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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 28.2.3 关于原点对称点的坐标 （教学设计） 1.教学内容 本节课选自人教版2024版九年级上册第28章《旋转》28.2节第三课时28.2.3 关于原点对称点的坐标，是中 心对称知识在平面直角坐标系中的具体应用.核心教学内容包括：探究平面直角坐标系内关于原点对称的点 的坐标规律、熟记坐标变换公式、利用规律求对称点坐标、在坐标系中作关于原点对称的几何图形，同时 对比梳理关于x轴、y轴、原点对称的三种坐标变换区别.节课实现了几何图形变换与代数坐标运算的结合， 是数形结合思想的典型应用，也是中考坐标几何题型的基础考点. 2. 内容解析 本节课前已经学习了旋转、中心对称、中心对称图形的几何性质，本节课将几何直观的中心对称变换，转 化为可量化、可计算的坐标代数规律，完成从“几何图形观察”到“代数公式运算”的进阶，是旋转章节 知识的收尾与落地应用.学生已掌握平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，本节课新增原点 对称坐标规律，完善初中平面直角坐标系三大对称变换知识体系，为后续函数图像对称变换、几何综合计 算奠定基础.本节课采用“复习旧知—描点探究—归纳规律—例题应用—作图巩固”的流程，由特殊点到一 般规律，由坐标计算到图形作图，层层递进，重点培养学生数形结合、归纳推理的核心素养. 基于以上分析，本节课的教学重点掌握点关于原点对称的坐标变化规律并熟练应用，利用坐标规律求对称 点坐标、作关于原点对称的几何图形. 1. 教学目标 （1）理解平面内点关于原点对称的坐标变化规律，熟记公式：点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y).能 熟练求出任意点关于原点的对称点坐标，能根据两点原点对称的关系求解参数、未知数.掌握在平面直角坐 标系中，作几何图形关于原点对称图形的规范步骤.能精准区分关于x轴、y轴、原点对称的三种坐标变换规 律，避免混淆. （2）通过动手描点、计算对比、小组归纳，经历原点对称坐标规律的推导全过程，培养观察归纳、数形结 合的探究能力.通过例题实操、规范解题，掌握坐标变换类题型的解题思路，提升几何与代数结合的综合应 用能力. （3）感受几何变换与代数运算的内在联系，体会数学的统一性、简洁性.在规律探究和辨析对比中，培养 严谨的数学思维，养成规范解题、规范作图的学习习惯. 2.目标解析 目标1立足中心对称几何性质与坐标轴对称旧知，落地原点对称坐标核心公式，补齐初中坐标对称知识体系， 夯实中考基础题型考点. 目标2打破几何与代数的知识壁垒，让学生学会用代数坐标解决几何变换问题，提升数形结合解题能力，突 破只会看图、不会计算的思维短板. 目标3渗透特殊到一般、类比归纳、数形结合的数学思想，培养学生几何直观、逻辑推理、数学运算三大核 心素养，适配九年级几何综合学习要求. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学生已熟练掌握平面直角坐标系基本概念、x轴与y轴对称的坐标规律，同时精通中心对称的几何性质，具 备充足的新旧知识衔接基础，能够理解“原点对称本质是绕原点旋转180°的中心对称变换”.九年级学生 具备自主描点、观察对比、归纳规律的探究能力，能快速掌握简单坐标公式的直接应用.学习过程中学生极 易混淆三种对称的坐标变化规律（x轴对称变纵号、y轴对称变横号、原点对称全变号）；面对含参数、含 相反数的综合题型时，无法灵活套用公式；作图时容易出现顶点坐标计算错误、连线不规范等问题. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是区分x轴、y轴、原点三种对称的坐标规律，避免公式混用；灵活 利用原点对称坐标规律解决含参数的综合计算问题. 复习旧知、类比导入 1. 旧知复习 （1）提问：点关于x轴、y轴对称的坐标规律是什么？ 关于x轴对称，横不变、纵相反；关于y轴对称，纵不变、横相反. （2）回顾：中心对称的本质是什么？ 图形绕定点旋转180°后与另一图形重合，对应点连线过对称中心且被平分. 2. 设问启思：在平面直角坐标系中，若将一个点绕坐标原点旋转180°，得到它的对称点，横纵坐标会发 生怎样的变化？ 3. 导入课题：今天我们探究中心对称在坐标系中的应用——关于原点对称点的坐标. （设计意图：复习坐标轴对称规律与中心对称几何本质，搭建新旧知识桥梁，降低新知探究难度；通过针 对性设问制造认知悬念，引导学生主动思考，自然衔接本节课核心探究内容.） 探究点1 原点对称坐标规律 活动1. 探究 如图，在平面直角坐标系中，作出下列已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标.A(4， 0)，B(0，-3)，C(2，1)，D(-1, 2)，E(-3，-4).这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ 动手实操：学生在坐标系中描出以下各点：A(2,1)、B(-1,3)、C(-2,-2)、D(4,-3)，分别画出各点绕原点 旋转180°后的对称点. 师生共同整理坐标，观察变化规律. 归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y），关于原点的对称点为P'（-x，-y). 口诀：原点对称，横纵全变号. （设计意图：通过学生亲手描点、观察、对比、归纳，让学生自主推导规律，替代被动记忆公式，深度理 解公式由来，落实特殊到一般的数学思想.） 探究点2 三种对称规律对比辨析 师生共同梳理核心区别，突破易错混淆点： 1. 关于x轴对称：P(x,y)→(x,-y)（横不变，纵变号） 2. 关于y轴对称：P(x,y)→(-x,y)（纵不变，横变号） 3. 关于原点对称：P(x,y)→(-x,-y)（横纵全变号） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （设计意图：集中对比三类对称规律，从根源上解决学生公式混用的易错问题，构建完整的坐标对称知识 体系.） 探究点3 关于原点对称的点的坐标的应用 问题：利用关于原点对称点，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图形，对于一些规 则几何图形，与在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形类似，只要先求出已知图形中的一些特殊点 （如多边形的顶点）关于原点对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于原点对称 的图形. 解决问题：如图，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出△ABC关于原点对称的图形. 解决问题的依据：直接套用“横纵坐标全部变相反数”的规律即可求解. 具体解决方法：点P(x，y)关于原点的对称点为P'(-x，-y)，因此△ABC的三个顶点A（-4，1)，B（-1，-1)， C（-3，2)关于原点的对称点分别为A'(4，-1)，B'1，1)，C'(3. -2)，依次连接A'B'，B'C'，C'A'，就可 得到与△ABC关于原点对称的△A'B'C. (设计意图:让学生通过数形结合，落实本节课重点知识.) 典型例题 例1.已知点P(a+1,2)与点Q(-3,b-2)关于原点对称，求a、b的值。 【分析】本题为中档综合题型，考查原点对称规律的逆向应用，利用“对称点横、纵坐标分别互为相反数” 列方程求解参数，实现几何规律与代数方程的结合. 【详解】解：∵ 点P与点Q关于原点对称 ∴ 两点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数可得方程组： a+1+(-3)=0，2+(b-2)=0 解得：a=2，b=0 答：a的值为2，b的值为0. 例2.如图， 各顶点的坐标分别为 ， ， ． (1)将 先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到 ，请在平面直角坐标系中画出 ； (2)将 绕点 逆时针旋转 后得到 请在平面直角坐标系中画出 ； (3)若 与 关于原点中心对称，则点 的坐标为________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】对于（1），根据点的平移规则：横坐标右移加、纵坐标下移减，计算出A、B、C平移后的对应点 坐标，再顺次连接三点得到平移后的三角形． 对于（2），先确定旋转中心，再根据绕定点逆时针旋转 的坐标变换规则，分别计算A、B、C旋转后的对 应点坐标，顺次连接三点得到旋转后的三角形． 对于（3），因为关于原点中心对称的点横、纵坐标均互为相反数，所以直接根据点A的坐标计算其中心对 称点的坐标． 【详解】（1）解：根据平移规则，点 向下平移4个单位、向右平移1个单位后坐标变为 ， 计算得 各顶点坐标： ， ， ， 在坐标系中描点顺次连线即可得到所求三角形． （2）解：将 各顶点与旋转中心 连接， 将线段绕旋转中心逆时针旋转 ，得到 各顶点坐标： ， 描点顺次连线即可得到 ． （3）解：关于原点中心对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数， ∴ 各顶点坐标为 ， 描点顺次连线即可得到 ， 的坐标为 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (设计意图：通过不同形式的练习，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验) 课本P104课堂练习. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的 理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ． (1)画出 关于原点 对称的 ；（点 、 、 的对应点分别为 、 、 ） (2)将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，画出 并写出点 的坐标．（点 、 的对应点 分别为 、 ）. 【详解】(1)如图所示， 即为所求， (2)如图所示， 即为所求， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （设计意图：强化对概念的理解与拓展） 1.（25-26潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ． (1)描出点 ， ， ，并画出 ； (2)将 向右平移4个单位得到 ，再画出 关于点 成中心对称的 ； (3)若 为 边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为 ，则 的坐标为______． 【详解】(1)点 ， ， ， 即为所求， (2) ， 即为所求， （3）解：∵ 为 边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴点 的坐标为 ，即 ． 2．（25-26.河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， （每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的 ； (2)画出 关于原点O成中心对称的 ； (3)将 绕点C逆时针旋转 ，画出旋转后得到的 ； 【详解】(1)如图， 为所求 (2)如图， 为所求 (3)如图， 为所求 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3．（25-26.阜新期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示 的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上． (1)将 向右平移4个单位长度得到 ，请画出 ； (2)画出 关于点O的中心对称图形 ； (3)点M、N是x轴上的动点（点M在点N的左边），且 ，直接写出 的最小值____________． 【详解】(1) (2) （3）解：如图，将点 向右平移一个单位得 ，过点 作关于x轴的对称点 ，连接 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 与x轴交点N， ∴ ， ∴ ， ∴当点 ，N，C三点共线时， 有最小值，最小值为 的长度， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检 验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）核心规律：点P(x,y)关于原点对称点为P'(-x,-y)，横纵坐标全部变号；（2）核心技能： 能快速求任意点的原点对称坐标、能独立完成坐标系图形原点对称作图；（3）综合能力：能利用原点对称 规律列方程，求解参数、未知数；（4）规律辨析：熟记x轴、y轴、原点三类对称坐标变化区别. 思想方法：（1）数形结合思想：将图形180°旋转变换，转化为代数坐标运算，以数解形、以形助数；（2） 特殊到一般思想：通过特殊点坐标探究，归纳出通用坐标变换公式；（3）类比归纳思想：类比坐标轴对称 规律，对比学习原点对称规律，构建系统知识框架. 易错提醒：（1）规律混淆：x轴对称变纵号、y轴对称变横号、原点对称全变号，严禁混用公式；（2）符 号错误：负数、0的对称坐标计算易出错，牢记“互为相反数”；（3）作图误区：必须先求所有顶点对称 坐标，不可凭肉眼大致画图，顶点遗漏、连线混乱；（4）逆向误区：两点关于原点对称，需横、纵坐标分 别互为相反数，单一坐标相反不成立. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题28.2.第3、4、9题. 探究性作业：阅读与思考、信息技术应用 （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 28.2.3 关于原点对称点的坐标 一、核心规律 二、三类对称对比 副板书 例题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 三、核心应用 四、易错点 学生练习板演
