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23.2-23.3 中心对称 课题学习 图案设计
考点一．中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中
心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）．
技巧：轴对称与中心对称的区别
轴对称：两个图形关于一条直线对称，沿该直线翻折，两图形重合；关于一条直线对称的两个图形，对应点的
连线被对称轴垂直平分．
中心对称：两个图形关于一点对称，沿该点旋转180°，两个图形重合，关于一点对称的两个图形，对应点的连
线被对称中心平分．
考点二．关于中心对称的图形的性质
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；
（3）关于中心对称的两个图形是全等图形．
技巧：．确定对称中心的方法
（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点是对称中心．
（2）连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心．
考点三．利用尺规作关于中心对称的图形
这类问题应首先明确对称中心的位置，再利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各
个关键点的对应点，最后按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来．
考点四．中点对称图形
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
这个点就是对称中心．
考点四．关于原点对称的点的坐标特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标符合相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）．
考点五．图案设计图案的设计与日常生活息息相关，通常是利用基本图形的变换来完成设计工作．图形之间基本变换关系有轴对
称、平移、旋转这三种基本形式，也有很多图形的形成是经过 n次变换复合而成的，其复合形式灵活多样，我
们可以根据各自的审美情趣，创造出各种各样的图案．
技巧：利用基本图案进行组合设计
几个基本图案组合在一起，可能形成一个复合型图案，我们还可以进行多次变换，设计出较大型美丽图案．
题型一、中心对称与中心对称图形
1．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
3．（2022·河北唐山·二模）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型二、关于原点对称的点的坐标
4．（2022·全国·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，已知点A（－3，1）与点B关于原点对称，则点B的坐
标为（ ）A．（1，－3） B．（－1，3） C．（－3，－1） D．（3，－1）
5．（2022·全国·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点成中心对称，则 的
值为（ ）
A． B． C．1 D．3
6．（2022·广西河池·九年级期末）如图，线段 与线段 关于点 对称，若点 、 、 ，
则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
题型三、设计图形
7．（2021·全国·九年级期末）如图，图2的图案是由图1中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是
（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③⑤
8．（2021·全国·九年级专题练习）下列图形中不是由平移设计的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·九年级专题练习）关于这一图案，下列说法正确的是（ ）A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的
B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的
C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的
D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的
题型四、中心对称的性质
10．（2018·福建龙岩·九年级期末）如图，在面积为12的□ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋
转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE=2EB，则图中阴影部分的面积等于（）
A．3 B．1 C． D．
11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形 中， ， ， 是矩形的对称中心，点 、
分别在边 、 上，连接 、 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·山东临沂·二模）如图，正方形ABCD的边长为 ，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，
分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）A． B． C． D．
题型五：中心对称的规律问题
13．（2022·河南郑州·九年级期末）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称
中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第 次旋转后得到的图
形与图①～④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
14．（2021·山东济宁·一模）如图，平面直角坐标系中， OAB 是边长为2的等边三角形，作 BAB 与 OAB
1 1 2 2 1 1 1
关于点B 成中心对称，再作 BAB 与 BAB 关于点B △成中心对称，如此作下去，则 Bn A△nBn（n是△正整
1 2 3 3 2 2 1 2 2 ﹣1 2 2
数）的顶点An的坐标是（ △ ） △ △
2
A．（4n﹣1，﹣ ） B．（4n﹣1， ） C．（4n+1，﹣ ） D．（4n+1， ）
15．（2022·全国·九年级课时练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取
定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段
OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型六：中心对称的综合问题
16．（2022·北京市广渠门中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为
， ， ．
(1)将△OAB绕点O顺时针旋转 得到 ，点A旋转后的对应点为 ．画出旋转后的图形 ，并写出点
的坐标；
(2)△OAB关于点O中心对称得到 ，点B的对称点为 ．画出中心对称后的图形 ，并写出点 的
坐标．
17．（2022·福建省福州第十九中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为A
（-1，0），B（-4，1），C（-2，2）． △(1)直接写出点B关于点C对称的点 的坐标：___________；
(2)平移 ABC，使平移后点A的对应点 的坐标为（2，1），请画出平移后的 ；
△ △
(3)画出 ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的 ．
△ △
18．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且与x轴交于点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点 旋转 ，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结 ，当四边形 为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线 上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点
的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．一、单选题
19．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是
（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·山西·大同市第六中学校九年级开学考试）已知点A关于原点对称点的坐标为（a，b），那么点A关于
y轴对称点的坐标是（ ）
A．（a，﹣b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，b）
21．（2022·全国·九年级专题练习）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所
示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序号可以相
同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（ ）
A．②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①③④
22．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为
A（ ，0），B（ ，1），C（ ，2）． △(1)直接写出点B关于点C对称的点 的坐标：________；
(2)请画出 ABC关于点O成中心对称的 ；
△
(3)画出 ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的 ．
△
一：选择题
23．（2022·吉林·农安县第一中学一模）如图，在4×4的方格纸中， 的三个顶点都在格点上．
图1 图2 图3
(1)在图1中，画出一个与 成中心对称的格点三角形；
(2)在图2中，画出一个与 成轴对称且与 有公共边的格点三角形；
(3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形．
24．（2022·全国·九年级专题练习）边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是
交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积
和为（ ）A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π
25．（2022·湖北·武汉市武珞路中学九年级阶段练习）已知点P（a+1，2a-3）关于原点的对称点在第二象限，则a
的取值范围是（ ）
A．a＜-1 B．-1＜a＜ C．- ＜a＜1 D．a＞
26．（2021·全国·九年级专题练习）小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九
个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
27．（2020·全国·九年级课时练习）如图，在4× 4的网格纸中， ABC的三个顶点都在格点上．现要在这张网格
纸中找出一格点作为旋转中心，绕着这个中心旋转后的三角形的△顶点也在格点上，若旋转前后的两个三角形构成
中心对称图形，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．20个
28．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点
B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（ ）A．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形
29．（2022·安徽淮南·九年级阶段练习）如图， ABC与 关于O成中心对称，下列结论中不成立的是
（ ） △
A． B．
C．点B的对称点是 D．
30．（2022·河北保定·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知点 和点 ，则A、B两点（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线 对称
31．（2022·全国·九年级单元测试）如图，已知等边 和等边 ，其中A、B、D三个点在同一条直线上，
且 ，连接AE、CD．则下列关于图形变换的说法正确的是（ ）
A． 可看作是 沿AB方向平移所得
B． 和 关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称
C． 可看作是由 绕点B顺时针方向旋转60°所得
D． 和 关于点B成中心对称
二、填空题
32．（2022·福建省福州第十九中学九年级开学考试）在平面直角坐标系中，点（3，-2）关于原点对称的点的坐标是________．
33．（2022·全国·九年级单元测试）如图，平行四边形的中心在原点， ，D（3，2），C（1，﹣2），则
A点的坐标为________，B点的坐标为________．
34．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， PQR是 ABC经过某种变换后得到的图形，观
察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这△种变换下△，如果 ABC中任意一点M的坐标为
（x，y），那么它的对应点N的坐标是________． △
35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称
点是点 ，AB⊥a于点B， 于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为___．
36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为
1，△ABC经过平移后得到△ABC ，若AC上一点P(1.2，1.4)平移后对应点为P、点P 绕原点顺时针旋转180°，
1 1 1 1 1
对应点为P，则点P 的坐标为__________．
2 237．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、F分别在
边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为__________．
38．（2022·全国·九年级专题练习）如图， 为 的对角线，点P为 内一点，连接 、 、 、
，若 和 的面积分别为3和13，则 的面积为_________．
39．（2022·湖南娄底·一模）已知在 中， ， ， ．点 为边 上的动点，点F
为边 上的动点，则线段 的最小值是__________．
三、解答题
40．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，AD BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E
中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．(1)填空：E是线段CD的 ，点A与点F关于点 成中心对称，若AB＝AD+BC，则 ABF是 三角形．
(2)四边形ABCD的面积为12，求 ABF的面积． △
41．（2022·全国·九年级专题练习△）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度． 的三个顶点
， ， ．
(1)画出 关于点C成中心对称的 ，并写出点 的坐标；
(2)平移 ，使点A的对应点 坐标为 ，请画出平移后对应的 ，并写出点 的坐标；
(3)若将 绕某一点旋转可得到 ，则旋转中心P点的坐标是__________．
42．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形
ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．43．（2022·全国·九年级专题练习）如图,D是 ABC边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD，连接BE．
(1)图中哪两个图形成中心对称； △
(2)若 ADC的面积为4，求 ABE的面积．
△ △
44．（2021·全国·九年级课时练习）定义：将函数 的图象绕点 旋转 ，得到新的函数 的图象，我们称
函数 是函数关于点 的相关函数． 例如：当 时，函数 关于点 的相关函数为
．
当 ， 时
①一次函数 关于点 的相关函数 ；
②点 在函数关于点 的相关函数的图象上，求 的值．
函数 关于点 的相关函数 ，则 ；
当 时，函数 关于点 的相关函数的最大值为 ，求 的值．1．C
【分析】根据中心对称图形的特点逐项判断即可．
【详解】A．不是中心对称图形，故本项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3．B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；
C. 不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
D. 不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
4．D
【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点 B 的坐标．
【详解】解：∵点 A 坐标为（﹣3，1），
∴点 B 的坐标为（3，﹣1）．故选：D．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，
y）关于原点 O 的对称点是 P′（﹣x，﹣y）．
5．C
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得 的值即可求解．
【详解】解：∵点 与点 关于原点成中心对称，
∴ ，
，
故选C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，代数式求值，掌握关于原点对称
的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
6．C
【分析】先设出D（m，n），再利用中点坐标公式列出等式，求答案．
【详解】解：设D（m，n），
∵线段AB与线段CD关于点P对称，
点P为线段AC、BD的中点．
∴ ，
∴m=-a+2，n=-b，
∴D ，
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称，正确运用中点坐标公式是解题的关键．
7．B
【详解】试题分析：根据已知图形，利用分割与组合的原理对图形进行分析即可．
解：如图所示：图案甲是由左面的五种基本图形中的两种拼接而成的，
这两种基本图形是①③．
故选B．
点评：此题考查了平面图形的分割与组成，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
8．D
【分析】根据平移设计图案的定义即可依次判断．
【详解】A、B、C均是平移设计，D为旋转设计，
故选D．
【点睛】此题主要考查平移设计图案，解题的关键是熟知平移设计图案的特点．
9．A【详解】解：如图所示：可得图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的．故选A．
10．A
【详解】∵□ABCD，
∴AO＝OC,∠CAB＝∠DCO.
∵在 AOE和 COF中AO＝OC,∠CAB＝∠DCO，∠AOE＝∠COF.
∴△A△OE≌△CO△F.
∴S FCO＝S OAE.
∵面△积为12的△□ABCD，
∴S DAB＝6.
过点△D做DG⊥AB,OH⊥AB,
∵O为中点,
∴OH＝ DG.
∴S阴影＝SOAB＝ S DAB＝3.
△
故选A.
【点睛】本题考查的是平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
11．D
【分析】连接AC，BD，过点O作 于点 ，交 于点 ，利用勾股定理求得 的长即可解题．
【详解】解：如图，连接AC，BD，过点O作 于点 ，交 于点 ，
四边形ABCD是矩形，同理可得
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．
12．D
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，
利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：设正方形的中心为O，
连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．
∵正方形ABCD的边长为 ，AC是正方形的对角线，
∴BD= ，
∵直线EF经过正方形的中心O，
∴OB=OD=2，
∵M是OB中点，
∴OM=BM=1，
∵EF⊥BG，
∴ ，
∵Rt△BHM是等腰直角三角形，
∴MH=BH= ，AH= ，由勾股定理可得MA= ，
∵AG≥AM-MG= ，
当A，M，G三点共线时，AG最小= ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出
AM，MG的值．
13．B
【分析】探究规律后利用规律解决问题即可．
【详解】观察图形可知每4次循环一次， ，
∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题．
14．A
【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A，B 的坐标，再根据中心对称性得出点A，
1 1 2
点A，点A 的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案．
3 4
【详解】∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴A 的坐标为 ，B 的坐标为（2，0），
1 1
∵△BAB 与△OAB 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
2 1 1
∵2×2﹣1＝3，纵坐标是- ，
∴点A 的坐标是 ，
2
∵△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称，
2 3 3 2 2 1 2
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
3 2 2
∵2×4﹣3＝5，纵坐标是 ，
∴点A 的坐标是 ，
3
∵△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称，
3 4 4 3 3 2 3
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
4 3 3
∵2×6﹣5＝7，纵坐标是- ，∴点A 的坐标是 ，
4
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，An的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1，
2
∵当n为奇数时，An的纵坐标是 ，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣ ，
∴顶点An的纵坐标是﹣ ，
2
∴顶点An的坐标是 ．
2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标
是解题的关键．
15．B
【分析】根据中心对称的性质解答即可．
【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），
由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．
16．(1) ，图见解析
(2) ，图见解析
【分析】（1）将点A，点B分别绕点O顺时针旋转 得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可，根据点 在
坐标系中的位置写出坐标；
（2）分别作出点A，点B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可，根据点 在坐标系中的位置写出坐标．
（1）
解：旋转后的图形 如下图所示， ；（2）
解：中心对称后的图形 如下图所示， ．
【点睛】本题考查作旋转图形以及中心对称图形，解题的关键是掌握旋转变换的特点．
17．(1)（0，3）
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质即可写出点B关于点C对称的点 的坐标；
（2）根据平移的性质即可平移 ABC，使平移后点A的对应点 的坐标为（2，1），进而画出平移后的 ；
△ △
（3）根据旋转的性质即可画出 ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的 ．
△ △
（1）
解：点B关于点C对称的点 的坐标为（0，3）；
故答案为：（0，3）；
（2）解：如图所示，△ 即为所求；
；
（3）
解：如图所示，△ 即为所求．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
18．(1) （或 ）
(2)① ，②存在符合条件的点Q，其坐标为 或 或
【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为 ，再把 代入即可得
出答案；
（2）①过点 作 轴于点E，根据 ，又因为 ，证明出
，从而得出 ，将 ， ， 代入即可求出m的值；
②根据上问可以得到 ，点M的横坐标为4， ，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以
分为三种情况讨论：1）当以 为边时，存在平行四边形为 ；2）当以 为边时，存在平行四边形为
；3）当以 为对角线时，存在平行四边形为 ；即可得出答案．
（1）
∵二次函数的图象的顶点坐标为 ，
∴设二次函数的表达式为 ，又∵ ，∴ ，
解得： ，
∴ （或 ）；
（2）
①∵点P在x轴正半轴上，
∴ ，
∴ ，
由旋转可得： ，
∴ ，
过点 作 轴于点E，
∴ ， ，
在 中， ，
当四边形 为矩形时， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
②由题可得点 与点C关于点 成中心对称，
∴ ，∵点M在直线 上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）、当以 为边时，平行四边形为 ，
点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴ 代入 ，
解得： ，
∴ ，
2）、当以 为边时，平行四边形为 ，
点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴ 代入 ，
解得： ，
∴ ，
3）、当以 为对角线时，
点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴ 代入 ，
得： ，
∴ ，
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性问题，
矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．
19．B
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可得．
【详解】A、不是中心对称图形，但是是轴对称图形，此项不符合题意；B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项符合题意；
C、不是中心对称图形，但是是轴对称图形，此项不符合题意；
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．
20．A
【分析】根据点A关于原点对称点的坐标为（a，b），关于原点对称点的横纵坐标都互为相反数，得到点A的坐
标为（-a，-b），根据关于y轴对称点的纵坐标相同横坐标互为相反数，得到点A关于y轴对称点的坐标是（a，-
b）．
【详解】∵点A关于原点对称点的坐标为（a，b），
∴点A的坐标为（-a，-b），
∴点A关于y轴对称点的坐标是（a，-b）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化——轴对称等，解决问题的关键是熟练掌握
关于原点对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标特征．
21．A
【分析】由题意画出图形可求解。
【详解】B选项拼图如下：
C选项拼图如下：
D选项拼图如下：故选：A．
【点睛】本题考查几何图形的想象能力，注意同一个序号的图形有两个时，两个都可以使用．
22．(1)（0，3）；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）根据中心对称的性质结合图形可得答案；
（2）根据中心对称的性质找出点A、B、C关于点O的对称点 、 、 的位置，顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点 、 、 的位置，顺次连接即可．
（1）
解：如图，点B关于点C对称的点 的坐标为 ；
（2）
解：如图所示， 即为所求；
（3）
解：如图所示， 即为所求．
【点睛】本题考查了作图—中心对称和旋转变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解题的关键．
23．(1)见解析(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图，以点C为对称中心画出 DEC；
（2）如图，以AC边所在的性质为对称轴画出△ ADC；
（3）如图，利用网格特点和平行四边形性质画△出点D，从而得到 .
(1)
解：如图，△DEC为所作；
(2)
解：如图， ADC为所作；
△
(3)
解：如图， 为所作.
【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此
可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了
轴对称变换．
24．B
【分析】首先发现A，B两种卡片阴影部分的面积和为边长为2的正方形的面积，然后确定2021张卡片中A，B组成正方形1010个，第2021个图形是A，由此列式计算即可．
【详解】解：2021÷2＝1010…1，
所以这个图案中阴影部分图形的面积和为：4×1010＋A的阴影面积，
是：4440＋4﹣π＝4044﹣π．
故选：B．
【点睛】本题考查图形的变化规律，得出A、B面积和是正方形是解题关键．
25．B
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出P点位置，进而得出答案．
【详解】解：∵点P（a+1，2a-3）关于原点的对称的点在第二象限，
∴点P在第四象限，
∴a+1＞0，2a-3＜0，
解得：-1＜a＜ ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，解不等式组，根据第四象限内点的特点，列出关于a的不等式
组，是解题关键．
26．D
【分析】把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，即为本题的选项．
【详解】解：∵将搭配①②③④组合在一起，正好能组合成九个空格的形状，
∴恰好能放入的有①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识．
27．C
【分析】根据中心对称的性质找到旋转中心即可得．
【详解】如图，
旋转中心有D、E、F、G四个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换以及中心对称图形问题，解答此题的关键是要明确：把一个图形绕某一点
旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
28．C【分析】根据对称中心和矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，以及菱形的判定可
得四边形BEDF的变化情况．
【详解】解：连接BD．
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BD经过点O，OD＝OB，AD BC，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴DF＝BE，
∵DF BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
观察图形可知，四边形BEDF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：C．
【点睛】本题考查对称中心、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，以及菱形的判
定，熟练掌握相关知识的联系与运用，结合图形中点E和F的位置变化得出结论是解答的关键．
29．B
【分析】根据中心对称的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵△ABC与 关于O成中心对称，
∴ ， ，点B的对称点 ，
故A，C，D正确，不符合题意．
∵ 和 不是对应角，
∴不一定相等，故B错误，符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查中心对称．掌握中心对称的性质是解题关键．
30．C
【分析】根据平面直角坐标系中点的变换规律解答即可．
【详解】解：∵点A（2，－1）与点B（－2，1）的横、纵坐标均为互为相反数，
∴点A与点B关于原点对称；故选C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，
横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横
坐标与纵坐标都互为相反数．
31．C
【分析】根据平移的性质、轴对称图形的识别和中心对称图形的识别可判断A、B、D；证明 ABE≌△CBD，根据
∠ABC＝60°结合旋转的性质可判断C． △
【详解】解：A、∵ ，
∴ 不能看作是 沿AB方向平移所得，说法错误；
B、∵ ，
∴ 和 不关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称，说法错误；
C、∵ 和 是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴ ABE≌△CBD（SAS），
又△∵∠ABC＝60°，
∴ 可看作是由 绕点B顺时针方向旋转60°所得，说法正确；
D、由中心对称的性质可知： 和 不关于点B成中心对称，说法错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质、旋转的性质、轴对称图形的识别、中心对称图形的识别以及全等三角形的判定，
熟练掌握平移的性质、旋转的性质、轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
32．（-3，2）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点（3，-2）关于原点的对称点的坐标是（-3，2），
故答案为：（-3，2）．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
33． （﹣1，2） （﹣3，﹣2）
【分析】根据“关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数”即可解答．
【详解】解：因为平行四边形是中心对称图形，而平行四边形的中心在原点，则A点的坐标为（﹣1，2），B点的
坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣1，2），（﹣3，﹣2）．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标
也互为相反数是解题的关键．
34．（﹣x，﹣y）
【分析】先观察图形可知， PQR是 ABC绕点O旋转180°后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用
△ △关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答．
【详解】解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣
2），
∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称，
∴△PQR和 ABC关于原点对称．
∵△PQR和 △ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点，
∴N点坐标△为：（﹣x，﹣y）．
故答案为：（﹣x，﹣y）．
【点睛】本题考查了两点成中心对称坐标的特点，关键熟悉关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为
相反数．
35．12
【分析】如图，根据题意和中心对称的性质可知图形①与图形②面积相等，即阴影部分的面积之和与矩形ABOE
的面积相等，求出矩形ABOE的面积即可．
【详解】解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点 ，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点
D，OB＝4，OD＝3，
∴AB＝3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝矩形ABOE的面积＝3×4＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查中心对称的性质，矩形的判定和性质．根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积之和与
矩形ABOE的面积相等是解题关键．
36．(2.8，3.6)
【分析】通过观察图像，点A到点 经过了向下平移5，向左平移4，所以点P经过相同的移动，得到P 坐标，P
1 2
为P 绕原点顺时针旋转180°，即P、P 关于原点对称，所以点P 的横纵坐标都是点P 坐标的相反数．
1 2 1 2 1
【详解】解：∵点A到点 经过了向下平移5，向左平移4，
∴点P经过相同的移动，得到P 坐标，
1
∵P坐标为(1.2，1.4)，
∴1.2-4=-2.8，1.4-5=-3.6，即点P 的坐标为(-2.8，-3.6)，
1
∵点P 绕原点顺时针旋转180°，对应点为P，
1 2
∴P、P 关于原点对称，
2 1
∴点P 的坐标为(2.8，3.6)，
2
故答案为：(2.8，3.6)．
【点睛】本题考查了平移和关于原点对称，掌握平移的性质，理解关于原点对称的对应点坐标是解题的关键．
37．
【分析】如图，连接，AC，BD．过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．利用勾股定理，求出OE，可得结论．
【详解】解：如图，连接，AC，BD．
∵O是矩形的对称中心，
∴O也是对角线的交点，
过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=OB，
∵OM⊥AD，
∴AM=DM= AD= BC=4，
∴OM= AB=3，
∵AE=2，
∴EM=AM-AE=2，
∴OE= = ，
同法可得OF= ，
∴OE+OF=2 ，
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角
形解决问题．38．10
【分析】由平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的性质可以得到 ,把已知 和
的面积分别为3和13代入计算即可得到答案．
【详解】解:由平行四边形和三角形的面积公式易得 ，
由平行四边形的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
故答案为10．
【点睛】本题考查平行四边形的应用,熟练掌握平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的中心对称性是解题
关键．
39．
【分析】作F点关于AC的对称点 ，连接A 并延长交BC延长线于点 ，将 的最小值转化为求B点
到A 的最短距离，根据垂线段的性质即可解答；
【详解】解：如图作F点关于AC的对称点 ，连接A 并延长交BC延长线于点B′，作BD⊥AB′于点D，
由对称性可得EF=E ，
由垂线段的性质可得B到AB′的最短距离为BD，
∴EF+EB=E +EB=B ≥BD，
Rt ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°，
∴∠△BAD=2∠BAC=30°，
Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD= ，
∴线段 的最小值是 ，故答案为： ；
【点睛】本题考查了对称的性质，垂线段的性质，30°直角三角形的性质；掌握相关性质是解题关键．
40．(1)中点，E，等腰
(2)12
【分析】（1）先证明 ADE≌△FCE（ASA），得到AE＝FE，AD＝CF，利用中心对称的定义回答即可，然后证得
AB＝BF，利用等腰三角△形的性质判定等腰三角形即可；
（2）由 ADE≌△FCE得到 ADE的面积等于 FCE的面积，从而得到答案．
（1） △ △ △
解：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵AD BC，
∴∠D＝∠DCF，
在 ADE与 FCE中，
△ △
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
∵AB＝AD+BC，BF＝CF＋BC＝AD＋BC，
∴AB＝BF，
则△ABF是等腰三角形．
故答案为：中点，E，等腰；
（2）
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE与△FCE面积相等，
∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积，
∵四边形ABCD的面积为12，
∴△ABF的面积为12．
【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的
定义判定两点关于某点成中心对称．
41．(1)作图见解析, B （0，−1）
1
(2)作图见解析, B（0，−3）
2(3)（0，−2）
【分析】（1）根据图形成中心对称的定义，作图并读取点 的坐标即可．
（2）根据图形平移的定义，结合已知，得到若要点A的对应点 坐标为 ，则 应向下平移8个单位，
作图并读取点 的坐标即可．
（3）根据图形成中心对称的定义，结合已知，求得旋转中心P点的坐标即可．
（1）
解：作图如图所示，△AB C即为所求,B （0，−1）
1 1 1
（2）
解：作图如图所示，△AB C 即为所求,B （0，−3）
2 2 2 2
（3）
解：∵ ， ，
∴点 与点 的中点坐标为 ，经检验点 与点 ，点 与点 均关于点 对称，
故旋转中心坐标P（0，−2）．
故答案为：（0，−2）．
【点睛】本题考查了中心对称的定义，图形平移的定义，熟练掌握图形的上述变换是解题的关键．
42．见解析
【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；
（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．
【详解】(1)证明：∵ ABM与 ACM关于直线AF成轴对称，
∴ ABM≌ ACM， △ △
∴△AB=AC，△
又∵ ABE与 DCE关于点E成中心对称，
∴ A△BE≌ DC△E，
∴△AB=CD，△
∴AC=CD；
(2)∠F=∠MCD.
理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，
∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，
∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，
设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，
∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β，
∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β，
∴∠F=∠MCD.
【点睛】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等
三角形的判定条件是解题的关键.
43．（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）8．
【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；
（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定
ABE的面积．
【详解】解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；
（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8．【点睛】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．
44．（1）① ；② ；（2） ；（3）m的值为 或
【分析】（1）①由相关函数的定义，将y=x-1旋转变换可得相关函数为y=x+1；
②将（ ，− ）代入y＝a(x− )2−1− a可得a的值，
（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；
（3）在相关函数中，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．
【详解】解：（1）①当 时，则 ，∴ 关于原点对称的函数为y=x+1；
②∵y＝−ax2−ax+1＝−a(x+ )2+1+ a，
∴y=-ax2-ax+1关于点P(0，0)的相关函数为y＝a(x− )2−1− a，
∵点A( ，− )在函数y＝a(x− )2−1− a的图象上，
∴− ＝a( − )2−1− a，
解得a= ，
（2）∵函数y=(x-1)2+2的顶点为(1，2)，函数y=-(x+3)2-2的顶点为(-3，-2)，这两点关于点P中心对称，
∴ ＝m，
∴m=-1，
故答案为：-1．
（3）∵y＝x2−mx− m2＝(x− m)2− m2，
∴y＝x2−mx− m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝−(x− m)2+ m2，
①当 m≤m−1，即m≤-2时，y有最大值是6，
∴−(m−1− m)2+ m2＝6，
∴m＝1− ，m＝1+ （不符合题意，舍去），
1 2
②当m−1≤ m≤m+2时，即-2＜m≤4时，当x＝ m时，y有最大值是6，
∴ m2＝6∴m ＝2 ，m＝−2 （不符合题意，舍去），
1 2③当 m＞m+2，即m＞4时，当x=m+2时，y有最大值是6，
∴−(m+2− m)2+ m2＝6，
∴m＝−2±2 （不符合题意，舍去），
综上，m的值为1− 或2 ．
