(
)
1 1,2
A
，
∴
2
A 为
1A 的友好点：(
)
(
)
2 1, 1 1
1, 2
−
−−
=
−
；
3A 为
2
A 的友好点：(
)
(
)
2 1, 1 1
3, 2
−−
−−
= −
−
；
4A 为
3A 的友好点：(
)
(
)
2 1,3 1
3,2
−−
−
= −
；
5A 为
4A 的友好点：(
)
(
)
1
2 1,3 1
1,2
A
−
−
=
与
相同；
∴观察可知，每四次循环一次，
∵2026
506 4
2
=
+ ，
∴
2026
2
A
A
=
，
∴
2026
A
的友好点为(
)
(
)
(
)
1,
1
2 1, 1 1
3, 2
y
x
−
−−
= −−
−−
= −
−
．
中点坐标公式
一、单选题
1．已知线段AB 的中点为坐标原点O．若点A的坐标为(
)
2,11 ，则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
2, 11
−
−
B．(
)
11, 2
−
−
C．(
)
11,2
D．(
)
2,11
−
【答案】A
【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点B 的坐标．
【详解】解：设点(
)
,
B x y ，
点
(
)
0,0
O
是线段AB 的中点，点
(
)
2,11
A
，
2
0
2
x
+
=
，11
0
2
y
+
=
，
题型09
试卷第49 页，共83 页
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解得
2
x = −，
11
y = −
，
点B 的坐标为(
)
2, 11
−
−
，
故选：A．
二、填空题
2．在平面直角坐标系中，点
(
)
1,2
M
和点
(
)
5,8
N
的中点坐标为 ______．
【答案】(
)
3,5
【分析】本题考查了中点坐标公式．
根据中点坐标公式
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
+
+
，直接计算两点横纵坐标的平均值．
【详解】解：点
(
)
1,2
M
和点
(
)
5,8
N
的中点坐标公式为
8
1
2
5 , 2
2
+
+
，即(
)
3,5 ．
故答案为：(
)
3,5 ．
3．如图，平面组合图形中，点
(
)
1,3
A
、
(
)
2,1
B
，则该平面组合图形的重心的坐标为_____．
【答案】3 ,2
2
【分析】本题考查平面组合图形的重心的坐标，A，B 是两个图形的重心，平面组合图形的重心的坐标是两
重心坐标的平均值，据此求解即可．
【详解】解：∵点A，B 是两个图形的重心，且
(
)
1,3
A
、
(
)
2,1
B
，
∴平面组合图形的重心的坐标为1
2 3 1
,
2
2
+
+
，即3 ,2
2
．
故答案为：3 ,2
2
．
三、解答题
4．如图，在直角坐标平面内，点A、B 、C 都是格点．
试卷第50 页，共83 页
(1)写出图中点A、B 、C 的坐标是：A___________，B___________，C ___________
(2) ABC
的面积是___________．
(3)如果点P 在AC 边上，BP平分ABC
的面积，那么点P 的坐标是___________
【答案】(1)(
) (
) (
)
2,0 , 2,3 , 1, 1
−
−
(2)13
2
(3)
1
1
,
2
2
−
−
【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，三角形中线三角形面积，坐标与图形．
（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）用正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可；
（3）根据中点坐标公式即可得到答案．
【详解】（1）解：点A、B 、C 的坐标是(
) (
) (
)
2,0 , 2,3 , 1, 1
−
−
，
故答案为：(
) (
) (
)
2,0 , 2,3 , 1, 1
−
−
（2）ABC
的面积是
1
1
1
13
4 4
3 1
4 3
1 4
2
2
2
2
−
−
−
=
故答案为：13
2
（3）如图，点P 即为所求，
试卷第51 页，共83 页
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∵点P 为AC 的中点，点A、C 的坐标是(
) (
)
2,0 , 1, 1
−
−
，
∴点P 的坐标是
1
1
,
2
2
−
−
故答案为：
1
1
,
2
2
−
−
5．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科
学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答．
(1)观察发现
在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：(
)
(
)
(
)
(
)
1,1 ,
5,1 ,
4, 2 ,
4,6
A
B
C
D
−
−
−
，并连接AB
CD
，
，请
写出线段AB 的中点坐标：___________，线段CD的中点坐标：___________．
(2)探究迁移
如果有
(
)
1
1
,
M x y
，
(
)
2
2
,
N x
y
两点，那么线段MN 的中点坐标是___________．
(3)拓展应用
已知三点
(
)
(
)
(
)
4, 2
3, 1
1, 4
E
F
G
−
−
−
−−
，
，
，点
(
)
,
H x y 与点E
F
G
，，
中的一个点构成的线段的中点与另外两
试卷第52 页，共83 页
个点构成的线段的中点重合，求点H 的坐标．
【答案】(1)图见解析，(
)
3,1 ，(
)
4,2
−
(2)
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
+
+
(3) H 点的坐标为(
)
8, 3
−
−
或(
)
6, 5
−
或(
)
2,1
【分析】（1）根据要求描点，连线，进而确定中点坐标即可；
（2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可；
（3）分3 种情况，结合中点坐标公式 进行求解即可.
【详解】（1）解：由题意，描点，连接线段AB ，CD如下图，
由图可知：线段AB 的中点坐标为(
)
3,1 ，线段CD的中点坐标为(
)
4,2
−
；
（2）解：由（1）可知：AB 的中点坐标为1 5 1 1
,
2
2
+
+
，线段CD的中点坐标为
4
4
2
6
,
2
2
−−
−+
；
猜想：如果有
(
)
1
1
,
M x y
，
(
)
2
2
,
N x
y
两点，
则线段MN 的中点坐标是
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
+
+
；
（3）解：①HE 与FG 中点重合时，
4
3 1
2
1 4
2
2
2
2
x
y
+
−−
−+
−−
=
=
，
，
8
3
x
y
= −
= −
，
，
此时
(
)
8, 3
H −
−
；
②HF 与EG 中点重合时，
试卷第53 页，共83 页
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3
4 1
1
2
4
2
2
2
2
x
y
−+
−
−+
−−
=
=
，
，
6
5
x
y
=
= −
，
，
此时
(
)
6, 5
H
−
；
③HG 与EF 中点重合时，
1
4 3
4
2 1
2
2
2
2
x
y
−+
−
−+
−−
=
=
，
，
2
1
x
y
=
=
，
，
此时
(
)
2,1
H
；
综上所述，H 点的坐标为(
)
8, 3
−
−
或(
)
6, 5
−
或(
)
2,1 ．
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，AB
y
∥
轴，
1
AB = ，点A 的坐标为(
)
2,3
−
，则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
2,4
−
B．(
)
1,3
−
C．(
)
2,4
−
或(
)
2,2
−
D．(
)
1,3
−
或(
)
3,3
−
【答案】C
【详解】解：∵AB
y
轴，
∴点A与点B 的横坐标相等，均为2
−，纵坐标之差的绝对值等于AB 的长度，
∵
1
AB = ，
∴点B 的纵坐标为3 1
4
+ =
，或3 1
2
−=
，
∴点B 的坐标为(
)
2,4
−
或(
)
2,2
−
.
2．如图，在边长均为1 的网格纸上建立平面直角坐标系，x 轴、y 轴都在网格线上，网格纸被撕掉了一部分，
已知点M 的坐标为(2,5) ，则点N 的坐标为（ ）
A．(1,3)
B．( 1,3)
−
C．(1,4)
D．( 1,4)
−
试卷第54 页，共83 页
【答案】D
【详解】解：根据点M 的坐标为(2,5) ，补全平面直角坐标系，则点N 的坐标为( 1,4)
−
．
3．如图，在平面直角坐标系中，点(
)
2,3
A
，
(
)
2,3
B −
，
(
)
2, 1
C
−
−
，
(
)
2, 1
D
−
，点P 从点A 出发，以每秒2
个单位长度的速度沿A
B
C
D
A
→
→
→
→
路径循环运动，则第2026 秒时点P 的坐标是（ ）
A．(
)
2,3
−
B．(
)
2,3
C．(
)
2, 1
−
−
D．(
)
2, 1
−
【答案】A
【分析】根据点的坐标求出四边形各边长及周长，计算出点P 运动的总路程，利用总路程除以周长得到余
数，根据余数确定点P 的位置．
【详解】解：∵(
)
2,3
A
，
(
)
2,3
B −
，
(
)
2, 1
C −
−
，
(
)
2, 1
D
−
，
∴
(
)
2
2
4
AB =
−−
=
，
(
)
3
1
4
BC =
−−
=
，
(
)
2
2
4
CD =
−−
=
，
(
)
3
1
4
DA =
−−
=
，
∴四边形ABCD的周长为4
4
4
4
16
+ + +
=
，
∵点P 的速度为2 个单位长度/秒，运动时间为2026 秒，
∴点P 运动的总路程为2 2026
4052
=
，
∵4052 16
253
4
=
，
∴点P 运动了253 圈后又运动了4 个单位长度，
∵
4
AB =
，且点P 从点A 出发沿A
B
→
方向运动，
∴此时点P 到达点B 处，
∴点P 的坐标为(
)
2,3
−
．
试卷第55 页，共83 页
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4．已知点
(
)
0
0
,
E x
y
，
(
)
2
2
,
F x
y
，且
(
)
1
1
,
M x y
是EF 的中点，则
0
2
1
2
x
x
x
+
=
，
0
2
1
2
y
y
y
+
=
，也可以理解为点
E 关于点M 的对称点为F ．在平面直角坐标系中，有点
(
)
1, 1
A
−
，(
)
1, 1
B −
−
，点
(
)
0,2
P
关于A的对称点为
1P ，
1P 关于B 的对称点为
2P ，则点
2P 的坐标是（ ）
A．(
)
4,2
−
B．(
)
2, 4
−
C．(
)
4,0
D．(
)
4,2
【答案】A
【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算
1P 和
2P 的
坐标即可.
【详解】解：设
1P 坐标为(
)
1
1
,
x y
，
∵点
(
)
0,2
P
关于(
)
1, 1
A
−
的对称点为
1P ，
∴A是线段
1
PP 的中点，
∴
1
0
1
2
x
+
=
，
1
2
1
2
y
+
−=
，
解得
1
2
x =
，
1
4
y = −，即
(
)
1 2, 4
P
−
，
设
2P 坐标为(
)
2
2
,
x
y
，
∵
1P 关于
(
)
1, 1
B −
−
的对称点为
2P ，
∴B 是线段
1
2
PP 的中点，
∴
2
2
1
2
x
+
−=
，
2
4
1
2
y
−+
−=
，
解得
2
4
x = −，
2
2
y =
，
∴点
2P 的坐标为(
)
4,2
−
.
二、填空题
5．如图，将“马”的小篆字体放在平面直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为(2,1),( 1,2)
−
，则点C 的坐标
为_________．
试卷第56 页，共83 页
【答案】(
)
0, 1
−
【详解】解：如图所示，
A，B 两点的坐标分别为(2,1),( 1,2)
−
，
点C 的坐标为(
)
0, 1
−
．
6．已知平面直角坐标系中，点
(
)
7,
2
P a
a
−
+
在第二象限，且它到x 轴的距离是它到y 轴距离的2 倍，则P
点坐标为______．
【答案】(
)
3,6
−
【分析】先根据第二象限内点的符号特征和题目给出的数量关系列方程求出a 的值，再代入计算得到点P 的
横纵坐标即可．
【详解】解：点
(
)
7,
2
P a
a
−
+
在第二象限，
点P 的横坐标小于0 ，纵坐标大于0 ，则点P 到x 轴的距离为纵坐标的绝对值，即
2
a+
，到y 轴的距离为
横坐标的绝对值，即(
)
7
a
−
−
，
根据题意得
(
)
2
2
7
a
a
+
=
−
−
，
解得：
4
a =
，
将
4
a =
代入得横坐标
7
4 7
3
a−
=
−
= −，纵坐标
2
4
2
6
a +
=
+
=
，
P
点坐标为(
)
3,6
−
．
7．A，B 两点的坐标分别为(
)
2,4 ，(
)
6,0 ，点P 是x 轴上一点，且三角形ABP的面积为8，则点P 的坐标为
____．
【答案】(
)
2,0 或(
)
10,0 /(
)
10,0 或(
)
2,0
试卷第57 页，共83 页
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【分析】设点P 坐标为(
)
,0
x
．利用点A的纵坐标可得三角形ABP的高为4 ．再根据三角形ABP 的面积为8
列含绝对值的方程，求解得到x 的值，即可得到点P 的坐标．
【详解】解：设P 点坐标为(
)
,0
x
．
B
点坐标为(
)
6,0 ，P 点在x 轴上，
BP
的长度为6
x
−
．
A
点坐标为(
)
2,4 ，
三角形ABP中，BP边上的高为A点纵坐标的绝对值，即高为4 ．
根据三角形面积公式可得：1
4
6
8
2
x
−
= ，
化简得6
4
x
−
=
．
即6
4
x
−
=
或6
4
x
−
= −．
解得
2
x =
或
10
x =
．
P
点坐标为(
)
2,0 或(
)
10,0 ．
三、解答题
8．已知点(
)
3,2
1
P m
m−
+
，试分别根据下列条件求出点P 的坐标．
(1)点P 的纵坐标比横坐标大3；
(2)点P 到x 轴的距离为2，且在第四象限．
【答案】(1)(
)
10,13
(2) 5 , 2
2 −
【分析】（1）根据纵坐标比横坐标大3 列方程求解m 的值，再求解即可；
（2）根据点P 到x 轴的距离列出绝对值方程求解m 的值，再根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是
负数求解．
【详解】（1）解：∵点P 的纵坐标比横坐标大3，
∴
(
)
2
1
3
3
m
m
−−
+
=
，
解得
7
m =
，
试卷第58 页，共83 页
∴
3
7
3
10,2
1
2 7 1
13
m
m−
+
=
+
=
=
−=
，
所以，点P 的坐标为(
)
10,13 ；
（2）解：∵点P 到x 轴的距离为2，
∴2
1
2
m−
=
，
解得
3
2
m =
或
1
2
m
−
=
，
当
3
2
m =
时，
3
9
3
3
2
2
m+
=
+
=
，2
1
3 1
2
m−= −=
，
此时，点
9 ,2
2
P
，
当
1
2
m
−
=
时，
1
5
3
3
2
2
m
−
+ =
+ =
，2
1
1 1
2
m−
−
−
=
−=
，
此时，点
5 , 2
2
P
−
，
∵点P 在第四象限，
∴点P 的坐标为5 , 2
2 −
．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知
( ,0),
( ,0)
A a
B b
其中 a， b 满足
(
)
2
3
1
0
b
a
−
+
+
=
，点M 为第三象限
内一点．
(1)请直接写出A、B 两点的坐标：A（ ，0），B（ ，0）；
(2)若M 为( 2,
)
m
−
，请用含m 的式子表示ABM
的面积；
(3)若
(
)
1
2
11
M
m m
−
−
，
到坐标轴的距离相等，MN
AB
∥
且MN
AB
=
，求N 点坐标．
【答案】(1) 1
−，3
(2) 2m
−
(3)
(
)
7, 3
N
−
−
或
(
)
1, 3
N
−
【分析】（1）根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，b 的值，可得答案；
（2）先求出AB ，再由三角形的面积公式表示即可
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（3）先根据距离相等可得方程，再结合所在象限求出点M 的坐标，然后根据AB 的长度得出答案．
【详解】（1）解：
(
)
2
3
1
0
b
a
−
+
+
=
，且
(
)
2
3
0,
1
0
b
a
−
+
3
0
b−
=
，(
)
2
1
0
a +
=
，
3
0
b
−= ，
1
0
a+ =
，
3
b
= ，
1
a = −，
(
)
1,0
A
−
，
(
)
3,0
B
；
（2）解：如图，
∵
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
；
∴
(
)
3
1
4
AB =
−−
=
M
为(
)
2,m
−
，且M 在第三象限内，
0
m
，
ABM
的面积
(
)
1
4
2
2
m
m
−
−
=
=
；
（3）解：∵
(
)
1
2
11
M
m m
−
−
，
到坐标轴的距离相等，
1
2
11
m
m
−
−
=
或
(
)
1
2
11
m
m
−
−
−
=
，
4
m
=
或10，
∴
(
)
3, 3
M
−
−
或
(
)
9,9
M −
M
为第三象限内一点，
(
)
3, 3
M
−
−
.
∵
4
AB =
MN
AB
∥
，MN
AB
=
，
试卷第60 页，共83 页
(
)
3
4, 3
N
−
−−
或(
)
3
4, 3
−
−+
，即
(
)
7, 3
N
−
−
或
(
)
1, 3
N
−
．
10．新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面
积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点
(
)
4,4
P
分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成
长方形OAPB的周长与面积数值均为16，则点P 是“优美点”．
(1)判断点(
)
2,2 是否是“优美点”?说明理由；
(2)若点
(
)
4,
M
m
−
是“优美点”，求m 的值；
(3)已知点(
)
,3
P a
是“优美点”，过点P 作PB
y
⊥
轴于点B ，点E 在线段PB上，且
2
OBE
OEP
S
S
−
=
△
△
，求点E
的坐标．
【答案】(1)点(
)
2,2 不是“优美点”，理由：
过点(
)
2,2 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长为2 4
8
= ，面积为2 2
4
=
，
∵4
8
，
∴点(
)
2,2 不是“优美点”；
(2) 4 或4
−
(3)点E 的坐标为11,3
3
或
11,3
3
−
【分析】（1）先求出过点(
)
2,2 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长和面积，比较即可得
出结果；
（2）根据“优美点”的定义可得(
)
2 4
4
m
m
+
=
，求解即可；
（3）根据“优美点”的定义求出(
)
6,3
P
或
(
)
6,3
P −
，再分两种情况，结合三角形面积公式计算即可得出结果．
【详解】（1）略
（2）解：∵点
(
)
4,
M
m
−
是“优美点”，
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∴(
)
2 4
4
m
m
+
=
，
整理可得
4
m =
，
解得
4
m =
或
4
m = −；
（3）解：∵点(
)
,3
P a
是“优美点”，
∴(
)
2 3
3
a
a
+
=
，
解得
6
a =
或
6
a = −，
∴
(
)
6,3
P
或
(
)
6,3
P −
，
当
(
)
6,3
P
时，此时(
)
0,3
B
，设
(
)(
)
,3
0
6
E t
t
，
∴BE
t
= ，
3
OB =
，
6
PE
t
=
−，
∵
2
OBE
OEP
S
S
−
=
△
△
，
∴
(
)
1
1
3
3
6
2
2
2
t
t
−
−
=
，
解得
11
3
t =
，此时
11,3
3
E
；
当
(
)
6,3
P −
时，此时(
)
0,3
B
，设
(
)(
)
,3
6
0
E t
t
−
，
∴BE
t
= −，
3
OB =
，
(
)
6
6
PE
t
t
= −−
= +
，
∵
2
OBE
OEP
S
S
−
=
△
△
，
∴
(
)
(
)
1
1
3
3
6
2
2
2
t
t
−
−
+
=
，
解得
11
3
t = −
，此时
11,3
3
E
−
，
综上所述，点E 的坐标为11,3
3
或
11,3
3
−
．
11．问题背景：
在平面直角坐标系中，已知点
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，点C 是线段AB 的中点，则点C 的坐标为
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
+
+
．如：已知点(
)
(
)
2,2 ,
4,6
A
B
−
−
，则线段AB 的中点
(
)
,
C x y 的坐标：
2
4
2
3
x
，
2
6
4
2
y
+
=
=
，故点C 的坐标为(
)
3,4
−
．解决问题：
(1)已知点(
)
6, 2
A
−
，
(
)
3, 3
B
−
−
，则线段AB 的中点的坐标是_____．
试卷第62 页，共83 页
(2)若已知点
(
)
5,9
M −
，且线段MN 的中点坐标为
(
)
1,5
P −
，求点N 的坐标．
(3)已知三点
(
)
3, 2
D
−
，
(
)
2, 3
E −
−
，
(
)
1,2
F
，若第四个点
(
)
,
Q x y 与D 、E 、F 中的任意一个点构成的线段
的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点Q 的坐标．
【答案】(1) 3
5
,
2
2
−
(2)
(
)
3,1
N
(3)(
)
4,1
−
或(
)
6,3 或(
)
0, 7
−
【分析】（1）直接由线段中点坐标公式求解即可．
（2）设点
(
)
,
N x y ，根据中点坐标公式求解即可．
（3）分三种情况讨论，求解即可．
【详解】（1）解：∵点
(
)
6, 2
A
−
，
(
)
3, 3
B
−
−
，
则线段AB 的中点的坐标为6
3
2
3
,
2
2
−
−−
，即3
5
,
2
2
−
．
（2）解：设点
(
)
,
N x y ，
∵点
(
)
5,9
M −
，且线段MN 的中点坐标为
(
)
1,5
P −
，
∴
5
1
2
9
5
2
x
y
−+
= −
+
=
，解得
3
1
x
y
=
=
，
∴点
(
)
3,1
N
．
（3）解：当点Q 与点D 的中点，点E 与点F 的中点重合时，
线段QD 的中点为
3
2
,
2
2
x
y
+
−
，线段EF 的中点为
2 1
3
2
,
2
2
−+
−+
，
∴
3
2 1
2
2
2
3
2
2
2
x
y
+
−+
=
−
−+
=
，解得
4
1
x
y
= −
=
，
∴点Q 的坐标为(
)
4,1
−
；
当点Q 与点E 的中点，点D 与点F 的中点重合时，
线段QE 的中点为
2
3
,
2
2
x
y
−
−
，线段DF 的中点为3 1
2
2
,
2
2
+
−+
，
试卷第63 页，共83 页
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∴
2
3 1
2
2
3
2
2
2
2
x
y
−
+
=
−
−+
=
，解得
6
3
x
y
=
=
，
∴点Q 的坐标为(
)
6,3 ；
线段QF 的中点为
1
2
,
2
2
x
y
+
+
，线段DE 的中点为3
2
2
3
,
2
2
−
−−
，
∴
1
3
2
2
2
2
2
3
2
2
x
y
+
−
=
+
−−
=
，解得
0
7
x
y
=
= −
，
∴点Q 的坐标为(
)
0, 7
−
；
综上，点Q 的坐标为(
)
4,1
−
或(
)
6,3 或(
)
0, 7
−
．
12．在平面直角坐标系中，规定某一点到x 轴、y 轴距离的较小值称为该点的“短距”．若某点到x 轴，y 轴
距离相等，则称该点为“完美点”．
(1)点
(
)
2,3
M −
的“短距”是________；
(2)若点
(
)
2
5,1
4
N
n
n
−
−
是“完美点”，求点N 的坐标；
(3)若坐标系第三象限内存在一点(
)
6,3
1
a
−
+
，且它的“短距”是5，现有一点Q ，点Q 的坐标为(
)
4
2 , 8
a
−
−
，
试说明点Q 是“完美点”．
【答案】(1)2
(2)(
)
3, 3
−−
或(
)
9,9
−
(3)见解析
【分析】（1）根据“短距”的定义求解；
（2）根据“完美点”的定义得到2
5
1
4
n
n
−
=
−
，求出
1
n = 或
2
n = −，然后分别代入
(
)
2
5,1
4
N
n
n
−
−
求解即
可；
（3）首先得到
(
)
3
1
3
1
a
a
−
+
=
+
，然后根据“短距”的定义得到(
)
3
1
5
a
−
+
=
，求出
2
a = −，得到Q 坐标为(
)
8, 8
−
，
然后根据“完美点”的定义求解．
【详解】（1）解：点
(
)
2,3
M −
到x 轴的距离为3
3
=
，到y 轴的距离为
2
2
−
=
，
∴点
(
)
2,3
M −
的“短距”是2；
试卷第64 页，共83 页
（2）解：∵点
(
)
2
5,1
4
N
n
n
−
−
是“完美点”
∴2
5
1
4
n
n
−
=
−
∴
1
n = 或
2
n = −
当
1
n = 时，2
5
3
n−= −，1 4
3
n
−
= −；
当
2
n = −时，2
5
9
n−= −，1 4
9
n
−
=
；
∴点N 的坐标为(
)
3, 3
−
−
或(
)
9,9
−
；
（3）证明：∵点(
)
6,3
1
a
−
+
在第三象限，
∴3
1
0
a +
，即
(
)
3
1
3
1
a
a
−
+
=
+
，
∴该点到y 轴的距离为
6
6
−
=
，
∵它的“短距”是5，
∴3
1
5
a +
=
，即(
)
3
1
5
a
−
+
=
，
解得
2
a = −，
将
2
a = −代入点Q 的横坐标，得
(
)
4
2
4
2
2
8
a
−
=
−−
=
，
∴点Q 坐标为(
)
8, 8
−
，
∴点Q 到x 轴的距离为
8
8
−
=
，到y 轴的距离为8
8
=
，
∵点Q 到x 轴、y 轴的距离相等，
∴点Q 是“完美点”．
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点
(
)
1
1
,
A x y
与(
)
2
2
,
B x
y
的“非常距离”，给出如下定义：若
1
2
1
2
x
x
y
y
−
−
，则点A 与点B 的“非常距离”为
1
2
x
x
−
；若
1
2
1
2
x
x
y
y
−
−
，则点A 与点B 的“非常距离”
为
1
2
y
y
−
．
试卷第65 页，共83 页
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(1)填空：已知点(
)
3,6
A
与点(
)
5,2
B
，则点A 与点B 的“非常距离”为 ．
(2)已知点
(
)
1,2
C −
，点D 为y 轴上的一个动点．若点C 与点D 的“非常距离”为2，求点D 的坐标．
【答案】(1)4
(2)(
)
0,0 或(
)
0,4 ．
【分析】（1）根据A、B 两点的坐标，结合“非常距离”的定义求解即可；
（2）根据y 轴上的点的特征可知点D 的横坐标为0，再结合“非常距离”的定义，得出点C 和点D 的纵坐标
差的绝对值应为2，即可求解 ．
【详解】（1）解：∵
(
)
3,6
A
，
(
)
5,2
B
，
∴3
5
2
−
=
，6
2
4
−
=
，
∵2
4
，
∴点A 与点B 的“非常距离”为4；
（2）解：∵点D 在y 轴上，
∴横坐标为0，
∴
1 0
1
- -
= ，
∵1
2
，
∴点C 和点D 的纵坐标差的绝对值应为2，
设点D 的纵坐标为
D
y ，
则2
2
D
y
−
=
，解得
0
D
y =
或
4
D
y =
，
∴点D 的坐标为(
)
0,0 或(
)
0,4 ．
14．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：
【问题情境】
在平面直角坐标系中不重合的两点
(
)
1
1
,
M x y
和点
(
)
2
2
,
N x
y
，
若
1
2
x
x
=
，则MN
y
∥轴，且线段MN 的长度为
1
2
y
y
−
；
若
1
2
y
y
=
，则MN
x
轴，且线段MN 的长度为
1
2
x
x
−
；
(1)【实践操作】
根据上面的结论，计算：
试卷第66 页，共83 页
①已知：点
(
)
5, 2
E
−
、点
(
)
5,2
F
，线段EF =________；
②若点
(
)
1,1
M −
、
(
)
1,
N a
a
+
，且MN
x
轴，求MN 的长度．
(2)【拓展应用】
如图，在平面直角坐标系中，
(
)
1,2
A −
，
(
)
, 4
B m −
，
(
)
2,
C
n ，且满足
1
2
0
m
n
+ +
+
=
，
①请直接写出m 、n 的值；
②是否存在点
1
, 2
P t
t
，使三角形APB的面积等于三角形ABC 面积的2 倍．若存在，请求出点P 坐标；若
不存在请说明理由．
【答案】(1)①4 ；②3
(2)①
1
m = −，
2
n = −；②存在，
5
5, 2
P
或
7
7,
2
P
−
−
【分析】（1）①根据【问题情境】的结论计算即可；
②根据MN
x
得出
1
a = ，再根据【问题情境】的结论计算即可；
（2）①利用绝对值和算术平方根的非负数性质得出
1
0
m+ =
，
2
0
n+
=
，进而求出m 、n 的值即可；
②根据A、B 坐标求出
6
AB =
，根据点C 坐标求出
9
ABC
S
=
，根据三角形APB的面积等于三角形ABC 面积
的2 倍，得出1
( 1)
18
2 AB t−
−
=
，解方程求出t 的值即可得答案．
【详解】（1）解：①∵点
(
)
5, 2
E
−
、点
(
)
5,2
F
，
∴
2
2
4
EF = −−
=
；
②点
(
)
1,1
M −
、
(
)
1,
N a
a
+
，且MN
x
轴，
∴
1
a = ，
∴
(2,1)
N
，
∴
1
2
3
MN = −−
= ．
（2）解：①∵
1
2
0
m
n
+ +
+
=
，
1
0
m +
，
2
0
n+
，
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∴
1
0
m+ =
，
2
0
n+
=
，
解得：
1
m = −，
2
n = −．
②解：存在，
5
5, 2
P
或
7
7,
2
P
−
−
，理由如下：
∵
1
m = −，
2
n = −，
∴
(
)
1, 4
B
−
−
，
(
)
2, 2
C
−
，
∵
(
)
1,2
A −
，
∴
4
2
6
AB = −−
=
，
如图，过点C 作CD
AB
⊥
于D ，
∴
2
( 1)
3
CD =
−−
=
，
∴
1
1
6 3
9
2
2
ABC
S
AB CD
=
=
=
，
∵三角形APB的面积等于三角形ABC 面积的2 倍，
∴
2 9
18
APB
S
= =
，
∵
1
, 2
P t
t
∴1
( 1)
18
2 AB t−
−
=
，即1
6
1
18
2
t
+
=
，
解得：
5
t =
或
7
t = −，
∴
5
5, 2
P
或
7
7,
2
P
−
−
．
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得
试卷第68 页，共83 页
到点
(
)
1 1,0
A
，
(
)
2 1, 1
A
−
，
(
)
3 0, 1
A
−
，
(
)
4
1, 1
A
−
−
，
(
)
5
1,0
A
−
，
(
)
6
1,1
A
−
，
(
)
7 0,1
A
，
(
)
8 1,1
A
，
(
)
9 2,1
A
，…，
则
2025
A
的坐标为（ ）
A．(
)
22,23
B．(
)
23,22
C．(
)
22, 23
−
−
D．(
)
23, 22
−
−
【答案】B
【详解】解：观察图形，第8 个点一个循环周期，
2025 8
253
=
余1，
∴点
2025
A
在第一象限，
再观察图形，
(
)
8 1,1
A
，
(
)
24 2,2
A
，
(
)
48 3,3
A
，，
∵8
4 1 2
= ，24
4 2 3
= ，48
4 3 4
=
，
∴到达(
)
,n n 的编号是
(
)
4
1
n n +
，
当
22
n =
时，
(
)
4
1
4 22 23
2024
n n +
=
=
，
当
23
n =
时，
(
)
4
1
4 23 24
2208
n n +
=
=
，
∴
(
)
2024 22,22
A
，
∴
(
)
2025 23,22
A
．
二、填空题
2．如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点均在第四象限，其中点(
)
, 1
A a −
，点(
)
, 3
B m −
，若AO
AB
=
，
90
OAB
=
，则a 的值为________．
试卷第69 页，共83 页
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【答案】2
【分析】添加辅助线，过点A作AC
x
⊥
轴于C ，过点B 作BD
CA
⊥
，交CA 的延长线于D ，构造全等三角
形，得到OC
AD
=
，由此求解即可．
【详解】解：过点A作AC
x
⊥
轴于C ，过点B 作BD
CA
⊥
，交CA 的延长线于D ，如图，
则有
90
AOC
OAC
+
=
，
∵
90
OAB
=
，
∴
90
BAD
OAC
+
=
，
∴
AOC
BAD
=
，
∵AO
AB
=
，
在AOC
与BAD
中，
90
AOC
BAD
OCA
ADB
AO
AB
=
=
=
=
，
∴
(
)
AOC
BAD AAS
≌
，
∴
1
BD
AC
=
= ，OC
AD
=
，
∴
3 1
2
AD = −=
，
∴
2
OC =
，即a 的值为2．
3．光纤通讯是利用光的全反射原理进行光信号传输．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x 轴
试卷第70 页，共83 页
建立平面直角坐标系，如图，一束光从
(
)
0
2, 1
A
−
−
出发，在
(
)
1 2,1
A
经过第1次全反射到达
(
)
2 6, 1
A
−
，在
2
A 经
过第2 次全反射到达
(
)
3 10,1
A
，在
3A 经过第3次全反射到达
(
)
4 14, 1
A
−
，依此类推，
（1）经过第5次全反射到达
6
A ，则
6
A 的坐标为________；
（2）经过第2n （n 为正整数）次全反射到达
2
1
n
A
+ ，则
2
1
n
A
+ 的坐标为________．
【答案】 (
)
22, 1
−
(
)
8
2,1
n +
【分析】先根据点的下标的情况，得出点的横坐标与纵坐标的变化规律，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）
(
)
1 2,1
A
，
(
)
2 6, 1
A
−
，
(
)
3 10,1
A
，
(
)
4 14, 1
A
−
，
下标为奇数的点的纵坐标为1，下标为偶数的点的纵坐标为1
−，下标为偶数的点的横坐标依次增加8，下
标为奇数的点的横坐标依次增加8，
(
)
6 14
8, 1
A
+
−
，即
(
)
6 22, 1
A
−
；
（2）n 为正整数，
2
1
n
+ 为奇数，且当
1
n = 时，2
1
3
n+ =
，即
(
)
3 10,1
A
的横坐标10为首项，
又下标为奇数的点的横坐标依次增加8，下标为奇数的点的纵坐标为1，
2
1
n
A
+ 的横坐标为8
2
n +
，纵坐标为1，
2
1
n
A
+ 的坐标为(
)
8
2,1
n +
．
4．在如图所示的平面直角坐标系中，点(
)
4,0
A −
，(
)
6,0
B
，
(
)
2,4
C
，
(
)
3,2
D −
，在y 轴上找一点P ，使三
角形APB的面积等于四边形ABCD面积的一半，则点P 的坐标为____________．
试卷第71 页，共83 页
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【答案】(
)
0,2.4 或(
)
0, 2.4
−
【分析】作DE
x
⊥
轴于点E ，作CF
x
⊥
轴于点F ，把四边形ABCD分成两个直角三角形和一个直角梯形，
分别计算面积，相加得到四边形ABCD的面积，据此求出点P 的纵坐标．
【详解】解：如图，作DE
x
⊥
轴于点E ，作CF
x
⊥
轴于点F ，则四边形ABCD被分成了直角三角形ADE ，
直角三角形CBF ，直角梯形DEFC ，
1,
2,
4,
4,
5,
10
AE
DE
CF
BF
EF
AB
=
=
=
=
=
=
，
(
)
1
1
1
1 2
4 4
5
2
4
24
2
2
2
ABCD
ADE
CFB
DEFC
S
S
S
S
=
+
+
=
+
+
+
=
梯
，
1
1
5
12
2
2
ABP
p
p
ABCD
S
AB
y
y
S
=
=
=
=
，
2.4
p
y
=
，
2.4
p
y
=
或2.4
−
，
点P 的坐标为(
)
0,2.4 或(
)
0, 2.4
−
．
5．新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若点
(
)
,
P x y ，点
(
)
,
Q ax
y x
ay
+
+
，则称点Q 是点P 的“ a 级关联点”
（其中a 为常数，且
0
a
）．若点(
)
,3
1
P x
x +
的“3级关联点”在坐标轴上，则x 的值是________．
【答案】
1
6
−
或
3
10
−
【分析】根据新定义求出点P 的3级关联点Q 的坐标，再利用坐标轴上点的坐标特征，分横坐标为0 和纵坐
标为0 两种情况列方程求解x 即可．
【详解】解：由“a 级关联点”定义得
3
a = ，
点
(
)
,3
1
P x
x +
，即
3
1
y
x
=
+ ，
点Q 的坐标为
(
)
(
)
(
)
3
3
1 ,
3 3
1
x
x
x
x
+
+
+
+
，整理得
(
)
6
1,10
3
Q
x
x
+
+
，
点
(
)
6
1,10
3
Q
x
x
+
+
在坐标轴上，
分两种情况讨论：
试卷第72 页，共83 页
当点Q 在y 轴上时，横坐标为0 ，即6
1
0
x + =
，解得
1
6
x = −
；
当点Q 在x 轴上时，纵坐标为0 ，即10
3
0
x +
=
，解得
3
10
x = −
．
三、解答题
6．已知平面直角坐标系中，
(
)
,
A a b ，
(
)
,1
B c
，且(
)
2
2
2
4
0
a
b
a
c
b
+
+
+
+
−
=
．
(1)直接写出A，B 两点坐标：A（____，_____），B （____，_____），并在图（1）中画出点A，点B ；
(2)连接AB ，OA，OB ，直线AB 交y 轴于点C ，交x 轴于点D ．
①求ABO
的面积；
②求点C，点D 的坐标；
(3)点P 是射线AB 上不与点A重合的一动点，连接OP ，当
2
5
BOP
AOP
S
S
△
△
时，直接写出P 点横坐标
P
x 的取
值范围．
【答案】(1) 2
−；4；1；1
试卷第73 页，共83 页
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(2)①3；②
(
)
0,2
C
；
(
)
2,0
D
.
(3)
1
2
7
P
x
−
或
3
P
x
.
【分析】（1）根据非负性进行求解即可；
（2）①分割法求面积即可；②等积法求出
,
OC OD 的长，进而求出
,
C D 的坐标；
（3）分点P 在线段AB 上和点P 在线段AB 的延长线上，两种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）解：∵(
)
2
2
2
4
0
a
b
a
c
b
+
+
+
+
−
=
．
∴2
0,
2
0,
4
0
a
b
a
c
b
+
=
+
=
−
=
，
∴
2,
4,
1
a
b
c
= −
=
= ，
∴
(
)
(
)
2,4 ,
1,1
A
B
−
，
画图略；
（2）解：①作AE
x
⊥
轴，BF
x
⊥
轴，
由（1）知：
(
)
(
)
2,4 ,
1,1
A
B
−
；
∴
4,
2,
1,
1
AE
OE
OF
BF
=
=
=
= ，
∴
3
EF =
∴ABO
的面积
(
)
1
1
1
1 4
3
1 1
2 4
3
2
2
2
=
+
−
−
=
；
②∵ABO
的面积
(
)
1
1
1 2
3
2
2
B
A
OC x
x
OC
=
−
=
+
=
，
∴
2
OC =
，
∴
(
)
0,2
C
；
试卷第74 页，共83 页
∵OCD
的面积
1
1
1
2
2
2
B
B
OC x
OD y
OC OD
=
+
==
，
∴1
1
1
2 1
1
2
2
2
2
OD
OD
+
=
，
∴
2
OD =
，
∴
(
)
2,0
D
.
（3）解：当点P 在线段AB 上，即2
1
P
x
−
，且
2
5
BOP
AOP
S
S
=
时，
则
7
3
5
AOB
AOP
POB
AOP
S
S
S
S
=
+
=
=
，
∴
15
7
AOP
S
=
，
∵
1
2 2
2
2
AOC
S
=
=
，
∴
1
1
2
7
2
POC
POA
COA
P
S
S
S
x
=
−
=
=
，
∴
1
7
P
x =
，
∴
1
2
7
P
x
−
时，满足要求；
当点P 在线段AB 的延长线上，即
1
Px ，且
2
5
BOP
AOP
S
S
=
时，
则
3
3
5
AOB
AOP
POB
AOP
S
S
S
S
=
−
=
=
，
∴
5
AOP
S
=
，
∴
1
3
2
2
POC
POA
COA
P
S
S
S
x
=
−
=
=
，
∴
3
P
x =
，
∴当
3
P
x
时，满足题意；
综上：
1
2
7
P
x
−
或
3
P
x
.
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点
(
)
,2
A a
，
(
)
0,
B
b ，且
5
4
0
a
b
+
+
−
=
．
(1)点A坐标________、点B 的坐标________；
试卷第75 页，共83 页
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(2)如图，
(
)
,0
C m
是x 轴正半轴上一点，AC 与y 轴交于点D ，当
1
2
AD
CD =
时，
①ABD
与BCD
面积之比为________．
②求ABC
的面积；
③求出点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，P 为y 轴上一动点，设P 的纵坐标为t ，当t 取何范围时，
2
ACP
ABC
S
S
△
△
，请直接写
出t 的取值范围．
【答案】(1)(
)
5 2
,
−
，(
)
0 4
,
(2)①1:2，②
20
ABC
S
=
，③点D 的坐标为
4
0 3
,
(3)
20
4
t
3
−
【分析】（1）利用算术平方根与绝对值的非负性，列方程求出a 、b ，直接得到A、B 两点坐标；
（2）①根据等高三角形面积比等于对应底边长之比，结合线段比例直接得到两个三角形面积之比；
②过点A作AE
x
⊥
轴于点E ，根据
ABC
BOC
AEC
AEOB
S
S
S
S
=
+
−
梯形
即可求出答案；
③设D点纵坐标，拆分AOC
为两个小三角形，结合面积比例列方程求解，得到D 点坐标；
（3）设y 轴动点P 纵坐标为t ，分割ACP
表示出面积，结合面积不等关系列出绝对值不等式，解不等式得
到t 的取值范围．
【详解】（1）解：
5
0
a +
，|
4 | 0
b −
，且
5
|
4| 0
a
b
+ +
−
=
，
两个非负数均为0 ，即
5
0
4
0
a
b
+
=
−
=
，
解得
5
a
−
=
，
4
b =
，
点A坐标为(
)
5,2
−
，点B 坐标为(
)
0,4 ；
（2）解：①ABD
和BCD
有公共顶点B ，底边AD、CD在同一条直线AC 上，因此两个三角形的高（点
B 到直线AC 的垂线段长度）完全相等，
面积比就等于底边长的比，
1:2
:
:
ABD
BCD
C
S
AD
S
D
=
=
；
②过点A作AE
x
⊥
轴于点E ，
试卷第76 页，共83 页
∴AE
BO
∥
，
∴
(
)
(
)
1
1
2
4
5
15
2
2
AEOB
S
AE
OB
EO
=
+
=
+
=
梯形
，
∵
1
1
4 10
20
2
2
BOC
S
OB OC
=
=
=
，
(
)
1
1
2
5 10
15
2
2
AEC
S
AE
EC
=
=
+
=
，
15
20 15
20
ABC
BOC
AEC
AEOB
S
S
S
S
=
+
−
=
+
−
=
梯形
；
③设D点坐标为(
)
0,d ，即
(
)
0
OD
d d
=
，
以OC 为底，高是点A的纵坐标2 ，
10 2
10
2
AOC
S
=
=
，
:
1:2
AOD
COD
S
S
=
，
可得
1
10
10 1 2
3
AOD
S
=
=
+
，
又
1
5
5
2
2
AOD
d
S
OD
=
=
，
5
10
2
3
d
=
，
解得
4
3
d =
，
点D的坐标为
4
0, 3
；
（3）解：设点P 坐标为(
)
0,t ，
ACP
ADP
CDP
S
S
S
=
+
△
△
△
，
ADP
与CDP
以PD为公共底，高分别为点A、点C 到y 轴的距离5和10，
1
1
15
4
5
10
2
2
2
3
ACP
S
PD
PD
t
=
+
=
−
，
由题意
2
ACP
ABC
S
S
△
△
，且2
40
ABC
S
=
，
试卷第77 页，共83 页
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代入得：15
4
40
2
3
t −
，
整理得
4
16
3
3
t −
，
即
16
4
16
3
3
3
t
−
−
，
解得
20
4
3
t
−
．
8．在平面直角坐标系中，(
)
,6
A m
，
(
)
,0
B n
，其中m ，n 满足
4
8
0
m
n
−
+
−
=
．
(1)如图1，已知点
(
)
2, 5
C −
−
，求ABC
的面积；
(2)如图2，过点A向y 轴作垂线，垂足为D ，请问在x 轴的上方是否存在点E ，使EAD
与EOB
的面积相
等，且
EAB
△
的面积是EOD
面积的3 倍？若存在，求出E 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)40
(2)存在，
5 ,2
3
E
或
10 ,2
3
−
【分析】
（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得
(
)
4,6
A
，(
)
8,0
B
，如图，作梯形AMNC ，其中AM
CN
∥
，
AM
MN
⊥
，CN
MN
⊥
，进一步利用割补法求解面积即可；
（2）由题意可得：E 必在AD和OB 之间，由
ADE
EOB
S
S
=
，(
)
4,6
A
，(
)
8,0
B
，AD
y
⊥
轴，可得：
2
E
y =
，
8
ADE
EOB
S
S
=
=
，再分两种情况：如图，当E 在四边形ABOD 内时，且在OD 右侧，如图，当E 在四边形
OD 左侧时，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵
4
8
0
m
n
−
+
−
=
，
∴
4
0
m−
=
，
8
0
n−= ，
解得
4
m =
，
8
n = ，
∴
(
)
4,6
A
，
(
)
8,0
B
，
如图，作梯形AMNC ，其中AM
CN
∥
，AM
MN
⊥
，CN
MN
⊥
，
试卷第78 页，共83 页
∴
(
)
1
1
1
2
2
2
ABC
AMB
BNC
AMNC
S
S
S
S
AM
NC MN
AM MB
BN NC
=
−
−
=
+
−
−
梯形
40
=
.
（2）解：由题意可得：E 必在AD和OB 之间，
∵
ADE
EOB
S
S
=
，
(
)
4,6
A
，(
)
8,0
B
，AD
y
⊥
轴，
∴
(
)
(
)
1
1
2
2
D
E
E
O
AD
y
y
OB
y
y
−
=
−
，
∴
(
)
(
)
1
1
4 6
8
0
2
2
E
E
y
y
−
=
−
，
解得：
2
E
y =
，
∴
8
ADE
EOB
S
S
=
=
，
如图，当E 在四边形ABOD 内时，且在OD 右侧，
∴
1
3
2
ODE
E
E
S
DO x
x
=
=
，
(
)
1 4 8
6
36
2
ABOD
S
=
+
=
梯形
，
∴
ABE
ADE
OBE
DOE
ABOD
S
S
S
S
S
=
−
−
−
=
梯形
36 8 8 3 E
x
−−−
，
∵
EAB
△
的面积是EOD
面积的3 倍，
∴36 8 8 3
3 3
E
E
x
x
−−−
=
，解得
5
3
E
x =
；
∴
5 ,2
3
E
，
如图，当E 在四边形OD 左侧时，
小学
初中
试卷第79 页，共83 页
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∴
(
)
1
3
2
ODE
E
E
S
DO
x
x
=
−
= −
，
ABE
DOE
ADE
OBE
ABOD
S
S
S
S
S
=
+
−
−
=
梯形
36 3
8 8
E
x
−
−− ，
同理：
(
)
36
3
8
8
3
3
E
E
x
x
−
−−
= −
，
解得
10
3
Ex = −
；
∴
10 ,2
3
E
−
，
综上
5 ,2
3
E
或
10 ,2
3
−
．
一、单选题
1．点(
)
2,5 所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】根据各象限点的横纵坐标符号特点第一象限(
)
,
+ + ；第二象限(
)
,−+ ；第三象限(
)
,−−；第四象限(
)
,
+ −,
即可判断．
【详解】解：点(
)
2,5 所在象限为第一象限．
2．如图为省城迎泽公园部分景点分布示意图．将其放在平面直角坐标系内，若用(
)
5,3
−
表示赏荷栈道的位
置，用(
)
4, 2
−
−
表示泽众书院的位置，则中国共产党太原历史展览馆的位置表示为（ ）
试卷第80 页，共83 页
A．(
)
3,0
B．(
)
3,1
C．(
)
2,1
D．(
)
1,3
【答案】B
【分析】根据题干给出的坐标确定平面直角坐标系，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，作图如下，
∴中国共产党太原历史展览馆的位置表示为(
)
3,1 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标是（ ）
A．( 3, 2)
−
−
B．( 3,2)
−
C．(3,2)
D．(3, 2)
−
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键．
根据点P 所在的象限，结合点P 到x 轴、y 轴的距离即可求解．
【详解】解：由坐标系可得点P 在第一象限，且横坐标为3，纵坐标为2 ，
∴点P 的坐标是(3,2) ，
故选：C．
试卷第81 页，共83 页
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4．在平面直角坐标系xOy 中，点(
)
2
2,
1
P
a
−
+
所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点
的符号特点，是解题的关键．
【详解】解：∵(
)
2
2,
1
P
a
−
+
，2
0
−
，
2
1
0
a +
，
∴点(
)
2
2,
1
P
a
−
+
在第二象限；
故选B．
5．在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P 到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5，则点P 的坐标是
（ ）
A．(4
5)
−
，
B．(5,
)
−4
C．( 4 5)
−，
D．( 5, )
−
4
【答案】D
【分析】设P 点坐标为(
)
,x y ，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可．
【详解】解：设P 点坐标为(
)
,x y ，
∵点P 在第二象限内，
∴
0
x
，
0
y
，
∵点P 到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5，
∴
= 4
y
，
5
x =
，
∴
4
y =
，
5
x = −，
即P 点坐标为( 5, )
−
4 ，
故选：D
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对
值是解题的关键．
二、填空题
6．点
(
)
1,
2
P
a +
在第一象限，则实数a 的取值范围是___________．
【答案】
2
a −
试卷第82 页，共83 页
【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可．
【详解】解：点
(
)
1,
2
P
a +
在第一象限，
2
0
a+
，
解得
2
a −，
故答案为：
2
a −
7．若点
(
)
3
1 2
P
m
m
+
−
，
在x 轴上，则点P 的坐标是________．
【答案】(
)
7 0
，
【分析】本题考查了点的坐标，根据在x 轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算得出m 的值，再代入点P
的横坐标，即可作答．
【详解】解：∵点
(
)
3
1 2
P
m
m
+
−
，
在x 轴上，
∴2
0
m
−
=
解得
2
m =
把
2
m =
代入3
1
m+ ，得3
1
3 2 1
7
m+ = + =
∴
(
)
7 0
P
，
故答案为：(
)
7 0
，
8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种
运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy 中，将
点(
)
,x y 中的x ，y 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x ，y 均为正整数．例
如，点(
)
6,3 经过第1 次运算得到点(
)
3,10 ，经过第2 次运算得到点(
)
10,5 ，以此类推．则点(
)
1,4 经过2024
次运算后得到点________．
【答案】(
)
2,1
【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规
律求解即可．
【详解】解：点(
)
1,4 经过1 次运算后得到点为(
)
1 3 1,4
2
+
，即为(
)
4,2 ，
经过2 次运算后得到点为(
)
4
2,2 1
，即为(
)
2,1 ，
经过3 次运算后得到点为(
)
2
2,1 3 1
+
，即为(
)
1,4 ，
试卷第83 页，共83 页
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……，
发现规律：点(
)
1,4 经过3 次运算后还是(
)
1,4 ，
∵2024 3
674
2
=
，
∴点(
)
1,4 经过2024 次运算后得到点(
)
2,1 ，
故答案为：(
)
2,1 ．
