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5.3 一次函数的意义
题型一：判断是否为一次函数
1．(25-26 八上·宁夏银川第三中学·期中)下列函数：①y=
x
6；②y=
4
x；③y=3−
1
2 x；④y=−√3x；⑤y=x2−2x−1，
其中是一次函数的有（ ）个．
A．5
B．4
C．3
D．2
2．下列函数中，y 是x 的一次函数的是（ ）
A．y=3x
B． y=−
2
x
C．y=
1
x +5
D．y=x2−3x+5
3．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A．y=−4x
B．y=4x2+6
C．y=
1
2 x−1
D．y=5−
3
x
4．(24-25 八下·河北廊坊第十六中学·月考)下列函数为一次函数的有（ ）
①y=x+6；②y−x=−2(x+1)；③y=−x2+4x−1；④y=4x．
A．①②④
B．①③
C．①②
D．②④
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5．(24-25 八下·上海浦东新区川沙中学·期末)下列四个函数中属于一次函数的是（ ）
A．y=
1
x (x≠0)
B．y=
1
2 +x
C．y=x2+1
D．y=1
6．有下列五个式子：①y=
2x
3 ；②y=
2
3x；③y=−x+1；④y=
1
2 (x−3)；⑤y=2x2+1．其中，表示y 是x 的一次函
数的有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
题型二：根据一次函数的定义求参数
1．(25-26 八上·山东济南育英中学教育集团·月考)已知y=(k−1)x|k|+(k2−4)是一次函数，则k的值为 ．
2．(25-26 八上·四川巴中平昌县兰草小学·月考)若函数y=(2m+1)x2+(1−2m)x+1（m为常数）是一次函数，则
m= ．
3．已知函数y=(m−1)x+m2−1．
（1）当m 时，y是x的一次函数；
（2）当m 时，y是x的正比例函数．
4．对于函数y=(k−3)x+k+3，当k 时，它是关于x的正比例函数；当k 时，它是关于x的一次函数．
5．(25-26 八上·甘肃白银·期中)已知函数y=(m−2)x3−|m|+m+7
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
6．已知函数y=(m−3)x2−n+(m+n)．
(1)当m，n 取何值时，此函数为一次函数？
(2)当m，n 取何值时，此函数为正比例函数？
题型三：判断一个点是否在一次函数上
1．下列各点中在直线y=−5x+1上的是（ ）
A．(−3,16)
B．(2,9)
C．(
1
3 ,
2
3)
D．(
3
5 ,4)
2．(24-25 八上·福建漳州·期中)下列各点在函数y=2x−1图像上的是（ ）
A．(−2,3)
B．(1,1)
C．(1,−3)
D．(−1,−1)
3．(2025 九·江苏省苏州市·模拟)下列各点中，在一次函数y=−
1
2 x+4图象上的是（ ）
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A．(−4,2)
B．(−4,−2)
C．(4,2)
D．(4,−2)
4．(24-25 八下·广东惠州惠阳区惠华学校·月考)下列的点在函数y=3x+2图象上的是（ ）
A．(−1,5)
B．(−1,1)
C．(1,5)
D．(1,−1)
题型四：已知点在一次函数图象上求代数式的值
1．(24-25 八上·浙江温州苍南县·期末)已知点A(x1,a)，B(x1+1,b)都在函数y=−2x+3的图象上，下列对于a，b的
关系判断正确的是（ ）
A．a−b=2
B．a−b=−2
C．a+b=2
D．a+b=−2
2．点(a,b)在y=3x−1的函数图象上，则代数式6a−2b+1= ．
3．(25-26 八上·福建三明列东中学·月考)点P(a,b)在函数y=3x的图象上，则代数式6a−2b+2025的值等于 ．
4．(24-25 八下·河北唐山路南区友谊中学·月考)若点P(a,b)是直线y=x−3上一点，则代数式a2−2ab+b2−1的值
为 ．
5．(24-25 九下·福建泉州五中·月考)直线y=−3x+2过点P(a,b)，则3a+b+2023值为 ．
6．(24-25 八上·安徽宿州砀山县·期末)若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y=3x+m上，且x1−x2=3，则y1−y2= ．
题型五：利用待定系数法求一次函数解析式
1．(25-26 八上·吉林第二实验学校教育集团·期中)已知一次函数的图象经过A(−1,0)，B(1,2)两点．
(1)求这个一次函数的关系式；
(2)试判断点(2,3)是否在这个一次函数的图象上并说明理由．
2．(25-26 八上·四川成都第十二中学（四川大学附属中学）·期中)已知一次函数图象经过点(−2,7),(2,−1)
(1)求这个一次函数解析式；
(2)求出图象与两个坐标轴的交点坐标．
3．(25-26 八上·安徽合肥五十中学西校·期中)已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(−1,−1)和点B(1,5)．
(1)求这个一次函数的表达式；
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(2)若点C(m,−4)也在该函数图象上，求m的值．
4．已知y+6与x+1成正比例，当x=3时，y=2．
(1)求出y 与x 的函数表达式；
(2)若点(m,−2)在这个函数的图象上，求m 的值．
5．已知一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5；当自变量x=5时，函数值y=2．求出该函数的表达式，并画
出它的图象．
6．(24-25 八上·安徽宿州第二初级中学·月考)已知平面直角坐标系中三点A(−1,−3),B(1,1),C(4,6)，试判断这
三点是否在同一条直线上，并说明理由．
7．(24-25 八上·江苏新沂第二中学·月考)已知y与x成一次函数，当x=0时，y=3，当x=2时，y=7．
(1)写出y与x之间的函数关系式．
(2)计算x=4时，y的值．
(3)计算y=4时，x的值．
题型六：判断实际问题中变量是否满足一次函数
1．(25-26 八上·山东青岛五区联考·期中)下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（ ）
A．正方形的面积S(m2)与边长a(m)之间的关系
B．等腰三角形的周长为10cm，底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的关系
C．铅笔每支2 元，购买铅笔的总价y（元）与购买的数量n（支）之间的关系
D．小明进行100m 短跑训练，跑完全程所需时间t(s)与速度v(m/s)之间的关系
2．(25-26 八上·安徽淮北五校·期中)下列属于正比例函数关系的是（ ）
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A．三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h
B．仓库的粮食总量为常数W，每天的销量m与销售的天数t
C．行驶的路程s是常数时，行驶的速度v与时间t
D．正方形的面积S与它的边长a
3．(24-25 八下·广东广州番禺区·期末)下面的三个问题中都有两个变量：
①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x 与它的面积y；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y 与放水时间x；
③从A 地到B 地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y 与铺设天数x．
其中，变量y 与变量x 之间的函数关系是一次函数的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
4．(24-25 八下·北京丰台区·期末)下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ）
A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化
B．圆的周长C随着半径r的变化而变化
C．面积为20 的三角形的一边a，随着这边上的高h的变化而变化
D．矩形的一边长为a，比它的邻边短2．矩形的周长l随着边长a的变化而变化
5．(24-25 八·北京二中教育集团·期末)下面的三个问题中都有两个变量：
①在压力F(N)一定的情况下，物体对地面的压强P(Pa)与受力面积S(m2)；
②冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度T(℃)与冷冻时间t(min)；
③在弹性限度内，弹簧原长度为6cm，弹簧挂重物后的长度y(cm)与弹簧受到的拉力x（N）．
其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（ ）
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
6．写出下列各题中两变量之间的关系式，并判断：y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？
(1)某小区的物业费是按房屋产权面积每平方米1.5 元/月来收取的，该小区业主每个月应缴的物业费y（单
位：元）与房屋产权面积x（单位：m2）之间的关系．
(2)汽车离开车站4km后，再以40km/h的平均速度继续行驶了xh，汽车离开车站的距离y（单位：km）与时
间x（单位：h）之间的关系．
题型七：列一次函数解析式并求值
1．(24-25 八下·山东聊城阳谷县实验中学·月考)阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻
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名．某商店计划购进A，B两种品牌的红富士苹果共50 箱进行销售．A品牌红富士苹果的价格为38 元/箱，B
品牌红富士苹果的价格为30 元/箱．
(1)若A品牌红富士苹果购进x箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为y元，尝试确定y与x的函数关系？
(2)若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740 元，则最多可购进A品牌红富士苹果多少箱？
2．(24-25 八下·河北石家庄正定县·期中)王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、
乙两家旅行社比较合适，报价均为每人620元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社
表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出
部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为x人．
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式；
(2)若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总
费用较少的一家．
3．(24-25 八上·浙江宁波鄞州区·期末)某商场准备购进A，B 两种商品进行销售，A 商品的进价为每件 30 元，
售价为 40 元，B商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 A，B 两种商品共 100 件，设购
进A 商品x件，总利润为y元．
(1)写出y（元）关于 x（件）的函数关系式；
(2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案．
4．(24-25 八上·福建宁德霞浦县·期中)某电信公司手机的A 套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机
每月必须缴月租费18 元，另外，通话费按0.15元/min计；B 套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按0.2
元/min计．
(1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系；
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(2)若每月平均通话时间为300min，你选择哪种套餐？并说明理由．
5．(24-25 八上·陕西咸阳兴平·期中)兴平大蒜是咸阳市兴平的特产，具有全国农产品地理标志，其种植历史
悠久，蒜皮紫红色、整齐美观，营养丰富．个体户小李购进一批兴平大蒜，到农贸市场零售，已知卖出的
大蒜质量x（kg）与销售收入y（元）之间的关系如下表所示．
x（kg）
1
2
3
4
5
…
y（元）
10.5
21
31.5
42
52.5
…
(1)求出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的正比例函数；
(2)当x=7时，求销售收入y的值．
6．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价
和零售价如下表所示：
品名
甲蔬菜
乙蔬菜
批发价/（元/kg）
4.8
4
零售价/（元/kg）
7.2
5.6
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共20kg花90 元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m 元，设批发甲种蔬菜nkg，求m 与n 的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
题型一：一次函数的认识综合解答题
1．【阅读理解】
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点P在平面直角坐标系中，记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，给出以下定义：若 d1≤d2，则称d1为
点P的“微距值”；若 d1>d2， 则称d₂为点P的“微距值”；特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“微距值”为0．例
如，点P(−3,5)到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，因为3<5，所以点P的“微距值”为3．
【知识应用】
(1)点A(2,−3)的“微距值”为 ；
(2)若点B(a,3)的“微距值”为2， 求a 的值；
(3)若点C在直线y=−3x+6上，且点C的“微距值”为2，求点C的坐标．
2．(24-25 八上·四川成都青羊区树德实验学校·期末)如图，在边长为1 的小正方形网格中建立平面直角坐标
系xOy，坐标原点为O，A(3,4)，B(1,2)，C(5,1)．
(1)作出△ABC关于y 轴的对称图形△DEF，其中A，B，C 分别落在点D，E，F 并在图中标注出字母D，E，
F；
(2)写出S△DEF= ；
(3)如图，点P 是x 轴上一动点，并且满足PA+PB的值最小，请在图中找出点P 的位置，并求出点P 的坐标．
3．(25-26 八上·吉林长春吉林大学附属中学·期中)如图，在长方形ABCD中，AB=2cm，BC=8cm．点M为线
段BC的中点．动点P按照M→B→M的路径，以每秒2cm的速度运动；动点Q按照从点C到点M的路径，以每
秒1cm的速度运动；P、Q两点同时出发，当点Q运动到点M时，两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．
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(1)当t=1时，PQ=___________；当t=3时，PQ=___________．
(2)用含t代数式表示线段PQ．
(3)以PQ为边向上作正方形PQEF，正方形PQEF与长方形ABCD重叠部分的面积为S(S>0)，用含t代数式表示．
(4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3 时，t=___________．
4．(23-24 八下·湖南株洲第二中学初中部·期中)定义：直线y=ax+b与直线y=bx+a互为“友好直线”．如：直线
y=2x+1与直线y=x+2互为“友好直线”．
(1)点M(m,2)在直线y=−x+4的“友好直线”上，则m= ；
(2)直线y=4x+3上的一点M(m,n)又是它的“友好直线”上的点，求点M 的坐标：
(3)对于直线y=ax+b上的任意一点M(m,n)，都有点N(2m,m−2n)在它的“友好直线”上，求a、b 的值．
5．(24-25 八下·山西临汾古县·期末)阅读与思考
下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
有关“匀速变化一次函数”的研究报告智慧小组研究对象：匀速变化一次函数
研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究
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研究内容：
【一般概念】设y 是x 的一次函数，我们取自变量x 的取值范围内的两个不同的值x1，x2，当x1到x2变化时，
对应的y 的值由y1到y2也随之变化，这时我们称比值
y2−y1
x2−x1为y 在x1与x2之间的平均变化速度，当y 在自变量x
取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y 是x 的匀速变化一次函数．
【例题研究】根据匀速变化一次函数的概念，对函数y=5x−3的研究如下：
当x1=1时，y1=5×1−3=2；当x2=0时，y2=5×0−3=−3．
y2−y1
x2−x1 =
−3−2
0−1 =5．
当x3=−1时，y3=5×(−1)−3=−8；当x4=−2时，y4=5×(−2)−3=−13．
y4−y3
x4−x3 =
−13−(−8)
−2−(−1) =5．
∵y 在自变量x 的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数5，
∴y 是x 的匀速变化一次函数．
【深入探索】通过上述方法可以验证函数y=3x+1为y 关于x 的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度
刚好等于 ▲ ．
发现结论：若(x1,y1)，(x2,y2)是函数y=kx+b图象上的两点，则
y2−y1
x2−x1 = ■ ．我们只需再取图象上两点就可以快
速地验证y 是不是x 的匀速变化一次函数．
任务
(1)填空：上述材料中的▲=______，■=______．
(2)请说明材料中的结论是如何验证函数y=kx+b（k，b 是常数，且k≠0）是y 关于x 的匀速变化一次函数的．
1．(24-25 八上·广东省深圳市·期中)下列函数：①y=
x
6；②y=
4
x；③y=3−
1
2 x；④y=
3x2
x −2；⑤y=x2−(x−3)(x+2)；
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⑥y=6x，其中是一次函数的有（ ）个．
A．5
B．4
C．3
D．2
E．1
2．(2024·陕西省西安市·模拟)已知一次函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0），若k+b+2=0，则该一次函数的图
象必经过点（ ）
A．(1,−2)
B．(2,−1)
C．(
1
2 ,1)
D．(1,2)
3．(24-25 八下·福建泉州鲤城区福建泉州外国语学校·期末)定义：若点P(x,y)中的x，y满足{x2=y+t
y2=x+t
（t为常数，
且x≠y），则称点P为“生长点”，下列各点是一次函数y=2x−4图象上的“生长点”的为（ ）
A．(−1,−6)
B．(1,−2)
C．(2,0)
D．(3,−4)
4．(2025·江苏省南京市·模拟)记住a⋅b是两个实数a 与b 的一种运算．已知a⋅0=1−a，函数y=m⋅(x+1)(m≠1)为
正比例函数，则4⋅5=（ ）
A．12
B．16
C．20
D．24
5．(24-25 八下·福建福州连江县·期中)已知一次函数y=ax−a−b（a，b是常数，a≠0），若a+b<0，点P(2,m)(m<0)
在该函数图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．a<0且|a|>|b|
B．a<0且|a|<|b|
C．a>0且|a|>|b|
D．a>0且|a|<|b|
6．(24-25 八上·江苏宿迁沭阳县·期末)若点P(x,y)满足x+y=k，则称点P具有性质H(K)．例如点Q(3,4)具有性质
H(7)．如图，在长方形ABCD中点A(3,2)，点C(−3,−2)，AB⊥x轴，CB⊥y轴．长方形ABCD边上存在两点M，N均
具有性质H(−2)，则线段MN长为（ ）
A．3
B．2√3
C．3√2
D．2√13
7．若点(a+1,b−1)在函数y=−
1
2 x上，则2a+4b= ．
8．(24-25 八上·辽宁本溪·期末)若点P(m,n)在直线4x+3y=11上，且m，n都是正整数，则点P坐标是 ．
9．(24-25 八上·江苏苏州立达中学校·月考)对于三个数a、b、c，用max{a,b,c}表示这三个数中最大的数，例
如，max{−1,2,3}=3，max{−1,2,a}= {2(a≤2)
a(a>2)
．那么观察图象，可得到max{x+1,2−x,2x−1}的最小值为 ．
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10．(24-25 八上·安徽池州·期中)定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于
n(n>0)的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，(2,1)为一次函数y=x−1的“3 阶和点” ．
（1）若点(−1,−1)是y关于x的正比例函数y=mx的“n阶和点”，则m= ，n= ；
（2）若y关于x的一次函数y=kx−2的图象经过一次函数y=x+3图象的“5 阶和点”，k= ．
11．(25-26 八上·陕西西安西光中学教育集团·期中)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(m+1,−m+3)．
(1)若点P在x轴上，求点P的坐标；
(2)试判断点P是否在直线y=−x+4上，并说明理由．
12．(25-26 九上·浙江温州实验学校·期中)已知关于x 的一次函数y=2ax+x−a+1（a 为常数，且a≠0）．
(1)当自变量1 对应的函数值为5 时，求a 的值；
(2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q 的坐标．
13．(24-25 七下·江苏泰州姜堰区南苑学校·期中)已知关于x、y的二元一次方程组{3x+2y=m+1
2x+y=m−1
．
(1)若5x+3y=6，求m的值；
(2)若x、y均为非负数，求m的取值范围；
(3)已知w=3x−4y+m，在（2）的条件下，求w的最大值和最小值．
14．如图，已知点A(6,0)、点B(0,−2)．
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(1)求直线AB所对应的函数表达式；
(2)在x轴上找一点P，使其满足PA=PB，求P 点的坐标．
(3)在（2）的条件下，求△PAB的面积
15．(23-24 八上·浙江杭州拱墅区·期末)综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数
y1=ax−b，y2=bx−a（a，b 均不为0，且a≠b），同学们利用图形计算器画出a，b 不同取值下的两个一次函数
的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（a=1，b=2；a=2，b=−1；a=−1，b=−2时的函数
图象，得到了不同情况下函数y1和y2的图象的交点坐标．
数学思考：（1）请从（I）当a=1，b=2时；（Ⅱ）当a=2，b=−1时；（Ⅲ）当a=−1，b=−2时，三组值中任选一
组，求此时函数y1和y2的图象的交点坐标．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题．
①“运河小组”提出问题：不论a，b 如何取值，函数y1和y2的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，
并求出这个定值．
②“武林小组”提出问题：若a>b，要比较y1和y2的大小，需要分类讨论．请你比较y1和y2的大小．
③不论a，b 如何取值，当x 等于某个正数时，函数y1和y2的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出
结论．
